3．1.2 函数的表示法
第1课时函数的表示法
[目标] 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点] 函数解析式的求法及函数图象的画法．
[难点] 求函数解析式的两种通法．
知识点函数的表示法
[填一填]
函数有解析法、列表法、图象法三种表示法．
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．
[答一答]
1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？
提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示．
2．函数的三种表示方法各有什么优点？
提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值；
图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；
列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象．
提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：
类型一列表法表示函数
[例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________.
[分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可．
[解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)．
由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1.
由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2，
又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2.
又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1.
[答案]1 1
列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算.
[变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3.
(2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则g (f (2))＝1；f (g (2))＝3.
解析：(2)∵f (2)＝3，g (2)＝2，∴g (f (2))＝g (3)＝1，f (g (2))＝f (2)＝3.
类型二 图象法表示函数
[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2
x ，x ∈[2，＋∞)；
(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．
[分析] 列表⇒描点⇒用平滑曲线连成图象⇒观察
图象 求得值域. [解] (1)列表：
x 0 1
2 1 32 2 y
1
2
3
4
5
描点，作出图象(如图)．当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
(2)列表：
x 2 3 4 5 … y
1
23
12
25
…
描点，作出图象(如图)．当x ∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y ＝2
x 的一部分，观察图象可
知，其值域为(0,1]．
(3)列表：
x －2 －1 0 1 2 y
－1
3
8
描点，作出图象(如图)，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分．
由图可得函数的值域是[－1,8]．
作函数图象应注意：
(1)在定义域内作图，即树立定义域优先的意识；
(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
[变式训练2]作出下列函数图象，并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0,1,2}．所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)．
由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．
(2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3；
当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5.
因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)．
由图象可知，y∈[－5,3)．
类型三 解析法表示函数
[例3] 求函数的解析式．
(1)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝9x ＋4，求f (x )的解析式； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )； (3)已知2f ⎝⎛⎭⎫
1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． [解] (1)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．
则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝9x ＋4.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
k 2＝9，kb ＋b ＝4.
解得k ＝3，b ＝1，或k ＝－3，b ＝－2. 所以f (x )＝3x ＋1或f (x )＝－3x －2. (2)法1：(配凑法)
因为f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)． 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法2：(换元法) 令x ＋1＝t (t ≥1)． 则x ＝(t －1)2(t ≥1)． 所以f (t )＝(t －1)2＋2
(t －1)2＝t 2－1(t ≥1)．
所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．
(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x
. 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧
f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1
x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1
x
.
解得f (x )＝23x －x
3(x ≠0)．
求函数解析式的方法：
(1)代入法：已知f (x )的解析式，求f [g (x )]的解析式常用代入法.
(2)配凑法：已知f [g (x )]的解析式，求f (x )的解析式时，可先从f [g (x )]的解析式中拼凑出“g (x )”，即把“g (x )”作为整体，再将解析式的两边的g (x )用x 代替即可求得f (x )的解析式.
(3)换元法：已知f [g (x )]的解析式，要求f (x )的解析式时，可令t ＝g (x )，利用t 表示出x ，然后代入f [g (x )]中，最后把t 换为x 即可.注意换元后新元的范围.
(4)待定系数法：已知f (x )的函数类型，求f (x )的解析式时，可根据函数类型先设出函数解析式，再代入关系式，利用恒等式求出待定系数即可.
[变式训练3] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x
1－x 2，求f (x )；
(2)已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，求g (x )的表达式．
解：(1)设t ＝1x ，则x ＝1
t
(t ≠0)，
代入f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x 2，得f (t )＝1
t
1－⎝⎛⎭⎫1t 2＝t
t 2－1(t ≠0)， 故f (x )＝x x 2－1(x ≠0)．
(2)由g (x )为一次函数， 设g (x )＝ax ＋b (a >0)，
∵f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，∴(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，
即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，
从而a 2＝4,2ab ＝－20，b 2＝25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5(x ∈R )．
1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为( D ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x ＋1
解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝0，
b ＝1，
所以a ＝－1，b ＝1，f (x )＝－x ＋1.
