数与代数-巧算方法精选习题(适合培优专题复习)

数学速算巧算练习题1. 计算下列各题，并找出其中的规律：- 36 + 42- 58 + 62- 74 + 46- 83 + 272. 快速估算以下乘法结果：- 47 × 3- 89 × 4- 56 × 2- 73 × 53. 完成以下除法运算，并检查结果是否为整数： - 144 ÷ 12- 260 ÷ 5- 315 ÷ 7- 490 ÷ 104. 利用速算技巧解决下列加减法问题：- 98 + 102- 201 - 99- 123 + 77- 456 - 1235. 计算下列混合运算，并验证结果：- (67 + 33) × 2- (89 - 45) × 6- (56 + 44) ÷ 2- (120 - 78) ÷ 36. 通过心算找出下列数列中的下一个数：- 2, 4, 8, 16, 32, …- 3, 9, 27, 81, …- 1, 2, 4, 8, 16, …- 5, 25, 125, 625, …7. 计算下列分数的加减法：- 1/2 + 1/4- 3/4 - 1/2- 2/3 + 1/6- 5/6 - 1/38. 快速估算下列平方根的值：- √16- √81- √144- √1699. 计算下列小数的乘法和除法：- 0.75 × 0.4- 1.2 ÷ 0.3- 0.25 × 4- 2.5 ÷ 0.510. 解决下列实际问题，需要用到速算技巧：- 如果一本书的价格是25元，买4本需要多少钱？- 一个班级有48名学生，每名学生需要交10元的班费，总共需要多少钱？- 一个长方形的长是12米，宽是8米，它的面积是多少平方米？ - 一个正方形的边长是9厘米，它的周长是多少厘米？。

小学数学巧算方法与习题一、加法巧算方法1. 十位数相同，个位数之和为10的加法巧算方法当两个数的十位数相同，而个位数之和为10时，可以利用下面的巧算方法：例如：34 + 56 = ?1. 将两个数的个位数相加，得到10。

2. 将同样的十位数写在答案的十位数位置上，即 3 。

3. 将10写在答案的个位数位置上，即 10 。

所以，34 + 56 = 90 。

2. 十位数相同，个位数之和大于等于10的加法巧算方法当两个数的十位数相同，而个位数之和大于等于10时，可以利用下面的巧算方法：例如：45 + 68 = ?1. 将两个数的个位数相加，得到13。

2. 将同样的十位数加1，写在答案的十位数位置上，即4+1=5 。

3. 将13减去10，得到3，写在答案的个位数位置上，即 13-10=3 。

所以，45 + 68 = 53 。

二、减法巧算方法1. 个位数相同，十位数之差为10的减法巧算方法当两个数的个位数相同，而十位数之差为10时，可以利用下面的巧算方法：例如：75 - 65 = ?1. 将两个数的个位数相减，得到0。

2. 将同样的个位数写在答案的个位数位置上，即 5 。

3. 将10写在答案的十位数位置上，即 10 。

所以，75 - 65 = 10 。

2. 个位数相同，十位数之差小于10的减法巧算方法当两个数的个位数相同，而十位数之差小于10时，可以利用下面的巧算方法：例如：85 - 37 = ?1. 将两个数的个位数相减，得到8。

2. 将十位数之差写在答案的十位数位置上，即 8 。

3. 将8加上10，得到18，写在答案的个位数位置上，即 18 。

所以，85 - 37 = 18 。

三、乘法巧算方法1. 乘法表中的相同数字相乘当两个数相同，且在乘法表中有对应的乘法结果时，可以直接写出答案。

例如：6 × 6 = 362. 十位数相同，个位数之和为10的乘法巧算方法当两个数的十位数相同，而个位数之和为10时，可以利用下面的巧算方法：例如：34 × 56 = ?1. 将两个数的个位数相乘，得到24。

