扬州高三数学第四次模拟测试试题

江苏省扬州中学2024学年高三5月底高考模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．32B ．32-C ．23D ．23- 2．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．43．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50504．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤5．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．16．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B=A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,27．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知33a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．22y x =± D ．2y x =± 10．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)11．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1x y <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件12．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

Read x If x≤5 Then y←10x Else y←+5End If扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，则A Z =I ▲ ． 2．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定 ▲ ． 4．已知ABC ∆中，21,2,3a b C π===，则边c 的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是20， 则输入的x 值是 ▲ ．6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．8．已知tan 2α=且α为锐角，则cos2α= ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．10．已知等边ABC ∆中，若1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ AP t AB =+u u ur u u u r u u u r ，且AP AQ ⊥u u u r u u u r ，则实数t 的值为 ▲ ．11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF∆是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．（第5题图）12．设函数2log ()(0)()2(0)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =n *∈Ν）．若不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处取得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线2sin ([,])33y x x x ππ=∈上，则曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+r ，(1,cos())2b x ωϕ=+r (0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r ．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值． 16．（本小题满分14分）在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===PA ⊥BC ． （1）求证：平面PSB ⊥平面ABCD ；（2）若平面PAD I 平面PBC l =，求证：//l BC ．PSDCBA（第16题图）17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m 为常数，且36m ≤≤）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支（3540x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m 最多为多少元（精确到0.1元） 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，椭圆的离心率为32．设点M 是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足13AM AB =u u u u r u u u r．（1）求证：线段AB 的长是一定值；（2）若点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点（如图），求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．yQPNMB A Ox （第18题图）19．（本小题满分16分）数列{}n a 是公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前n 项和记为n A ，数列{}n b 是公比为q (1)q ≠的等比数列，它的前n 项和记为n B ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =． （1）若11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．（2）若11a =，2d =，试比较2k A 与2m B 的大小，并说明理由；（3）若2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，若存在，求出,m k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数()f x =1ln ,a x a x+∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当[]1,2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点(02)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切并说明理由．扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21（B ）．（本小题满分10分）已知矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，求该矩阵的另一个特征值．21（C ）．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合）中，圆C 的方程为4cos ρθ=．若直线l 被圆C 截得的弦长为11，求实数a 的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下： 甲班 10 12 15 18 24 36 乙班121622262838如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分） 已知*0()()nkk n nk f x Cx n N ==∈∑．（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L ．高三第四次模拟测试 数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案一、填空题1．{0,1} 2．1i - 3．“2,10x R x x ∀∈++≠” 4．7 5．2或6 6．