2．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图所示的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))＝( B )
x 1 2 3 f (x )
2
3
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：由函数图象可知g (2)＝1，由表格可知f (1)＝2，故f (g (2))＝2. 3．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式为f (x )＝3x ＋2. 解析：解法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －1
2.
∴f (t )＝6×t －1
2＋5＝3t ＋2，∴f (x )＝3x ＋2.
解法二：∵f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2，∴f (x )＝3x ＋2.
4．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是y ＝80x 2＋800x,_x ∈(0，＋∞)．
解析：由题意可知，长方体的长为(x ＋10)cm ，从而长方体的体积y ＝80x (x ＋10)，x >0，化简为：y ＝80x 2＋800x ，x ∈(0，＋∞)．
5．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系．
解：用列表法表示如下：
x/台1234 5
y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000
x/台678910
y/元18 00021 00024 00027 00030 000 用图象法表示，如图所示．
用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．
——本课须掌握的三大问题1．函数三种表示法的优缺点
2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等．
【新教材】 人教统编版高中数学必修一A版第三章教案教学设计
3.1《函数的概念及其表示》 教材分析： 课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．课本将映射作为函数的一种推广，这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化．这样处理，主要是想较好地衔接初中的学习，让学生将更多的精力集中理解函数的概念，同时，也体现了从特殊到一般的思维过程．教学目标与核心素养： 课程目标 1、明确函数的三种表示方法； 2、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； 3、通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 数学学科素养 1.数学抽象：函数解析法及能由条件求出解析式； 2.逻辑推理：由条件求函数解析式； 3.数学运算：由函数解析式求值及函数解析式的计算； 4.数据分析：利用图像表示函数； 5.数学建模：由实际问题构建合理的函数模型。 教学重难点： 重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念. 难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象． 课前准备：多媒体 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程：
一、情景导入 初中已经学过函数的三种表示法：列表法、图像法、解析法，那么这三种表示法定义是？优缺点是？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本67-68页，思考并完成以下问题 1.表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？ 2.函数的各种表示法各有什么特点？ 3.什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？ 4.怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．函数的表示法 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势 2.分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． [点睛](1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．
3．1.2 函数的表示法 第1课时函数的表示法 [目标] 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法；2.会求函数解析式，并正确画出函数的图象；3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．[重点] 函数解析式的求法及函数图象的画法． [难点] 求函数解析式的两种通法． 知识点函数的表示法 [填一填] 函数有解析法、列表法、图象法三种表示法． (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． [答一答] 1．任何一个函数都可以用解析法表示吗？ 提示：不一定．如学校安排的月考，某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因素影响较大的函数关系就无法用解析法表示． 2．函数的三种表示方法各有什么优点？ 提示：解析法：简单、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求定义域内的任意自变量对应的函数值； 图象法：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势，便于研究函数的性质；
列表法：查询方便，不需计算便可得自变量对应的函数值．3．作出函数y＝x2－3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}的图象． 提示：函数的图象是一些离散的点，图象如图所示：
类型一列表法表示函数 [例1]已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： 则f(g(1))的值为________；当g(f(x))＝2时，x＝________. [分析]这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可． [解析]由g(x)对应表，知g(1)＝3， ∴f(g(1))＝f(3)． 由f(x)对应表，得f(3)＝1，∴f(g(1))＝f(3)＝1. 由g(x)对应表，得当x＝2时，g(2)＝2， 又g(f(x))＝2，∴f(x)＝2. 又由f(x)对应表，得x＝1时，f(1)＝2，∴x＝1. [答案]1 1 列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算. [变式训练1](1)在例1中，函数f(x)的定义域是{1,2,3}，值域是{2,1};_f(1)＝2；若f(x)＝1，则x＝2或3. (2)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
《3.1-函数的概念及其表示》课堂教学教案教学设计(统编人教A 版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