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上;能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此;还要善于根据题目条件;将推理与计算相结合;灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题;从而提高运算能力;发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中;可以根据运算法则和运算律;去掉或者添上括号;以此来改变运算的次序;使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中;由于负数的引入;符号“+”与“-”具有了双重涵义;它既是表示加法与减法的运算符号;也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时;一定要正确运用有理数的运算法则;尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中;常常把小数变成分数;把带分数变成假分数;这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦;根据运算规则;添加括号改变运算次序;可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=211×555+211×445+445×789+555×789=211×555+445+445+555×789=211×1000+1000×789=1000×211+789=1000000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”;它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项;第三、第四项;…;分别配对的方式计算;就能得到一系列的“-1”;于是一改“去括号”的习惯;而取“添括号”之法．解S=1-2+3-4+…+-1n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时;上式是n／2个-1的和;所以有当n为奇数时;上式是n-1／2个-1的和;再加上最后一项-1n+1·n=n;所以有例4在数1;2;3;…;1998前添符号“+”和“-”;并依次运算;所得可能的最小非负数是多少分析与解因为若干个整数和的奇偶性;只与奇数的个数有关;所以在1;2;3; (1998)前任意添加符号“+”或“-”;不会改变和的奇偶性．在1;2;3;…;1998中有1998÷2个奇数;即有999个奇数;所以任意添加符号“+”或“-”之后;所得的代数和总为奇数;故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n;n+1;n+2;n+3之间添加符号“+”或“-”;显然n-n+1-n+2+n+3=0．这启发我们将1;2;3;…;1998每连续四个数分为一组;再按上述规则添加符号;即1-2-3+4+5-6-7+8+…+1993-1994-1995+1996-1997+1998=1．所以;所求最小非负数是1．说明本例中;添括号是为了造出一系列的“零”;这种方法可使计算大大简化．有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607微信13699~77~10742．用字母表示数我们先来计算100+2×100-2的值：100+2×100-2=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算;若用字母a代换100;用字母b代换2;上述运算过程变为a+ba-b=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式a+ba-b=a2-b2;①这个公式叫平方差公式;以后应用这个公式计算时;不必重复公式的证明过程;可直接利用该公式计算．例5计算3001×2999的值．解3001×2999=3000+13000-1=30002-12=8999999．例6计算103×97×10009的值．解原式=100+3100-310000+9=1002-91002+9=1004-92=99999919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察;发现分母中涉及到三个连续整数：12345;12346;12347．可设字母n=12346;那么12345=n-1;12347=n+1;于是分母变为n2-n-1n+1．应用平方差公式化简得n2-n2-12=n2-n2+1=1;即原式分母的值是1;所以原式=24690．例8计算：2+122+124+128+1216+1232+1．分析式子中2;22;24;…每一个数都是前一个数的平方;若在2+1前面有一个2-1;就可以连续递进地运用a+ba-b=a2-b2了．解原式=2-12+122+124+128+1×216+1232+1=22-122+124+128+1216+1×232+1=24-124+128+1216+1232+1=……=232-1232+1=264-1．例9计算：分析在前面的例题中;应用过公式a+ba-b=a2-b2．这个公式也可以反着使用;即a2-b2=a+ba-b．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到;用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题;从中可以看到用字母表示一个式子;也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下;请计算他们的总分与平均分．87;91;94;88;93;91;89;87;92;86;90;92;88;90;91;86;89;92;95;88．分析与解若直接把20个数加起来;显然运算量较大;粗略地估计一下;这些数均在90上下;所以可取90为基准数;大于90的数取“正”;小于90的数取“负”;考察这20个数与90的差;这样会大大简化运算．所以总分为90×20+-3+1+4+-2+3+1+-1+-3+2+-4+0+2+-2+0+1+-4+-1+2+5+-2=1800-1=1799;平均分为90+-1÷20=89.95．例12计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中;从第二项开始;后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000;于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式;即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①;②两式左右分别相加;得2S=1+1999+3+1997+…+1997+3+1999+1=2000+2000+…+2000+2000500个2000=2000×500．从而有S=500000．说明一般地;一列数;如果从第二项开始;后项减前项的差都相等本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997;都等于2;那么;这列数的求和问题;都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现;上式从第二项起;每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5;所得新和式中除个别项外;其余与原和式中的项相同;于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100;①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1;说明如果一列数;从第二项起每一项与前一项之比都相等本例中是都等于5;那么这列数的求和问题;均可用上述“错位相减”法来解决．例14计算：分析一般情况下;分数计算是先通分．本题通分计算将很繁;所以我们不但不通分;反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差;然后再计算;这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项;这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：1-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；211+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；31991×1999-1990×2000；44726342+4726352-472633×472635-472634×472636；61+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下;试计算他们的平均分．81;72;77;83;73;85;92;84;75;63;76;97;80;90;76;91;86;78;74;85．。

