初中数学二次函数综合题(经典题型)

第5章二次函数（压轴必刷30题2种题型专项训练）一．二次函数的应用（共3小题）1．（2023•建湖县三模）秀夫初中全校师生为学校修建植物园群策群力．九年级设计小组为更合理地利用空间，将计划种植各种树木的矩形空地一边靠墙（可利用的墙长不超过18米），另外三边由36米长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x米，面积为y米2，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160米2，求x；（3）若学校用8600元购买了甲、乙、丙三种树木共400棵（每种树木的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种树木最多可以购买多少棵？此时，这批树木可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（米2/棵）0.410.42．（2023•海安市模拟）某企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小华第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y＝（1）小华第几天生产的帽子数量为220顶？（2）如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若小华第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多49元，则第（m+1）天每顶帽子至少应提价几元？3．（2023春•江都区月考）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m＜70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？二．二次函数综合题（共27小题）4．（2023秋•太仓市期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（2，0）两点，且与y轴交于点C（0，6）．连接AC，BC，P为抛物线在第二象限内一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接P A、PC，抛物线上是否存在点P，使得S△P AC：S四边形ABCP＝1：3？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接P A、PB，过点P作PD∥BC交AC于点D，连接BD．若，求点P坐标．5．（2023•崇川区校级四模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P 与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OP A＝∠OBP，求t的最小值．6．（2023•鼓楼区校级三模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+mx+4m的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C（0，4），点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连结AC、CP、P A，P A与直线BC 交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当tan∠P AB＝1时，判断CP与AB的数最关系，并说明理由；（3）设△CDP的面积为S1，△CDA的面积为S2，求的最大值．7．（2023•兴化市二模）已知二次函数y1＝a（x﹣m）（x﹣m﹣d）（a，m，d均为正数）图象的顶点为P．（1）直接写出二次函数y1的图象与x轴的交点坐标以及点P的坐标（用含a、m、d的字母表示）；（2）一次函数y2＝kx﹣km（k为常数且k≠0），若函数y3＝y1+y2，且y3的图象与x轴有且只有一个交点．①求函数y3的图象与x轴的交点坐标，并探求a、d、k之间的数量关系，说明理由；②将函数y2的图象向下平移d个单位长度，交函数y1图象的对称轴l于点M，点N是点M关于顶点P的对称点，过点N作x轴的平行线交平移后的直线于点Q，当点Q恰好在函数y1的图象上时，求此时k 的整数值．8．（2023•淮安区校级二模）数学兴趣小组同学们对二次函数y＝nx2﹣（n+3）x+3（n为正数）进行如下探究：（1）同学们在探究中发现，该函数图象除与y轴交点不变外，还经过一个定点A，请写出A点坐标；（2）有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确，请说明理由；（3）若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出n 的值．9．（2023•武进区校级模拟）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在抛物线上，求当∠CBP＝45°时点P的坐标．10．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF 为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．11．（2023•天宁区校级二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4（a≠0），图象记为L．（1）如图，a＝1时，求该二次函数图象的顶点坐标；（2）在（1）的条件下，将二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x＜0）的图象向右平移2个单位，与二次函数y＝ax2﹣2ax+4（x≥2）的图象组成一个新的函数图象，记为L′．设L′上的一点P的坐标为（m，n）．①当m满足时，n随m的增大而增大；②当m＞2时，过点P作y轴垂线，分别交L、L′于点M、N．若ON将△OPM的面积分成1：2两部分，求点P坐标；（3）若点（x1，3），（x2，6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4图象上，直接写出a的取值范围．12．（2023•梁溪区一模）如图，将二次函数y＝x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝ax2+bx+c的图象．函数y＝x2+2x+1的图象的顶点为A，函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为B，和x轴的交点为C，D（点D位于点C左侧）．（1）求函数y＝ax2+bx+c的解析式；（2）从A，C，D三点中任取两点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）点M是线段BC上的动点，N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值，若不存在，请说明理由．13．（2023•灌云县校级模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．①是否存在点P使得S△P AB＝，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB﹣S△AMC的值最大时，求直线BP的表达式．14．（2023•南通二模）定义：在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上的点P（x，y）满足x+y＝a（其中x ≥0，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”．（1）若点（2，m）为反比例函数图象的“1级和点”，则m＝，k＝；（2）若2≤a≤4时，直线y＝kx+k+3上有“a级和点”，求k的取值范围；（3）若抛物线的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．15．（2023•建湖县三模）平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长数值是面积数值的2倍，则称这个点为“二倍点”．例如，点P（，3）是“二倍点”．（1）在点A（1，1），B（﹣3，），C（﹣6，3）中，是“二倍点”的有；（2）若点E为双曲线y＝﹣（x＞0）上任意一点．①请说明随着点E在图象上运动，为什么函数值y随自变量x的增大而增大？