23 7．1 8．35- 9．1[0,]2 10．23- 11．2 12．[1,)+∞ 13．12017 14．32二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+r r r r r r………………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=……………………6分（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． ……………………10分 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ……………………14分16．证：（1）Q A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且8BC = //AD BC ∴且4AD =3,AB SA ==Q 5CD SD ==222SA AD SD ∴+=90SAD ∴∠=︒即SA AD ⊥BC SB ∴⊥ ……………………3分PA BC ⊥Q ，PA SB A =I ，PA 、SB ⊂平面PSB BC ∴⊥平面PSBBC ⊂Q 平面ABCD ∴平面PSB ⊥平面ABCD ……………………7分（2）//AD BC Q ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD//BC ∴平面PAD ……………………10分BC ⊂Q 平面PBC ，平面PAD I 平面PBC l =//l BC ∴ ……………………14分17．解：（1）设日销量为x k e ，则401000ke=401000k e ∴=．则日售量为401000x e e ∴日利润401000(30)xe y x m e =--⋅．即 401000(30)xe x m y e --=，其中3540x ≤≤． ………………3分 令'0y =得31x m =+．① 当34m ≤<时，343135m ≤+< ∴当3540x ≤≤时，'0y ≤．∴当35x =时，y 取最大值，最大值为51000(5)m e -． ………………5分② 当46m ≤≤时，353137m ≤+≤，函数y 在[35,31]m +上单调递增，在[31,40]m +上单调递减． ∴当31x m =+时，y 取最大值91000m e -． ………………7分 ∴当34m ≤<时，35x =时，日利润最大值为51000(5)m e -元当46m ≤≤时，31x m =+时，日利润最大值为91000m e -元． ………………8分（2）由题意得：401000(30)1000xe x m e --≥对[35,40]x ∀∈恒成立 ………………10分则4030xe m x e≤--对[35,40]x ∀∈恒成立设40()30x e h x x e =--，[35,40]x ∈ 404040'()1x xe e e h x e e -∴=-= 则()h x 在[35,40]上单调增，则min 51()(35)5h x h e ==-，即515m e≤- 5.0≈ ∴每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元答：每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元． ………………14分18．解：（1）由题意得：24a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b ∴= ∴椭圆方程为：2214x y += ……………………3分设00(,)M x y ，则220014x y +=13AM AB =u u u u r u u u r Q 且A 、B 分别在x 轴、y 轴上 003(,0),(0,3)2A xB y ∴222220000999()944x AB x y y ∴=+=+= 3AB ∴=为定值 ……………………7分（2）方法（一）设11(,)P x y //AB PQ Q 02PQ AB y k k x ∴==-，220044x y += 则直线PQ 的方程为：02y y x x =-…………………9分∵0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22012200220122004161616x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪+⎩2222002222000041664441616x y PQ OP x y x y +∴==⋅=++ 点M 到直线00:20PQ y x x y +=的距离：0000002200|3|24x y d y x ==+ ………12分 22220000002222220000003||(44)12212122216441616四边形MPQMPNQ x y x y y y S S PQ d x y y y x y ∆-∴==⨯⋅=⋅==+-++4200201231y y y -+=+，令231,1t y t =+≥，则242002011()14133(5)3199t t y y t y t t ---+-+==-+-≤+ 当且仅当2t =时，取等号；即20312y +=时，max ()4四边形MPNQ S =，此时220018,33y x ==2MN k ∴=±………16分 方法（二）设直线MN 的斜率为k ，则003232PQ AB y k k k x -===-，则直线MN 方程为y kx =， 直线PQ 方程为2y kx =-， …………………9分解方程组22,1,4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 214M x k =±+，用2k -代k 得，2116P x k =±+，由椭圆的对称性知222002221||M MN OM x y k x ==+=+， 点P 到直线MN 的距离222|||(2)|3||111kx y kx kx kx d kkk---===+++， ………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ 的面积1226||||2PMN M P S S MN d x kx ∆==⋅⋅=⋅＝ 2222222224,114116(14)(116)1642026420k kk k k k kk k==≤=+⋅+++++⨯+当且仅当22164k k=，即2k =±时取等号， 所以，四边形MPNQ 的面积的最大值为4，此时直线MN 的斜率24k =±． ………16分 19．解：（1）34327k a b ===，即2127k -=，14k =，14196A =． ………3分（2）依题意，224k A k =，且121m q k -=-，显然1q >． 又222211[(21)1]11m mq B k q q q -==----， 所以222221[(21)1]41m k B A k q k q -=---- 22221[(21)4(41)]1k q k q k q =--+--， ………6分 设2222()(21)4(41)f x k x k x k =--+-，2(1)(21)10f k =--> 它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程22412(21)k x k =<-，故()f x 是(1,)+∞上的增函数，所以当1x >时()(1)0f x f >>，即220m k B A ->，所以22k m A B <． ………9分 （3）依题意：112m k m a b a -==⋅， 由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k --+⋅⨯=⨯-， 4862128622486486m k k k⨯+⨯==-⨯-⨯-， ………12分所以151634421m k --=+，因为92512=，故19m -≤，且51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数 则其中121129m -+=时，151621m -+是整数，故17m -=，8m =且340k =． ………16分 20．