高考数学：刷刷这常考的十类应用题专项

数学必刷题
数学必刷题是一些针对数学学科的练习题目，旨在帮助学生掌握数学知识和提高解题能力。

以下是一些常见的数学必刷题类型：
1. 代数题：代数是数学的基础之一，因此代数题是必刷题的主要类型之一。

这些题目包括方程式、不等式、分式、根式等的基本运算和变形，以及函数的性质和图像等。

2. 几何题：几何是数学中研究形状、大小、图形的学科。

几何题包括平面几何、立体几何、解析几何等，涉及的基本概念和性质有长度、角度、面积、体积等。

3. 概率与统计题：概率与统计是数学中研究随机现象和数据的学科。

这些题目包括概率计算、随机变量、分布函数、参数估计、回归分析等。

4. 三角函数题：三角函数是数学中研究角度和边长的关系的学科。

这些题目包括三角函数的性质、图像、变换等。

5. 数列与级数题：数列与级数是数学中研究数列和函数的学科。

这些题目包括数列的性质、通项公式、级数的求和等。

在选择数学必刷题时，可以根据自己的学习情况和目标来选择适合自己的题目。

同时，注意题目的难度和代表性，避免重复和无效的练习。

高考必刷题导读高考是每个学生都经历的一次重要考试，对于获取高中毕业证书和进入理想大学而言，高考成绩至关重要。

为了备战高考，学生们需要学习各个学科的知识，并进行大量的练习题。

在这篇文章中，我们将介绍一些高考必刷题，并给出相应的解析和答案，希望对你的备考有所帮助。

数学高考必刷数学题目1：函数与导数题目：已知函数f(x)满足f(f)=f3−3f2+2f+1，求f(x)的单调递减区间。

解析：对f(f)求导，得到f′(f)=3f2−6f+2。

根据函数的单调性定义，当导数大于零（严格单调递增）或小于零（严格单调递减）时，函数为单调递增或递减函数。

解f′(f)=0得到驻点的x坐标，再通过判别式判断区间的单调性。

为了解方程f′(f)=0，我们可以使用求根公式或完成平方的方法。

不过，直接按解答校招的步骤我们要换一种方法。

我们设f′(f)=0，得到方程3f2−6f+2=0。

然后将方程$x^2 - 2x + \\frac{2}{3} = 0$两边乘以3得到3f2−6f+2=0。

从而f′(f)=0和3f2−6f+2=0是等价的。

我们可以看出，这是一个关于x的二次方程。

根据判别式f=f2−4ff，我们可以计算出f=(−6)2−4(3)(2)=−12<0，所以方程没有实数解。

因此，f′(f)没有驻点，也就是说f(f)在整个定义域上均为单调递减的。

答案：f(x)的单调递减区间为整个定义域。

高考必刷数学题目2：概率论题目：已知某批产品中有10%的次品。

现从中随机抽取4个产品进行检验。

求恰好有一个次品的概率。

解析：抽取4个产品恰好有一个次品的概率可以通过计算一种有序排列的方式得到。

即选择一个次品和三个良品的概率为$P(A) = C_1^1 \\cdot C_9^3 / C_{10}^4$。

其中f f f表示从n个元素中选取k个元素的组合数，即$C_n^k = n! / (k! \\cdot (n-k)!)$。

代入数据计算，$P(A) = 1 \\cdot (9 \\cdot 8 \\cdot 7) / (10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7) = 1/10$。