②若将点E向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点F．求证：点F为“二倍点”．（3）已知“二倍点”M在抛物线y＝x2（x＞0）的图象上，“二倍点”N在一次函数y＝x（x＞0）的图象上，点G在x轴上，坐标平面内有一点H，若以点M，N，G，H为顶点的四边形是矩形，请直接写出点H的坐标．16．（2023•如东县一模）定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点．例如，函数y＝2x与函数y＝x﹣3为关联函数，点（1，2）和点（1，﹣2）是这两个函数的一对关联点．（1）判断函数y＝x+2与函数y＝﹣是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；（2）若对于任意实数k，函数y＝2x+b与y＝kx+k+5始终为关联函数，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣mx+1与函数y＝2x﹣（m，n为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，求2m2+n2﹣6m的取值范围．17．（2023•宿豫区三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）也经过点A、点C，并与x轴正半轴交于点B．（1）求抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）设点E（0，），点F在抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上，并使得△AEF的周长最小，过点F任意作一条与y轴不平行的直线交此抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，试探究的值是否为定值？说明理由；（3）将抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）适当平移后，得到抛物线y3＝a（x﹣h）2（h＞1），若当1＜x≤m 时，y3≥﹣x恒成立，求m的最大值．18．（2023•盐城）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．19．（2023•梁溪区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的图象与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），它的对称轴l与图象交于点P，直线OP所对应的函数表达式为y＝2x．（1）请直接写出点P的坐标．（2）若△P AB为直角三角形，设直线OP与这个二次函数的图象的另一个交点为Q．①求a、c的值与点Q的坐标；②若M为直线l上的点，且以M、B、Q为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点M的纵坐标t的取值范围．20．（2023•沭阳县三模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P在第四象限的抛物线上运动，连接AP，BP，CP．（1）求抛物线的表达式；（2）若S△PBC﹣S△APC＝2，求点P的坐标；（3）①如图2，若AP交BC于点E，过点P作x轴的垂线交BC于点F，当EF＝EP，求点P的坐标；②如图3，在①的条件下，连接AP，BP，点M是线段AP上一点，点Q是线段BP上一点，连接MQ，过点M作x轴的垂线交抛物线于点H，过点H作HN∥PB交MQ于点N，当S△MHN＝S△MHQ，直接写出线段MH的长．21．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上．①a＝；②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．22．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当时，一次函数的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．23．（2023春•大丰区月考）如图，直线y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx都经过点A（6，0），点B，过B作BH垂直x轴于H，OA＝3OH．直线OC与抛物线AB段交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点C的纵坐标是时，求直线OC与直线AB的交点D的坐标；（3）在（2）的条件下将△OBH沿BA方向平移到△MPN，顶点P始终在线段AB上，求△MPN与△OAC公共部分面积的最大值．24．（2023•常州）如图，二次函数y＝x2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C．（1）b＝；（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD＝．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．25．（2023•灌云县校级三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AC，BC，CD．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P为抛物线上的点，连接CP，当∠ACO＝∠PCB时，求点P的坐标；（3）若在x轴上总存在一点Q，且点Q的横坐标为m（m＞﹣3），当∠DCB＜∠QCB＜∠CAO时，直接写出m的取值范围．26．（2023•泗洪县模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣4）．（1）求该二次函数的解析；（2）若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标．27．（2023•兴化市开学）如图，已知抛物线y＝ax2（a＜0）经过点A（2，﹣2），过点A的直线l平行于x 轴，横坐标分别m，s的点B、C（m＜s＜0）在抛物线上，且位于在直线l异侧，连接BC，AC，AB，线段BC与直线l相交于点D．（1）求a的值；（2）若m＝﹣3，s＝﹣1．①求AD的值；②试判断AD是否平分∠CAB，并说明理由；（3）若AD平分∠CAB，试判断tan（∠ABD+∠CAD）的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由．28．（2023•昆山市校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，4）、与x轴交于点B（2，0）和点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D为第一象限的抛物线上一点．①过点D作DE⊥AB，垂足为点E，求线段DE长的取值范围；②若点F、G分别为线段OA、AB上一点，且四边形AFGD既是中心对称图形，又是轴对称图形，求此时点D的坐标．29．（2023•锡山区校级四模）已知抛物线y＝mx2﹣（1﹣4m）x+c过点（1，a），（﹣1，a），（0，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知过原点的直线与该抛物线交于A，B两点（点A在点B右侧），该抛物线的顶点为C，连接AC，BC，点D在点A，C之间的抛物线上运动（不与点A，C重合）．当点A的横坐标是4时，若△ABC的面积与△ABD的面积相等，求点D的坐标；（3）若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切．已知点F的坐标是（0，1），过该抛物线上的任意一点（除顶点外）作该抛物线的切线l，分别交直线y＝1和y＝﹣3直线于点P，Q，求FP2﹣FQ2的值．30．（2023•工业园区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）如图1，M是抛物线顶点，点P在抛物线上，若直线AP经过△CBM外接圆的圆心，求点P的横坐标；（3）如图2，点N是第一象限内抛物线上的一动点，连接NA分别交BC、y轴于D、E两点，若△NBD、△CDE的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值；（4）点Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，请直接求出点Q的坐标．。