解：（1）2211'()a ax f x x x x-=-+=， 0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间(0,)+∞，0a >时，令10ax -<则1x a <，即10x a<<时，'()0f x <，则()f x 的单调递减区间1(0,)a ． ………3分 （2）①12a ≤，()f x 在[1,2]上单调递减，min 1()(2)ln 202f x f a ∴==+=，解得：112ln 22a =-≤，适合题意；②1a ≥，()f x 在[1,2]上单调递增，min ()(1)10f x f ∴==≠，无解；③112a <<，()f x 在1[1,]a 上单调递减，1[,2]a 上单调递增，min 11()()ln 0f x f a a a a∴==+=，解得：a e =，舍去；综上可得：12ln 2a =-． ………8分 （3）0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线．设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=- 即00011ln 2a x a x x +-=-，化简得：002ln 20a x a x +--= 设2()ln 2F x a x a x=+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分2222'()a ax F x x x x -=-+=①当0a =时，2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ………11分③ 当0a <时，22'()0ax F x x -=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e=-< 故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时，()F x 在(0,)+∞上恰有一个零点； ………12分③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a+∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞上至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数ln y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞， 故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02ln a x a+>，此时 00000222()ln 2(ln )0a F x a x a a x x x a+=+--=+-> 由于21a a+>， 即函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； ………14分111(1)1121()2(1)22(23)a a a aaa F eea a a e a a a-++++++=-++--=-++先证明当0a >时，112(2)a aea ++≥+，即证112ln(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而2ln(2)2ln 4a +≤，由于2ln 4ln163=< 若[2,)a ∈+∞，构建函数1()12ln(2)x x x xϕ=++-+，32222122(1)2'()102(2)(2)x x x x x x x x x x x ϕ----=--==>+++ ()x ϕ在[2,)+∞为增函数，1()(2)32ln 402a ϕϕ≥=+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以11222222(2)23(25)23a aea a a a a a a ++≥+=+++++>++，故1(1)()0a aF e-++>又1(1)(1)0,1a aF e -++<<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点．∴当0a >时，()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线． ………16分数 学 试 题Ⅱ参考答案21（B ）．解：因为2113111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则2313a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ …5分 由212()(1)4021f λλλλ--==--=--，所以(1)(3)0λλ+-= 211,3λλ=-= 1λ=-所以另一个特征值是． ………………………………10分 21（C ）．解：直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）所以直线的直角坐标系方程是：220x y a +--= ………………………………2分圆的直角坐标系方程是：2224x y -+=（），圆心（2，0），半径2r =……………………4分设圆心到直线的距离为d ，221142d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以52d = ……………………………7分 又4225255a a d ---===所以9122a =-或 ………………………………10分 22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A ，则213124()()339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则224222666(0)225C C P X C C === 112112422244226656(1)225C C C C C C P X C C +===11112222424244222266101(2)225C C C C C C C C P X C C ++===211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 222422666(4)225C C P X C C === ……………8分()2342225225225225E X ∴=+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为2 …………………………10分 23．解：（1）00110()(1)nk k n nn n n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑L …………………………1分456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； …………………………3分（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++L L设12()(1)2(1)(1)m m m nh x x x n x +++=++++++L ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L ② 11(1)1(1)()(1)1(1)m nm n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+所以012121231(2)123[]3n m m m m m nm n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L………………10分。

