【全国名校】2018-2019学年四川省成都外国语学校高一12月月考数学试题(解析版)

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四川省成都外国语学校2018-2019学年高一下学期入学考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60。0分）
1。已知集合 ， ,则 ( ）
【详解】由 可得:
则函数 为偶函数
当 时，
此时 单调递增； 单调递减
根据单调性的性质可得 在 为增函数
则
解得: ,即不等式的解集为
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是能够通过奇偶性和单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式．
11。设向量 , ， 满足 , ,向量 ，和向量 的夹角为 ，则 的最大值等于（ ）
点睛：这个题目考查的是向量基本定理的应用;向量的点积运算.解决向量的小题常用方法有：数形结合,向量的三角形法则，平行四边形法则等;建系将向量坐标化；向量基底化,选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
15。如图为函数 的图象的一部分,则函数的解析式为______。
【答案】
【解析】
由图可得：A= ，T=2｜MN｜=π。从而ω= =2,
6。已知 ,且 ，则 等于（ )
A。 B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式将 转化为 的形式，然后利用同角三角函数关系式求得 的值。
【详解】依题意 ，由于 ，属于 ，故 .所以选D.
【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系.对于三角函数 的化简，遵循这样的原理“奇变偶不变，符号看象限".其中“奇偶”说的是 是奇数还是偶数.在运用三角函数的基本关系式是,要注意角的终边所在的象限引起的三角函数值正负的变化.

故答案为：y= sin（2x- ）．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
16.【答案】0
【解析】
解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1+x）=f（1-x），
参考答案
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A．
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】D
12.【答案】C
13.【答案】（-3，-3）
【解析】
解：方法1：平移法
∵y=ax过定点（0，1），
∴将函数y=ax向左平移3个单位得到y=ax+3，此时函数过定点（-3，1），
14.【答案】0
【解析】
解：向量 =（1，λ）， =（3，1）， =（1，2），
则向量2 =（-1，2λ-1），
由2 - 与 共线，得-1×2-（2λ-1）=0，
解得λ=- ，
所以向量 =（1，- ），
所以 在向量 方向上的投影为| |cosθ= = =0．
故答案为：0．
根据平面向量的坐标运算求出2 ，利用共线定理列方程求得λ的值，再求向量 在向量 方向上的投影．
16.已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（1+x）=f（1-x），若f（1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

成都外国语学校2018－2019学年度下期期中考试高一数学试卷(理)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将正确选项的序号填涂在答题卷。

1.一个三角形的三个内角的度数成等差数列，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合等差数列的等差中项的性质，以及三角形内角和，即可求出角.【详解】由题意可知，又，则，解得，故选. 【点睛】主要考查了等差中项的性质，以及三角形内角和，属于基础题.2.数列的一个通项公式是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】数列的一个通项公式是即为故选C.3.下面关于等比数列和公比叙述正确的是（）A. 为递增数列B. 为递增函数C. 为递减数列D. 为递增函数列且为递增函数【答案】D【解析】【分析】通过举反例即可将项分别排除，确定正确答案.【详解】项：若，则的各项为……，显然是递减数列，不正确.项：等比数列的各项为……，是递增数列，，该选项不正确.项：若，则的各项为……，显然是递增数列，不正确. 利用排除法即可知，只有项正确.【点睛】主要考查了等比数列的单调性问题，属于基础题.4.在△ABC中角所对的边分别为以下叙述或变形中错误的是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理即可判断项正确；利用诱导公式即可判断项不正确；利用等比性质即可判断项正确；利用正弦函数单调性，诱导公式以及大边对大角即可判断项正确.【详解】项：由正弦定理，则，则由，答案正确.项：因为当时，则或，则或，所以不一定能得到，故B不正确，答案选B.项：由正弦定理，结合分数的等比性质即可得.项：因为当时，由正弦函数单调性可得，当时，由正弦函数单调性以及诱导公式可得，所以当时，可得；由正弦定理，当时，可得，即，从而可得，该结论正确.【点睛】主要考查了正弦定理的理解，等比性质，正弦函数单调性以及三角形的相关结论如大边对大角，属于基础题.5.在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形【答案】C【解析】∵2sin A cos B＝sin（A＋B）＋sin（A－B），且2sin A cos B＝sin C，∴sin（A－B）＝0．