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。

需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。

2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。

最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。

(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。

3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。

推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。

备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。

这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

1/ 182 / 18一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。

(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。

P B A CO xyQ图3二次函数综合题训练题1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C.（1） 求这条抛物线的函数关系式.（2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S.① 求S 与t 的函数关系式；② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状；③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.E B A C P 图1 O xy D3、如图7，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .4、如图5，已知抛物线c x b x a y ++=2的顶点坐标为E （1,0），与y 轴的交点坐标为（0,1）. （1）求该抛物线的函数关系式.（2）A 、B 是x 轴上两个动点，且A 、B 间的距离为AB=4，A 在B 的左边，过A 作AD ⊥x 轴交抛物线于D ，过B 作BC ⊥x 轴交抛物线于C. 设A 点的坐标为（t ,0），四边形ABCD 的面积为S.① 求S 与t 之间的函数关系式.② 求四边形ABCD 的最小面积，此时四边形ABCD 是什么四边形？③ 当四边形ABCD 面积最小时，在对角线BD 上是否存在这样的点P ，使得△PAE 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及这时△PAE 的周长；若不存在，说明理由.xy D 图5 E B A CO 1xyE O 1 备用图 C A MyB Ox 图7C A My B O x 备用 CA MyBOx 备用5、如图6，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2。

