第一届“华罗庚”杯高一数学竞赛试题

同煤一中第一届“华罗庚”杯数学竞赛试题

高一数学

2018年4月25日

注意：考试时间2小时，满分120分。请在答题卡上答题

一、填空题（本题包括8小题，每小题8分，共64分）

1．已知函数x

x f 4

21)(+=，则)20172016

(...)20172()20171(f f f +++=____________.

2.=+++++-)65751cos(22x x x x _____________

3.从集合M={1，2，3，4，5，...,2017}中去掉所有3的倍数和5的倍数，则剩下的元素个数为__________.

4.对于函数11

)(+-=x x x f ，设)()(1x f x f =，)]([)(12x f f x f =…..)]([)(1x f f x f n n =+

)2,(≥∈+n N n 令集合{}22016)(|x x f x M ==则集合M 为____________

5．=++-o o o o o o 20sin 50cos 25sin 20sin 25cos 20sin 2222_______

6.集合A={x|x=[6

5k

],k ∈Z,100≤k ≤999},其中[x]表示不大于x 的最大整数，

则集合A 的元素个数为_________.

7.某医院经调查发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后，排队的人平均每分钟增加M 个．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人．当开放1个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象．当同时开放2个窗口时，15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少有_________.

8.函数2()f x ax bx c =++的图象关于直线2b

x a

=-

对称。据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2

()()0m f x nf x p ++=的解集可以是_______(请将你认为正确的序号填到横线上）

①{}1,2 ② {}1,4 ③ {}1,2,3,4 ④{}1,4,16,64

二、解答题（本大题三个小题，共56分）

9.（16分）已知函数()Z k x x f k k ∈=++-2

2

)(，若()()1221x x f f x <<<1有x

（1）求k 的值；

（2）试判断是否存在正数p ，使函数()x p x f p x g 12)(1)(-+⋅-=在区间[]2,1-上

的值域为⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡-817,

4.若存在，求出这个p 的值；若不存在，说明理由.

10.（20分）已知,,a b c 为非零实数，(),ax b

f x x R cx d

+=

∈+，且(19)19,(97)97f f ==。若当d

x c

≠-时，对于任意实数x ，均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数。

11.（20分）()f x 定义在实数集R 上，且对于一切实数x 满足等式：

(2)(2)f x f x +=-和(7)(7)f x f x +=-，设0x =是()0f x =的一个根，记()0f x =在区间[1000,1000]-中的根个数为N ，求N 的最小值。

一、填空题（8小题，每小题8分，共64分）

1. 504

2. 1

3.1076

4.Ø

5.4

3 6. 750 7.

4 8.

二、解答题（本大题三个小题，共56分）

9.(1)由条件21022<<-⇒>++-⇒k k k ，又z k ∈，所以0=k 或1=k (2)1)12()(2+-+-=x p px x g 由条件知：20]8

17

,4[23)1(≤<⇒-∈+-=-p p g 对称轴：4

3

211≤-

=p x ， 当4

1

01211≤<⇒-≤-p p 时，)(x g 在]2,1[-单调递减，41)2(-≠-=g 不满足条件； 241≤<∴p ，28

17414)(2max =⇒=+=p p p x g ，此时4)1(-=-g 满足条件， 综上：2=p 时满足条件；

10.解：当d

x c ≠-时，有(())f f x x =，则ax b

a b

cx d x ax b c d cx d

+⋅

++=+⋅++，化简得

222()()()0a d cx d a x b a d ++--+=，由于该方程对d

x c

≠-恒成立，故

220,0,a d d a +=-=则d a =-。

又(19)19,(97)97f f ==，即19，97是方程

ax b

x cx d +=+的两根，即19，97是方程 2()0cx d a x b +--=的两根，由韦达定理得116,1843,a d b

c c -=-=结合

d a =-

得58,1843,58a c b c d c ==-=-，从而818431521

()585858

x f x x x -==+

-- 故()f x 取不到58这个数，即58是()f x 的值域外的唯一数。

11.

由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩

⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=-

)10()(+=⇒x f x f

所以010(4)0(f ===））

（f f 故f(x)在[0,10）有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,1000）上有200个解,在

[-1000，0)上有200个解 又Θ0)0()1000(f ==f

所以函数)(x f y =在[-1000,1000]至少有401个解。