∴A＝B．6.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α−β)＝−，则tanβ＝ ( )A. B. 3 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用角的关系，再利用两角差的正切公式即可求出的值.【详解】因为，且为锐角，则，所以，因为，所以故选B【点睛】主要考查了两角差的正切公式，同角三角函数的平方关系，属于中档题.对于给值求值问题，关键是寻找已知角（条件中的角）与未知角（问题中的角）的关系，用已知角表示未知角，从而将问题转化为求已知角的三角函数值，再利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式以及诱导公式即可求出.7.设是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d＜0B. a7＝0C. S9＞S5D. S6与S7均为Sn的最大值【答案】C【解析】试题分析：根据题设条件且S5＜S6，S6=S7＞S8，则可判断A的正确性；∵且S5＜S6，S6=S7＞S8，则a7=0，可判断B正确；∵在等差数列中S n等差数列的前n项和公式存在最大值可判断数列的单调性，这样可判断D的正确性；利用数列的前n项和定义与等差数列的性质，来判断D 的正确性解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则A正确；∵S6=S7，∴a7=0，∴B正确；∵S5＜S6，S6=S7＞S8，则a6＞0，a7=0，a8＜0，∴d＜0，A正确∵a6+a7+a8+a9=2（a7+a8）＜0，∴S9＜S5，C错误．故选C考点：命题的真假, 等差数列的前n项和公式点评：本题借助考查命题真假判断，考查等差数列的前n项和公式及等差数列的性质．在等差数列中S n存在最大值的条件是：a1＞0，d＜0．一般两种解决问题的思路：项分析法与和分析法8.在中，已知则此三角形有几个解 ( )A. 0B. 1C. 2D. 不确定【答案】B【解析】【分析】利用三角形多解问题判断方法即可判断.【详解】因为，所以三角形只有一个解，故选B.【点睛】主要考查了三角形多解问题，属于基础题.对于三角形多解问题，判断方法如下：已知，且为锐角，则（1）如果，无解；（2）如果，有一解且；（3）如果，有两解（一个锐角，一个钝角）；（4）如果，有一解且为锐角.已知，且为钝角，则（1）如果，无解；（2）如果，则有一解且为锐角.9.在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则下列关系一定不成立的是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理，得，∴，∵，由正弦定理，得，∴或．当时，为直角三角形，且，所以C，D 可能成立；当时，，所以∴，即A可能成立，因此一定不成立是选项B．考点：正弦定理与余弦定理的应用．10.已知，且，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由得：解方程组：得：或因为，所以所以不合题意，舍去所以，所以，故选C.考点：同角三角函数的基本关系和两角差的三角函数公式.11.某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清，若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意建立方程，再结合等比数列求和公式，即可求出的值.【详解】设每年偿还的金额为，则，所以，解得故选D.【点睛】主要考查了等比数列求和，方程的求解，以及数学应用能力，属于中档题.这类型题的关键在于结合生活实际，读懂题意，合理地转化为数学问题，再进行求解.12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足 （ ）A.B. C.D.【答案】C 【解析】 【分析】通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式.【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，当时，将移到乙柱，只移动1次；当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；……以此类推，可知，故选.【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.在中角所对的边分别为，若则___________ 【答案】【解析】,；由正弦定理，得，解得.考点：正弦定理.14.设为数列的前项和，已知，则___________【答案】【解析】【分析】利用与的关系，将转化为，化简即可证明为等差数列，从而利用公式求出.【详解】因为当时，，则，当时，，化简得，所以是以为首项，2为公差的等差数列，所以，即【点睛】主要考查了与的关系，以及等差数列的通项公式，属于中档题.这类型题的关键在于利用与的关系进行转化，有两个转化方向：（1）将转化为；（2）将转化为.15.已知非零平面向量满足，且与的夹角为，则的最大值为____________【答案】2【解析】【分析】运用平面向量夹角公式，结合向量的相关运算，即可将的最值求解.【详解】设与夹角为，则由题意，，化简得，，解得，而由与夹角为，可知，当时，显然，因为，不符合；，符合.当时，不符合，，符合；则，则当时，取得最大值.【点睛】主要考查了平面向量的夹角公式，数量积，辅助角公式，函数与方程思想，属于难题.对于范围型问题，主要有三种思路：（1）通过建立关于目标变量的一元函数，运用函数相关结论求出最值.（2）通过运用基本不等式求解目标变量的最值；（3）通过建立约束条件以及目标函数，运用数形结合的方法求出目标变量的最值.16.