2012年北京市西城区初三一模试卷(数学)

北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（ ）（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31 【答案】D【解析】输入3=x ，7=y 。

8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a << 【答案】D【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2，所以i ii z z +-=--=1221，对应的点在第二象限，选B.5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）2（B）2（C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6（B ）5（C ）4（D ）3 【答案】B【解析】做出可行域，如图，设z y x =-3，则，则z x y -=31，由图象可知当直线经过A 和C 点时，Z 取得最值。

北 京 市 西 城 区 九 年 级 统 一 测 试 试 卷数 学 2024.4考生须知1. 本试卷共7页，共两部分， 28道题。

满分 100分。

考试时间120分钟。

2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束， 将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分 选择题一、选择题 (共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.右图是某几何体的展开图，该几何体是 (A) 圆锥 (B)三棱柱 (C)三棱锥 (D)四棱锥2. 2024年5.5G 技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G 初期的1Gbps 提升到10Gbps,给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps 表示每秒传输10000000000 位(bit)的数据. 将 10000000000用科学记数法表示应为(A )0.1×10¹¹ (B )1×10¹⁰ (C )1×10¹¹ (D) 10×10⁹3.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是4. 直尺和三角板如图摆放，若∠1=55°，则∠2的大小为 (A)35° (B)55° (C) 135° (D) 145°北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第1页 (共7页)15.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上， 点O₁， O₂分别为两个正六边形的中心. 则tan∠O₂AC的值为.16. 将1, 2, 3, 4, 5, …, 37这37个连续整数不重不漏地填入37个空格中. 要求: 从左至右，第1个数是第2个数的倍数，第1个数与第2个数之和是第3个数的倍数，第1，2，3个数之和是第4个数的倍数，…，前36个数的和是第37个数的倍数.若第 1 个空格填入 37，则第 2 个空格所填入的数为，第 37 个空格所填入的数为 .37三、解答题(共68分,第17-22题,每题5分,第23-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 计算:|−3|−+2sin60∘−12.18.解不等式组: 2(+1)<x+5, x+23≥x−12.19. 已知x²−x−4=0,求代数式 (x−2)²+(x−1)(x+3)的值.20. 如图,点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上,AE=AD.AF⊥BD于点F,EG∥BC交AF的延长线于点G, 连接DG.(1) 求证: 四边形AEGD是菱形;(2)若AF=BF,tan∠AEF=12,AB=4,求菱形AEGD的面积.21.某学校组织学生社团活动，打算恰好用1000元经费购买围棋和象棋，其中围棋每套40元，象棋每套30元.所购买围棋的套数能否是所购买象棋套数的2倍?若能，请求出所购买的围棋和象棋的套数，若不能，请说明理由.22. 在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(3,5), B(-2,0), 且与y轴交于点 C.(1)求该函数的解析式及点C的坐标；(2)当x<2时, 对于x的每一个值, 函数y=-3x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值，直接写出n的取值范围.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第3页 (共7页)24. 如图, AB 为⊙O 的直径, 弦CD⊥AB 于点H, OO 的切线CE 与BA 的延长线交于点E, AF∥CE, AF 与⊙O 的交点为F.(1) 求证: AF=CD;(2) 若⊙O 的半径为6, AH=2OH,求AE 的长.25. 如图，点O 为边长为1的等边三角形ABC 的外心. 线段PQ 经过点O，交边AB 于点P, 交边AC 于点Q. 若 AP =x,AQ =y 1,S APQ :S ABC =y 2,下表给出了x, y ₁, y ₂的一些数据 (近似值精确到0.0001).x 0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951y ₁10.84620.750.68420.63640.60.57140.54840.52940.51350.5y ₂0.46540.450.44470.44550.450.45710.46610.47650.48780.5(1)补全表格;(2)在同一平面直角坐标系xOy 中描出了部分点( x ,y ₁,x ,y ₂..请补全表格中数据的对应点，并分别画出y ₁与y ₂关于x 的函数图象；(3)结合函数图象，解决下列问题：①当△APQ 是等腰三角形时， y ₁关于x 的函数图象上的对应点记为(a ，b)，请在x轴上标出横坐标为a 的点；C ②当y ₂取最大值时，x 的值为 .北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第5页 (共7页)5.不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为(A) 14(B) 13(C) 12(D)236. 已知-2<a<-1, 则下列结论正确的是(A) a<1<-a<2 (B) 1<a<-a<2 (C) 1<-a<2<a (D) -a<1<a<27.若关于x 的一元二次方程 lnx²+x−2=0有两个实数根，则实数k 的取值范围是(A )k ≤−18 (B )k >−18且k≠0 (C )k ≥−18且k≠0 (D )k ≥−14且k≠08. 如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, BC=a, AC=b(其中a<b). CD⊥AB 于点D,点E 在边AB 上, BE=BC. 设CD=h, AD=m, BD=n, 给出下面三个结论:①n²+h²<(m+n)²;②2h²>m²+n²;③AE 的长是关于 x 的方程 x²+2ax−b²=0的一个实数根.上述结论中，所有正确结论的序号是(A)① (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③第二部分 非选择题二、填空题 (共16分,每题2分)9. 若 x−3在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 .10. 分解因式:x²y-12xy+36y= .11. 方程43x−1=3x−2的解为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，若函数 y =kx(k ≠0)的图象经过点(-1,8)和(2,n), 则n 的值为.13. 