3.1.2 函数的表示法 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第2课时，本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用，进一步加深对函数概念的理解。 课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列 表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用． 课程目标 学科素养 A.在实际情景中，会根据不同的需要选择 恰当的方法（解析式法、图象法、列表 法）表示函数； B.了解简单的分段函数，并能简单地应 用； 1.教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念； 2.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象。多媒体
一、复习回顾，温故知新 1. 初中学过哪几种表示函数的方法? 【答案】表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 如,s=60t 2，A=r 2，S=2,y=ax 2+bx+c(a ≠0),y=x+2等等都是用解析式表示函数关系的.3.1.1的问题1、2. （2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3. （3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题4. 二、探索新知 例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x ∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x ∈｛1,2,3,4,5｝。 用列 表法可将y=f(x)表 示为 笔记本 数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将y=f(x)表示为 思考1：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？
3。1。2 函数的表示法 第1课时函数的表示法 学习目标核心素养 1。掌握函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点）1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养。 (1）已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值380千米/时，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．（2)如图是我国人口出生率变化曲线: (3）下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表 污染源距离50100200300500
氰化物浓度0.6780。3980.1210.050。01问题：根据初中所学知识，请判断问题（1)、(2）、（3）分别是用什么法表示函数的? 提示：解析法、图象法和列表法． 函数的表示法 思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗? 提示：不一定． 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此,图象法也不适用于所有函数，如D（x）＝错误!列表法虽在理论上适用于所有函数,但对于自变量有无数个取值的情况,列表法只能表示函数的一个概况或片段． 1．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”) （1)任何一个函数都可以用解析法表示．(） (2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．
（） [答案](1)×(2)× 2．已知函数f(x）由下表给出，则f（3）等于(） x1≤x<222 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示............................................................................................. - 1 - 3.1.1函数的概念.................................................................................................. - 1 - 3.1.2函数的表示法(1) ....................................................................................... - 10 - 3.1.2函数的表示法(2) ....................................................................................... - 19 - 3.2函数的基本性质................................................................................................... - 26 - 3.2.1单调性与最大(小)值(1) ............................................................................. - 26 - 3.2.1单调性与最大(小)值(2) ............................................................................. - 32 - 3.2.2奇偶性 ....................................................................................................... - 42 - 3.3幂函数 .................................................................................................................. - 51 - 3.4函数的应用(一) .................................................................................................... - 60 - 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 内容标准学科素养1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依 赖关系的数学模型．数学抽象 数学建模 数学推理 2.学习用集合对应的语言来刻画函数，体会对应关系在 刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，会求函数的定义域. 授课提示：对应学生用书第30页 [教材提炼] 知识点一函数的概念 预习教材，思考问题 y＝x中x与y的对应关系，和y＝ x2 x中x与y的对应关系相同吗？ 第三章函数的概念与性质小结与复习教案 第1课时 一、内容和内容解析 1.内容 函数的概念、表示和函数单调性的复习课 2. 内容解析 这是在学生已经学习完本章内容的基础上进行的复习课，复习课一共两节课，这是第一节复习课. 