已知的三个内角的对边分别为，满足，且，则的值为__________【答案】【解析】【分析】利用题目的条件，结合正弦定理将边化角，然后通过三角恒等变换，即可得关于的等式，再结合，消去即可求出.【详解】因为，结合正弦定理可得：...又因为，代入上式得：.因为，则得，代入化简得，又因为所以.【点睛】主要考查了已知恒等式解三角形问题，正弦定理的应用，以及三角恒等变换，属于难题.对于已知恒等式解三角形问题，主要有两个方向进行求解：（1）利用正余弦定理将角化边，利用边的代数变换求解三角形；（2）利用正余弦定理将边化角，再利用三角恒等变换求解三角形.三、解答题(本大题共6个小题，共70分)：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知函数(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值．【答案】,最大值为,最小值为．【解析】试题分析：逆用二倍角公式将化成的形式，利用周期公式求其周期，再利用正弦函数的图像与性质进行求解.试题解析：2分， 4分5分因为，所以， 6分当时，即时，的最大值为， 7分当时，即时，的最小值为.考点：1.三角恒等变换；2.三角恒等的图像与性质.18.已知sinα＋cosα＝，，，(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．【答案】(1) sin2α＝，tan2α＝，（2）cos(α＋2β)＝－【解析】分析：（1）把已知条件两边平方，然后利用同角三角函数间的关系及二倍角的正弦函数公式化简可得sin2α的值，根据2α的范围利用同角三角函数间的关系求出cos2α即可得到tan2α的值；（2）根据β的范围求出的范围，由sin（）的值利用同角三角函数间的关系求出cos（）的值，然后利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的关系分别求出sin2β和cos2β的值，根据第一问分别求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将每个三角函数值代入即可求出．详解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.又2α∈(0，)，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝.又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈(，π)，∴sin2β＝.又cos2α＝＝，∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×(－)－×＝－.点睛：本题重点考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，解题的关键是注意角的取值范围，属于中档题．19.设正项等比数列中，，且的等差中项为.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，数列满足，记为数列的前项和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意，得，解得，所以.（2）由（1）得，∴，∴，∴.【思路点拨】（1）根据等比数列的公式得到求得基本量，进而得到通项；（2）根据第一问得到，，从而得到，再裂项求和即可.20.已知各项均为正数的等差数列的前三项的和为27，且满足，数列的前项和为，且对一切正整数，点都在函数的图象上.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和为；【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质，结合题意即可求出和，然后利用等差数列通项公式求解通项.再利用与的关系，即可求出.（2）利用错位相减法，即可求出数列的前项和为.【详解】（1）设等差数列的公差为，且由题则又则，所以又……①当时，当时……②由有当时也满足上式所以（2）……③……④由③-④有则【点睛】主要考查了等差数列的性质运用，通项公式的求解，与的关系以及错位相减法，属于中档题.利用与的关系求通项的步骤：（1）令，求出；（2）当时，求出；（3）检验是否符合.对于（为等差数列，为等比数列，为其公比）的前项和可以用错位相减法，基本步骤为：（1）写；（2）错位：；（3）相减：（4）化简求出.21.数列的前项和为（1）若为等差数列，求证：；（2）若，求证：为等差数列.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用倒序相加法即可证明.（2）利用与的关系分别求出与，然后作差，化简即可证明其满足，即可证明为等差数列.【详解】（1）证明：已知数列为等差数列，设其公差为，有则于是……①又……②由①②相加有即（2）证明：由，有当时，，所以，③，④④－③并整理，得，即所以数列是等差数列．【点睛】主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明（为常数，）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足即可.22.在中，是的内角，向量，且（1）求角；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算，两角和的余弦公式以及诱导公式即可求出角.（2）利用即可求出的值，再由可得，结合余弦定理即可求出，再运用余弦定理即可求出，从而求出的面积.【详解】（1）又中所以，有，所以（2）在中，设角、、所对的边分别为、、又由余弦定理有所以代入中有联立解得所以【点睛】主要考查了平面向量的数量积运算，两角和的余弦公式，诱导公式以及余弦定理的应用，属于中档题.三角函数与平面向量的综合题型，关键是利用向量的相关运算将问题转化为三角函数问题，再运用相关公式进行三角恒等变换，从而将问题求解.。