如图, 在▱ABCD 中, 点E 在边AD 上, BA, CE 的延长线交于点F. 若AF=1, AB=2, 则 AEED =¯.14. 如图, 在⊙O 的内接四边形ABCD 中, 点A 是 ⌢BD 的中点，连接AC, 若∠DAB=130°, 则∠ACB= °.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第2页 (共7页)23.某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成).同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂.甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g)，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲同学的山楂重量的折线图：b.乙同学的山楂重量：8, 8.8, 8.9, 9.4, 9.4, 9.4, 9.6, 9.6, 9.6, 9.8, 10, 10, 10, 10,10c.甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数甲9.5m9.2乙9.59.6n根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m, n的值;(2)对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好.①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦.据此推断：品相更好的是(填写“甲”或“乙”);甲9.29.29.29.29.1乙9.49.49.48.98.8②甲同学从剩余的 10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大.他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为和 ；(3)估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第4页 (共7页)26. 在平面直角坐标系xOy中，点A−2y₁,B2y₂,C m y₃在抛物线y=ax²+bx+3(a⟩0)上.设抛物线的对称轴为直线x=t.(1)若y₁=3,,求t的值;(2) 若当t+1<m<t+2时，都有y₁>y₃>y₂,求t的取值范围.27. 在△ABC中,∠ABC=∠ACB=45°,AM⊥BC于点M.D是射线AB上的动点 (不与点 A, B重合), 点 E 在射线 AC 上且满足.AE=AD,，过点D 作直线 BE 的垂线交直线BC于点F, 垂足为点 G, 直线BE交射线AM于点P.(1) 如图1, 若点D在线段AB上, 当AP=AE时,求∠BDF的大小；(2)如图2，若点D在线段AB的延长线上，依题意补全图形，用等式表示线段CF，MP, AB的数量关系, 并证明.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4第6页 (共7页)28.在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为1.对于⊙O 上的点 P 和平面内的直线l:y =ax 给出如下定义：点P 关于直线l 的对称点记为 P¹,，若射线OP 上的点Q 满足 OQ =PP ′,则称点Q 为点P 关于直线l 的“衍生点”.(1)当a=0时,已知⊙O 上两点 PP 2−22,在点Q ₁(1,2), QQ 3(−1,−1),Q 4(−2,−2)中，点P ₁关于直线l 的“衍生点”是 ，点P ₂关于直线l 的“衍生点”是 ；(2) P 为⊙O 上任意一点, 直线y=x+m (m≠0)与x 轴, y 轴的交点分别为点 A,B.若线段AB 上存在点S ，T ，使得点S 是点P 关于直线l 的“衍生点”，点T 不是点P 关于直线l 的“衍生点”，直接写出m 的取值范围；(3) 当-1≤a≤1时，若过原点的直线s 上存在线段 MN，对于线段 MN 上任意一点R，都存在⊙O 上的点P 和直线l ，使得点R 是点P 关于直线l 的“衍生点”. 将线段MN 长度的最大值记为D(s)，对于所有的直线s ，直接写出D(s)的最小值.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学2024.4 第7页 (共7页)北 京 市 西 城 区 九 年 级 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2024.4一、选择题(共16分，每题2分)题号12345678答案C B D D A A C B二、填空题(共16分，每题2分)9. x≥3 10.y(x−6)² 11. x=-1 12. -413.1214. 25 15.3516. 1, 19三、解答题(共68分, 第17-22题, 每题5分, 第23-26题, 每题6分, 第27-28题,每题7分)17. 解: |−3|−+2sin60∘−12=3−5+2×32−23 4分 =-5 . 5分18.解：原不等式组为2(x+1)<x+5, x+23≥x−12.解不等式①, 得x<3. ·2分 解不等式②, 得x≤7. 4分 ∴ 原不等式组的解集为x<3. 5分19. 解: (x−2)²+(x−1)(x+3)=(x²−4x+4)+(x²+2x−3)=2x²−2x+1.…… 3分∵x²−x−4=0,∴x²−x=4.∴原式=2(x²−x)+1=9. ·5分20. (1) 证明: 如图1.∵ AE=AD, AF⊥BD于点F,∴ ∠EAG=∠DAG, EF=DF.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第1页(共6页)①②∴ AD∥BC.∵ EG∥BC,∴ AD∥EG.∴ ∠AGE=∠DAG.∴ ∠EAG=∠AGE.∴ AE=EG.∴ AD=EG.∴ 四边形AEGD 是平行四边形.又∵ AE=AD,∴四边形AEGD是菱形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2) 解: 在Rt△ABF中, ∠AFB=90°, AF=BF, AB=4,∴ ∠ABF=45° , AF=AB·sin45°=22.在Rt△AEF中,∠AFE=90∘,tan∠AEF=12,AF=22,∴EF=AFtan∠AEF=4 2.∵ 四边形 AEGD 是菱形,∴AG=2AF=42,DE=2EF=8 2.∴S差πAEGD =12AG×DE=12×42×82=32. …5分21.解:设购买x套围棋,y套象棋 (1)假设所购买围棋的套数能是所购买象棋套数的2倍，①则40x+30y=1000,x=2y.② 3分解得y=10011. 4分此时 y不为正整数，不合题意.答：所购买围棋的套数不能是所购买象棋套数的2倍.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分22. 解: (1) ∵ 函数y=kx+b (k≠0) 的图象经过点 A(3,5), B(-2,0),∴3k+b=5,−2k+b=0.解得k=1,b=2.∴该函数的解析式为y=x+2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分点C的坐标为C(0,2).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分(2)n≥10.……………………………………………………………………………5分北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第2页 (共6页)23.解:(1)9.4,10;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(2)①甲;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分②9.3,9.6;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(3)76009.5×5=160(串).答：估计这些山楂共能制作160串糖葫芦.