在这一章中，学生从用变量之间依赖关系描述函数上升到用集合语言和对应关系刻画函数，建立了完整的函数概念，并体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.这是一个难点，因此在复习的过程中还要巩固.除此之外，还要了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，能根据实际的情况用不同的函数表示方法表示函数，了解简单的分段函数，并能简单应用.同样地，在研究函数单调性的过程中，能够使用符号化的语言来描述，这是学生学习这部分内容时的一个难点. 这样一种从形象直观到定性刻画再到定量刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言精确刻画刻画定量变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义. 基于以上分析，确定教学重点：复习建立在集合与对应关系的函数概念以及函数单调性的符号语言刻画和单调性的应用. 二、目标和目标解析 1.目标 （1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题； （2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，理解它们的作用和实际意义； （3）能用定义证明简单函数的单调性； （4）能运用所学的知识解决一些数学问题和实际问题. 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）能用集合间的对应关系的观点定义函数，能根据实际的问题表示函数； （2）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象，或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势. （3）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性； （4）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值. 三、教学问题诊断分析 学生已经学习了相关的知识，在这节复习课上，要巩固前面学习的相关内容，让学生进一步体会用数学的语言和符号化的方式表达数学概念，表达函数的概念、函数的性质等.作为复习课，在教学的过程中也要充分利用信息技术展示函数的对应关系、函数的单调变化规律、函数的最值等，也可以用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义. 另外，在教学的过程中，还要有一定的习题，让学生通过习题，自己体会函数的概念和函数的性质等，通过习题，体会这些概念和性质的应用，并体会一些内容的综合运用. 第三章函数 3.1 函数的概念及其表示 知识点一：函数的概念 1.函数的有关概念 2.函数的三要素 一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域. 因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数. 3.区间的概念:设a,b∈R,a 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞). 知识点二：函数的表示法 1.函数的三种表示法 2.分段函数 已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数. 【思考】 1.函数的定义域和值域是否一定是无限集? 2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示? 3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应? 4.如何确定分段函数的定义域和值域? 【解析】 1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}. 2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示. 3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”. 4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的 并集. 3.1.1 函数的概念 基础练 一函数的概念 1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是() A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温 B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值) C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号 D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税 2.下列四组函数中,表示同一个函数的是() 3 A.y=|x|与y=√x3 B.y=√x2与s=(√t)2 C.y=2t+1与y=2u+1 D.y=1与y=x0 3.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有() A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.②④ 二函数的定义域 4.函数f(x)=√x−1 的定义域为() x−2 A.[1,+∞) B.[1,2) C.[1,2)∪(2,+∞) D.(1,2)∪(2,+∞) 5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是. 6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1) 的定义域为. x+1 三函数值及函数的值域 3.1.1 函数的概念 课程标准 (1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数． 新知初探·课前预习——突出基础性 教材要点 要点一函数的概念 要点二同一个函数 如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷. 要点三区间及有关概念 1．一般区间的表示 设a，b∈R，且a 2.特殊区间的表示 助学批注 批注❶抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余． 批注❷只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同． 批注❸这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a 第2课时分段函数 [目标] 1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象，培养数学运算核心素养;2.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题,培养数学建模核心素养．[重点] 分段函数求值、分段函数的图象及应用． [难点] 对分段函数的理解． 知识点分段函数 [填一填］ 如果函数y＝f（x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． [答一答] 1．分段函数的定义域部分可以相交吗？ 提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的． 2．分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？ 