第86讲排列与组合知识梳理知识点1、排列与排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示．（2）排列数的公式：()()()()!121!m n n A n n n n m n m =---+=- ．特例：当m n =时，()()!12321m nA n n n n ==--⋅⋅ ；规定：0!1=．（3）排列数的性质：①11m mn n A nA --=；②111m m m n n n n A A A n m n m+-==--；③111m m m n n n A mA A ---=+．（4）解排列应用题的基本思路：通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，()()A 11m n n n n m =-⋅⋅⋅-+常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用!A ()!m n n n m =-．知识点2、组合与组合数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示．（2）组合数公式及其推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数m n A ；根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅；因此()()()121!m m n nm m n n n n m A C A m ---+== ．这里n ，m N +∈，且m n ≤，这个公式叫做组合数公式．因为()!!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：()!!!m n n C m n m =-．特例：01n n n C C ==．注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式(1)(2)(1)C !m n n n n n m m --⋅⋅⋅-+=常用于具体数字计算，!C !()!m n n m n m =-常用于含字母算式的化简或证明．（3）组合数的主要性质：①m n m n n C C -=；②11m m mnn n C C C -++=．（4）组合应用题的常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型②“至少”或“最多”含有几个元素的题型知识点3、排列和组合的区别组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”．知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程1、认真审题，确定要做什么事；2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清楚分多少类及多少步；3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素；4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．【解题方法总结】1、如图，在圆中，将圆分n 等份得到n 个区域1M ，2M ，3M ， ，(2)n M n ，现取(2)k k 种颜色对这n 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有(1)(1)(1)n n k k --+-种．2、错位排列公式1(1)(1)!!inn i D n n =-=+⋅∑3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有k k A 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有11n k n k kk A A -+-+⋅种．6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻（1k n k ≤-+），求不同排法种数的方法是：先将（n k -）个元素排成一排，共有n k n k A --种排法；然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，共有1k n k A -+种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有n k n k A --·1k n k A -+种．必考题型全归纳题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算例1．（2024·全国·高三专题练习）若2121212x x C C ++=，则实数x 的值为（）A ．1B ．3C ．1或3D ．0例2．（2024·全国·高三专题练习）222223418C C C C +++⋅⋅⋅+=（）A ．318CB ．319C C ．318C 1-D ．319C 1-例3．（2024·甘肃兰州·统考一模）2A 90n =，则n 等于．变式1．（2024·全国·高三专题练习）215103131A A A A -=+变式2．（2024·全国·高三专题练习）10871087A 89A 8A --=．变式3．（2024·高三课时练习）已知233A C 0!4m -+=，则m =.变式4．（2024·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）若36421818C C n n +-=，则9C n =变式5．（2024·全国·高三对口高考）计算383321C C n n n n -++的值为.题型二：直接法例4．（2024·江苏·高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（）A ．360B ．480C ．600D ．720例5．（2024·重庆·高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2024赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（）A ．311311A AB ．3113112A AC ．347347A A AD ．3473472A A A 例6．（2024·全国·高三专题练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A ．120B ．60C ．40D ．30变式6．（2024·全国·高三对口高考）要排出某班一天中语文，数学，政治，英语，体育，艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为（）A ．24B ．72C ．144D ．288变式7．（2024·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到A ，B ，C ，D ，E 这五个不同地区执行任务，要求A 地只能派男司机，E 地只能派女司机，则不同的方案种数是（）A ．360B ．720C ．1080D ．2160变式8．（2024·全国·高三对口高考）从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，B，C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是（）A．24B．48C．54D．96变式9．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（）A．144B．864C．1728D．2880题型三：间接法例7．（2024·全国·高三专题练习）8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个A．55B．112C．156D．120例8．（2024·湖北武汉·高二校联考期末）甲､乙､丙､丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．65B．73C．70D．60.例9．（2024·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）从正360边形的顶点中取若干个，依次连接，构成的正多边形的个数为（）A．360B．630C．1170D．840变式10．（2024·全国·高三专题练习）将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（）．