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分24. (1) 证明: 如图2, 连接OC, OC与AF交于点 G.∵ CE 与⊙O 相切, 切点为C,∴CE⊥OC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分∴ ∠OCE=90° .∵ AF∥CE,∴ ∠OGA=∠OCE=90° .∴ OC⊥AF于点 G.∴ AF=2AG.∵ CD⊥AB 于点 H,∴ ∠OHC=90° , CD=2CH .∴ ∠OGA=∠OHC.又∵ ∠AOG=∠COH, OA=OC,∴ △OAG≌△OCH.∴ AG=CH.∴AF=CD.…………………………………………………… 3分(2) 解: ∵ ⊙O的半径为6, AH=2OH,∴ OH=2, AH=4.在Rt△OCH中,∠OHC=90∘,cos∠COH=OHOC =13.在Rt△OCE中,∠OCE=90∘,cos∠COE=13,OC=6,∴OE=OCcos∠COE=18.∴AE=OE-OA=18-6=12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第3页(共6页)25. 解: (1)0.5; ……………………… 1分(2)3分(3)①见图3; ·4分 ②0.5, 1. …6分26. 解: (1) 抛物线 y =ax²+bx +3与y 轴的交点的坐标为(0，3).∵ 抛物线. y =ax²+bx +3过A(-2,y ₁), y ₁=3,∴ A(-2,3)与(0,3)关于直线x=t 对称.∴t =−2+02=−1. 2分(2) ∵ a>0,∴ 当x≤t 时, y 随x 的增大而减小; 当x≥t 时, y 随x 的增大而增大.A(-2,y ₁), B(2,y ₂), C(m,y ₃).①当t≤-2时,∵ t≤-2<2,|.y₁<y₂,不合题意.②当-2<t<2时, A(-2,y ₁)关于对称轴x=t 的对称点为 A ′(2t +2,y ₁).∵ 当t+1<m<t+2时, 都有 y₁>y₃>y₂,∴t +1≥2,t +2≤2t +2.解得 t≥1.∴ 1≤t<2.③当t≥2时,A(-2,y ₁),B(2,y ₂)关于对称轴x=t 的对称点分别为 A ′(2t +2,y ₁), B ′(2t−2,y ₂).北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第4页(共6页)∵当t+1<m<t+2时, 都有. y₁>y₃>y₂,∴t +1≥2t−2,t +2≤2t +2.解得 0≤t≤3.∴ 2≤t≤3.综上所述,t 的取值范围是1≤t≤3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分27. 解: (1) 如图4.∵在△ABC 中, ∠ABC=∠ACB=45° ,∴ AB=AC, ∠BAC=90° , ∠1+∠2=90°.∵ AM⊥BC 于点 M,∴∠3=∠BAC 2=45∘,BM =CM.∵ AP=AE, ∴∠2=180∘−∠32=180∘−45∘2=67.5∘.∵ DF⊥BE 于点 G,∴ ∠1+∠BDF=90°.∴∠BDF=∠2=67.5°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(2)补全图形见图5.CF =2MP +2AB.证明: 如图4, 作 CQ∥AP 交BE 于点 Q.∵ CQ∥AP, BM=CM, AM⊥BC, ∴MP CQ =BM BC =12,∠BCQ =∠AMC =90∘ ∴CQ =2MP,∠5=180°−∠ACB−∠BCQ =45°.∵∠4=∠ABC =45°,∴ ∠4=∠5.北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第5页 (共6页)∵∠DBG=∠ABE,DG⊥BE于点 G,∠BAC=90°,∴ ∠D=∠E.∵AD=AE,AB=AC,∴AD−AB=AE−AC, 即BD=CE.∴△BDF≅△CEQ.:.BF=CQ.∵CF=BF+BC,BC=2AB,∴CF=CQ+2AB=2MP+2AB. ……………… 7分28. 解: (1)Q₂,Q₃; · ·2分(2)−22≤m≤−2或 2≤m≤22; ·5分(3)2−2. 7分北京市西城区九年级统一测试试卷 数学答案及评分参考 2024.4 第6页(共6页)。

北京市西城区(南区)2011——2012学年度第一学期期末质量检测九年级数学模拟试卷 2012．1一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． 抛物线y ＝－2x 2－x ＋1的顶点在第_____象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四 2． 如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( )A ．6B ．8C ．10D ．123． 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin A 的值是( )A ．513B ．1213C ．512D ．1354． 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为A ．2(1)6x += B ．2(2)9x += C ．2(1)6x -= D ．2(2)9x -= 5． 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B ′的坐标是( )A ．(3，2)B ．(－2，－3)C ．(2，3)或(－2，－3)D ．(3，2)或(－3，－2)6． 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程中正确的是( )A ．289(1－x )2＝256B ．256(1－x )2＝289C ．289(1－2x )＝256D ．256(1－2x )＝289 7． 如图，半径为1的小圆在半径为9的大圆内滚动，且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为( )A ．17πB ．32πC ．π8． 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是(2，a )(a ＞2)，半径为2，函数y ＝x 的图象被⊙P 的弦AB 的长为a 的值是A ．B ．2+C ．D ．2+二、填空题(本题共16分，每小题4分)9． 两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形周长为36cm ，则较大多边形周长为________cm ． 10．如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有11．如图，已知点A的坐标为3)，AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数kyx=(k＞0)的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB＝3BD，以点C为圆心，CA的54倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是_______(填“相离”、“相切”或“相交”)．12．二次函数2y ax bx c=++的图象的一部分如图所示，则a的取值范围为_____________．三、解答题(本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分)13．计算：2(2cos45°－tan45°)－(tan60°＋sin30°)0－(2sin45°－1)－1．14．解方程：2(2)6(2)90x x---+=．15．如图，已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，∠BAC＝α，求△ABC的面积．(用α的三角函数及m表示)m CBAα16．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)（1）求二次函数的解析式；（2）当x＝______时，该二次函数有最______值(填“大”或“小”)是___________；17．