年江苏省高考数学模拟应用题选编(一)

2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（一）1、(江苏省如皋市2017届高三下学期语数英联考)如图，矩形公园ABCD 中：km OC km OA 1,2==，公园的左下角阴影部分为以O 为圆心，半径为km 1的41圆面的人工湖。

现计划修建一条与圆相切的观光道路EF （点E 、F 分别在边OA 与BC 上），D 为切点。

（1）试求观光道路EF 长度的最大值；（2）公园计划在道路EF 右侧种植草坪，试求草坪ABFE 面积S 的最大值。

2．(江苏省张家港市崇真中学2017届高三上学期寒假自主学习检测)梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧AB ⌒，CD ⌒和弦BC 这三部分组成，在弧AB ⌒，CD ⌒上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．3、（江苏省淮阴中学、南师附中、海门中学、天一中学2017届高三下学期期初考试）如图，在某商业区周边有两条公路12,l l ，在点O 处交汇，该商业区为圆心角3π，半径3km 的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12,l l 分布交于,A B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12,l l 上..（1）设,,OA akm OB bkm ==，试用,a b 表示新建公路AB 的长度，求出,a b 满足的关系式，并写出,a b 的范围；（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定,A B 的位置，使得新建公路AB 的长度最短.图2图1第2题图4、（江苏省联盟大联考2017届高三2月联考数学试题）某校园内有一块三角形绿地AEF （如图1），其中220,10,3AE m AF m EAF π==∠=，绿地内种植有一呈扇形AMN 的花卉景观，扇形AMN 的两边分别落在AE 和AF 上，圆弧MN 与EF 相切于点P .（1）求扇形花卉景观的面积；（2）学校计划2017年年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上扩建成平行四边形ABCD （如图2），其中23BAD π∠=，并种植两块面积相同的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD 的边上，圆弧都与BD 相切，若扇形的半径为8m ，求平行四边形ABCD 绿地占地面积的最小值. 5、（江苏省如皋市2016-2017学年度高三第二学期期初高三数学试卷）如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中.3AC AB =（1）若2=BC ，求ABC ∆的面积的最大值；（2）若ABC ∆的面积为1，问θ=∠BAC 为何值时BC 取得最小值.6、（江苏省中华中学、溧水高级中学、省句中、省扬中、镇江一中、省镇中2017届高三下学期六校联考试卷）某工厂要生产体积为定值V 的漏斗，现选择半径为R 的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗．（1）若漏斗的半径为32R ，求圆形铁皮的半径R ； （2）这张圆形铁皮的半径R 至少是多少？7、（江苏盐城中学2017年高三开学检测）悦达集团开发一种新产品，为便于运输，现欲在大丰寻找一个工厂代理加工生产该新产品，为保护核心技术，核心配件只能从集团购买且由集团统一配送，该厂每天需要此核心为200个，配件的价格为1.8元/个，每次购买需支付运费238元。

2022届高三年级第一次模拟考试(一)数学(满分150分，考试时间120分钟)一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ＝{y|y ＝sin x ，x ∈R }，N ＝{y|y ＝2x ，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A. [－1，＋∞)B. [－1，0)C. [0，1]D. (0，1]2. 在等比数列{a n }中，公比为q.已知a 1＝1，则0<q<1是数列{a n }单调递减的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 某中学高三(1)班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计，得数学成绩X ～N(110，100)，则该班数学得分大于120分的学生人数约为( )(参考数据：P(|X －μ|<σ)≈0.68，P(|X －μ|<2σ)≈0.95) A. 16 B. 10 C. 8 D. 24. 若f(α)＝cos α＋isin α(i 为虚数单位)，则[f(α)]2等于( ) A. f(α) B. f(2α) C. 2f(α) D. f(α2)5. 已知直线2x ＋y ＋a ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a 的值为( )A. －4或2B. －2或4C. －1±3D. －1±66. 在平面直角坐标系xOy 中，设点A(1，0)，B(3，4)，向量OC →＝xOA →＋yOB →，x ＋y ＝6，则|AC→|的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 2 57. 已知α＋β＝π4(α>0，β>0)，则tan α＋tan β的最小值为( ) A. 22 B. 1 C. －2－2 2 D. －2＋2 28. 已知f(x)＝⎩⎨⎧e x －4，x ≤4，（x －16）2－143，x>4，则当x ≥0时，f(2x )与f(x 2)的大小关系是( )A. f(2x )≤f(x 2)B. f(2x )≥f(x 2)C. f(2x )＝f(x 2)D. 不确定二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年江苏省高考数学模拟应用题选编一-图文1、(江苏省如皋市2022届高三下学期语数英联考)如图，矩形公园ABCD中：OA2km,OC1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的1圆面的人4工湖。