小学数学《速算与巧算》练习题（含答案）【复习1】（我爱数学夏令营）计算：6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78+1.89分析：原式=（6.11+1.89）+（9.22+2.78）+（8.33+3.67）+（7.44+4.56）+5.55=8+12+12+12+5.55=49.55【复习2】（06香港圣公会小学奥林匹克）计算：3.72-2.73+4.6+5.28-0.27+6.4分析：原式=（3.72+5.28）+（4.6+6.4）-（2.73+0.27）=9+11-3=17 .【复习3】(华罗庚学校五年级入学考试试题)8×(3.1-2.85)×12.5×(1.62＋2.38)-3.27分析：初看这道题好像不能用简便方法进行计算.但是里面有特殊数8、12.5,所以可以先算一步,再用简便方法进行计算.原式=8×0.25×12.5×4－3.27=(8×12.5)×(0.25×4)-3.27=100-3.27=96.73【复习4】（04陈省身杯数学邀请赛）（56789+67895+78956+89567+95678）÷7分析：原式=（5+6+7+8+9）×11111÷7=5×11111=55555 . 观察可知5、6、7、8、9在万、千、百、十、个位各出现过一次 .【复习5】计算：l-2+3-4+5-6+…+2005-2006+2007分析：原式= l+3-2+5-4+7-6+…+2005+2007-2006=1+1×1003=1004 ，分组求和的思路.在速算的过程中，如果加入运算律的应用，会有意想不到的效果！我们一起先来看看常用的一些运算律和结论吧！在计算过程中，最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有：（1）加法交换律：a＋b=b＋a（2）加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)（3）乘法交换律：ab=ba（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)（5）分配律： a(b＋c)=ab＋ac （反过来就是提取公因数）（6）减法（括号）的性质：a-b-c=a-(b＋c)（7）除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c(a＋b) ÷c=a÷c＋b÷c(a-b) ÷c=a÷c-b÷c和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.【例1】（04陈省身杯数学邀请赛）计算：3.1415×252-3.1415×152分析：（法1）：题中的三项都有因数34.5，容易想到把34.5作为公因数提取出来(把乘法分配律反过来用)，从而使计算简便.原式=34.5×(8.23＋2.77—1)=34.5×10=345.（法2）：原式=3.1415×（252-152）=3.1415×（25+15）×（25-15）=3.1415×40×10=1256.6 应用下面的平方差公式【回忆巩固】ａ、ｂ代表任意数字，（ａ＋ｂ）×（ａ－ｂ）＝ａ×ａ－ｂ×ｂ，这个公式在数学上称为平方差公式。

第14讲巧解整除问题巧点睛——方法和技巧数的整除特征：（1）（2）一个整数各数位上数字的和能被3（或9）整除，那么这个整数也能被3（或9）整除。

（3）能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位（指个位、百位、万位……）上的数学之和与偶数位（指十位、千位、十万位……）上的数学之和的差（用大数减减较小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。

数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来很大的方便，在实际问题中应用广泛。

巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】在下面各题的内填上适当的数字，使得（1），能被2整除，又能被3整除；（2）3604 ，能被3整除，又能被5整除；（3），能同时被2，3，5整除；（4），能同时被5，9整除。

解（12整除。

要能被3整除，它和各位数字之和应是3的倍数。

由于要使32，5，8。

（1）要能被3又能被5整除，必须符合两个条件：第一，末位数字只能是5或0；第二，各位数字的和是3的倍数。

由于3+6+0+4+5=183+6+0+4+0=1318是3的倍数，13不是35。

（3）同时能被2，5整除，该数的末位数字只能是0；再由数字之和能被3整除，该数十位上的数字可以是1，4，7。

（4）按以上同样道理，可分析出满足条件的有两个数做一做1 在下面各题的（1），能同时被2，3整除；（2），能同时被2，3，5整除。

【例2】 如果有一类六位数2，4，5整除，那么这类数中最小的一个是多少？分析 为了使这样的六位数最小，看百位上的数字能否为0，再考虑十位和个位上的数字满足条件而又达到最小。