如图，小明在大楼30米高(即PH＝30米)的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH ⊥H C ．（1）山坡坡角(即∠ABC )的度数等于_______度；（2）求A 、B 两点间的距离(结果精确到0．1≈1．732)．18．已知抛物线y 1＝x 2＋4x ＋1的图象向上平移m 个单位(m ＞0)得到的新抛物线过点(1，8)． （1）求m 的值，并将平移后的抛物线解析式写成y 2＝a (x －h )2＋k 的形式；（2）将平移后的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时请直接写出该函数在－3＜x ≤－23时对应的函数值y 的取值范围是_______________．四、解答题(本题共19分，第20题4分，其余每小题5分)19．如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线L 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F ．（1）△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE 的形状，并说明理由．lF EOCD B A20．如图，在△ABO 中，已知点A，3)，B (－1，－1)，O (0，0)，正比例y ＝－x 的图象是直线l ，直线AC ∥x轴交直线l 交于点C ． （1）C 点坐标为__________；（2）以点O 为旋转中心，将△ABO 顺时针旋转角α(0°<α<180°)，使得点B 落在直线l 上的对应点为B '，点A的对应点为A '，得到△A OB ''．①∠α＝__________；②画出△A OB ''；（3）写出所有满足△DOC ∽△AOB 的点D 的坐标．21．如图所示．P 是⊙O 外一点．P A 是⊙O 的切线．A 是切点．B 是⊙O 上一点．且P A ＝PB ，连接AO 、BO 、AB ，并延长BO 与切线P A 相交于点Q ． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）设∠AOQ ＝α．若cos α＝45．OQ ＝15．求AB 的长22．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A BC AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）sad60°＝____________． （2）对于0°<A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是___________________． （3）如图②，已知sin A 35=，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)AAB CCB图①图②BO AC11l xy23．已知：关于x的方程2(23)30kx k x k．+-+-=（1）求证：方程总有实数根；（2）当k取哪些整数时，关于x的方程2(23)30kx k x k的两个实数根均为负整数？+-+-=24．如图1，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OMN 的斜边ON 在x 轴上，顶点M 的坐标为(3，3)，MH为斜边上的高．抛物线C ：214y x nx =-+与直线12y x =及过N 点垂直于x 轴的直线交于点D ．点P (m ，0)是x 轴上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交射线OM 与点E ．设以M 、E 、H 、N 为顶点的四边形的面积为S ．（1）直接写出点D 的坐标及n 的值；（2）判断抛物线C 的顶点是否在直线OM 上？并说明理由； （3）当m ≠3时，求S 与m 的函数关系式；（4）如图2，设直线PE 交射线OD 于R ，交抛物线C 于点Q ，以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQFG ，其中RG ＝32，直接写出矩形RQFG 与等腰直角三角形OMN 重叠部分为轴对称图形时m 的取值范围．图225．如图，在平面直角坐标系中，点A(10，0)，以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请直接写出出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B ．2．A ．3．A ．4．C ．5．D ．6．A ．7．B ．8．B ．如图，过P 做PE ⊥AB ，PF ⊥y 轴并延长交直线与点M ，根据垂径定理可以求出PE ＝1，有函数图像可知∠FOA ＝45°，PF ＝2，所以△MFB 是等腰直角三角形，FO ＝FM ，所以求出FM 即可． 9．48．10．外离、相交．11．相交．∵点A 的坐标为3)，AB ＝3BD ，∴D1)，∴反比例函数解析式为yx，∵OA 的解析式为y，∴C 的坐标为(1)，∴AC＝2，所以所作圆的半径为52－52，点C 到x，∵5252x 轴相交．12．根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，于是22214(1)(1)1()24a a a y ax a x a x aa+--=-++=-+根据函数图象可知102a x a+=<，24(1)14a a a-->于是有10a -<<． 13．－22． 14．x ＝5． 15．解：∵tan α＝ACBC ，∴BC ＝AC ·tan α＝m ·tan α，S △ABC ＝21AC ·BC ＝21m 2tan α．16．（1）根据题意，得123a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2，所以解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2；（2）1；大；3． 17．解：（1）30°；（2）由题意得：∠PBH ＝60°，∠APB ＝45°．∵∠ABC＝30°，∴∠ABP ＝90°．在Rt △PHB 中，PB＝sin PH PBH=∠．在Rt △PBA 中，AB ＝PB＝．6．答：A 、B 两点间的距离约34．6米．18．（1）设平移后的抛物线的解析式为y 2＝x 2＋4x ＋1＋m ，由该抛物线过点(1，8)，得8＝12＋4×1＋1＋m ，解得m ＝2．从而y 2＝x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－1＝(x ＋2)2－1．所求平移的抛物线的解析式为y 2＝(x ＋2)2－1．（2）易知，翻折后的抛物线的顶点为(－2，1)，且开口向下，故翻折后的抛物线的解析式为y ＝－(x ＋2)2＋1(－3＜x ＜－1)，此时，当x ＝－23时，y ＝43，但是在－3＜x ≤－23时，y 的最大值为1，在从而，该函数在－3＜x ≤－23时对应的函数值y 的取值范围是0＜y ≤1． 19．（1）相似．由直线l 垂直平分线段AC ，所以AF ＝FC ，∴∠F AC ＝∠ACF ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC＝∠AOF ＝90°，∴△ABC ∽△FO A ．（2）四边形AFCE 是菱形．理由：∵AE ∥CF ，∴∠EAO ＝∠FCO ，又∵AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF ，又AE ∥CF ，∴四边形AFCE 为平行四边形，又AF ＝FC ，所以平行四边形AFCE 为菱形．20．（1）C 点坐标为(－3，3)；（2）①∠α＝90°；②略；（3）1D (9，－，2D(－9)． 21．（1）证明：如图所示，连结OP ，交AB 于点C ．∵P A ＝PB ，AO ＝BO ，PO ＝PO ∴△APO ≌△BPO ． ∴∠PBO ＝∠P AO ＝90°又∵P A 是⊙O 的切线，∴P A ⊥OA ，即∠P AO ＝90°． ∴∠PBO ＝∠P AO ＝90°． ∴PB 是⊙O 的切线． （2）在Rt △AOQ 中，4cos 5O A O Qα==，∴44151255O A O Q ==⨯=．