高考数学三轮冲刺 专题 几何体与球切、接问题练习题(无答案)理

解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)

一、单选题

1.(2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线

x2

a2-

y2

b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F

2，点P在双曲线上，且∠F1PF

2=60°，PF

2的延长线交双曲线于点Q，若双曲线的离心率为e=

7

2，则PQ

F

1Q=()

A.2

3B.8

13C.8

15D.1

2

【答案】B

【分析】利用双曲线的定义得到PF2,F

2Q,PF

1,F

1Q关于k,m,n的表达式，在△PF1F

2与△PF1Q中利

用余弦定理求得m=2k与n=6

5k，从而求得PQ,F

1Q关于k的表达式，由此得解.

【详解】因为双曲线的离心率为e=7

2，即c

a=7

2，令a=2kk>0，则c=7k，

所以F1F

2=2c=27k，2a=4k，

不妨设点P在双曲线的右支上时，如图，

记PF2=m,F

2Q=n，则由双曲线的定义得PF

1-PF

2=2a,F

1Q-F

2Q=2a，

所以PF1=4k+m,F

1Q=4k+n，

在△PF1F

2中，∠F1PF

2=60°，则F

1F

22=PF

12+PF

22-2PF

1PF

2cos60°，

即28k2=4k+m2+m2-24k+mm×1

2，整理得12k2-4km-m2=0，

解得m=2k或m=-6k(舍去)，故PF1=4k+m=6k，PQ=m+n=2k+n，

在△PF1Q中，∠F

1PF

2=60°，则F

1Q2=PF

12+PQ2-2PF

1PQcos60°，

即4k+n2=36k2+2k+n2-2×6k2k+n×1

2，整理得12k2-10kn=0，

解得n=6

5k，则PQ=2k+n=2k+6

5k=16

5k，F

1Q=4k+n=26

5k，

所以PQ

F

1Q=16

5k

26

5k=8

13；

故选：B.

2.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知双曲线C

新高考数学复习考点知识专题讲解与练习

专题44 球与几何体的切结

一、单项选择题

1．(2021·河北张家口期末)体积为8的正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个体积为V的球，则V的最大值为( )

A．8π B．4π C.82π3 D.4π3

2．(2020·课标全国Ⅰ，理)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(

)

A．64π B．48π C．36π D．32π

3．(2021·唐山一中模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( )

A．64π B．32π C．16π D．8π

4．(2021·武昌调研)已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且AB＝BC＝AD＝1，BD＝AC＝2，BC⊥AD，则球O的体积为(

)

A.3π2 B.3π C．23π D．43π

5．(2021·山东临沂模拟)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十等于八分之五．已知三棱锥A－BCD的每个顶点都在球O的球面上，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝3，BC＝2，利用张衡的结论可得球O的表面积为(

)

A．30 B．1010 C．33 D．1210

6．(2021·安徽合肥模拟)已知球的直径SC＝6，A，B是该球球面上的两点，且AB＝SA＝SB＝3，则三棱锥S－ABC的体积为( )

A.324 B.924 C.322 D.922

7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8

cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6

高考外接球与内接球专题练习

（1）正方体，长方体外接球

1. 如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，长为2的

线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形

ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（ ）

A. 4 B. 2 C.  D.

2

2.

正方体的内切球与其外接球的体积之比为（

）

A.

1:3

B. 1:3 C. 1:33 D. 1:9

3. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，

则该球的表面积为（ ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

4. 底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为

A. 323 B. 4 C. 2 D. 43

5. 已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC

两两垂直，则球心到截面ABC的距离为 _________ ．

6. 在三棱椎A﹣BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的

面积分别为22，32，62，则该三棱椎外接球的表面积为（ ）

A. 2 B. 6 C. 46 D. 24

7. 设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC、AD⊥AC、AB⊥AD，

则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（ ）

A. 4 B. 8 C. 12 D. 16

8. 四面体ABCD中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体的

外接球的表面积为（ ）

人教版高三数学复习---球的切、接、截面问题(有答案)及参考答案

(附参考答案)

一．选择题（共16小题）

1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）

A． B． 16π C． 9π D．

2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）

A． 4π B． 8π C． D．

3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． 29π B． 30π

C．

D． 216π

4．（2014•西藏一模）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（ ）

A． B． C． 16π D． 64π

5．（2014•临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（ ）

A． 16π B． 32π C． 48π D． 64π

6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（ ）

A． 6 B． 12 C． 6 D．

6

7．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（ ）

A． B． C． D．

8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（ ）

A． 25π

B． 50π C．

5π D． 10π

9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）