2023-2024学年江苏省扬州高三下学期阶段测试数学模拟试题一、单选题1．设x ，R y ∈，集合{}1,2xA =，{},B x y =，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B ⋃=（）A ．{}112，B ．11,2⎧⎫-⎨⎩⎭C ．11,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,2,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【正确答案】C【分析】由交集结果解指数方程，求出=1x -，进而求出y ，求出并集.【详解】由于12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ，所以122x=，解得：=1x -，所以12y =，所以11,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，11,2B ⎧⎫=-⎨⎩⎭，所以A B ⋃=11,1,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭故选：C2．在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转π4，则所得向量对应的复数为（）A ．B ．C ．1-D ．i-【正确答案】A【分析】由复数的几何意义结合图象可得.【详解】如图，由题意可知()1,1OZ =- ，OZ 与x 轴夹角为3π4，绕点O 逆时针方向旋转π4后Z 到达x 轴上1Z 点，又1OZ OZ == ，所以1Z 的坐标为()，所以1OZ对应的复数为.故选：A.3．已知l 、m 、n 为空间中三条不同的直线，α、β、γ为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A ．若n αβ= ，αβ⊥，βγ⊥，则n γ⊥B ．若l αβ= ，m βγ= ，n γα=I ，若//l m ，则//n m C ．若//αβ，l 、m 分别与α、β所成的角相等，则//l m D ．若m//α，m//β，//αγ，则//βγ【正确答案】B【分析】对于ACD ，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B 选项.【详解】对于A ，如图1，若n αβ= ，αβ⊥，βγ⊥，则n 可以与γ平行，故A 错误；对于B ，因为l αβ= ，m βγ= ，//l m ，且l γ⊄，m γ⊂，则//l γ，因为l ⊂α，n γα=I ，则//l n ，故//m n ，B 正确；对于C ，如图2，若//αβ，l 、m 分别与α、β所成的角为0 时，l 与m 可以相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，如图1，m//α，m//β，//αγ，n αβ= ，则β与γ相交，D 错误.故选：B.4．已知()0,、αβπ∈，tan α与tan β是方程240x ++=的两个根，则αβ+=（）A ．3πB ．23πC ．43πD ．3π或43π【正确答案】C先求出tan α+tan β和tan tan αβ的值,确定tan α、tan β的符号，进而可以缩小α、β的围，再根据两角和的正切公式求出tan()αβ+的值求出答案.【详解】∵tan α与tan β是方程240x ++=的两个根，∴tan α+tan β=-tan tan 4αβ=∴tan 0α<，tan 0β<，∴,,,22ππαπβπ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(),2αβππ+∈，∵tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++==-(),2αβππ+∈∴43αβπ+=.故选:C利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等．5．为了测量某种海鱼死亡后新鲜度的变化.研究人员特意通过检测该海鱼死亡后体内某微量元素的含量来决定鱼的新鲜度.若海鱼的新鲜度h 与其死亡后时间t (小时)满足的函数关系式为1t h m a =-⋅.若该种海鱼死亡后2小时，海鱼的新鲜度为80%，死亡后3小时，海鱼的新鲜度为60%，那么若不及时处理，这种海鱼从死亡后大约经过（）小时后，海鱼的新鲜度变为40%.(参考数据：ln 20.7≈，ln 3 1.1≈)A ．3.3B ．3.6C ．4D ．4.3【正确答案】B【分析】根据已知条件得到关于m ,a 的方程组，求得m ,a 的值，进而得到函数的关系式，根据要求得到关于t 的指数方程，利用指数与对数之间的转化化为对数式，利用对数的运算法则计算即得.【详解】由题思可得：()()23210.8310.6h ma h ma ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，解得2a =，0.05m =，所以()10.052th t =-⨯.令()10.0520.4th t =-⨯=，可得212t =，两边同时取对数，故ln122ln 2ln 33.6ln 2ln 2t +==≈小时，故选：B .6．若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++ ，则()139923a a a +++- 被8整除的余数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】B【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和=1x -，两个式子相减，得到()135992a a a a ++++ 的值，将()1359923a a a a ++++- 构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得1000121003a a a a ++++= ，取=1x -得0121001a a a a -+-+= ，两式相减得100135992()31a a a a +++=- ，即()100135992334a a a a ++++-=- ，因为()50100503494814-=-=+-0501495010505050505088884r r C C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅+- 0501495015050505088883r r C C C C -=⋅+⋅++⋅++⋅- 05014950150505050888885,Nr r C C C C r -=⋅+⋅++⋅++⋅-+∈ 因为0501495015050505088888r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅- 能被8整除，所以05014950150505050888885r r C C C C -⋅+⋅++⋅++⋅-+ 被8整除的余数为5，即()1359923a a a a ++++- 被8整除的余数为5，故选：B.7．已知抛物线()2:20C x py p =>，点P 在C 上，直线240x y --=与坐标轴交于,A B 两点，若ABP 面积的最小值为1，则p =（）A ．1B ．32C ．1或52D ．32或52【正确答案】B【分析】先分析直线和抛物线不会相交，然后分析出P 点的位置为斜率为2的直线和抛物线的切点时ABP 面积最小，最后用点到直线的距离公式计算.【详解】不妨设(2,0),(0,4)A B -，由题可得222480240x pyx px p x y ⎧=⇒-+=⎨--=⎩无解，否则若直线和抛物线有交点Q 时，当P Q →时，ABP 面积将趋近0，故2Δ16320p p =-<，解得02p <<.由图可知，当P 恰好为斜率为2的直线和抛物线的切点时，ABP 的面积最小.令()122,2y x P p p p==⇒'，不妨(2,0),(0,4)A B -，则AB ==又()min 1ABP S =⇒△点P 到直线AB=，解得32p =（52舍去）.故选：B8．已知函数()()2e ,025,0xx f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩，()()1g x k x =-，若方程()()0f x g x -=恰有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．()()22,1e ,--⋃+∞B ．()()2,12e,--⋃+∞C ．()()23,1e ,--⋃+∞D ．()()3,12e,--⋃+∞【正确答案】A【分析】方程()()0f x g x -=恰有三个不相等的实数根可转化为()()2e ,025,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩与()()1g x k x =-的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解.【详解】作出()()2e ,025,0xx f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩与()()1g x k x =-的图象，如图，当0x >时，设()()1g x k x =-与e x y =相切于点11(,)B x y ，则1111110e ()e 11x x y k f x x x -'====--，解得12x =，所以2e k =，由图象可知，当2e k >时，()()1g x k x =-与e x y =有2个交点，与2(2)+5(0)y x x =-+≤有1个交点，即()()1g x k x =-与()y f x =有3个交点.