∴9AQ ===，BQ ＝BO ＋OQ ＝AO ＋OQ ＝12＋15＝27．∵∠OAQ ＝∠PBQ ＝90°，∠Q 为公共角， ∴△QPB ∽∆QO A ． ∴O A Q A PBQ B=，即12927P B=，解得PB ＝36．∵P A 、PB 都是⊙O 的切线，P A ＝PB ，∴∠APC ＝∠BPC ，∴PC ⊥AB ，即OC ⊥A B ． ∴AB ＝2BC，PO ===．∵1122Rt PO B S P B O B P O B C ∆== ，∴5PB O BBC PO===．∴25A B B C ==．22．（1）1； （2）0<sad A <2；（3）设AB ＝5a ，BC ＝3a ，则AC ＝4a如图，在AC 延长线上取点D 使AD ＝AB ＝5a ，连接B D ．则CD ＝aBD ===∴sadA 5B D A D==23．解：（1）分类讨论：若k ＝0，则此方程为一元一次方程，即033=--x ，∴1-=x 有根， 若k ≠0，则此方程为一元二次方程，∴△＝()()934322=---k k k ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程总有实数根．（2）∵方程有两个实数根∴方程为一元二次方程．∵利用求根公式()kk x 2932±--=，得132261-=-=kkk x ；12-=x ，CBD∵方程有两个负整数根∴13-k是负整数，即k 是3的约数∴k ＝1±，3±但k ＝1、3时根不是负整数，∴k ＝1-、3-． 24．解：（1）D (6，3)，n ＝2．（2）设直线OM 的解析式为y ＝kx ，k ≠0．∵M (3，3)在直线OM 上， ∴y ＝x ．即直线OM 的解析式为：y ＝x ．∵x x y 2412+-=的顶点坐标为(4，4)，∴抛物线C 的顶点在直线OM 上． （3）∵点E 在OM 上，当x ＝m 时，y ＝m ， ∵PE ⊥x 轴， ∴EP ＝m ．∴S ＝OM N OEH S S ∆∆-＝239m -．（4）m 取值范围：m＝3-m ＝94，3≤m ＜4．25．解：（1）连结BC ，∵A (10，0)，∴OA ＝10，CA ＝5，∵∠AOB ＝30°，∴∠ACB ＝2∠AOB ＝60°，∴弧AB 的长＝35180560ππ=⨯⨯；（2）连结OD ，∵OA 是⊙C 直径，∴∠OBA ＝90°，又∵AB ＝BD ，∴OB 是AD 的垂直平分线，∴OD ＝OA ＝10，在Rt △ODE 中，OE ＝=-22DE OD 681022=-， ∴AE ＝AO －OE ＝10－6＝4， 由∠AOB ＝∠ADE ＝90°－∠OAB ，∠OEF ＝∠DEA ，得△OEF ∽△DEA ， ∴OEEF DEAE =，即684EF =，∴EF ＝3；（3）设OE ＝x ，①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF ＝∠BOA 或∠ECF＝∠OAB ，当∠ECF ＝∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC 中点，即OE ＝25，∴E 1(25，0)；当∠ECF ＝∠OAB 时，有CE ＝5－x ，AE ＝10－x ，∴CF ∥AB ，有CF ＝12A B ，∵△ECF ∽△EAD ，∴ADCF AECE =，即51104x x-=-，解得：310=x ，∴E 2(310，0)；②当交点E 在点C 的右侧时， ∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF ＝∠BAO ， 连结BE ，∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线，∴BE ＝AB ＝BD ，∴∠BEA ＝∠BAO ，∴∠BEA ＝∠ECF ，∴CF ∥BE ，∴OEOC BECF =，∵∠ECF ＝∠BAO ，∠FEC ＝∠DEA ＝90°， ∴△CEF ∽△AED ，∴C FC EA D A E=，而AD ＝2BE ，∴2O C C EO E AE=， 即55210x xx -=-，解得417551+=x ，417552-=x ＜0(舍去)，∴E 3(41755+，0)；③当交点E 在点O 的左侧时，∵∠BOA ＝∠EOF ＞∠ECF ．∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF ＝∠BAO 连结BE ，得BE ＝AD 21＝AB ，∠BEA ＝∠BAO∴∠ECF ＝∠BEA ，∴CF ∥BE ，∴OEOC BECF =，又∵∠ECF ＝∠BAO ，∠FEC ＝∠DEA ＝90°， ∴△CEF ∽△AED ，∴ADCF AECE =，而AD ＝2BE ，∴2O C C E O EAE=，∴5+5210+x x x=，解得417551+-=x ，417552--=x ＜0(舍去)，∵点E 在x 轴负半轴上，∴E 4(41755-，0)，综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点E 坐标为：1E (25，0)、2E (310，0)、3E (41755+，0)、4E (41755-，0)．。

2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U=R，集合A={x|1x≥1}，则∁U A()A.(0, 1)B.(0, 1]C.(−∞, 0]∪(1, +∞)D.(−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A.2B.5C.11D.233. 若实数x，y满足条件{x+y≥0x−y+3≥00≤x≤3，则z=2x−y的最大值为（）A.9B.3C.0D.−34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A.4√3cm2B.2√3cm2C.8cm2D.4cm25. 已知函数f(x)＝sin4ωx−cos4ωx的最小正周期是π，那么正数ω＝（）A.2B.1C.12D.146. 若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 7. 设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N∗，有S2n<3S n，则q的取值范围是（）A.(0, 1]B.(0, 2)C.[1, 2)D.(0,√2)8. 已知集合A＝{x|x＝a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a k∈{0, 1, 2}(k＝0, 1, 2, 3)，且a3≠0．则A中所有元素之和等于（）A.3240B.3120C.2997D.2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．(x−2)6的展开式中x3的系数是________．（用数字作答）如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=√3，OM=1，则MN=________．在极坐标系中，极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________．已知函数f(x)={x12,0≤x≤cx2+x,−2≤x<0其中c>0．那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[−14,2]，则c的取值范围是________．在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，已知sin (A +B)=sin B +sin (A −B)． （1）求角A ；（2）若|BC →|=7，AB →⋅AC →=20，求|AB →+AC →|．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同． （1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，且FA =FC ．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求证：FC // 平面EAD ；(3)求二面角A −FC −B 的余弦值．