A．1860种B．3696种C．3600种D．3648种题型四：捆绑法例10．（2024·四川内江·高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种例11．（2024·江西宜春·高三统考开学考试）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某A B C D E共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学班级有,,,,选择，则A同学选择浙江大学的不同方法共有（）A．24种B．60种C．96种D．240种例12．（2024·全国·高三专题练习）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1200种变式11．（2024·全国·高三专题练习）2024年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起A B C D E，五辆车随机排成一排，则A车与B车相邻，A车回老家过年，若五辆车分别为,,,,与C车不相邻的排法有（）A．36种B．42种C．48种D．60种变式12．（2024·全国·高三专题练习）为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（）种.A．40B．24C．20D．12题型五：插空法例13．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（）A．40B．36C．56D．48例14．（2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（）A．12B．36C．48D．72例15．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，则可排成不同的音序种数为（）A．72B．28C．24D．32变式13．（2024·全国·高三对口高考）2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）A．36B．42C．48D．60变式14．（2024·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）某校举行文艺汇演，甲、乙、丙等6名同学站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相邻，丙不在两端，则不同的排列方式共有（）A．72种B．144种C．288种D．432种变式15．（2024·四川·校联考模拟预测）北京地处中国北部､华北平原北部，东与天津毗连，其余方向均与河北相邻，是世界著名古都，也是国务院批复确定的中国政治中心､文化中心､国际交往中心､科技创新中心.为了感受这座古今中外闻名的城市，某学生决定在高考后游览北京，计划6天游览故宫､八达岭长城､颐和园､“水立方”､“鸟巢”､798艺术区､首都博物馆7个景点，如果每天至少游览一个景点，且“水立方”和“鸟巢”在同一天游览，故宫和八达岭长城不在相邻两天游览，那么不同的游览顺序共有（）A．120种B．240种C．480种D．960种变式16．（2024·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）一排有8个座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（）A ．120种B ．60种C ．40种D ．20种题型六：定序问题（先选后排）例16．（2024·全国·高三专题练习）满足*(1,2,3,4)i x i ∈=N ，且123410x x x x <<<<的有序数组()1234,,,x x x x 共有（）个.A ．49C B ．49A C ．410C D ．410A 例17．（2024·高二课时练习）已知{}()1,0,1,1,2,,,i x i n n N *∈-=∈ ，则满足1232n x x x x ++++= 的有序数组()123,,,,n x x x x 共有（）个A ．222n n -B ．222n n +C ．22n n -D ．2n n-例18．（2024·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）五人并排站在一排，如果A ，B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（）A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种变式17．（2024·全国·高三专题练习）DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只有4种类型的碱基，分别用A 、C 、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A -T ，或者是C -G ，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3个碱基A ，2个碱基C 和1个碱基T ，则不同的插入方式的种数为（）A ．20B ．40C ．60D ．120变式18．（2024·江苏扬州·高三校考期末）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为_________变式19．（2024·全国·高三专题练习）某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动，主持人事先将10条不同灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中，猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜（无论猜中与否，选中的灯笼就拿掉），则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序方法数为____________.（用数字作答）变式20．（2024·高二课时练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法.题型七：列举法例19．（2024·全国·高三专题练习）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++．设222225a b c d =+++，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是（）A ．28B ．24C ．20D ．16例20．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）已知字母x ，y ，z 各有两个，现将这6个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如xxyzyz ），则不同的排法共有（）种A ．36B ．30C ．24D ．16例21．（2024·全国·高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为()1,2,,6i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点A 处的所有不同走法共有（）A ．21种B ．22种C ．25种D ．27种变式21．（2024·海南海口·统考一模）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为A ．20B ．18C ．16D ．11变式22．（2024·全国·高三专题练习）工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续．．．．固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．题型八：多面手问题例22．（2024·全国·高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）种不同的选法．A．675B．575C．512D．545例23．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选法A．225B．185C．145D．110例24．（2024·全国·高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．