现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点。

（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值。

2．(江苏省张家港市崇真中学2022届高三上学期寒假自主学习检测)梯形ABCD顶点B、C在以AD为直径的圆上，AD=2米，(1)如图1，若电热丝由AB，BC，CD这三部分组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；⌒⌒⌒⌒(2)如图2，若电热丝由弧AB，CD和弦BC这三部分组成，在弧AB，CD上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1第2题图图23、（江苏省淮阴中学、南师附中、海门中学、天一中学2022届高三下学期期初考试）如图，在某商业区周边有两条公路l1,l2，在点O处交汇，该商业区为圆心角，半径3km的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB，与l1,l2分布交31于A,B，要求AB与扇形弧相切，切点T不在l1,l2上..（1）设OAakm,OBbkm,，试用a,b表示新建公路AB的长度，求出a,b 满足的关系式，并写出a,b的范围；（2）设AOT，试用表示新建公路AB的长度，并且确定A,B的位置，使得新建公路AB的长度最短.4、（江苏省联盟大联考2022届高三2月联考数学试题）某校园内有一块三角2，绿地内种植有3一呈扇形AMN的花卉景观，扇形AMN的两边分别落在AE和AF上，圆弧MN与形绿地AEF（如图1），其中AE20m,AF10m,EAFEF相切于点P.（1）求扇形花卉景观的面积；（2）学校计划2022年年整治校园环境，为美观起见，设计在原有绿地基础上2，并种植两块面积相同3的扇形花卉景观，两扇形的边都分别落在平行四边形ABCD的边上，圆弧都与扩建成平行四边形ABCD（如图2），其中BADBD相切，若扇形的半径为8m，求平行四边形ABCD绿地占地面积的最小值.5、（江苏省如皋市2022-2022学年度高三第二学期期初高三数学试卷）如图2所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中AB3AC.（1）若BC2，求ABC的面积的最大值；（2）若ABC的面积为1，问BAC为何值时BC取得最小值.6、（江苏省中华中学、溧水高级中学、省句中、省扬中、镇江一中、省镇中2022届高三下学期六校联考试卷）某工厂要生产体积为定值V的漏斗，现选择半径为R的圆形马口铁皮，截取如图所示的扇形，焊制成漏斗．3（1）若漏斗的半径为2R，求圆形铁皮的半径R；（2）这张圆形铁皮的半径R至少是多少？7、（江苏盐城中学2022年高三开学检测）悦达集团开发一种新产品，为便于运输，现欲在大丰寻找一个工厂代理加工生产该新产品，为保护核心技术，核心配件只能从集团购买且由集团统一配送，该厂每天需要此核心为200个，配件的价格为1.8元/个，每次购买需支付运费238元。

江苏数学高考模拟试题一、选择题1. 设直线L的方程为：y = 2x + 3，则直线L与x轴、y轴交点的坐标分别为：A. （3，0）、（0，3）B. （-3，0）、（0，-3）C. （-3，0）、（0，3）D. （3，0）、（0，-3）2. 若函数f(x) = 3x^2 + 4x + 5，求f(2)的值为：A. 13B. 19C. 25D. 293. 已知等差数列的前5项和为35，前10项和为100，求此等差数列的首项和公差。

A. 首项为3，公差为4B. 首项为2，公差为3C. 首项为4，公差为5D. 首项为1，公差为24. 若集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，则集合A的子集个数为：A. 15B. 16C. 17D. 185. 一个边长为3cm的正方形，其内切于这个正方形的圆的面积等于：A. 7.07 cm²B. 7.85 cm²C. 8.48 cm²D. 9.42 cm²6. 已知函数y = ax^2 + bx + c，且f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6，则a、b、c的值分别为：A. a = 1, b = 1, c = 0B. a = 3, b = 6, c = -3C. a = 2, b = 3, c = -4D. a = 4, b = -2, c = 07. 已知平面直角坐标系中有点A(1,2)、B(4,5)，则线段AB的中点坐标为：A. （2.5，3.5）B. （2.5，3）C. （3，3.5）D. （3，3）8. 若P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A∪B) = 0.5，求P(A∩B)的值为：A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.49. 要将6件物品分成2组，每组3件，求总共有多少种分法。