已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1)，其中a ≥−1．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√53，定点M(2, 0)，椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．对于数列A n :a 1，a 2，…，a n (a i ∈N, i =1, 2,…,n)，定义“T 变换”：T 将数列A n 变换成数列B n :b 1，b 2，…，b n ，其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2,…,n −1)，且b n =|a n −a 1|，这种“T 变换”记作B n =T(A n )．继续对数列B n 进行“T 变换”，得到数列C n ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A 3:4，2，8和A 4:1，4，2，9经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求A 3:a 1，a 2，a 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：A 4:a 1，a 2，a 3，a 4一定能经过有限次“T 变换”后结束．参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】求出集合A的不等式的解集，然后求出集合A在R上的补集即可．【解答】解：∵全集U=R．集合A={x|1x≥1}={x|0<x≤1}，∴∁U A={x|x≤0, 或x>1}．故选C．2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y是否继续循环循环前25是第一圈511是第二圈1123否故输出y的值为23．故选D．3.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域，z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，根据图形可得结论．【解答】解：画出不等式表示的平面区域z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，由{x=3x+y=0可得交点坐标为(3, −3)，根据图形可知在点(3, −3)处，z=2x−y取得最大值，最大值为9故选A．4.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为2√3，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3，宽为2，∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2)，故选A．5.【答案】B【考点】二倍角的三角函数【解析】利用平方差公式化简函数y＝sin4ωx−cos4ωx，再利用二倍角公式化为一个角的一个三角函数的形式，根据周期求出ω．【解答】y＝sin4ωx−cos4ωx＝sin2ωx−cos2ωx＝−cos2ωx因为T＝π，所以ω＝16.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】根据a=lg3lg2>1，b=lg2lg3<1，c=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=a，从而得出结论．【解答】解：∵a=log23=lg3lg2>1，b=log32=lg2lg3<1，c=log46=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=lg3lg2，故有b<c<a，故选D．7.【答案】A【考点】数列的求和【解析】当q=1时，S2n<3S n成立容易检验，当q≠1时，由S2n<3S n恒成立可得a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q，讨论整理可求q的范围．【解答】解：当q=1时，S2n<3S n成立当q≠1时，由S2n<3S n恒成立∴a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q∵q>1，显然不恒成立，则q2n−3q n+2<0，解得q n<1（q n>2舍去），∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q>0，∴0<q<1综上可得0<q≤1故选A8.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性数列的求和【解析】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．【解答】由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18；集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0+32×1+32×2)×18；集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1+33×2)×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S＝(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27＝18(3+9+27)+81×27＝702+2187＝2889．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】54【考点】分布和频率分布表频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16, 18]的频率，从而得出成绩在[16, 18]的学生人数．【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，且它们的面积之和为1，∴最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920，即成绩在[16, 18]的频率为920，由频率分布直方图知，成绩在[16, 18]的人数为120×920=54（人）【答案】−160【考点】二项式定理及相关概念【解析】根据题意，由二项式定理可得(x−2)6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r＝3，将r＝3代入通项，计算可得T4＝−160x3，即可得答案．【解答】根据题意，(x−2)6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6−r(−2)r＝(−1)r⋅2r⋅C6r x6−r，令6−r＝3可得r＝3，此时T4＝(−1)3⋅23⋅C63x3＝−160x3，即x3的系数是−160；【答案】1【考点】与圆有关的比例线段【解析】根据题设条件，先由勾股定理求出BM，再由相交弦定理求MN．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．OC=√3，OM=1，∴OB=√3，BM=√3+1=2，设MN=x，∵CM⋅AM=BM⋅MN，∴(√3+1)(√3−1)=2x，∴x=1，即MN=1．故答案为：1．【答案】√2【考点】圆的极坐标方程【解析】利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直线直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线方程ρsin(θ+π4)=√2，即为ρ(√22cosθ+√22sinθ)=√2，化为普通方程为x+y−2=0，极点的直角坐标为(0, 0)，根据点到直线的距离公式求得d=√2=√2故答案为：√2；【答案】−1和0,0<c≤4【考点】函数的值域及其求法函数的零点【解析】分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f(x)的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[−2, 0)时，函数f(x)的值域恰好是[−14,2]，所以当0≤x≤c时，f(x)=x12的最大值不超过2，由此建立不等式，可解出实数c的取值范围．