九年级数学 63 反比例函数的应用 习题课件

反比例函数及其运用复习考点攻略

考点一 反比例函数的概念

1．反比例函数的概念：一般地.函数kyx（k是常数.k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1ykx的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.函数的取值范围也是一切非零实数．

2．反比例函数kyx（k是常数.k0）中x.y的取值范围：反比例函数kyx（k是常数.k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数.函数值y的取值范围也是非零实数．

【例1】下列函数中.y与x之间是反比例函数关系的是

A．xy=

B．3x+2y=0

C．y= D．y=

【答案】A

考点二 反比例函数的图象和性质

1．反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线.它有两个分支.这两个分支分别位于第一、三象限.或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0.函数y≠0.所以.它的图象与x轴、y轴都没有交点.即双曲线的两个分支无限接近坐标轴.但永远达不到坐标轴．

（2）性质：当k>0时.函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内.y随x的增大而减小．

当k<0时.函数图象的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内.y随x的增大而增大． 2kx21x表达式 kyx（k是常数.k≠0）

k k>0 k<0

大致图象

所在象限 第一、三象限 第二、四象限

增减性 在每个象限内.y随x的增大而减小 在每个象限内.y随x的增大而增大

2．反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形.又是中心对称图形.其对称轴为直线y=x和y=-x.对称中心为原点．

【注意】

（1）画反比例函数图象应多取一些点.描点越多.图象越准确.连线时.要注意用平滑的曲线连接各点．

（2）随着|x|的增大.双曲线逐渐向坐标轴靠近.但永远不与坐标轴相交.因为反比例函数kyx中x≠0且y≠0．

（3）反比例函数的图象不是连续的.因此在谈到反比例函数的增减性时.都是在各自象限内的增减情况．当k>0时.在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小.但不能笼统地说当k>0时.y随x的增大而减小．同样.当k<0时.也不能笼统地说y随x的增大而增大．

鲁教版（五四制）九上1.3反比例函数的应用同步练习

一、选择题（共20题）

1. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80 千米/时的平均速度用了 4 小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度 𝑣 千米/时与时间 𝑡 小时的函数关系是 (  )

A．𝑣=320𝑡 B．𝑣=320𝑡 C．𝑣=20𝑡 D．𝑣=20𝑡

2. 某高铁站建设初期需要运送大量的土石方，运输公司承担了运送总量为 106 m3 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 𝑣（单位：立方米/天）与完成运送任务所需的时间 𝑡（单位：天）之间的函数表达式为 (  )

A． 𝑣=106𝑡 B． 𝑣=106𝑡 C． 𝑣=1106𝑡2 D． 𝑣=106𝑡2

3. 如图，已知一次函数 𝑦=𝑎𝑥+𝑏 和反比例函数 𝑦=𝑘𝑥 的图象相交于 𝐴(−2,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)

两点，则不等式 𝑎𝑥+𝑏<𝑘𝑥 的解集为 (  )

A． 𝑥<−2 或 0<𝑥<1 B． 𝑥<−2

C． 0<𝑥<1 D． −2<𝑥<0 或 𝑥>1

4. 甲、乙两地相距 250 千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间 𝑦（小时），表示为汽车的平均速度为 𝑥（千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是 (  )

A． B．

C． D．

5. 某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 𝑝(kPa) 是气球体积 𝑉 的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于 160 kPa 时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该 (  )

A．不小于 35 m3 B．小于 53 m3 C．不大于 53 m3 D．小于 35 m3

6. 小华以每分钟 𝑥 字的速度书写，𝑦 分钟写了 300 字，则 𝑦 与 𝑥 的函数关系为 (  )

6.1反比例函数-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)

一、教学内容

本节课选自北师大版数学九年级上册第6章“函数及其表示方法”中的6.1节“反比例函数”。教学内容主要包括以下方面：

1. 反比例函数的定义：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

2. 反比例函数的性质：当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大；函数图像在第一、三象限。

3. 反比例函数的图像：图像是一条经过原点的曲线，称为双曲线。

4. 反比例函数的图像变换：通过对反比例函数进行平移、伸缩等变换，分析图像变化规律。

5. 反比例函数在实际问题中的应用：结合实际情境，求解相关函数问题。

二、核心素养目标

1. 培养学生运用数学语言描述反比例函数的概念及其性质，提高数学表达与交流能力。

2. 培养学生通过观察、分析反比例函数图像，抽象出反比例函数的性质，增强直观想象与数学抽象素养。

3. 培养学生运用反比例函数解决实际问题，提升数学建模与逻辑推理能力。

4. 引导学生通过小组合作、讨论交流，培养团队合作意识和问题解决能力，提高数学问题解决的核心素养。

5. 激发学生对数学学科的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的学习态度，增强数学学科素养。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 反比例函数的定义：理解y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，这是本节课的基础，需要学生熟练掌握。

- 反比例函数的性质：掌握反比例函数在不同象限的变化规律，以及图像的双曲线特点。

- 反比例函数图像的绘制：学会绘制反比例函数图像，了解其与坐标轴的关系。

- 反比例函数的应用：能够运用反比例函数解决实际问题，如距离、速度与时间的关系等。

举例：重点讲解反比例函数的定义，通过实际例子（如矩形面积与长宽的关系）引入，强调k≠0的条件。

2. 教学难点

- 反比例函数性质的推导：理解为何当x>0时，y随x增大而减小，以及当x<0时，y随x增大而增大，这需要学生对数形结合的理解。

反比例函数的应用

反比例函数是一种特殊的函数形式，在数学中应用十分广泛。它的形式为f(x) = k/x，其中k为常数，x为自变量。反比例函数具有一些独特的性质，例如当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0；当x增大时，y的值会很快变小，但不会变为0。

反比例函数在工程学、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。下面分别介绍其中几个应用案例。

一、雷达波与距离

在雷达信号的发送和接收中，控制信号的强度是非常重要的。当雷达的发射功率增加时，雷达信号到达目标的时间会减少，信号在传输过程中所损失的能量也会减少。这就是反比例函数的应用。

设雷达发射的电磁波在经过距离r后到达了目标，电磁波在传输过程中会损失能量，但总的能量仍然保持不变。于是，我们可以利用反比例函数来描述这种情况：当雷达距离目标的距离越近时，信号的强度越大；反之亦然。这一应用极大地提高了雷达的精准度和可靠性，为军事和民用领域带来实际效益。

二、人口增长与资源分布

在生态学和环保学领域，反比例函数被用于描述人口增长和资源分布的关系。一个经典的例子是章鱼和鱼类的数量之间的关系：章鱼数量越多，鱼类数量就会减少，反之亦然。这可以用反比例函数来表示：鱼类数量F与章鱼数量O成反比例函数，即F = k/O。这种函数形式可以非常准确地描述章鱼和鱼类数量之间的关系，为保护海洋生态系统提供了重要参考。

另一个例子是城市发展与资源分配的关系。城市人口增长越快，资源的消耗和浪费也会相应增加。如果我们考虑到城市中空气污染、水质污染、垃圾处理等因素，就可以将城市人口数量和资源分配写成反比例函数的形式，建立定量模型，提供对城市可持续发展的指导。

三、化学反应动力学

反比例函数在化学领域中也有大量的应用，尤其是在化学反应动力学中。在很多化学反应中，反应速率和反应物浓度是成反比例关系的。这种现象可以用反比例函数来描述：当反应物浓度越高时，化学反应的速率会越低。在化学反应动力学实验中，这一性质可以为实验设计和数据计算带来便利，提高研究化学反应的准确度。