四川省成都外国语学校2018-2019学年高一数学12月月考试题注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级和考号等信息2. 请将答案正确的填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的序号涂在答题卡上. 1．设集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．（ ）()sin 690-︒=A ．B ．C ．． 1212-3．函数零点所在的大致区间是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设，，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．若角的终边落在直线上，则的值等于（ ）A ． 2B ． -2C ． -2或2D ． 0 7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数的值域为的函数，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，则的值（ ）A ． 恒大于0B ． 恒小于0C ． 等于0D ． 无法判断 11．若时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知是定义在上的偶函数，对于,都有,当时，，若在[-1,5]上有五个根，则此五个根的和是（ ）A ． 7B ． 8C ． 10D ． 12第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4个小题每题5分，共20分. 13．若函数 (a ≠0)的最小正周期为，则＝________________． πtan 3ax 3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π214．已知集合，若，实数的取值范围是_____________________ ． 15．函数的定义域为________________________.16．已知函数，则函数的零点中最大的是_________________.三、解答题：解答应写出必要文字说明，证明过程或者演算步骤.17．(本小题10分)计算下面两个式子的值（1）(2)若，，试用表示出.18．（本小题12分）已知点在角的终边上，且，（1）求和的值；(2)求的值.19．（本小题12分）求函数的最值以及取得最值时的值的集合.20．（本小题12分）已知函数（1）解关于的不等式；（2）设函数，若的图象关于轴对称，求实数的值.21．（本小题12分）成都地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为1200人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为.⑴求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；⑵若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？22．（本小题12分）设常数，函数（1）若，求的单调区间（2）若为奇函数，且关于的不等式对所有恒成立，求实数的取值范围 （3）当时，若方程有三个不相等的实数根，求实数的值.成都外国语学校高2018级第十二月月考数学试卷参考答案1．B 2．A 3．B 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．A 11．C 12．C 13．± 14．. 15．23117．【解析】 （1）原式=== ………………………………………………………………………………………..5分.(2)………………………………………………10分. 18．【解析】 （1）由已知，所以解得，故θ为第四象限角，；………………………………………………6分.（2）= (1)2分. 19．【解析】＝2cos 2x ＋5sinx －4＝－2sin 2x ＋5sinx －2＝－2(sinx －)2＋.5498∵sinx ∈[－1，1]，∴当sinx ＝－1，即x ＝－＋2k π(k∈Z )时，y 有最小值－9， π2此时x 的取值集合为{x|x ＝－＋2k π，k ∈Z }；当sinx ＝1，即x ＝＋2k π(k∈Z )时，y 有π2π2最大值1，此时x 的取值集合为{x|x ＝＋2k π，k ∈π2Z }．…………………………………………………………………………….12分. 20．【解析】 解析：（1）因为，所以，即：，所以，由题意，，解得，所以解集为…………………………………………………………………….6分.（2），由题意，是偶函数，所以，有，即：成立，所以 ，即：，所以，所以，，所以…………………………………………………………………..12分. 21. 【解析】（1）由题意知，，（为常数），∵，∴，∴，∴，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量人． (6)分.（2）由，可得，①当时，，当且仅当时等号成立；②当时，，当时等号成立，∴当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．答：当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元……………………………12分.22．【解析】 (1)时，,所以增区间为，减区间为,……………3分.(2) 因为为奇函数，所以,因为，因为，所以,因为在上单调递增，所以，即，………………………………………7分.(3)根据图象得，,因为，所以,因为，所以,,,因为，且,所以所以……………………………………………………………………12分.。