二次函数试题论：①抛物线1212--=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？ ②抛物线2)1(21+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？③抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线1212--=x y 怎样移动得到的？④抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线2)1(21+-=x y 怎样移动得到的？⑤抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ）A -1B 2C -1或2D m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系D 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—25、抛物线y= 21x 2-6x+24的顶点坐标是（ ）A （—6，—6）B （—6，6）C （6，6）6、已知函数y=ax 2+bx+c,①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２A １ B ２ C ３ D ４7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则c b a + =c a b + =ba c+ 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -218、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）二填空题：13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。

2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．6．如图，已知抛物线经过点A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）如图1，点D是抛物线上一动点，过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E，当线段DE＝1时，请直接写出D点的横坐标；（4）如图2，当D为直线AB上方抛物线上一动点时，DF⊥AB于F，设AC的中点为M，连接BD，BM，是否存在点D，使得△BDF中有一个角与∠BMO相等？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点D（0，3），过顶点C作CH⊥x轴于点H（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．9．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．（1）求抛物线的表达式；（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍，求的值．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．11．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x＝﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．（1）求出抛物线的函数表达式；（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC 的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣6ax﹣10交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4，抛物线l2与l1交于点A与C（4，m）．（1）求抛物线l1，l2的函数表达式；（2）当x的取值范围是 时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线PQ∥y轴，分别交x轴，l1，l2于点D（n，0），P，Q，当≤n≤5时，求线段PQ的最大值．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．17．已知直线y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y＝x2+mx﹣4经过点A，和x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D是抛物线上的动点，且在第三象限，求△ABD面积的最大值；（3）如图2，经过点M（﹣4，1）的直线交抛物线于点P、Q，连接CP、CQ分别交y轴于点E、F，求OE•OF的值．18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+2分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B．点P是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．设点P的横坐标为m．（1）点A的坐标为 ．（2）求这条抛物线所对应的函数表达式．（3）点P在线段OA上时，若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似，求m的值．（4）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），称E、F、P三点为“共谐点”．直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值．19．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝4，直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图1，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．抛物线上有一点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，请求出点Q到直线PN的距离．20．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC于点E，求EG的长．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣1．动点P在抛物线上运动（不与点A、B重合），过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，当PQ不与y轴重合时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，连结PM．设点P的横坐标为m．（1）求b、c的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．22．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．23．已知：如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（﹣1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E．求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短．若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由．24．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q 作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（﹣4，0）、C（2，0）两点．与y轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；（3）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．26．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）的顶点A在第一象限，它的对称轴与x轴交于点B，△AOB为等腰直角三角形（1）写出抛物线的对称轴为直线 ；（2）求出抛物线的解析式；（3）垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2）其中x1＜x2，直线L与函数y＝（x＞0）的图象交于点R（x3，y3），若，求x1+x2+x3的取值范围．27．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣3（m是常数）．（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点；（2）设抛物线的顶点为A，与x轴两个交点分别为B，D，B在D的右侧，与y轴的交点为C．①求证：当m取不同值时，△ABD都是等边三角形；②当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．28．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；（3）点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0）．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为（0，1），点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．①求S的最大值；②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，求此时S的值及点E的坐标．30．如图1，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S△DBE＝S△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＜0）交于A（﹣1，﹣1）、B两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若y轴平分∠ACB，求k的值；（3）若在x轴上有且只有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．32．如图，已知点E在x轴上，⊙E交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，OB＝3OA＝3，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过A、B、C三点，顶点为M．（1）写出A、B两点的坐标A ，B ；（2）求二次函数的关系式；（3）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值．33．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）（2）点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．34．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上第一象限上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．35．如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．（1）求k，b的值；（2）点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；（3）在（2）中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1，过点G1作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求PE的长最大时m的值．（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．37．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）、经过点D．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．（2）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围 ．38．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．39．