26种B．30种C．37种D．42种变式23．（2024·全国·高三专题练习）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）A．56种B．68种C．74种D．92种题型九：错位排列例25．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（）A ．72B ．108C ．144D ．196例26．（2024·全国·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）A ．10种B ．20种C ．30种D ．60种例27．（2024·全国·高三专题练习）将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（）A ．90B ．135C ．270D ．360变式24．（2024·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考阶段练习）将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（）A ．20B ．40C ．120D ．240题型十：涂色问题例28．（2024·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.例29．（2024·全国·高三专题练习）对正方体111ABCD A B C D 的6个面进行涂色，有5种不同的颜色可供选择.要求每个面只涂一种颜色，且有公共棱的两个面不同色，则总的涂色方法个数为（填写数字）例30．（2024·重庆·统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有种．变式25．（2024·安徽·校联考模拟预测）数学课上，老师出了一道智力游戏题.如图所示，平面直角坐标系中有一个3乘3方格图（小正方形边长为1），一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色（只能由红变绿或绿变红），如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜色，比如选择()1,1变成绿色，则与之相邻的()0,1，()1,0，()1,2，()2,1四个点也要变成绿色，那么最少需要步，才能使得位于直线3y x =-+上的四个点变成绿色，而其他点都是红色.变式26．（2024·全国·高三专题练习）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有种不同的绿化方案（用数字作答）.变式27．（2024·全国·高三专题练习）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有种.变式28．（2024·全国·高三专题练习）用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有种不同的涂色方法．变式29．（2024·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有种.例31．（2024·全国·高三专题练习）贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4个种子选手，将这12人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手恰好被分在同一组的分法有（）A ．21B ．42C ．35D ．70例32．（2024·高二课时练习）把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A ．4种B ．5种C ．6种D ．7种例33．（2024·福建泉州·高二校联考期中）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有（）A ．25种B ．30种C ．40种D ．50种变式30．（2024·全国·高二专题练习）将12个不同的物体分成3组，每组4个，则不同的分法种数为（）.A ．34650B ．5940C ．495D ．5775变式31．（2024·全国·高二专题练习）某中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4套，另两堆每堆2套，则不同的分堆方法种数为（）A ．422842C C C B ．1238C C C ．42284222C C C AD ．42284233C C C A 变式32．（2024·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）将6名同学分成两个学习小组，每组至少两人，则不同的分组方法共有___________种.例34．（2024·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有种不同的分配方式；（2）甲､乙､丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有种不同的分配方式；（3）平均分成三份，每份2本，有种不同的分配方式；（4）平均分配给甲､乙､丙三人，每人2本，有种不同的分配方式；（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本，有种不同的分配方式；（6）甲､乙､丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本，有种不同的分配方式；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有种不同的分配方式.例35．（2024·全国·高三专题练习）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有种．（用数字作答）例36．（2024·全国·高三专题练习）现计划安排A，B，C，D，E五名教师教这六门课程，每名教师至少教一门课程，每门课程只配一名教师，且教师A不教“围棋”，教师B只能教一门课程，则满足条件的课程安排的种数为．变式33．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约而同地将其命名为“远航大酒楼”．“远航大酒楼”共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有种不同的分配方式．变式34．（2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考开学考试）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业的发展，某市派出了包括甲、乙在内的5名专家型教师援疆，现将这5名教师分配到新疆的A、B、C、D四所学校，要求每所学校至少安排一位教师，则在甲志愿者被安排到A学校有种安排方法．变式35．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）8个完全相同的球放入编号1，2，3的三个空盒中，要求放入后3个盒子不空且数量均不同，则有种放法.变式36．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）为了落实立德树人的根本A B C三门德育校本课程，现有甲､乙､丙､丁四位同学参加任务，践行五育并举，某校开设,,校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有.题型十三：隔板法例37．（2024·云南红河·统考三模）某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则共有多少种不同的分配方案（）A．15B．20C．10D．30例38．（2024·全国·校联考模拟预测）学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少1个名额，三（2）班至少2个名额，……，则分配方案有（）A．8种B．10种C．165种D．495种例39．（2024·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（）A．28B．24C．18D．16变式37．（2024·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（）种分配方案．A．135B．10C．75D．120。

