二次函数综合练习
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1.按右图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y 与x 的关系是y ＝x ＋p(100－x)，请说明：当p ＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x －h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要 求的这种关系式。
（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）2. 如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式； （3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．3.如图，抛物线212y xmx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由．( 1.41≈ 1.73≈， 2.24≈)4.如图，对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）①当四边形OEAF 的面积为24时，请判断OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是菱形，且∠AOC=60°，点B 的坐标是，点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动，设(08)t t <≤秒后，直线PQ 交OB 于点D.（1）求∠AOB 的度数及线段OA 的长；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（3）当3,a OD ==t 的值及此时直线PQ 的解析式； （4）当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆相似？当a 为何值时，以O ，P ，Q ，D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似？请给出你的结论，并加以证明.6.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．7. 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．8. 如图所示，在平面直角坐标系内，点A 和点C 的坐标分别为(4，8)、(0，5)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，过OB 上的动点D 作直线y ＝kx ＋b 平行于AC ，与AB 相交于点E ，连结CD ，过点E 作EF ∥CD 交AC 于点F 。
(1)求经过A 、C 两点的直线的解析式；(2)当点D 在OB 上移动时，能否使四边形CDEF 成为矩形？若能，求出此时k 、－b 的指；若不能，请说明理由；(3)如果将直线AC 作上下平移，交y 轴于C ’，交AB 于A ’，连结DC ’，过点E 作EF ’∥DC ’，交A ’C ’于F ’，那么能否使四边形C ’DEF ’为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由。
9.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =相交于A B ，两点． （1）求线段AB 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式222111OC OD OM +=是否成立． （4）如图3，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，AB c =．CD b =，试说明：222111+=．10. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）．将OAC ∆ 绕AC 的中点旋转1800，点O 落到点B 的位置．抛物线x ax y 322-=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点．(1) 求a 的值，点B 的坐标；(2) 若点P 是线段OA 上一点，且OAB APD ∠=∠，求点P 的坐标；(3) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上．写出点P 的坐标(直接写出答案即可)．00图1 图2图3为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。
将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。
（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线bx ax y +=2（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。
问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--ab ac ，a b 4422，对称轴公式为a b x 2-=12.四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l ，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD=PB ，PA≠PC ，则点P 为四边形ABCD 的准等距点． (1)如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点．(2)如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．(3)如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，PA≠PC ，延长BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF=∠CBE ，CE=CF ．求证：点P 是四边形AB CD 的准等距点．(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．9. 实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是 ， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）； 运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．已知二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴相交于点)0,6(A ，顶点B 的纵坐标是－3. （1）求此二次函数的解析式；（2）若一次函数m kx y +=的图像与x 的轴相交于)0,(1x D ，且经过此二次函数的图像的顶点B ，当623≤≤m 时， （ⅰ）求1x 的取值范围；（ⅱ）求BOD ∆（O 为坐标原点）面积的最小值与最大值.) x图4x 图1x 图2 x 图3已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示.（1）试确定c b a c b a b a b a ac b c b a +-++-+-,,2,2,4,,,2的符号；（2）求OB OA ⋅的值；（3）求AMB ∆的面积；（4）若OC OA =，求c b a ,,之间的关系.如图所示，直线AB 是一次函数n x y +=的图像，直线AC 是一次函数m x y +-=2的图像（0>>n m ）.（1）用n m ,表示A 点坐标；（2）若ABC ∆的面积为12，且A点在抛物线3232+-=x x y 上，求直线AB 与AC 的函数解析式.如图，一根杠高2．2米，两立柱之间的距离为1．6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状．（1）一身高0．7米的小孩站在离立柱0．4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0．4米的木板，除掉系木板用去绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离（供选用数据：,8.136.3≈,9.136.3≈1.236.4≈）．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？例 （安徽省试题，2002）心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间 满足函数关系：436.21.02++-=x x y （300≤≤x ）y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力 逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？如图所示，已知抛物c bx ax y ++=2与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且︒=∠==30,32,3CAO CB OB ，求抛物线的解析式和它的顶点坐标例 如图,在同一直角坐标系内,如果x 轴与一次函数4+=kx y 的图象以及分别过(1,0)、（4，0）两点，平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABCD 的面积为7.（1）求k 的值；（2）求过F 、C 、D 三点的抛物线的解析式；（3）线段CD 上的一个动点P 从点D 出发，以1单位/秒的速度沿DC 的方向移动（P 点不重合于C 点），过P 点作直线CD PQ ⊥交EF 于Q 、交抛物线（2）于点M.当P 从点D 出发t 秒后，求四边形PQFC 的面积S 与t 之间的函数关系式，并确定t 的取值范围； （4）问是否存在这样的t 值，使得PQAC MCD S S 四边形73=∆？若存在，求出此t 值；若不存在，说明理由.已知二次函数m x x y +-=221的图象经过点A(-3,6)，并与x 轴交于B 、C 两点（点B 在C 的左边），P 为它的顶点.（1）试确定m 的值；（2）设点D 为线段OC 上的一点，且满足BAC DPC ∠=∠，求直线AD 的解析式；（3）在y 轴的正半轴上是否存在点M ，使PCM ∆为等腰三角形，若存在，求出所有满足条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由.已知：以直线1=x 为对称轴的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛45,4和⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,0. 点()y x P ,在抛物线的顶点M 的右侧的半支上（包括顶点M ），在x 轴上有一点C 使OPC ∆是等腰三角形，PC OP =.（1）若OPC ∠是直角，求点P 的坐标；（2）当点P 移动时，过点C 作x 轴的垂线，交直线AM 于点Q ，设AQ C ∆的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并画出它的图象.已知：二次函数42++-=k kx x y 的图象与y 轴交于点C ，且x 轴的正半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．若A 、B 两点的横坐标为整数，（1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标； （2）若点D 的坐标是（0，6），点P （t ，0）是线段AB 上的一个动点，它可与点A 重合，但不与点B 重合，设四边形PBCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（3）若点P 与点A 重合，得到四边形ABCD ，以四边形ABCD 的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积，并注明三角形高线的长，再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．第 11 页 共 11 页 已知：抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上.（1）求a 的值；（2）当0>a 时，该抛物线与直线9+=x y 交于A 、B 两点，且A 点在B 点左侧，求点A 和点B 的坐标；（3）P 为（2）中线段AB 上的点（A 、B 两端点除外），过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q .线段AB 上是否存在点P ，使PQ 的长等于6，若存在，请求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。