提示:(1）分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的不同子集内解析式不一样而已． (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并且必须指明各段函数自变量的取值范围．3．已知函数f(x）的图象如图所示，则f(x）的值域为［－4，3］． 解析：由题图可知，当x∈[－2,4]时，f(x)∈[－2，3］；当x ∈［5,8]时，f(x）∈[－4,2。7]．故函数f(x）的值域为[－4,3]． 类型一分段函数的定义域、值域 ［例1](1）已知函数f(x）＝错误!，则其定义域为（）A．R B．(0，＋∞) C．（－∞,0) D．（－∞，0）∪（0，＋∞) (2）函数f（x)＝错误!的定义域为________,值域为________．［分析］分段函数的定义域、值域⇒各段函数的定义域、值域． ［解析](1）由于f（x)＝错误!＝错误!故定义域为(－∞,0）∪（0，＋∞）． （2)由已知定义域为{x|0 第2课时函数的表示法课程标准学法解读 1．函数的表示方法．(理解) 2．函数图像的作用．(理解)函数的三种表示法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，从不同的侧面认识函数的本质. 必备知识·探新知 基础知识 1．函数的表示方法 __解析法__用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 __图像法__用图像表示两个变量之间的对应关系 __列表法__列出表格来表示两个变量之间的对应关系思考：函数的三种表示方法各自有哪些优缺点？ 提示： 方法优点缺点 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的 值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系 图像法能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量的值所对应的函 数值，而且有时误差较大 解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系， 从“数”的方面揭示了函数关系；二是 可以通过解析式求出任意一个自变量的 值所对应的函数值 不够形象、直观、具体，而且并不是所 有的函数都能用解析法表示出来 基础自测 1．已知函数f (x )由下表给出，则f [f (3)]＝__1__. x 1 2 3 4 f (x ) 3 2 4 1 解析：由题设给出的表知f (3)＝4，则f [f (3)]＝f (4)＝1. 2．若反比例函数f (x )满足f (3)＝－6，则f (x )的解析式为__f (x )＝－18 x __. 3．函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的定义域是__[－1,0)∪(0,2]__，值域是__[－1,1)__. 4．已知函数f (x )的图像如图所示，其中点A ，B 的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f [f (0)]＝__0__. 解析：结合题图可得f (0)＝3，则[(f (0)]＝f (3)＝0. 5．已知函数f (2x ＋1)＝6x ＋5，则f (x )的解析式是__f (x )＝3x ＋2__. 解析：法一：令2x ＋1＝t ，则x ＝t －12. 所以f (t )＝6×t －1 2＋5＝3t ＋2， 所以f (x )＝3x ＋2. 法二：因为f (2x ＋1)＝3(2x ＋1)＋2， 所以f (x )＝3x ＋2. 关键能力·攻重难 类型 函数的表示方法 ┃┃典例剖析__■ 第1课时 函数的表示法 课后篇巩固提升 基础巩固 1.下列选项中(横轴表示x 轴,纵轴表示y 轴),表示y 是x 的函数的是() ,对于非空数集A 中每一个确定的x 值,都有唯一确定的y 值与之对应,观察并分析图象知只有选项D 符合函数的定义. 2.已知f (1-x 1+x )=x ,则f (x )=() A.x +1 x -1 B.1-x 1+x C.1+x 1-x D.2x x +1 解析令1-x 1+x =t ,则x=1-x 1+x ,故f (t )=1-x 1+x ,即f (x )=1-x 1+x . 3.若f (x )对于任意实数x 恒有3f (x )-2f (-x )=5x+1,则f (x )=() A.x+1 B.x-1 C.2x+1 D.3x+3 3f (x )-2f (-x )=5x+1,所以3f (-x )-2f (x )=-5x+1,解得f (x )=x+1. 4.已知函数f (x )是反比例函数,且f (-1)=2,则f (x )=. f (x )=x x (k ≠0),∵f (-1)=2,∴-k=2, 即k=-2.∴f (x )=-2 x . -2 x 5.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(-5)=,f(f(2))=. f(-5)=3 ,f(2)=0,f(0)=4, 2 故f(f(2))=4. 6.对于定义域为R的函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表: 则f(f(f(0)))=. f(0)=3, 则f(f(0))=f(3)=-1,f(f(f(0)))=f(-1)=2. 7.作出下列函数的图象,并指出其值域: (1)y=x2+x(-1≤x≤1); (-2≤x≤1,且x≠0). (2)y=2 x 用描点法可以作出所求函数的图象如图所示. 3。1。2 函数的表示法 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修一》(人教A版)第三章《函数的概念与性质》，本节课是第2课时，本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用,进一步加深对函数概念的理解。 课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用． A.在实际情景中，会根 据不同的需要选择恰当 的方法（解析式法、图 象法、列表法）表示函 数； B.了解简单的分段函 数，并能简单地应用； 1.教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念； 2.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,分段函数的表示及其图象。 多媒体 解：这个函数的定义域是数集{1，2,3，4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈｛1,2,3，4,5}。 用列表法可将y=f（x)表示为 笔记 本数 x 12345 钱 数y51 1 5 2 2 5 用图象法可将 y=f(x)表示为 【答案】不是所有的函数都能用解析法表示.例如，某天24整点的整点数与这一刻的气温的关系。 例2.画出函数y=｜x| 的图象。 解： 由绝对值的概念,我们有 ⎩⎨ ⎧<-≥==0 ,0 ,||x x x x x y 。 所以，函数y=|x ｜ 的图象如图所示。 我们把这样的函数称为分段函数。 例3.给定函数.)1()(,1)(2 R x x x g x x f ∈+=+=， （1）在同一直角坐标系中画出函数)(),(x g x f 的图象; (2）,R x ∈∀ 用M （x ）表示)(),(x g x f 中的 较大者,记为)}(),(max{)(x g x f x M =， 试分别用图象法和解析法表示函数M(x)。 解：（1） 在同一直角坐标系中画出函数)(),(x g x f 的图象，如图。 中绝对值号去掉，教给学生分段函数的定义。 通过例题练习分段函数图象的画法及其表示，提高学生解 决问题的 能力。 第2课时函数的表示方法 (教师独具内容） 课程标准：1。