解 设百位上的数字为0。

由于该数能被4，5整除，所以个位上的数字只能为0。

用字母a表示这类六位数的十位数字，则其数字和为5+6+9+0+a+0=20+a由于该六位数能被3整除，则（20+a）这个数应是3的倍数，即a可以是1，4，7。

若a为1，而10不能被4整除。

所以，这样的六位数最小的一个是569040。

小学数学《速算与巧算（一）》练习题（含答案）我们在进行加法的巧算时，经常运用以下两个运算律：（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变．即a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.将此运算律推广，多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．（2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变．即a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).将此运算律推广，多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变．我们在进行减法运算时，经常运用以下性质：（3）在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．（4）在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c（5）在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c），a－b－c＝a－（b＋c）（一）分组凑整法【例1】（★★奥数网原创题）计算：（1）17＋29＋33＋71＋28＋12（2）168＋253＋32（3）（1350＋49＋68）＋（51＋32＋1650）（4）358＋127＋142＋73分析：在这个例题中，主要让学生掌握加法分组凑整的方法．具体分析如下：（1）原式＝（17＋33）＋（29＋71）＋（28＋12）＝50＋100＋40＝190（2）原式＝（168＋32）＋253＝200＋253＝453（3）原式＝1350＋49＋68＋51＋32＋1650＝（1350＋1650）＋（49＋51）＋（68＋32）＝3000＋100＋100＝3200（4）原式＝（358＋142）＋（127＋73）＝500＋200＝700【例2】（★★★奥数网原创题）计算：（1）265－68－32（2）756－248－352（3）268－56－82－44－18（4）894－89－11－95－5－94分析：在这个例题中，主要让学生掌握减法分组凑整的方法．一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：（1）原式＝265－（68＋32）＝265－100＝165（2）原式＝756－（248＋352）＝756－600＝156（3）原式＝268－（56＋44）－（82＋18）＝268－100－100＝68（4）原式＝（894－94）－（89＋11）－（95＋5）＝800－100－100＝600【例3】（★★★奥数网原创题）计算：（1）98－53＋102＋63（2）163－154＋245＋137＋55－146（3）1348－234－76＋2234－48－24（4）1847－1936＋536－154－46分析：在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算分组凑整的方法，在凑整的过程中，要注意运算符号的变化或者带着符号搬家．具体分析如下：（1）原式＝（98＋102）＋（63－53）＝200＋10＝210（2）原式＝（163＋137）－（154＋146）＋（245＋55）＝300－300＋300＝300（3）原式＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）＝1300＋2000－100＝3200（4）原式＝1847－（1936－536）－（154＋46）＝1847－1400－200＝247[巩固] ：（1）968－561－168－139，（2）456－（256＋165），分析：（1）原式＝（968－168）－（561＋139）＝800－700＝100（2）原式＝456－256－165＝200－165＝35[拓展1]（2005全国小学数学奥林匹克）计算：2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998+1997+1996-……-7-6+5+4-3-2+1分析：将后四项每四项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果都是0，剩下第一项，结果是2005.[拓展2]（北大数学邀请赛）计算：1989+1988+1987-1986-1985-1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+……+9+8+7-6-5-4+3+2+1分析：从1989开始，每6个数一组，1989+1988+1987-1986-1985-1984=9，以后每一组6个数加、减后都等于9.1989÷6=331……3.最后剩下三个数3，2，1，3+2+1=6.因此，原式=331×9+6=2985.[拓展3] 计算 6472－(4476－2480)＋5319－(3323－1327)＋9354－(7358－5362)＋6839－(4843－2847)分析：原式＝（6472＋5318＋1）＋（9354＋6836＋3）－（4480－2480－4）－(3327－1327－4)－(7362－5362－4)－(4847－2847－4)＝11790＋16190－2000－2000－2000－2000＋20＝27980－8000＋20＝20000（二）加补凑整法【例4】（★★★奥数网原创题）计算：（1）165＋199（2）198＋96＋297＋10（3）298＋396＋495＋691＋799＋21（4）195＋196＋197＋198＋199＋15分析：在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：（1）（法1）原式＝165＋200－1 （法2）原式＝164＋1＋199＝365－1 ＝164＋200＝364 ＝364（2）（法1）原式＝（198＋2）＋（96＋4）＋（297＋3）＋1＝200＋100＋300＋1＝601（法2）原式＝（200－2）＋（100－4）＋（300－3）＋10＝200＋100＋300－2－4－3＋10＝601（3）（法1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）＝300＋400＋500＋700＋800＝2700（法2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21＝2700（4）（法1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（法2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15＝200＋200＋200＋200＋200＝1000[前铺] 计算：（1）65＋99 （2） 36＋102 （3） 258－98 （4） 351－103分析：（1）原式＝65＋100－1＝165－1＝164；（2）原式＝36＋100＋2＝136＋2＝138；（3）原式＝258－100＋2＝158＋2＝160；（4）原式＝351－100－3＝251－3＝248；通过以上题目的运算，我们发现一个快捷运算的规律：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”．这几种基本的加补凑整计算的方法，老师要引导学生理解，并加深巩固．【例5】（★★★奥数网改编题）计算：（1）895－504－97（2）98－96－97－105＋102＋101（3）399＋403＋297－501（4）196＋198－102－97分析：在这个例题中，主要让学生掌握加减法混合运算中加补凑整的方法．具体分析如下：（1）原式＝（900－5）－（500＋4）－（100－3）＝900－500－100－5－4＋3＝294（2）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1＝3（3）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1＝598（4）原式＝（200－4）＋（200－2）－（100＋2）－（100－3）＝200＋200－100－100－4－2－2＋3＝195[巩固] ：（1）198－205－308＋509，（2）501＋502＋503－398－397－396.分析：（1）原式＝（200－2）－（200＋5）－（300＋8）＋（500＋9）＝200－200－300＋500－2－5－8＋9＝194（2）原式＝（500＋1）＋（500＋2）＋（500＋3）－（400－2）－（400－3）－（400－4）＝315.[拓展1] （07年7月仁华入学测试题）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－89＋83＋96＋98分析：原式=83＋86＋95－83-2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83＋96＋98 =90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8=1080+6=1086[拓展2]（2006香港圣公会小学数学奥林匹克）89+899+8999+89999+899999分析：原式=（90-1）+（900-1）+（9000-1）+（90000-1）+（900000-1）=90+900+9000+90000+900000-5=999990-5=999985[拓展3]（华罗庚金杯少年数学邀请赛）计算 11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少？分析：原式=（20-9）+（200-8）+（2000-7）+（20000-6）+（200000-5）=（20+200+2000+20000+200000）-（9+8+7+6+5）=222220-35=222185故所得数字之和等于2+2+2+1+8+5=20.[拓展4]计算19999191991999...199...99++++123个分析：原式＝{1999222...2019991⨯个－＝{1996222...20221个（三）其他常见类型巧算【例6】 （★★★ 仁华试题）计算100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108分析：原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106－105）＋（108－107）＝100＋1＋1＋1＋1＝104【例7】 （★★★ 仁华试题）计算 1234＋3142＋4321＋2413分析：原式＝（1000＋200＋30＋4）＋（3000＋100＋40＋2）＋（4000＋300＋20＋1）＋（2000＋400＋10＋3）＝（1000＋2000＋3000＋4000）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40）＋（1＋2＋3＋4）＝10000＋1000＋100＋10＝11110[拓展] 在右图的36个格子中各有一个数，最上面一横行和最左面一竖列中的数已经填好，其余每个格子中的数等于每个格子同一横行最左面数与同一竖列最上面数之和（例如：a ＝14＋17＝31），问这36个数的总和是多少？分析：第二横行的空格应该填的数字分别是11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，19＋12，同理，下面每一横行都是用竖列的一个数与横行的每一个数相加．我们最后要求这36个格子中的所有数字之和，第一横行的和为：10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋19）＋（13＋17）＝85，第二横行的和为：12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋12＝12×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝147，同理，第三横行的和为：14＋11＋14＋13＋14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝159，第四横行的和为16×6＋75＝171，第五横行的和为：18×6＋75＝183，第六横行的和为：20×6＋75＝195.所以36个格子的和为85＋147＋159＋171＋183＋195＝940.。