A. 10B. 12C. 15D. 2010. 已知二次函数y = 2x^2 + 4x + 3的顶点坐标为：（-1，1），则二次函数的对称轴方程为：A. x = 1B. x = 0C. x = -1D. x = -2答案及解析：1. A。

江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，则等于2.若为实数，＝，则等于3.称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在上；（2）存在，使其在、上单调递增，在上单调递减．则以下函数中不是好函数的是84.若将函数的图像按向量,平移得到的图像,则的解析式为5.等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比等于6.设随机变量～,对非负数常数,则的值是只与有关只与有关只与有关只与和有关7.设是函数的反函数，则成立的的取值范围是8.若则于9.已知.设则大小关系是10.在直三棱柱中，已知分别为,的中点，,分别为线段,上的动点（不包括端点）.若,则线段的长度的取值范围是11.已知.则函数的最大值为12.抛物线的准线与轴交于点.过点作直线交抛物线于两点，.点在抛物线对称轴上,且.则的取值范围是二、填空题1.已知，则.2.在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为 .3.已知数列为等差数列，且，，则____________.4.给出下列命题：①不等式成立的充要条件是；②已知函数在处连续，则；③当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是；④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则的最小值为.你认为正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题1.（本小题满分12分）已知中，，，设，并记.(1)求函数的解析式及其定义域；(2)设函数，若函数的值域为，试求正实数的值.2.（本小题满分12分）某学校要用鲜花布置花圃中五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．(1)当区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；(2)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(3)记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望.3.（本小题满分12分）定义在上的函数，其中是自然对数的底数，.(1) 若函数在点处连续，求的值；(2) 若函数为上的单调函数，求实数的取值范围，并判断此时函数在上是否为单调函数.4.（本小题满分12分）在斜三棱柱中，，，又顶点在底面上的射影落在上，侧棱与底面成角，为的中点.（1）求证：；（2）如果二面角为直二面角，试求侧棱与侧面的距离.5.本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.6.本小题满分14分已知：数列，中，,，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列. （1）求数列，的通项公式；（2）求最小自然数，使得当时，对任意实数，不等式≥恒成立；（3）设（），求证：当都有.江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、选择题1.若集合，则等于【答案】A【解析】略2.若为实数，＝，则等于【答案】B【解析】略3.称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在上；（2）存在，使其在、上单调递增，在上单调递减．则以下函数中不是好函数的是8【答案】D【解析】略4.若将函数的图像按向量,平移得到的图像,则的解析式为【答案】C【解析】略5.等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比等于【答案】C【解析】略6.设随机变量～,对非负数常数,则的值是只与有关只与有关只与有关只与和有关【答案】A【解析】略7.设是函数的反函数，则成立的的取值范围是【答案】A【解析】略8.若则于【答案】D【解析】略9.已知.设则大小关系是【答案】B【解析】略10.在直三棱柱中，已知分别为,的中点，,分别为线段,上的动点（不包括端点）.若,则线段的长度的取值范围是【答案】A【解析】略11.已知.则函数的最大值为【答案】B【解析】略12.抛物线的准线与轴交于点.过点作直线交抛物线于两点，.点在抛物线对称轴上,且.则的取值范围是【答案】D【解析】略二、填空题1.已知，则.【答案】【解析】略2.在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为 .【答案】【解析】略3.已知数列为等差数列，且，，则____________.【答案】1【解析】略4.给出下列命题：①不等式成立的充要条件是；②已知函数在处连续，则；③当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是；④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则的最小值为.你认为正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）【答案】.①②【解析】略三、解答题1.（本小题满分12分）已知中，，，设，并记.(1)求函数的解析式及其定义域；(2)设函数，若函数的值域为，试求正实数的值.【答案】【解】（1）. …………………6分(2)，假设存在正实数符合题意，，故，又，从而函数的值域为，令.…………………12分【解析】略2.（本小题满分12分）某学校要用鲜花布置花圃中五个不同区域，要求同一区域上用同一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花.现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．(1)当区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数；(2)求恰有两个区域用红色鲜花的概率；(3)记为花圃中用红色鲜花布置的区域的个数，求随机变量的分布列及其数学期望.【答案】【解析】略3.（本小题满分12分）定义在上的函数，其中是自然对数的底数，.(1) 若函数在点处连续，求的值；(2) 若函数为上的单调函数，求实数的取值范围，并判断此时函数在上是否为单调函数.【答案】不可能在上恒小于0，故在上必为增函数，在上恒成立.在上恒成立.…………………………8分设，在上是增函数，在上的最大值为，且在上连续，故有. ………………………10分当时，在上是增函数；当时，，故此时在上不是增函数. ……12分【解析】略4.（本小题满分12分）在斜三棱柱中，，，又顶点在底面上的射影落在上，侧棱与底面成角，为的中点.（1）求证：；（2）如果二面角为直二面角，试求侧棱与侧面的距离.【答案】【解】⑴……4分(2)为二面角的平面角，故，又为与底面所成的角，从而，设侧棱长为，由于，则，类似地.在中，，即. 8分这样为等边三角形，取的中点，以为原点，如图建立空间直角坐标系.易知，故，设面的法向量为，则，可取，又，，故点到侧面的距离为，而侧面，故与侧面的距离为.…………………12分【解析】略5.本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】【解】（1）设点，由题知，根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），故的方程为. …4分（2）设点.，……………………… 6分①当直线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立. …………7分②当直线不与轴垂直时，设直线，由得…………… 9分，使，只需成立，即，即，，即，故，故所求的点的坐标为时，恒成立. ………………………12分【解析】略6.本小题满分14分已知：数列，中，,，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列. （1）求数列，的通项公式；（2）求最小自然数，使得当时，对任意实数，不等式≥恒成立；（3）设（），求证：当都有.【答案】【解】（1）依题意2=+,=.又∵，，∴≥0，≥0 ,且,∴（≥2）,∴数列是等差数列，又,∴,也适合.∴，. ………………4分(2) 将，代入不等式≥（）整理得：≥0………………………6分令，则是关于的一次函数，由题意可得，∴，解得≤1或≥3.∴存在最小自然数，使得当≥时，不等式（）恒成立.…………8分【解析】略。