【解答】当x≥0时，令x 12=0，得x＝0；当x<0时，令x2+x＝0，得x＝−1（舍零）∴f(x)的零点是−1和0∵函数y＝x2+x在区间[−2, −12)上是减函数，在区间(−12, 0)上是增函数∴当x∈[−2, 0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14，最大值是f(−2)＝2∵当0≤x≤c时，f(x)=x12是增函数且值域为[0, √c]∴当f(x)的值域是[−14,2]，√c≤2，即0<c≤4【答案】√32,2(1+√2)【考点】基本不等式在最值问题中的应用直线的点斜式方程【解析】根据题意，OA、OB的斜率之积为−1，得OA⊥OB．设A(x1, √33x1)，B(x2, −√3x2)，算出|OA|=2√33x1，|OB|=2x2，结合三角形面积为1列式，化简即得x1x2=√32．再由基本不等式算出△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2，当且仅当2√33x1=2x2=√2时，△OAB周长取最小值2(1+√2)．【解答】解：∵y =√33x的斜率k1=√33，y=−√3x的斜率k2=−√3∴k1⋅k2=−1，可得OA⊥OB设A(x1, √33x 1)，B(x2, −√3x2)∴|OA|=√x12+13x12=2√33x1，|OB|=√x22+3x22=2x2，可得△OAB的面积为S=12|OA|×|OB|=12×2√33x1×2x2=1解之，得x1x2=√32∵|AB|2=|OA|2+|OB|2=43x12+4x22∴|AB|=√(43x12+4x22)≥×2√33x12=√8√33x12=√8√33×√32=2又∵|OA|+|OB|=2√33x1+2x2≥2√2√33x1×2x2=2√4√33x1x2=2√4√33×√32=2√2∴△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2=2(1+√2)当且仅当2√33x1=2x2=√2，即x1=√62，x2=√22时，△OAB周长取最小值2(1+√2)故答案为：√32，2(1+√2)三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】解：（1）原式可化为：sin B=sin(A+B)−sin(A−B)=sin A cos B+cos A sin B−sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B，…∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【考点】求两角和与差的正弦 向量的模平面向量数量积的性质及其运算律【解析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B 不为0，得出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出|AB →|2+|AC →|2的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值．【解答】 解：（1）原式可化为：sin B =sin (A +B)−sin (A −B)=sin A cos B +cos A sin B −sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B ，… ∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【答案】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，…乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，… P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：【考点】离散型随机变量及其分布列 互斥事件的概率加法公式 相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比1获胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．B 包括乙以4:2获胜和乙以4:3获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．（3）比赛结束时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7，根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列． 【解答】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点． 又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ， 所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD // BC ，DE // BF ， 因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD ． 又FC ⊂平面FBC ， 所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘， 所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以 O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)． 所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)， 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)． 由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 【考点】直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．由FA =FC ，知AC ⊥FO ．由此能够证明AC ⊥平面BDEF ．（2）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，平面FBC // 平面EAD ．由此能够证明FC // 平面EAD ．（3）因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．求得平面BFC 的法向量为n →=(1,−√3,−1)，平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由此能求出二面角A −FC −B 的余弦值． 【解答】(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点． 又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ， 所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD // BC ，DE // BF ， 因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD ． 又FC ⊂平面FBC ， 所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘， 所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 中点， 所以FO ⊥BD ， 故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)． 所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)． 