立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)

FGGABCDECABDEFDEB1A1C1CABFM高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为

线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3，

过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点，

M为BE的中点, AC⊥BE. 求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC； （Ⅱ）C1D∥平面B1FM.

分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA EFBACDP（第1题图） 4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形,

,,ADCDADBACD=2AB, E为PC的中点,

证明: //EBPAD平面;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。 求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中， D为AC的中点.

求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

8、如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，

090,BADFABBC//12AD，BE//12AF，,GH分别为,FAFD的中点

（Ⅰ）证明：四边形BCHG是平行四边形；

（Ⅱ）,,,CDFE四点是否共面？为什么？ A

B

C D E

F G

M

P

E D

C B A

（.3） 利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，

求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1

是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=21DC，中点为PDE.

求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE

是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.

（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，90ACB，

所以90,EGFABC∽.EFG

由于AB=2EF，因此，BC=2FC，

连接AF，由于FG//BC，BCFG21

在ABCDY中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且BCAM21 因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。

又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM//平面AB。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且SMAM=NDBN，

求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD

利用相似比易证MNFE是平行四边形

13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB

利用相似比易证MNHG是平行四边形

(5)利用面面平行

14、如图，三棱锥ABCP中，PB底面ABC，90BCAo，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2AFFP.

（1）求证：BE平面PAC；

（2）求证：//CM平面BEF；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN//EFB

A FEBCDMN直线、平面平行的判定及其性质 经典题（附详细解答）

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是

A．0 B．1 C．2 D．3

3． 直线,abc，及平面，，使//ab成立的条件是（ ）

A．//,ab B．//,//ab C．//,//acbc D．//,abI

4．若直线m不平行于平面，且m，则下列结论成立的是（ ）

A．内的所有直线与m异面 B．内不存在与m平行的直线

C．内存在唯一的直线与m平行 D．内的直线与m都相交

5．下列命题中，假命题的个数是（ ）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a和b异面，则经过b存在唯一一个平面与平行

A．4 B．3 C．2 D．1

6．已知空间四边形ABCD中，,MN分别是,ABCD的中点，则下列判断正确的是（ ）

A．12MNACBC B．12MNACBC

C．12MNACBC D．12MNACBC

二、填空题

7．在四面体ABCD中，M，N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.

8．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是

①②③④

9．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1和平面ACE位置关系是 ． DCABB1A1C1三、解答题

10.如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点.求证：//1CB平面BDA1.

11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点， 求证：（1）MN//B1D1 ；（2）AC1//平面EB1D1 ；（3）平面EB1D1//平面BDG.

参考答案

一、选择题

1．D

【提示】当l时，内有无数多条直线与交线l平行，同时这些直线也与平面平行.故A，B，C均是错误的

2．C

【提示】棱AC，BD与平面EFG平行，共2条.

3．C

【提示】//,,ab则//ab或,ab异面；所以A错误；//,//,ab则//ab或,ab异面或,ab相交，所以B错误；//,,abI则//ab或,ab异面，所以D错误；//,//acbc，则//ab，这是公理4，所以C正确.

4．B

【提示】若直线m不平行于平面，且m，则直线m于平面相交，内不存在与m平行的直线.

5．B

【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上.

6. D

【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边.

二、填空题

7．平面ABC，平面ABD 【提示】连接AM并延长，交CD于E，连结BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E、F重合为一点，且该点为CD的中点E，由MAEM=NBEN=21得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

8. ①③

【提示】对于①，面MNP//面AB,故AB//面MNP.对于③，MP//AB,故AB//面MNP,对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP.

9．平行

【提示】连接BD交AC于O，连OE，∴OE∥B D1，OEC平面ACE，∴B D1∥平面ACE.

三、解答题

10.证明：设1AB与BA1相交于点P，连接PD，则P为1AB中点，

D为AC中点，PD//CB1.

又PD平面BA1D，CB1//平面BA1D

11.证明：（1） M、N分别是CD、CB的中点，MN//BD

又BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形.

所以BD//B1D1.又MN//BD，从而MN//B1D1

（2）（法1）连A1C1，A1C1交B1D1与O点

四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点

E是AA1的中点，EO是AA1C1的中位线，EO//AC1.

AC1面EB1D1 ，EO面EB1D1，所以AC1//面EB1D1

（法2）作BB1中点为H点，连接AH、C1H，E、H点为AA1、BB1中点，

所以EH//C1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1//HC1

又因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH

 AHHC1=H，面AHC1//面EB1D1.而AC1面AHC1，所以AC1//面EB1D1

（3）因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH

因为AD//HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG//AH，所以EB1//DG

又BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD//B1D1.

BDDG=G，面EB1D1//面BDG