2018届江苏高考应用题模拟试题选编（一）1.（本小题满分16 分）(2017-2018 学年度镇江市高三年级阶段性检测试卷数学)某校有一块圆心O , 为半径为200 米, 圆心角为32π的扇形绿地OPQ , 半径OP ,OQ 的中点分别为N M ,,A 为弧PQ 上的一点, 设α=∠AOQ , 如图所示, 拟准备两套方案对该绿地再利用..(1) 方案一：将四边形绿地OMAN 建成观赏鱼池, 其面积记为1S , 试将1S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时, 1S 取得最大？(2) 方案二：将弧AQ 和线段NQ AN ,围成区域建成活动场地, 其面积记为2S , 试将2S 表示为关于α 的函数关系式; 并求α 为何值时,2S 取得最大？2．（2017-2018学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考数学试卷）如图，矩形ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB ＝503米，AD ＝100米． 现拟在直角三角形OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点O 为AD 的中点，OM ⊥ON ，点M 在AB 上，点N 在CD 上），将破旧的道路AM 重新铺设．已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM 成本为每米500元，设∠OMA ＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f (θ)． （1）求f (θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当tan θ为何值时，总费用 f (θ)最小？OABCDMNθ（第2题图）3.（江苏省海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试数学试题）如图，已知AB是一幢6层的写字楼，每层45.高均为3m，在AB正前方36m处有一建筑物CD，从楼顶A处测得建筑物CD的张角为0（1）求建筑物CD的高度；（2）一摄影爱好者欲在写字楼AB的某层拍摄建筑物CD.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？4．（江苏省南京市2018届高三数学上学期期初学情调研考试）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．（Ⅰ）求f(x)的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）当x等于多少时，f(x)取得最小值？5、（江苏省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）数学试题）如图，某公司的LOGO 图案是多边形ABEFMN ,其设计创意如下：在长4cm ，宽1cm 的长方形ABCD 中，将四边形DEFC 沿直线EF 翻折到ABEFMN （点F 是线段AD 上异于D 的一点、点E 是线段BC 上的一点），使得点N 落在线段AD 上. （1）当点N 与点A 重合时，求MNF ∆的面积；（2）经观察测量，发现当MF AN -2最小时，LOGO 最美观，试求此时LOGO 图案的面积。