如图1，正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上，⊙M是正方形ABCD的外接圆，连接OD，与⊙M相交于E点，连接BE与AD交于点F，已知AB＝4，（1）求证：△ODA≌△FBA；（2）如图2，当E是OD中点时，点G是过E、A、B的抛物线的顶点，连接AG，①求点E的坐标；②求证：AG是⊙M的切线．（3）如图3，连接CE，若ED+EA＝3，直接写出EC+EB的值．40．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C（1，2），且与直线y＝x交于点B（，）；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；（3）点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB 上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过点（1，2），（2，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点E（0，2）的一次函数图象与二次函数的图象交于A，B两点（A点在B 点的左侧），过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D．①当CD＝3时，求该一次函数的解析式；②分别用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，问是否存在实数t，使得S22＝tS1S3都成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把点（1，2），（2，5）坐标和对称轴为y轴三个条件，代入二次函数的表达式即可求解；（2）①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，利用x2﹣x1＝＝＝3，即可求解；②分别求出S1、S2、S3，用韦达定理化简，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故：二次函数的表达式为：y＝x2+1；（2）①设过点E的一次函数表达式为：y＝kx+2，将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣kx﹣1＝0，设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1＜x2），则：x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，x2﹣x1＝＝＝3，解得：k＝，∴该一次函数表达式为：y＝x+2或y＝﹣x+2；②S1＝AC•OC＝﹣x1y1，S2＝CD•OE＝（x2﹣x1）＝k2+4，S3＝BD•OD＝x2y2，x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，则：S1•S2＝﹣x1x2[k2x1x2+2k（x1+x2）+4]＝（k2+4）＝4S2，∴t＝4．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，主要考查利用韦达定理处理复杂的数据，难度不大．2．如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣k（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连结AD，若∠MDA＝∠ABD，求点D的坐标；（3）若在第一象限的抛物线上有一点P，使得以点A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，请直接写出△ABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）求出A、B的坐标，把点B坐标代入直线表达式即可求解；（2）利用△AMD∽△DMB，＝，即可求解；（3）分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣k＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，则x＝﹣2或4，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），把点B坐标代入直线y＝﹣x+b得：﹣×4+b＝0，解得：b＝，∴直线BD的表达式为：y＝﹣x+，当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3），把点D的坐标代入抛物线表达式得：（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，k＝，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），则：DM＝﹣x+，BM＝4﹣x，AM＝﹣2﹣x，∵∠MDA＝∠ABD，∠AMD＝∠DMB，∴△AMD∽△DMB，∴＝，即：（﹣x+）2＝（4﹣x）（﹣2﹣x），解得：x＝﹣5或4（舍去x＝4），∴点D的坐标为（﹣5，3）；（3）由抛物线的表达式，令x＝0，则y＝﹣k，∴点C的坐标为（0，﹣k），OC＝k，①当△ABC∽△APB时，则∠BAC＝∠PAB，设点P的坐标为（x，y），过点P作PN⊥x轴交于点N，则ON＝x，PN＝y，tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝kx+k，把点P（x，）代入抛物线表达式并解得：x＝8或﹣2（舍去﹣2），故点P的坐标为（8，5k），∵△ABC∽△APB，∴AB2＝AC•AP，即：62＝，解得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝；②△ABC∽△PAB时，同理可得：k＝，S△ABC＝AB•OC＝＝3，故：△ABC的面积为＝或3．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等，（2）（3）的关键是通过相似确定线段间的比例关系．3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，∴AM＝BM．∵点B，C，M三点共线，∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．（3）设点P的坐标为（﹣1，m），∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．分三种情况考虑（如图2）：①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，解得：m＝4，∴点P的坐标为（﹣1，4）；②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，解得：m＝﹣2，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，整理得：m2﹣3m﹣2＝0，解得：m1＝，m2＝，∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．4．定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a（x﹣m）+k称为抛物线y＝a（x﹣m）2+k 的关联直线．（1）求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；（3）如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a（x﹣1）2+4a与它的关联直线交于点A，B（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC．当△ABC为直角三角形时，求a的值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）根据关联直线的定义可求；（2）由题意可得a＝2，c＝3，设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，可得，可求m和k的值，即可求这条抛物线的表达式；（3）由题意可得A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），可求AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，分BC，AC为斜边两种情况讨论，根据勾股定理可求a的值．【解答】解：（1）∵y＝x2+6x﹣1＝（x+3）2﹣10∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，∴a＝2，c＝3，可设抛物线的顶点式为y＝2（x﹣m）2+k，则其关联直线为y＝2（x﹣m）+k＝2x﹣2m+k，∴解得∴抛物线y＝2x2+3或y＝2（x+1）2+1，（3）由题意：A（1，4a）B（2，3a）C（﹣1，0），∴AB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，AC2＝4+16a2，显然AB2＜BC2且AB2＜AC2，故AB不能成为△ABC的斜边，当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得，∵抛物线的顶点在第一象限∴a＞0，即【点评】本题是二次函数综合题，直角三角形的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；理解坐标与图象性质，记住两点间的距离公式，注意分情况讨论思想的应用．5．已知抛物线y＝﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当m＝2时，抛物线与y轴交于点C．①直接写出点A、B、C的坐标；②如图1，连接AC，在x轴上方的抛物线上有一点D，若∠ABD＝∠ACO，求点D的坐标；③如图2，点P为抛物线位于第一象限图象上一动点，过P作PQ⊥CB，求PQ的最大值；（2）如图3，若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，直线MN上有一点H，满足∠HBA与∠MAB互余，试判断HN的长是否变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出HN长．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）①先解方程﹣x2+2x+3＝0得A点和B点坐标；然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标；②OD交y轴于E，如图2，通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA，利用相似比得到OE＝OA＝1，则E（0，1），再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y＝﹣x+1，然后解方程得D点坐标；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），所以PF＝﹣x2+3x，再证明∠BFK＝∠PFQ＝45°，所以PQ＝PF＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）先解方程﹣x2+mt+m+1＝0得A（﹣1，0），B（m+1，0），延长BH交AM于G，如图3，证明Rt△BNH∽△MNA，则＝，设M（t，﹣t2+mt+m+1），则N（t，0），所以＝，然后根据分式的运算可得到HN＝1．【解答】解：（1）①当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），当y＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）；②OD交y轴于E，如图2，∵∠OBE＝∠ACO，∴Rt△OBE∽Rt△OCA，∴＝＝，∴OE＝OA＝1，∴E（0，1），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），E（0，1）代入得，解得，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+1，解方程组得或﹣，∴D点坐标为（﹣，）；③作PK⊥x轴于K，交BC于F，如图2，易得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3）（0＜x＜3），则F（x，﹣x+3），∴PF＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，∵OB＝OC＝3，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠KBF＝45°，∴∠BFK＝∠PFQ＝45°，∴PQ＝PF＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PQ有最大值，最大值为；（2）HN的长度不变，它的长度为1．。