；当0x ≤时，设()()1g x k x =-与2(2)+5(0)y x x =-+≤相切于点22(,)C x y ，由24y x '=--可知，22222220412411ACy x x k x x x ---+=--==--，解得21x =-或23x =（舍去），此时2AC k =-，而10101AD k -==--，由图象知，当21k -<<-时，()()1g x k x =-与()y f x =有3个交点.综上，21k -<<-或2e k >时图象有3个交点，即方程()()0f x g x -=恰有三个不相等的实数根.故选：A二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．对于事件A ，B ，若A B ⊆，且()0.3P A =，()0.6P B =，则()1P B A =B ．若随机变量()2~2,N ξδ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=C ．相关系数r 的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强D ．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差【正确答案】ACD【分析】根据统计学和概率论的相关定义逐项分析.【详解】对于A ，由于A B ⊆，即A 发生必定有B 发生，根据条件概率的定义()|1P B A =，正确；对于B ，根据正态分布密度函数的性质知()()()()4140.16,040.16P P P P ξξξξ=-=∴==＞＜＜＞，()()()040410.1620.68,240.342P P P ξξξ=-⨯===＜＜＜＜＜＜，错误；对于C ，根据相关系数的性质知：r 约接近于1，表示线性相关程度越强，正确；对于D ，残差点分布的带状区域越宽说明线性回归时的误差越大，即回归效果越差，正确；故选：ACD.10．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件6167711,1,01a a a a a ->><-，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．8601a a <<C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为6T 【正确答案】BD【分析】根据给定的条件分析公比q 的符号和大小，再逐项分析.【详解】由题意，167671,10,,a a a a a ∴＞＞＞同号，即6a 与6a q 同号，0q ∴＞，又6710,1a a -∴-＜有671010a a ->⎧⎨-<⎩…①或671010a a -<⎧⎨->⎩…②；若为①，则有6761,0,1a q a a q =＞＞＜，即q 0＜＜1；若为②，则有5611,1a a q q =＜＜，76a a q =则不可能大于1，即②不成立；01q ∴＜＜，并且110n n a a q -=＞，12n a a a ＞＞＞，即{}n a 是递减的正数列，A 错误；所以268701a a a <=＜，B 正确；1n n n S S a --=＞0，即1n n S S -＞对任意的n 都成立，C 错误；当7n ≥时，1n a ＜，当16n ≤≤时，1n a ＞，6T ∴是n T 的最大值，D 正确；故选：BD.11．已知函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>）个单位长度后对应的函数为()g x ，若()g x 在ππ[,]46-上单调，则ϕ的可取（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12【正确答案】CD【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 并求出()g x ，再借助函数()g x 的单调区间列式求解作答.【详解】依题意，π()2sin(2)3f x x =+，于是π()()2sin(22)3g x f x x ϕϕ=+=++，当ππ[,]46x ∈-时，ππ2π(22)[2,2]363x ϕϕϕ++∈-+，当()g x 在ππ[,]46-上单调递增时，π2πππ[2,2[2π,2π],Z 6322k k k ϕϕ-+⊆-++∈，即ππ22π62,Z 2ππ22π32k k k ϕϕ⎧-≥-+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得ππππ,Z 612k k k ϕ-+≤≤-+∈，不存在整数k 使得ϕ取得ABCD 选项中的值；当()g x 在ππ[,]46-上单调递减时，π2ππ3π[2,2[2π,2π],Z 6322k k k ϕϕ-+⊆++∈，即ππ22π62,Z 2π3π22π32k k k ϕϕ⎧-≥+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩，解得π5πππ,Z 312k k k ϕ+≤≤+∈，当1k =时，π5π312ϕ≤≤，CD 符合，不存在整数k 使得ϕ取得AB 选项中的值.故选：CD12．下列说法正确的是（）A ．若事件,M N 互斥，()()11,23P M P N ==，则()56P M N ⋃=B ．若事件,M N 相互独立，()()11,23P M P N ==，则()23P M N ⋃=C ．若133()(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()13P N =D ．若133(),(),()248P M P M N P M N ===∣∣，则()14P NM =∣【正确答案】ABC【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A ；根据独立事件的乘法公式判断B ；根据条件概率以及全概率公式可判断C,D .【详解】对于A ：()()()56P M N P M P N ⋃=+=，正确；对于B ：()()()()1111223233P M N P M P N P M N =+-=+-⨯= ，正确；对于C ：()3()1()()()3(),()()4()1()8P MN P MN P M P N P MN P MN P M N P N P N P N --+=====-∣∣，31()()()()(),()()44P N P MN P MN P MN P N P MN P N =+=+∴=，所以()()()()113418P M P N P N P N --+=-，解得()1,3P N =C 正确；对于D ：由C 得()()()11143162P MN P NM P M ⨯===∣，D 错误，故选：ABC.三、填空题13．已知平面直角坐标系内的两个向量，(1,2)a =，(,32)bm m =- ，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数），则m 的取值范围是__________．【正确答案】m R ∈且2m ≠【详解】由平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c a b λμ=+（,λμ为实数）可得,a b 可作为一组基底，即,a b不共线，则()1322m m ⨯-≠得m R ∈且2m ≠，故答案为m R ∈且2m ≠.14．已知数列{}i a 的项数为()N n n *∈，且1C (1,2,)ii n i n a a i n -++== ，则{}i a 的前n 项和n S 为_______．【正确答案】212n -【分析】根据倒序相加法求得121=C +2C C C n nn n n n n S -+++ ，再根据二项式系数和公式即可求解.【详解】因为121n n n S a a a a -=++++ ，又121n n n S a a a a -=++++ ，所以()()()()1211212n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++又因为1C (1,2,)ii n i n a a i n -++== ，所以12112C C 2=C C +n n n n nn nnS -+++=- ，即12=2n n S -.故答案为.212n -15．在学校国庆文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6名教师表演的节目的不同编排顺序共有______种.