设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)， 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x+2)，f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)； 当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)， 单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)， 单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f ′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x =0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）对字母a 进行分类讨论，再令f ′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间． 【解答】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x +2)， f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)； 当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)， 单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)， 单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 【答案】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得 ba =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．… 所以 y 1+y 2=−16m 4m +9，y 1y 2=−204m +9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x 2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）利用离心率为√53，可得b a=23，由椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2，可得△MB 1B 2是等腰直角三角形，由此可求椭圆C 的方程；（2）设线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理，结合PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得b a =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．…所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m +9，y 1y 2=−204m +9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92． 综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【答案】（1）解：数列A 3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． …数列A 4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．… （2）解：A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．… 若a 1=a 2=a 3，则经过一次“T 变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A 3)为常数列，则A 3为常数列”． 当a 1≥a 2≥a 3时，数列T(A 3)：a 1−a 2，a 2−a 3，a 1−a 3．由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3，解得a 1=a 2=a 3，从而数列A 3也为常数列． 其它情形同理，得证．在数列A 3经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A 3也为常数列． …所以，数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n )的最大项一定不大于数列A n 的最大项，其中n ≥3”． 证明：记数列A n 中最大项为max (A n )，则0≤a i ≤max (A n )． 令B n =T(A n )，b i =a p −a q ，其中a p ≥a q ． 因为a q ≥0，所以b i ≤a p ≤max (A n )，故max (B n )≤max (A n )，证毕． … 现将数列A 4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max (B 4)≤max (A 4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max (B 4)=max (A 4)． 下面证明第二类数列A 4经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T（T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…【考点】数列的应用【解析】（1）根据新定义，可得数列A3:4，2，8不能结束，数列A4:1，4，2，9能结束，并可写出各数列；（2）A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3，先证明a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束，再证明命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”，即可得解；（3）先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”，再分类讨论：第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．【解答】（1）解：数列A3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形．…数列A4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（2）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．…若a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束．…当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”．当a1≥a2≥a3时，数列T(A3)：a1−a2，a2−a3，a1−a3．由数列T(A3)为常数列得a1−a2=a2−a3=a1−a3，解得a1=a2=a3，从而数列A3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．…所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”．证明：记数列A n中最大项为max(A n)，则0≤a i≤max(A n)．令B n=T(A n)，b i=a p−a q，其中a p≥a q．因为a q≥0，所以b i≤a p≤max(A n)，故max(B n)≤max(A n)，证毕．…现将数列A4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T （T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…。