中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七 存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

中考数学必刷题：二次函数综合题精选1.（2022.铁岭）抛物线y=ax2−2x+c经过点A（3，0），点C（0，-3），直线y=-x+b经过点A，交抛物线于点E。

抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S1=38S2时，求点P的横坐标；（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q 的坐标。

2.（2022.抚顺、辽阳）如图，抛物线y=ax2−3x+c与x轴交于A（-4，0），B两点，与y轴交于C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF.（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且DEEO =34时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标。

3.（2022.沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B(6,0)和点D（4，-3）与x轴另一个交点A. 抛物线与y轴交于点C，作直线AD.（1）①求抛物线的函数表达式；②并直接写出直线AD的函数表达式.（2）点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F,连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1=2S2时，求点E的坐标；（3）点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C`，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）。

曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形C`G`QP是平行四边形，直接写出P的坐标。

二次函数总复习经典练习题1．抛物线y=－3x2＋2x－1 的图象与坐标轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 只有一个交点．(C) 有且只有两个交点．(D) 有且只有三个交点．2．已知直线y=x 与二次函数y=ax2－2x－ 1 图象的一个交点的横坐标为1，则 a 的值为( )(A)2 ．(B)1 ．(C)3 ．(D)4 ．3．二次函数y=x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△ ABC的面积为( ) (A)6 ．(B)4 ．(C)3 ．(D)1 ．24．函数y=ax 2＋bx＋ c 中，若a> 0，b< 0，c<0，则这个函数图象与x 轴的交点情况是( )(A) 没有交点．(B) 有两个交点，都在x 轴的正半轴．(C) 有两个交点，都在x 轴的负半轴．(D) 一个在x 轴的正半轴，另一个在x 轴的负半轴．5．已知(2 ，5) 、(4 ，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c 上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是( ) a(A) x= ．(B) x=2．(C) x=4．(D) x=3．b6．已知函数y=ax2＋bx＋ c 的图象如图 1 所示，那么能正确反映函数y=ax＋ b 图象的只可能是( )7．二次函数y=2x2－4x＋5 的最小值是_____ ．28．某二次函数的图象与x轴交于点( －1，0) ，(4 ，0) ，且它的形状与y=－x2形状相同．则这个二次函数的解析式为_____ ．9．若函数y=－x2＋4 的函数值y> 0，则自变量x 的取值范围是______ ．10．某品牌电饭锅成本价为70 元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：801001101008060为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为元．11．函数y=ax 2－（a－3）x＋ 1 的图象与x 轴只有一个交点，那么 a 的值和交点坐标分别为12．某涵洞是一抛物线形, 它的截面如图3 所示, 现测得水面宽AB 1.6m, 涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, 在图中的直角坐标系内, 涵洞所在抛物线的解析式为13．（本题8 分）已知抛物线y=x2－2x－2 的顶点为A，与y 轴的交点为B，求过A、B 两点的直线的解析式．14．（本题8分）抛物线y=ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图3所示，求该抛物线在y 轴左侧与x 轴的交点坐标．15．（本题8 分）如图4，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a> 0）的顶点是C（0，1），直线l ：y＝－ax＋3 与这条抛物线交于P、Q两点，且点P 到x 轴的距离为2．（1）求抛物线和直线l 的解析式；（2）求点Q的坐标．16．（本题8 分）工艺商场以每件155 元购进一批工艺品．若按每件200 元销售，工艺商场每天可售出该工艺品100 件；若每件工艺品降价 1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？17．（本题10 分））杭州休博会期间，嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收33万元．而该游乐设施开放后，从第 1个月到第x 个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y=ax2＋bx；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元) ，g也是关于x 的二次函数．(1) 若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元．求y 关于x 的解析式；(2) 求纯收益g 关于x 的解析式；(3) 问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？几个月后，能收回投资？18(本题10分)如图所示，图4- ①是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱A3B3=50m，5 根支柱A1B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5 之间的距离均为15m，B1B5∥ A1A5，将抛物线放在图4- ②所示的直角坐标系中．(1) 直接写出图4- ②中点B1、B3、B5的坐标；(2) 求图4- ②中抛物线的函数表达式；(3) 求图4- ①中支柱A2B2、A4B4 的长度．B319、如图5，已知A(2，2)，B(3，0)．动点P( m，0)在线段OB上移动，过点P作直线l 与x 轴垂直．(1) 设△ OAB中位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2) 试问是否存在点P，使直线l 平分△ OAB的面积？若有，求出点P 的坐标；若无，请说明理由．更多学习方法和中高考复习资料，免费下载，扫一扫关注微信：答案：一、1．B 2 ．D 3 ．C 4 ．D 5 ．D 6．B二、 7．3 8 ．y =－ x ＋3x ＋4 9 ．－ 2< x <2 10 ．1301 115 211． a =0， （ ，0）；a =1，（－1，0）；a =9，（ ，0） 12 ． y x 23 3 413．抛物线的顶点为 （1，－ 3），点 B 的坐标为 （0，－ 2）．直线 AB 的解析式为 y =－x －2 14．依题意可知抛物线经过点 （1，0） ．于是 a ＋ 2a ＋ a 2＋ 2=0，解得 a 1=－1，a 2=－2．当 a = －1 或 a =－2 时，求得抛物线与 x 轴的另一交点坐标均为 （ －3，0）2 15． （1） 依题意可知 b =0，c =1，且当 y =2 时，ax 2＋1=2①，－ ax ＋3=2②．由①、②解得 a =1， x =1．故抛物线与直线的解析式分别为： y =x 2＋ 1，y =－ x ＋3；（2） Q （ －2，5）216．设降价 x 元时，获得的利润为 y 元．则依意可得 y =（45－x ）（100 ＋4x ）= －4x 2＋80x ＋4500， 即 y =－4（x －10）2＋4900．故当 x =10时， y 最大=4900（元）2217． （1） 将（1，2）和（2，6） 代入 y =ax 2＋bx ，求得 a =b =1．故 y =x 2＋x ；（2） g =33x －150－y ， 22即 g =－x 2＋32x －150；（3） 因 y =－（x －16） 2＋106，所以设施开放后第 16 个月，纯收益最大．令 g =0，得－ x 2＋ 32 x － 150=0．解得 x =16± 106 ，x ≈16－ 10.3=5.7（ 舍去 26.3） ．当 x =5 时， g <0， 当 x =6 时， g >0，故 6 个月后，能收回投资18．（1） B 1（ 30，0）， B 3 （0，30） ， B 5 （30，0） ；（2）设抛物线的表达式为 y a （x 30）（x 30） ，把 B 3 (0，30) 代入得 y a(0 30)(0 30) 30．1∴ a ．30∵所求抛物线的表达式为： y3）∵ B 4 点的横坐标为 15， 1 45∴B 4 的纵坐标 y 4 (15 30)(15 30) ．4 30 2∵ A 3B 3 50 ，拱高为 30，1 (x 30)(x 30) ． 30∴立柱A4B445 8520 (m) ．22由对称性知：85A2B2 A4B4 (m) ．2四、1 2 1 119．（1）当0≤m≤2时，S= m2；当2<m≤3时，S= ×3×2－（3 －m）（－2m＋6）= －m22 2 2＋6m－6．（2）若有这样的P点，使直线l 平分△ OAB的面积，很显然0<m<2．由于△ OAB3 1 3的面积等于3，故当l 平分△ OAB面积时，S= ．∴ m2．解得m= 3 ．故存在这样2 2 2的P点，使l 平分△ OAB的面积．且点P的坐标为（3 ，0）．。