（用数字填写答案）【正确答案】24【分析】对男教师的位置分4类，计算出各类的安排种数为33A ，问题得解．【详解】把6个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，则3名男教师只有()1,3,5、()1,3,6、()1,4,6、()2,4,6共4种位置安排，由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4种安排的每种安排里，3名女教师的安排均是1种，故该6名教师的节目不同的编排顺序共有33424A =种.本题主要考查了计数原理的综合应用，考查了分类思想，属于基础题．16．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为_____.【正确答案】2/2+【分析】根据给定的条件，画出4个球的外接球的示意图，根据图中的几何关系求解.【详解】如图，4个小球球心构成的正方形为1234OO O O ，中心为N ，由题意124O O =，1NO =半球形容器的球心为O ，显然当半球形容器与4个小球都相切时球O 的半径最小，半球形容器与球1O 的切点为A ，连接ON ，则ON =小球的半径=2，球O的半径1122OA O A OO ==+==+故答案为.2+四、解答题17．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，满足()2243sin S a b C =-．(1)证明：sin 3sin A B =；(2)是否存在正整数m ，n ，使得c mb =和tan tan A n C =同时成立．若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，1n =，3m =【分析】（1）由三角形的面积公式，化简得到22230a ab b --=，求得3a b =，结合正弦定理，即可求解；（2）假设存在正整数,m n ，使得c mb =和tan tan A n C =同时成立，结合正弦、余弦定理，化简得到222222()a b c n b c a +-=+-，鸡儿得到2281m n =++，结合为,m n 均为正整数，求得,m n 的值，即可求解.【详解】（1）解：由()2243sin S a b C =-，即()222sin 3sin ab C a b C =-，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以2223ab a b =-，即22230a ab b --=，即(3)()0a b a b -+=，又因为,0a b >，所以3a b =，又由正弦定理，可得sin 3sin A B =．（2）解：假设存在正整数,m n ，使得c mb =和tan tan A n C =同时成立．所以sin sin cos cos A C n A C=⨯，即22222222a ncb c a a b c bc ab=+-+-，化简整理可得222222()a b c n b c a +-=+-，因为c mb =，3a b =，所以222222229(9)b b m b n b m b b +-=+-，即2281m n =++又因为,m n 均为正整数，所以1n =，3m =．故存在1n =，3m =使得c mb =和tan tan A n C =同时成立18．若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点()1,n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数，(1)证明：数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列(){}lg 1n a +为等比数列；(2)设()lg 1,24n n n b a c n =+=+，定义,,*,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，且记*n n n d b c =，求数列{}n d 的前n 项和n S ．【正确答案】(1)证明见解析(2)*2*21,4N ,521,4N .n n n n S n n n n ⎧-≤∈=⎨+->∈⎩且且【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明(2)由,,*,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩的新定义和*n n n d b c =，可得出n d 表达式，再分段求前n 项和n S 即可.【详解】（1） 点()1,n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，212n n n a a a +∴=+，(){}2111,1n n n a a a +∴+=+∴+是“平方递推数列”．因为()1lg 1lg(91)10a +=+=>，对()2111++=+n n a a 两边同时取对数得()()1lg 12lg 1++=+n n a a ，∴数列(){}lg 1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知()11lg 1122n n n n b a --=+=⨯=，由数列{}{}n n b c 、的通项公式得，当4n ≤时，n n b c <；当4n >时，n n b c >．又由,,*,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩*n n n d b c =，得1**2,4,24,4n n n n N d n n n N -⎧≤∈=⎨+>∈⎩，，当4n ≤且*n ∈N 时，1122112nn n n S b b -=++==-- ；当4n >且*n ∈N 时，123456n n S b b b b c c c =+++++++ ()42(4)(1424)215212n n n n -++=-+=+-，综上，*2*21,4N ,521,4N .n n n n S n n n n ⎧-≤∈=⎨+->∈⎩且且19．如图，S 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 内接于,,2O AC BC AC BC ⊥==，2,3,AM MS AS PQ ==为O 的一条弦，且SB //平面PMQ .(1)求PQ 的最小值；(2)若SA PQ ⊥，求直线PQ 与平面BCM 所成角的正弦值.【正确答案】(1)【分析】（1）作出辅助线，找到符合要求的PQ ，并利用垂径定理得到最小值；（2）在第一问基础上，得到当PQ 取得最小值时，SA PQ ⊥，并建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角.【详解】（1）过点M 作//MH SB 交AB 于点H ，过点H 作PQ ⊥AB ，此时满足SB //平面PMQ ，由平面几何知识易知，PQ =当弦心距d 最大时，d OH =，弦长最短，即PQ 取得最小值，因为2,3AM MS AS ==，所以2AH HB =，因为,AC BC AC BC ⊥==3AB ==，故2,1AH HB ==，连接OQ ，则32OQ =，由勾股定理得HQ =所以2PQ HQ ==；（2）连接OS ，则OS ⊥平面ACB ，因为PQ ⊂平面ACB ，故OS ⊥PQ ，而SA PQ ⊥，OS SA S ⋂=，所以PQ ⊥平面AOS ，即有PQ AB ⊥.以O 为坐标原点，过点O 且平行PQ 的直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则11331,0,,0,0,,0,,0,0,0,22222P Q B C M ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭⎝，设平面BCM 的法向量为(),,m x y z = ，则()()(3333,,,,002222,,0,2,20m CB x y z x y m MB x y z y ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅==⎩，令1x =，则1,3y z ==，故1,1,3m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线PQ 与平面BCM 所成角的大小为θ，则sin cos ,PQ m PQ m PQ mθ⋅==⋅ .故直线PQ 与平面BCM 301020．