数学培优班题典(四年级)专题一速算与巧算知识对对碰在乘法、加法和以此类推混合运算中，常常利用发生改变运算顺序展开巧算，其中存有利用两数优势互补关系展开凑整巧算、借数二奶巧算、挑选最合适的数做为基数巧算等，还可以利用乘法的交换律和结合律展开巧算。

整数秦九韶法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。

必须达至“凑整”的目的，就要对一些数水解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数女团至一起，并使繁杂的排序过程形式化。

1.同学们要记住一些速算结果，如2×5=10，25×4=100，125×8=1000，625×8=5000，625×16=10000等，这样，在计算时才能迅速而准确。

2.有效率地运用“头同尾念诵”和“尾同头念诵”的赖草算法算草。

“头同尾合十”的巧算方法是：用十位上的数字乘十位上的数字加1的积，再乘100，最后加上个位上两个数字的乘积。

如23×27=2×(2+l)×100+3×7=621.“尾同头合十”的巧算方法是：十位数字的乘积加上个位数字的和，再乘100，最后加上个位上的数字的积。

例如：如72×32=(7×3+2)×100+2×2=2304。

3.两数之和乘这两数之差的只等于这两个数的平方差。

4.另外存有一些常用方法。

(??5)(a?5)?a2?b2(1)乘数兎整法乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算，如：5×2=10，25×4=100，125×8=1000，?运算时可以将涵盖这几个因子的乘数水解然后明确提出这几个因子，同时实现速算。