在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图像的作用。2。通过具体实例,了解简单的分段函数，并能简单应用． 教学重点:函数的三种表示方法；分段函数的图像及应用． 教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【情境导学】（教师独具内容) 我们已经知道圆的面积A与半径r之间的关系A＝πr2是函数关系,银行里常用的“利息表”和我国人口出生率的变化曲线也是函数关系等等,既然都是函数关系，它们的表示各有什么特征？对你解决问题有哪些益处？学了本节知识，你一定有很深的体会． 【知识导学】 知识点一函数的表示方法 （1)解析法 错误!用代数式(或解析式）来表示函数的方法称为解析法． （2）列表法 错误!用列表的形式给出函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法． (3)图像法 一般地，将函数y＝f（x)，x∈A中的错误!自变量x和对应的函数值y,分别看成平面直角坐标系中错误!点的横坐标与纵坐标，则错误!满足条件的点（x，y）组成的集合F称为函数的图像，即F＝｛（x，y)｜y＝f（x)，x∈A｝． 这就是说，如果F是函数y＝f（x)的图像，则错误!图像上任意一点的坐标(x，y）都满足函数关系y＝f(x）；反之，满足错误!函数关系y＝f(x）的点（x，y）都在函数图像F上．错误!用函数的图像表示函数的方法称为图像法． 知识点二分段函数 错误!如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间,有不同的对应方式，则称其为分段函数． 知识点三常数函数 错误!值域只有一个元素的函数,这类函数通常称为常数函数． 【新知拓展】 1．对函数的三种表示法的说明 （1）列表法:采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少，当自变量的个数较多时，使用不方便． （2)图像法：图像既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． （3)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． 2．关于分段函数 （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数． (2）研究分段函数的性质时，应根据“先分后合"的原则，尤其是在作分段函数的图像时，可将各段的图像分别画出来,从而得到整个函数的图像． （3）分段函数的定义域是各段定义域的并集,其值域是各段值域的并集，写定义域时，区间端点应不重不漏． （4）求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式求解． 3．关于函数的实际应用问题，在确定出函数的解析式后，不仅要注意解析式本身对自变量的限制,还要注意自变量的实际意义． 1．判一判（正确的打“√”,错误的打“×”） （1)任何一个函数都可以用解析法表示．（） （2）函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( ） （3)分段函数分几段，其图像就有相应的几段．( ) 答案(1)×(2）×(3）√ 2．做一做 (1）已知函数f(x)由下表给出，则f(3）等于（） x1≤x<222 第2课时函数的表示方法 学习目标核心素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、 列表法．(重点) 2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函 数．(难点) 3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点) 4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)1.通过函数表示的图像法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养．3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养． (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式． (2)如图是我国人口出生率变化曲线： (3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表： 污染源距离50100200300500 氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01 问题根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？ 1．函数的图像 (1)定义：将函数y ＝f (x )，x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x ，y )组成的集合F 称为函数的图像，即F ＝{(x ， y )|y ＝f (x )，x ∈A }． (2)F 是函数y ＝f (x )的图像，必经满足下列两条 ①图像上任意一点的坐标(x ，y )都满足函数关系y ＝f (x )； ②满足函数关系y ＝f (x )的点(x ，y )都在函数图像F 上． 2．函数的表示法 思考1：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？ [提示] 不一定． 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q . 列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 3．分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数． 思考2：分段函数是一个函数还是几个函数？ [提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数． [拓展] 分段函数的定义域、值域和图像 (1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集． (2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集． (3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示． ( ) (2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( ) 1 第一节 函数的概念及表示 第1课时 函数的概念 课标要点 核心素养 1．理解函数的概念，会用集合语言刻画函数，体会对应关系在函数定义中的作用． 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用． 1．通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域和值域的求解，培养数学运算素养和逻辑推理素养． 1．函数的概念 （1）定义：一般的，设A 、B 是非空的数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y =f （x ），x ∈A ，其中x 称为自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素： 对应关系：f ，f 一定要保证一个x 只对应一个y ． 定义域：在函数y =f （x ），x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域． 值域：所有函数值构成的集合{y |y =f （x ），x ∈A }叫做这个函数的值域． 