法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布.(1)已知如下结论：若()2,X N μσ~，从X 的取值中随机抽取(),2k k k *∈≥N 个数据，记这k个数据的平均值为Y ，则随机变量2,Y N k σμ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.利用该结论解决下面问题.①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y ，求()980P Y <；②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在()950,1050上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量η服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσημσ-≤≤+=，()220.9545P μσημσ-≤≤+=，()330.9973P μσημσ-≤≤+=②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生【正确答案】(1)①0.02275；②答案见解析(2)分布列见解析，1724【分析】（1）（i ）由正太分布的对称性及3σ原则进行求解；（ii ）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明；（2）设取出黑色面包个数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望.【详解】（1）（i ）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量()21000,50X N 由已知结论可知，()21000,10YN 由附①数据知，()10.95459800.022752P Y -≤==（ii ），由附②知，事件“980Y ≤”为小概率事件，由题25个面包质量的平均值978.72980Y =<，小概率事件“980Y ≤”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2设=i A “所取两个面包来自第i 箱”()1,2i =，所以1212A A P P ==设i B =“所取两个面包有i 各黑色面包”()1,2i =，由全概率公式()()()()()22540110222268C C 115302C 2C 140P P B A P A P B A P A ξ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()111153421111222268C C C C 1144912C 2C 840P P B A P A P B A PA ξ==+=⨯+⨯=∣∣，()()()()()22322112222268C C 117322C 2C 840P P B A P A P B A P A ξ==+=⨯+⨯=∣∣，所以黑色面包个数ξ的分布列为ξ012P5314044984073840所以53449735951701214084084084024E ξ=⨯+⨯+⨯==21．已知定义在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-．(1)若曲线()y f x =在点ππ,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，求k 的值；(2)将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若123,,x x x 成等差数列，求k 的值．【正确答案】(1)2k =±(2)πk =【分析】（1）利用导数求出切线方程，得出坐标轴上的截距，利用三角形面积公式求解即可；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.【详解】（1）∵()()sin f x x k x =-，∴()sin ()cos f x x x k x =+-'，∴π12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，∴切线方程为ππ22y f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =，可得ππ22y f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令0y =，可得ππ22x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2ππ|21ππ||22|22f f ⎛⎫∴-- ⎛⎫ ⎝⎭⎪⎭⎝=⎪∴πππsin 2222k ⎛⎫-⋅-=± ⎪⎝⎭，∴2k =±；（2）∵()sin ()cos f x x x k x =+-'．当ππ22x -<<-时．()cos (tan )f x x x x k =⋅+-'，由函数tan y x x =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，且值域为R ，∴存在唯一ππ,22a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，使得tan a a x x k +=，此时，当π,2a x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当π,2a x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时1a x x =，()10f x '=，同理，当2π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，使得22tan x x k +=，满足()20f x '=，当33π5π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，使得33tan x x k +=，满足()30f x '=，∴112233tan tan tan k x x x x x x =+=+=+．∵2132x x x =+，代入可得2132tan tan tan x x x =+．又()()213tan 2tan x x x =+，即1322213tan tan 2tan 1tan 1tan tan x x x x x x +=--⋅，∴当2132tan tan tan 0x x x =+=时，2πx =，当2132tan tan tan 0x x x =+≠时，2213tan tan tan x x x =⋅，∴()()()2213k x k x k x -=--，整理得2213x x x ⋅=，此时数列为常数列，又当1322x x x +=，可得123x x x ==，不成立，∴可知2πx =，此时22tan πk x x =+=．关键点点睛：解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.22．在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)C x py p =>：上的点(,4)Q t 到焦点F 的距离的5.(1)求抛物线方程及点Q 的坐标.(2)过点(0,3)的直线l 交C 于,A B 两点，延长AF ，BF 分别交抛物线于,M N 两点.令1=FABS S ，2=FMN SS ，3=FAN S S ，4=FBM S S ，求1342+S S S S 的最小值.【正确答案】(1)24x y =，()4,4±(2)433【分析】（1）根据抛物线定义列式得p 的值，即可得抛物线方程及点Q 的坐标；（2）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4x N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别表示1S 、2S ，根据1432||||==S BF S S NF S ，得3412S S S S =，代入1342S S S S +，利用基本不等式求解．