比如：32×625=4×8×125×5。

(2)乘法分配律、结合律该方法利用谋几个乘积之和时具有共同乘数的特点，轻易利用乘法结合律，先议和再算草。

小学数学《速算与巧算》练习题（含答案）知识点：一、等差数列.二、定义新运算.三、速算与巧算的方法.等差数列我们仔细观察以下两个数列：可以发现它们有一个共同的特点，后一项减前一项的差都是一个定数，像上面这样一类数列，叫做等差数列，相邻两个数的差叫做公差，通常用字母d表示．如果有一个等差数列其公差是d，那么数列的每一项依次可表示为：例如：求15，25，35，45，55，65，75这一列数的和，利用公式计算就是：(1575)73152s+⨯==利用此求和公式以及通项an =a1+(n一1)d的表达式，将给计算带来很大的方便．【例1】按规律填数.（1）21，25，29，（ 33 ），（ 37 ），41，45，49，（ 53 ）（2）3，9，27，（ 81 ），（ 243 ），729【分析】（1）观察第一列数，这是一个等差数列，它的公差是4，所以括号里要添的数，都应该是前一个数加4.（2）观察第二列数，这是一个等比数列，它的公比是3，所以括号里面要添的数，都应该是前一个数乘3.【分析】根据定义x△y=62x yx y⋅⋅+于是有629829522920⨯⨯∆==+⨯【巩固】设a△b=a×a-2×b，那么，5△6=______，(5△2) △ 3=_____.【分析】(1)5△6=5×5-2×6=13(2)5△2=5×5-2×2=2121△3=21×21-6=435【例6】规定其中a、b表示自然数.（1）求的值；（2）已知，求.【分析】观察新定义的运算，可知表示首项是a，末项是的连续自然数之和，项数是b.所以，（1）（2）即：速算与巧算的方法1、利用凑整法计算.凑整法就是根据题中数据特点、借助数的组合、分解以及有关运算性质，把其凑成整十整百……的数，从而达到计算简便、迅速的一种方法.使用凑整法一般有以下几种情形：一、分组凑数 .二、拆数凑整 . 三、分解凑整.四、借数凑整 .五、性质凑整.凑整法常用到的定律和公式有：①加法交换律：a+b=b+a②加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)③乘法交换律：a×b=b×a④乘法结合律：（a×b）×c=a×(b×c)⑤乘法分配律：(a+b) ×c=a×c+b×c⑥减法的性质：a-b-c=a-(b+c)⑦商不变的性质：a÷b=(a×c)÷（b×c）；a÷b=(a÷c)÷（b÷c）⑧除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c(a+b) ÷c=a÷c+b÷c(a-b) ÷c=a÷c-b÷c⑨和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.【例12】 （第七届华杯赛复赛试题）计算：19+199+1999+…+.______9919991999=43421Λ个【分析】原式=20+200+2000+…+1999200019991-⨯L 14243个0=11999202221999⨯-43421Λ个 =43421Λ2199********个【例13】 （北京市第六届“迎春杯”决赛试题）1000+999-998-997+996+995-994-993+…+108+107-106-105+104+103-102-101= _____【分析】原式=(1000+999-998-997)+…+(104+103-102-101) =4×900÷4 =900．【例14】 2002年“我爱数学”夏令营计算竞赛试题计算：222222221234979899100-+-++-+-Λ【分析】这个题要利用平方差公式()()b a b a b a -+=-22进行计算比较简单.()()()()()()()()()()()()12123434979897989910099100123497989910012349798991002222222222222222-⨯++-⨯++-⨯++-⨯+=-+-++-+-=-+-++-+-K K K()5050210011001234979899100=÷⨯+=+++++++=K【附1】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【分析】将每层圆木根数写出来，依次是：可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．故最下面的一层有32根．【附2】计算下列每组数的和：【分析】根据等差数列求和公式，必须知道首项、末项和项数，这里首项是105，末项是200，但项数不知道．若利用a n =a 1+据此可先求出项数，再求数列的和．解：数列的项数故数列的和是：【附3】规定：③=2×3×4，④=3×4×5 ⑤=4×5×6，…， ⑩=9×10×11，…如果⨯=-)8(1)8(1)7(1□，那么框内应填的数是_____·【分析】□=11111(8)7891()()(8)11.(7)(8)(8)(7)(8)(7)6782⨯⨯-=-⨯=-=-=⨯⨯ 故框内应填的数是21【附4】（04全国小学奥林匹克）计算：55 555 × 666 667 + 44 445 × 666 666 – 155 555【分析】原式=55 555 × 666 666 + 55 555 +44 445 × 666 666 -155 555=（55 555+44 445）× 666 666-100 000 = 66 666 500 000【附5】求{20073333333...33...3++++个的末三位数字.【分析】原式的末三位和每个数字的末三位有关系，有2007个3，2006个30，2005个300 ，则2007×3+2006×30+2005×300=6021+60180+601500=667701 ，原式末三位数字为701。