中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线G：y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P，y P)，抛物线G与直线l：x=3交于点Q．（1）x P=，y P=（分别用含m的式子表示）；y P与x P的函数关系式为；（2）求点Q的纵坐标y Q（用含m的式子表示），并求y Q的最大值；（3）随m的变化，抛物线G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长．6．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(4,0)，点B(0,4)，ΔABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4√5时，求点P的坐标．9．如图1所示，已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点(A左B右)，与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE.（1）求直线AE的解析式；（2）在图2中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（直接填空）；（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE∶S△BGE=2∶3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线y=−23x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+43x+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD=1：4时，求点M的坐标；（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使∠PAB+∠BCO=90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B在函数y=14x2的图像上．已知A，B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求ΔAOB的面积；（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有个．12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；，求点M （3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=32坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时，求m的值；2（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(x+m)(x−3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、14．如图，y关于x的二次函数y=−√33mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(−3，0)，连接ED.(m>0)（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为，a的值为；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝√17，连接NC．①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似，且BF为△BFP的直角边，请直接写出点P坐标．16．如图，直线AB的解析式为y=−43x+4，抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C(6，0)，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点A作直线l//x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15(x+5)(x−5)方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：y=ax(x−10)．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x(x−10)；方案3：点B的坐标为（5，−5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：y=ax2，把点B的坐标（5，−5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x2；（2）解：方案一：由题意：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m方案二：由题意：把x=2代入y=−15x(x−10)解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把x=3代入y=−15x2解得：y=−95= −1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m．2．【答案】（1）解: 将点D( m，m+1 )代入y=−x2+3x+4中，得：m+1=−m2+3m+4，解得：m=−1或3，∵点D在第一象限，∴m=3，∴点D的坐标为(3，4)；令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x1=−1，x2=4，令x=0，则y=4，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= 4√2，CD=3，∵点C、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上．根据对称的性质知：CD=CE=3 ，∴OE=OC−CE=4−3=1，∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= 3√22，∵BC= 4√2，∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35．设PF=3t，则BF=5t，OF=5t−4．∴P(−5t+4，3t)，∵P点在抛物线上，∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得：t=2225或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( −25，6625)．3．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= OBOA=3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得： {a =−1b =−2c =3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）．如图， 当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD ．此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则△EFC ∽△EMP ． ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ，∴MP=3EM ．∵P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+3）．∵P 在第二象限，∴PM=﹣t 2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t ，∴﹣t 2﹣2t+3=﹣（t ﹣1）（t+3），解得：t 1=﹣2，t 2=﹣3（因为P 与C 重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P （﹣2，3）．∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得{−3k +b =0b =1 ，解得： {k =13b =1，∴直线CD 的解析式为：y= 13 x+1．设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（t ， 13 t+1），∴NM= 13 t+1．∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣（ 13 t+1）=﹣t 2﹣ 73t +2． ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ，∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN （CM+OM ）= 12 PN •OC= 12 ×3（﹣t 2﹣ 73t +2）=﹣ 32 （t+76）2+ 12124 ，∴当t=﹣ 76 时，S △PCD 的最大值为 12124 ． 4．【答案】（1）解：∵抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a+b （a ≠0，b ＞0）经过原点O ， ∴0=4a+b ，∴当ax 2+4ax+4a+b=0时，则ax 2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（0+2）2+2=0，解得：a=﹣12，∴抛物线C1：y=﹣12x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣14，∴y=﹣14（x+2）2+1=﹣14x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣14（2m+2+2）2+1，解得：m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5．【答案】（1）m；m+3；y P=x P+3（2）解：∵抛物线 G ：y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l ：x =3 交于点 Q ， ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 ， 得 y Q =−m 2+7m −6 ．∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254，∴当 m =72 时， y Q 的最大值为 254 ．（3）解：∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1：y =x +3 运动， 如图，设直线 l 1：y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ，线段 BP 1 的长即为点 P 路径长．把 x B =0 ， x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0，3) ，点 P 1(3，6) ， 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴，垂足为M ， 则 P 1M =3，BM =3 ， 在 Rt △BMP 1 中， BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ，∴点 P 路径长为 3√2 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y ＝a （x+1）2+4， 把x ＝0，y ＝3代入得：3＝a （0+1）2+4，解得：a ＝﹣1 ∴抛物线的表达式为y ＝﹣（x+1）2+4＝﹣x 2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作C 关于对称轴的对称点C ′，连接EC ′交对称轴于F ，此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝√AH2+DH2=√22+42=2√5，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC ＝1∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝ 12×2×2 ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ 12 x 2+x+4（2）解：设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．由﹣ 12 x 2+x+4=0， 得x 1=﹣2，x 2=4∴点B 的坐标为（﹣2，0） ∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 （m+2）（4﹣2m+43）= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 （m ﹣1）2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时，S △CQE 有最大值3，此时Q （1，0） （3）解：存在．在△ODF 中． （ⅰ）若DO=DF ∵A （4，0），D （2，0） ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F 的坐标为（2，2） 由﹣ 12 x 2+x+4=2， 得x 1=1+ √5 ，x 2=1﹣ √5此时，点P 的坐标为：P （1+ √5 ，2）或P （1﹣ √5 ，2）． （ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣12x2+x+4=3，得x1=1+ √3，x2=1﹣√3此时，点P的坐标为：P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2，而OF=OD=2 <2√2，与OF≥2 √2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ √5，2）或P（1﹣√5，2）或P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点B(0,4)，∴点C(0,2)，又∵M为AC中点，点A(4,0)，0+4 2=2,2+02=1，∴点M(2,1)（2）解：∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO=OCOA =12=tanα，则sinα=√5，cosα=√5，AC=√10，则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10，则点D(0,−8)，设直线AD的解析式为：y=mx+n，将点A、D的坐标分别代入得：{0=4m+n−8=n，解得：{m=2n=−8，所以直线AD的表达式为：y=2x−8（3）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−2)2+1，将点B坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得：a=34，故抛物线的表达式为：y=34x2−3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=12EF=2√5，cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5，解得：PE=5，设点P(x,34x2−3x+4)，则点E(x,2x−8)，则PE=34x2−3x+4−2x+8=5，解得x=143或2(舍去2)，则点P(143,193) .