【详解】（1）已知抛物线22(0)C x py p =>：上的点(,4)Q t 到焦点F 的距离的5所以452p+=，解得2p =，故抛物线方程为24x y =，所以24416t =⨯=，则4t =±，所以点Q 的坐标为()4,4±；（2）设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4x N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1F，由于A ，F ，M 三点共线，故2231131144=x x x x --，即13=4x x -，同理B ，F ，N 三点共线，24=4x x -，故直线MN 的方程为：()22342333444=4x x x y x x x x ----，即3434+=44x x x x y x -，12124444+=44x x x x y x ----⋅-，()121212+4=x x y x x x x x --，由2=+3=4y kx x y⎧⎨⎩得2412=0x kx --，所以124x x k +=，12=12x x -，所以直线MN 的方程为：44=1212k y x ----，即1=+33k y x ，直线恒过定点10,3D ⎛⎫⎪⎝⎭，注意到1432==BF S S S NF S ，所以3412=S S S S ，设()0,3E ，10,3D ⎛⎫⎪⎝⎭，则：()11211==3122S EF x x ⋅--⨯122343434121211111444==1===223333x x S FD x x x x x x x x x x ---⋅-----⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭121=9x x -因此()2134216+=9++39S S S k S ，所以1342+S S S S 的最小值为433，此时=0k .方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。

江苏省扬州市2021届新高考数学四模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0B ．3C ．－1D ．4 【答案】C【解析】【分析】 计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.2．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.故选:C.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.3．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764【答案】A【解析】【分析】根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.【详解】依题意列表如下： 上列乘6 上列乘5 上列乘21 6 30 6012 3 15 3013 2 10 2014 32 152 1515 65 6 1216 1 5 10所以6603020151210147S =+++++=.故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.4．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >> 【答案】D【解析】【分析】【详解】 因为0.080.080.080.08log 0.042log 0.2log 0.2log 10a ===>=，0.30.3log 0.2log 10b =>=， 所以0.20.211log 0.08,log 0.3a b==且0.2log y x =在()0,∞+上单调递减，且0.080.3< 所以11a b>，所以b a >， 又因为0.080.08log0.2log 0.081a =>=，0.0400.30.31c =<=，所以a c >，所以b a c >>.故选：D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“0,1”比较大小.5．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强【答案】D【解析】根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A ，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；对于B ，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B 正确；对于C ，甲的六大素养整体水平平均得分为10080100801008031063+++++=， 乙的六大素养整体水平均得分为806080606010025063+++++=，故C 正确； 对于D ，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D 错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.6．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.7．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．2211648x y -= D ．2214816x y -= 【答案】A【分析】由题意求得c 与b a 的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又b a=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=. 故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.8．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln2D ．2ln2【答案】B【解析】【分析】 将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu=-0.5v+2得： ()2ln 0.542y x =--+，即()20.542x y e--+=， 当4x =时，()20.542x --+取到最大值2，因为x y e =在R 上单调递增，则()20.542x y e --+=取到最大值2e .故选：B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.9．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．10．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（ ）种A ．240B ．320C ．180D ．120【答案】C【解析】【分析】在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为432882221180C C A A ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．16-D ．18-【答案】C【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值.【详解】 依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.12．公比为2的等比数列{}n a 中存在两项m a ，n a ，满足2132m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．97 B ．53 C ．43 D ．1310【答案】D【解析】【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式，求出,m n 关系，即可求解.【详解】22211232,7m n m n a a a a m n +-==∴+=，当1,6m n ==时，1453m n +=，当2,5m n ==时，141310m n +=， 当3,4m n ==时，1443m n +=，当4,3m n ==时，141912m n +=，当5,2m n ==时，14115m n +=，当6,1m n ==时，14256m n +=， 14m n +最小值为1310. 故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意,m n 为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。