小学数学六年级巧算练习题（一）姓名：----------------------班级：----------------------得分：----------------------21000÷125 44000÷125 46×10117×999 125×98 37×99234×102 25×32×125 937×125×25×64×5125×5×32×5 56×125 9999×999980×16×25×125 102+100+99+101+98 64×25×125 1997+1998+1999+2000+2001 53×79+79×47 25×（4+40+400799999＋79999＋7999＋799＋79＋7 526－73－27－264253－(253－158) 1966＋1976＋1986＋1996＋2006 123＋234＋345－456＋567－678＋789－8901-2＋3-4＋5-6＋…＋1991-1992＋1993 4996＋3993＋29926472-(4476-2480)＋5319－(3323-1327)＋9354-(7358－5362)＋6839-(4843-2847)25×32×125 125×13×4×8×25×5×2456×2×125×25×5×4×8 25×104 125×88125×13×4×8×25×5×2 27×45＋27×55 298×26小学数学六年级巧算练习题（二）姓名：----------------------班级：----------------------得分：----------------------28×39+72×39 199999＋19999＋1999＋199＋19143×48-48×43 46×34+34×55-34 25×3.14 4505×3.14 53.6×3.14 3.14×5.1225π（π取3.14） 236π 2.36π 9.58π4.93π 62.5π 6.8π 18π21×3.4 33×3.14 45×3.14 26×3.1467×101 123×56-23×56 38×29＋38×70＋38 67×12＋67×35＋67×52＋67 9999×1111＋3333×66671+2+3+4=10 10+20+30+40 1+2+3+4+……+8+9+1010+20+30+……+80+90+100 1+2+3+4+………+98+99+1001+2+3+4+……+97+98+99 1+2+3+4+……+96+97+98 100+90+80+……+30+20 10+20+30+……+80+90小学数学六年级巧算练习题（三）姓名：----------------------班级：----------------------得分：---------------------0.25×1.25×22.4 0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999 (72×357+357×28)÷(51×7×4) 125×32×2.598989898×99999999÷1010101÷11111111 99×87(0.1+0.2+0.3+0.4+…+1)÷5.5 3.14×6.5+4.5×3.14-3.14 3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 1999+199.9+19.99+1.9991+2+3+4+3+2+1 40+30+20+10+20+30+401+2+3+……+97+98+99 98+97+96+……+4+3+219+28+37+46+55+64+73+82+91 12+23+34+45+56+67+78+8911+22+33+……+77+88+99 1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+7.8+8.9123+234+345+456+567+678+789 9.1+8.2+7.3+6.4+5.5+4.6+3.7+2.8+1.9 100+90+80+……+30+20+10+20+30+……+80+90+100小学数学六年级巧算练习题（四）姓名：----------------------班级：----------------------得分：----------------------4800÷12.5÷2.5 303＋102＋497＋298 786―134―266453＋598＋147－198 567―148―167―25 28×20×125×5 25×95×4 125×17×8 76×5×25×2125×5×32×5 465－397 147＋67＋53＋3334×125×5×8 32×125×25 59×10299×63 77×24+24×23 45×10210+20+30+……+90+100+90+……+30+20+10100+99+98+……+3+2+1+2+3+……+98+99+1001+2+3+4+……+97+98+99+100+99+98+……+4+3+2+1100+99+98+……+3+2+1+2+3+……+98+99+1001+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+11+2+3+…+97+98+99+98+97+……+3+2+13258-10-20-30-40-50-60-70-80-90-100 28.4+67.25-3.87+71.6-96.13+32.75小学数学六年级巧算练习题（五）姓名：----------------------班级：----------------------得分：----------------------510+511+512+513+514+515 82525÷÷132639⨯999999⨯⨯⨯-⨯+⨯52012524868172482484837+56+63+44 284+178 89+91+90+92+88+87+93+92+87 4996+3993+2992+1991+98 1800-90-176-10-24 1999+999×9999999×2222+3333×3334 947+(372-447)-572 2997×729÷(81×81)13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋21＋22 3300÷25987-876+765-654+543-432+321-210 5679-39922.63-1.65+8.12-4.58+7.37+1.88-8.35+0.58 65798+99992（2+4+6+……+96+98+100）-（1+3+5+……+95+97+99） 99×95 546+278+694+8766+3987-545-277-693-8765-3986 4867-2998 4685-2983+432-1556+984+274-4680+2988-427+1561-979-269637-296+894-378+363-704+106-622+587-792+413-208 8697+69996小学数学六年级巧算练习题（六）姓名：----------------------班级：----------------------得分：----------------------32×12.5×2.5 15.89＋(6.75－5.89) 13.75－(3.75＋6.48) 0.25×16.2×4 3.6×102 3.72×3.5＋6.28×3.5 15.6×13.1－15.6－15.6×2.1 320÷1.25÷8 630÷（9×5）4.8×7.8＋78×0.52 25.48－(9.4－0.52) 2400÷259999×2222+3333×3334 444×777÷111 375-196+2548×1.08＋1.2×56.8 39×101 22×995×25×2×4 125×48×8 25×64×125995+994+993+……+3+2+1-2-3-4-……-993-9949+99+999+9999+99999+999999 19+199+1999+19999+19999998+998+9998+99998+999998 195+2995+39995+499995+599995+6999995 891+7991+69991+799991+6999991 19+2998 +39997+499996+5999994+69999995 6879465301+9999999999 0.9+0.99+0.999+0.9999+0.9999 91+898+7997+69996+599995+4999994+399999930.9+1.9+2.9+3.9+4.9+5.9+6.9+7.9+8.9+9.9小学数学六年级巧算练习题（七）姓名：----------------------班级：----------------------得分：---------------------1.9+29.9+399.9+4999.9+59999.9 65428341662115-99999999999999 19+298+3997+49996+599995+6999994+79999993+899999992+9999999991 19.9+299.8+3999.7+49999.6+599999.4+6999999.3+79999999.2+899999999.1100-99+98-97+96-95+94-93+92-91+……+6-5+4-3+2-1396+395-394-393+392+391-390-389+……+8+7-6-5+4+3-2-1624+623+622-621-620-619+618+617+616-615-614-613+……+6+5+4-3-2-11-2+3-4+5-6+7-8+9-10+12-13+……+997-998+999-1000+10011、求下面圆柱的体积1）、底面半径4厘米，高12厘米。