一． 选择题：1．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。

（A ）1005.03 克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克2．1980年我国工农业总产值为a 亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）。

（A ）2014－1 （B ）2012－1 （C ）2114－1 （D ）2112－13．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。

（A ）5种 （B ）6种 （C ）7种 （D ）8种4．已知函数y =2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）。

（A ）4 （B ）8 （C ）2π （D ）4π5．若干升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形容器中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）。

（A ）63cm （B ）6cm （C ）2318cm （D ）3312cm6．有一块“缺角矩形”地皮ABCD E ，其尺寸如图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ ）。

（A ） （B ） （C ） （D ）7．由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。

（A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元8．某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（ ）。

高中数学必刷题型归纳总结在高中阶段，数学作为一门基础学科，对于学生的发展和综合能力培养有着重要意义。

其中，必刷题型的归纳总结有助于学生系统地掌握各个题型的解题方法和思路，提高数学水平。

本文将对高中数学中的必刷题型进行归纳总结，并为每个题型提供相应的解题思路和示例。

一、函数与方程1. 一次函数与一元一次方程一次函数和一元一次方程是高中数学的重点内容之一。

其中，一次函数的基本形式是y = kx + b，一元一次方程的基本形式是ax + b = 0。

通过对一次函数和一元一次方程的掌握，可以通过图象和运算法则实现函数与方程之间的相互转化。

2. 二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是高中数学的另一个重要内容。

二次函数的基本形式是y = ax² + bx + c，一元二次方程的基本形式是ax² + bx + c = 0。

通过对二次函数和一元二次方程的学习，可以掌握二次函数的图象、性质以及一元二次方程的解法。

3. 指数与对数指数和对数是高中数学的重要概念。

通过对指数和对数的学习，可以理解指数函数和对数函数的性质，解决相关的方程和不等式问题。

4. 复数与复数方程复数和复数方程是高中数学的拓展内容。

通过对复数和复数方程的学习，可以理解复数的概念和运算法则，并掌握复数方程的解题方法。

二、几何形体与几何变换1. 平面几何运用平面几何是高中数学中的基础内容，包括点、线、面等基本概念。

通过对平面几何的学习，可以掌握如何利用几何性质解决相关的问题。

2. 空间几何运用空间几何是高中数学的拓展内容，包括立体几何和向量几何两个方面。

通过对空间几何的学习，可以理解立体几何和向量几何的基本概念和性质，解决相关的问题。

3. 刚体运动与相似刚体运动和相似是高中数学的另一个重要内容。

通过对刚体运动和相似的学习，可以理解刚体运动的基本概念和定理，以及相似性质的应用。

三、概率与统计1. 概率模型和随机事件概率模型和随机事件是高中数学中的基础内容。

高考数学应用题及答案1. 题目：某工厂生产一种产品，该产品的成本函数为 \( C(x) =3000 + 50x \)，其中 \( x \) 表示生产的产品数量。

如果每件产品的销售价格为 \( 150 \) 元，求生产多少件产品时，工厂的利润最大。

答案：首先，我们需要找到利润函数 \( P(x) \)。

利润等于总收入减去总成本，即 \( P(x) = R(x) - C(x) \)。

总收入 \( R(x) \) 为 \( 150x \)，因此利润函数为：\[ P(x) = 150x - (3000 + 50x) = 100x - 3000 \]为了找到利润最大的生产数量，我们需要求 \( P(x) \) 的最大值。

由于 \( P(x) \) 是关于 \( x \) 的线性函数，其最大值出现在\( x \) 取最大值时。

然而，实际生产中 \( x \) 必须是非负整数。

因此，我们需要考虑实际的生产限制。

由于 \( P(x) \) 是一个递增的线性函数，所以当 \( x \) 越大，利润 \( P(x) \) 也越大。

但是，实际生产中可能存在生产能力的限制，例如机器的最大生产能力、原材料的限制等。

假设生产能力限制为\( x_{\text{max}} \)，那么在 \( 0 \leq x \leq x_{\text{max}} \) 的范围内，利润函数 \( P(x) \) 是递增的。

因此，在没有额外限制的情况下，生产的产品数量越多，利润越大。

但是，实际中需要考虑生产能力的限制。

2. 题目：某商店销售两种商品，商品A的售价为 \( 20 \) 元，成本为 \( 15 \) 元；商品B的售价为 \( 30 \) 元，成本为 \( 25 \) 元。

如果商店计划销售这两种商品，使得总利润最大化，且商品A和商品B的销售数量比为 \( 3:2 \)，求商店应该销售多少件商品A和商品B。

答案：设商品A的销售数量为 \( 3k \) 件，商品B的销售数量为\( 2k \) 件，其中 \( k \) 为正整数。

高考数学实际应用题集1. 假设一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1小时后，汽车所行驶的距离是多少？答案：60公里2. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米，求长方体的对角线长度。

答案：5厘米3. 小明买了一本书，书的定价是100元，书店给出了9折的优惠，小明实际需要支付多少钱？答案：90元4. 某公司有100名员工，其中30%的员工是女性，那么该公司有多少名女性员工？答案：30名5. 一个等差数列的前两项分别是1和3，求这个等差数列的第10项。

答案：176. 一个圆的半径增加了20%，原来的面积是200π平方厘米，增加后的面积是多少？答案：240π平方厘米7. 一个正方体的边长是6厘米，求它的表面积和体积。

答案：表面积112平方厘米，体积72立方厘米8. 一个水池的底面积是20平方米，如果每小时注水2立方米，那么填满水池需要多少时间？答案：10小时9. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米10. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段BC的长度。