2．两个函数相同 一般地，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致（即相同的自变量对应的函数值也相同），那么这两个函数是同一个函数． 3．区间 设a ，b 是两个实数，而且a a } {x |x 3.1.2 函数的表示法 最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 知识点一 函数的表示法 状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系． 2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 知识点二 分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 状元随笔 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． 2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如 y ＝⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 1，－2≤x≤0，x ，0 适用于所有函数，如 D (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 0，x ∈Q ， 1，x ∈∁R Q . 列表法虽在理论上适用 于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段)． [基础自测] 1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元，若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x (x ∈R ) C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…}) D．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 解析：题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}，故选D. 答案：D 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 1x ＋1，x <－1， x －1，x >1，则f (2)等于( ) A ．0 B.1 3 C ．1 D ．2 第1课时单调性的定义与证明 (教师独具内容) 课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 教学重点：函数单调性的定义及其应用，函数单调性的证明． 教学难点：函数单调性的证明. 【情境导学】(教师独具内容) 下图是某市一天24小时内的气温变化图，从图中你能发现什么？ 提示：从图像上可以看出0～4时气温下降，4～14时气温逐渐上升，14～24时气温又逐渐下降． 学习了本节内容——函数的单调性，可以使我们更好地认识图形，并用图形中所揭示的规律与趋势来指导我们的生活与工作． 【知识导学】 知识点一增函数与减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□01f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上□02单调递增)． (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□03f(x1) 则称f (x )的最大值为f (x 0)，而□ 02x 0称为f (x )的最大值点；如果对任意x ∈D ，都有□03f (x )≥f (x 0)，则称f (x )的最小值为f (x 0)，而□04x 0称为f (x )的最小值点．最大值和最小值统称为□ 05最值，最大值点和最小值点统称为□06最值点． 【新知拓展】 1．当函数f (x )在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增(减)函数时，不能说f (x )在A ∪B 上是增(减)函数，如f (x )＝1 x 在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，不能 说f (x )＝1 x 在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x 1＝－1<1＝x 2，有f (－ 1)＝－1<1＝f (1)，不符合减函数的定义． 2．函数的单调性是函数在某个区间上的性质 (1)这个区间可以是整个定义域． 例如，y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数． (2)这个区间也可以是定义域的真子集． 例如，y ＝x 2 在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数． (3)有的函数不具有单调性． 例如，函数y ＝⎩⎪⎨ ⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数， 它的定义域为R ，但不具有单调性；y ＝x ＋1，x ∈Z ， 它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性． 3．区间端点的写法 对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点． 例如，y ＝x 2 的单调递增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，但函数y ＝1x 在(0， ＋∞)上是减函数，就不能写成y ＝1 x 在[0，＋∞)上为减函数． 4．对最大(小)值定义的理解 (1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x 0，使f (x 0)等于最值，如f (x )＝－x 2 (x ∈R )的最大值为0，有f (0)＝0.新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数的概念与性质 学案(知识点考点汇总及配套练习题)
第三章函数的概念与性质 小结与复习(第1课时) 教案-高一上学期数学人教A版必修第一册
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
高中数学第三章函数的概念与性质函数的概念学案新人教A版必修第一册
高中数学第三章函数的概念与性质3.1.第课时分段函数学案含解析第一册
高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第2课时 函数的表示
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法(第1课时)函数的表示法课后篇巩固提升(
高中数学第三章函数概念与性质3.1函数的概念及其表示3教案第一册
2020学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第2课时函数的表
高中数学 第3章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第2课时 函数的表示
高中数学第三章函数的概念与性质3-1函数的概念及其表示第1课时函数的概念学案新人教A版必修第一册
高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2 函数的表示法第一册数学教案
高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调性 第1课时 单调性的定义与
相关主题
文本预览