（小升初思维拓展）专题50：加减法中的巧算（提高卷）六年级下册小升初数学高频考点专项培优卷一．选择题（共23小题）1．与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（）A．52B．42C．52+32D．52﹣32 2．和1+3+5+7+9+11+13+15+17+15+13+11+9+7+5+3+1的结果相同的一项是（）A．92B．（9+8）2C．92﹣82D．92+823．下列与1+3+5+7+9+11+7+5+3+1结果相等的算式是（）A．62+42B．52C．102D．62﹣42 4．119+120+121+122+123+124+125＝122×（）A．7B．4C．35．与1+3+5+7+9+5+3+1表示结果相同的算式是（）A．（5+3）2B．42C．52D．52+326．与1+3+5+7+9+7+5+3+1表示相同结果的算式是（）A．52+32B．10×5﹣1C．10×4﹣1D．52+427．1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1＝（）A．25B．61C．368．与1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1表示的结果相同的是（）A．25×2B．65﹣2C．112D．50+119．与1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1表示相同结果的算式是（）A．63B．62C．62+52D．62﹣52 10．请用简便算法算出2+4+6+8+…+38+40的和是（）A．210B．840C．420D．63011．与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（）A．5+3B．42C．52+32D．52﹣32 12．33+34+35+36+37+38+39+40+41＝（）A．38×9B．36×9C．37×9D．35×9 13．算式1+3+5+7+9+11+13+15+……+25的结果是（）A．144B．168C．169D．17214．和297+99结果相等的算式是（）A．297+100﹣1B．300+99﹣415．1+2+3+……+18+19+20+19+18+……+3+2+1（）A．460B．440C．420D．40016．算式82+86+90+94+……+150+154+158的计算结果是（）A．4800B．4720C．4560D．240017．与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（）A．5+3B．82C．52+32D．52﹣32 18．求4+8+12+16的和，下面算式错误的是（）A．（4+16）÷2×4B．16×4C．（8+12）×2D．20×219．与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（）A．5+3B．42C．52+32D．52﹣32 20．下列（）组算式表示102．A．1+2+3+4+5+6+7+8+9+10B．1+3+5+9+11+13+15+17+19+21C．3+5+7+9+11+13+15+17+19+21D．1+3+5+7+9+11+13+15+17+1921．1+3+5+7+5+3+1＝（）A．52B．62C．7222．1+3+5+7+9+……+99﹣1﹣3﹣5﹣7﹣9﹣……﹣79＝（）A．900B．400C．500D．30023．330+340+350+360+370＝（）A．330×5B．340×5C．350×5D．360×5二．填空题（共20小题）24．1+3+5+7+9+5+3+1＝2+2＝25．1+3+5+7+9+11+13＝2．26．1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21＝，1+3+5+7+9+7+5+3+1＝。