答案：7厘米11. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求这个圆锥的体积。

答案：48π立方厘米12. 一个正三角形的边长是6厘米，求这个正三角形的面积。

答案：18平方厘米13. 一个等比数列的前两项分别是1和2，求这个等比数列的第10项。

答案：102414. 一个球的半径是5厘米，求这个球的表面积和体积。

答案：表面积125π平方厘米，体积413.12立方厘米15. 一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，求这个长方体的对角线长度。

答案：5厘米16. 一条直线上有三个点A、B、C，点A的坐标是（1，2），点B 的坐标是（3，4），点C的坐标是（5，6），求线段AB的长度。

答案：3厘米17. 一个圆的半径是3厘米，求这个圆的面积。

高中生数学应用题练习题及讲解### 高中生数学应用题练习题及讲解#### 练习题1：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边AB的长度为3，斜边AC的长度为5，求另一直角边BC的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

设BC的长度为x，则有：\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。

#### 练习题2：函数应用题目：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为10元，售价为20元。

如果生产x件产品，求总利润y与产品数量x之间的关系。

解答：每件产品的利润为售价减去成本，即20 - 10 = 10元。

总利润y等于每件产品的利润乘以产品数量x，即：\[ y = 10x \]所以，总利润y与产品数量x之间的关系是线性关系，且斜率为10。

#### 练习题3：概率问题题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，随机抽取2个球，求至少抽到1个红球的概率。

解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中抽取2个球的组合数，用组合公式C(n, k)表示：\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = 28 \]然后计算没有抽到红球的情况，即抽到2个蓝球的组合数：\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \]至少抽到1个红球的概率为1减去没有抽到红球的概率：\[ P(至少1红) = 1 - \frac{C(3, 2)}{C(8, 2)} = 1 -\frac{3}{28} = \frac{25}{28} \]#### 练习题4：线性规划问题题目：一个农民有10000平方米的土地，他想种植小麦和玉米。

每平方米小麦的利润是10元，每平方米玉米的利润是15元。

如果小麦的种植面积不超过玉米的种植面积的2倍，求最大利润。

高考数学必刷题
1. 求导题：已知函数y=3x^2+4x-1，求其导函数。

2. 三角函数题：已知角A的正弦值sinA=0.6，求角A的余弦
值cosA。

3. 平面几何题：已知三角形ABC中，角A=30°，边BC=6cm，边AC=8cm，求边AB的长度。

4. 数列题：已知等差数列的前两项为2和7，公差为3，求第
n项的表达式。

5. 函数图像题：已知函数y=f(x)的图像经过点(1,3)，并且对称
于y轴，求函数f(x)的表达式。

6. 空间几何题：已知三棱锥的底面是等边三角形，棱长为6cm，棱高为8cm，求三棱锥的体积。

7. 概率题：一副扑克牌中有52张牌，从中任意抽取5张牌，
求抽到一对（两张点数相同的牌）的概率。

8. 数学证明题：已知集合A和集合B的并集与交集分别是A，B，求证A和B互为逆运算。

9. 数字运算题：已知a=4，b=-2，求a^3+b^3的值。

10.方程题：已知方程2x^2-5x+3=0的根为α和β，求α+β和αβ的值。

高考数学应用题
1. 解析几何题: 设直线l经过点A(1,2)且平行于向量u=(3,4)，求直线l的方程。

2. 概率题: 一个骰子投掷三次，求至少出现一次6的概率。

3. 函数题: 已知函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(-2)的值。

4. 三角函数题: 在直角三角形ABC中，sinA=3/5，cosB=4/5，求sin(A+B)的值。

5. 利息问题: 一笔本金5000元，年利率为4.5%，计算存款三年后的本息和。

6. 几何题: 设正方形ABCD的边长为2，点E和F分别为AB 和BC的中点，求AD与EF的交点G的坐标。

7. 统计题: 一学校调查了1000名学生的身高，数据显示其中男生的平均身高为170cm，标准差为5cm，女生的平均身高为165cm，标准差为4cm，问全校学生的平均身高和标准差分别是多少？
8. 方程题: 解方程2x^2+5x-3=0。

9. 数列题: 求等差数列an=2n-1的前10项和。

10. 逻辑推理题: 若命题p为真，则下列命题哪些为真？
- p∨(¬p∧q)
- p∧(¬q∨p)
- (p∨q)∧(¬p∨¬q)。