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∴该抛物线的对称轴为：x=−42×(−1)=2，令y=−x2+4x+5中x=0，则y=5，∴点C的坐标为(0，5)，∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴点E的坐标为(2×2−0，5)，即(4，5)，令y =−x 2+4x +5中y =0，则−x 2+4x +5=0， 解得：x 1=−1，x 2=5，∴点A 的坐标为(−1，0)、点B 的坐标为(5，0)， 设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A(−1，0)、E(4，5)代入y =kx +b 中， 得：{0=−k +b 5=4k +b ，解得：{k =1b =1，∴直线AE 的解析式为y =x +1； （2）（6，-7）（3）解：符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10．【答案】（1）解：当x =0时，得y =4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y =0时，得−23x +4=0，解得：x =6， ∴点B 的坐标为（6，0）， 将B ，C 两点坐标代入，得{36a +43×6+c =0，c =4. 解，得{a =−13，c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2，163)． （2）解：作MG ⊥x 轴于点G ，∵∠MFG =∠DFE ，∠MGF =∠DEF =90°， ∴ΔMGF ∽ΔDEF ．∴FM FD =MG DE．∴14=MG163．∴MG =43当y =43时，43=−23x +4 ∴x =4．∴点M 的坐标为(4，43)．（3）解：∵∠PAB +∠BCO =90°，∠CBO +∠BCO =90°， ∴∠PAB =∠CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴tan ∠CBO =46=23， ∴tan ∠PAB =23， 过点P 作PQ ⊥AB ， 当点P 在x 轴上方时，−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意， 当点P 在x 轴下方时，13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意， ∴存在，m 的值为4或8．11．【答案】（1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4 ∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4） 设直线AB 的解析式为 y =kx +b ， 把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB 的解析式为： y =12x +2 ； （2）解：对于直线AB ： y =12x +2 当 x =0 时， y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 （3）412．【答案】（1）解：∵A （﹣1，0）， ∴OA=1 ∵OB=3OA ， ∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的图象与x 轴负半轴交于点A （﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B （0，3）， ∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P （1，4） （3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P （1，4）， ∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1，且 设M （x ，3x+1）①当点M 在x 轴上方时，有 3x+1x+1=32 ，∴x =13 ， ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时，有 −3x+1x+1=32 ，∴x =−59 ， ∴M 2(−59 ， −23)（4）解：作点D 关于直线x=1的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N ， 当﹣x 2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3， ∴A （﹣1，0）， P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2， 根据ND ′⊥PD ，设ND ′解析式为y=kx+b ， 则k=﹣ 12 ，将D ′（2，2）代入即可求出b 的值， 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3，将两函数解析式组成方程组得： {y =−12x +3y =2x +2 ，解得 {x =25y =145 ，故N （ 25 ， 145 ），由两点间的距离公式：d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55， ∴所求最小值为4√5513．【答案】（1）解：把A （-1,0），B （2,0）代入抛物线解析式得： {a −b +4=04a +2b +4=0，解得： {a =−2b =2∴抛物线的解析式为： y =−2x 2+2x +4 （2）解：如图，连接OD ，由 y =−2x 2+2x +4 可得： 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ，C （0,4）∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ，A （-1,0），B （2,0） ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ，∴4m 2−8m +3=0解得： m 1=12 ， m 2=32 ，当 m 1=12 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 m 2=32 ， 综上， m =32（3）解： M 1(0,0) ， M 2(4,0) ， M 3(√142,0) ， M 4(−√142,0)14．【答案】（1）解：令y =0，则−√33m (x +m)(x −3m)=0，解得x 1=−m ，x 2=3m ；令x =0，则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ，0)，B(3m ，0)，D(0，√3m).（2）解：设直线ED 的解析式为y =kx +b ，将E(−3，0)，D(0，√3m)代入得：{−3k +b =0b =√3m解得，k =√33m ，b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式：y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ，4√33m).代入y =√33mx +√3m 得：m 2=m∵m >0，∴m =1.所以，当m =1时，M 点在直线DE 上. 连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C(m ，0). ∵OD =√3，OC =1， ∴CD =2，D 点在圆上又∵OE =3，DE 2=OD 2+OE 2=12， EC 2=16，CD 2=4， ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.（3）解：当0<m <3时，S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时，S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），则OM＝12+m2＝（√17）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得{x=−2y=−8，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF 的表达式知，tan ∠BNK ＝2，则tan ∠FKN ＝ 12 ， 故设直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+t ， 将点F 的坐标代入上式并解得t ＝﹣ 132 ，则直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x ﹣ 132 ，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣ 132 ）， 在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝ AOCO ＝ 12 ，则tan ∠OCA ＝2， ∵△BFP 与△AOC 相似， 故∠FBP ＝∠ACO 或∠OAC ，则tan ∠FBP ＝tan ∠ACO 或tan ∠OAC ，即tan ∠FBP ＝ 12 或2， 由点B 、F 的坐标得：BF ＝ √32+62=3√5 ， 则PF ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、F 的坐标得：PF 2＝（m+1）2+（﹣ 12 m ﹣ 132 +6）2＝（ 3√52）2或（6 √5 ）2， 解得m ＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去）， 故点P 的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ 152 ）； 当∠PBF 为直角时，过点B 作BP ⊥BF ，同理可求直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+1，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣1），同理可得，PB ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、B 的坐标得：PB 2＝（m-2）2+（﹣ 12 m+1）2＝（3√52）2或（6 √5 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣32）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣152）或（5，﹣32）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当x=0时，y=−43x+4=4，则A(0，4)，把A(0，4)，C(6，0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4，解得{b=43c=4，∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；（2）连接OP，设P(m，−13m2+43m+4)，当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则B(3，0)，S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m，=−12(m−4)2+8，当m=4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为(4，4)；（3）在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，当点P′落在x轴上，如图2，∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90∘，∵∠P′BH′=∠ABO，∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ，∴P ′H ′ ： OA =BH ′ ：OB ，即 (13m 2−43m) ： 4=BH ′ ：3， ∴BH ′=14m 2−m ， ∵AH ′+BH ′=AB ，∴m +14m 2−m =5 ，解得 m 1=2√5 ， m 2=−2√5( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) ； 当点 P ′ 落在y 轴上，如图3，同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m ， AH ′=AH =m ， ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ ， ∵∠P ′AH ′=∠BAO ， ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ，∴P ′H ′ ： OB =AH ′ ：AO ，即 (13m 2−43m) ： 3=m ：4， 整理得 4m 2−25m =0 ，解得 m 1=254， m 2=0( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (254，−4348) ； 综上所述，P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) 或 (254，−4348) ；。