江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设，，其中是虚数单位，则．2.已知集合，．若，则实数的取值范围是．3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木中，底部周长不小于的有株．4.设向量，，且，若，则实数．5.如图所示的流程图的运行结果是．6.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为．7.设等差数列的前项和为，若，．当取最大值时，．8.已知，且，则．9.若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率为．10.设函数的值域是，则实数的取值范围为．11.已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是．12.设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是．13.设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为．14.设函数，则满足的的取值范围是．二、解答题1.（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设，为垂足，若，，求的值．2.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．3.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．4.（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．5.（本小题满分16分）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．6.（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足．（1）当时，①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列；②若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，，且，，求实数的取值范围．7.（选修4-1：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．8.（选修4-2：矩阵与变换）若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．9.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．10.（选修4-5：不等式选讲）设均为正数，．求证：．11.（本小题满分10分）已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，．12.（本小题满分10分）如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、．①求证：、、三点的横坐标成等差数列；②若，，求的值．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.设，，其中是虚数单位，则．【答案】【解析】【考点】复数相等2.已知集合，．若，则实数的取值范围是．【答案】【解析】恒成立，因此【考点】集合包含关系，不等式恒成立3.为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木中，底部周长不小于的有株．【答案】【解析】底部周长不小于的概率为，所以底部周长不小于的有株【考点】频率分布直方图4.设向量，，且，若，则实数．【答案】【解析】，又，所以【考点】向量垂直，向量数量积5.如图所示的流程图的运行结果是．【答案】【解析】第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出【考点】循环结构流程图6.将边长为的正方形沿对角线折起，使，则三棱锥的体积为．【答案】【解析】取中点，则，，即,因为,所以,三棱锥的体积为【考点】三棱锥体积7.设等差数列的前项和为，若，．当取最大值时，．【答案】【解析】设公差为则，因此，所以当时，取最大值【考点】等差数列前项和公式，二次函数最值8.已知，且，则．【答案】【解析】因为，而，又，因此【考点】二倍角公式9.若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆相交的概率为．【答案】【解析】由直线与圆相交得，又，所以，其区域为梯形OABC,其中,而在区间内任取实数，在区间内任取实数构成一个矩形,其中因此所求概率为梯形OABC面积与矩形面积的比值，即【考点】几何概型概率10.设函数的值域是，则实数的取值范围为．【答案】【解析】因为，所以【考点】三角函数性质11.已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，，由条件得，，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时，，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象恰有唯一的交点．【考点】函数零点12.设椭圆和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是．【答案】【解析】在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，．【考点】圆的切线，椭圆离心率13.设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为．【答案】{1，2，3}【解析】由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比．不等式等价于，即，解之得，，只能取．【考点】等比数列求和14.设函数，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】，函数在上单调递增，且，或，解得或．【考点】利用导数解不等式二、解答题1.（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且．（1）求角的大小；（2）设，为垂足，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：解得（2）先利用化简得：,因此关键求，这可利用余弦定理解出，再根据面积公式求出高：试题解析：（1），由正弦定理，得,又在中，，，即，又，，又，；（2）由余弦定理，，，，，，，即，，.【考点】正余弦定理，向量数量积2.（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于，又底面为矩形，因此平面，进而平面平面；（2）先根据线面平行性质定理，将转化为线线平行：连接，交于，连接，平面，再根据中位线性质得为的中点.试题解析：（1）底面为矩形，，又，，，平面，又，平面平面；（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，，，底面为矩形，是的中点，即，，为的中点.【考点】面面垂直判定定理，线面平行性质定理3.（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，已知两边一角，利用余弦定理求第三边：（2）在中，可利用正弦定理求出角，这样在中，已知两角及一边，可利用正弦定理求其余两边：试题解析：（1）在中，，且，，由余弦定理得，，即大学与站的距离为；（2），且为锐角，，在中，由正弦定理得，,即，，，，，，，，又，，在中，，由正弦定理得，，即，，即铁路段的长为．【考点】三角函数应用，正余弦定理4.（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；（3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】（1）两个独立条件可求出椭圆标准方程，一个根据直线与圆相切得，再利用解得（2）本题实质求圆中弦长，先求出，确定圆心及半径，再根据垂径定理得，从而可得面积（3）本题实质研究的斜率与的斜率的关系：解题思路可为利用的斜率表示的斜率，先用的斜率分别表示出，及，再表示的斜率，这里有一定运算量试题解析：（1）圆的方程为，直线与圆O相切，，即，又，，，椭圆的方程为；（2）由题意，可得，圆的半径，，的面积为；（3）由题意可知，的斜率为，直线的方程为，由，得，其中，，，则直线的方程为，令，则，即，直线的方程为，由，解得，，的斜率，（定值）．【考点】直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系5.（本小题满分16分）已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴．（1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：．【答案】（1）（2）①当时，在单调减函数，在单调增；②当时，在上单调减；在和单调增；③当时，在单调增；④当时．在和单调增；在单调减（3）详见解析【解析】（1）利用导数几何意义，确定与的关系：（2）根据导函数零点分布情况依次讨论：由知需分，，，四种情况讨论（3）先分析所证不等式结构，设，，再构造函数进行论证：，试题解析：（1），，由题意得，；（2），①当时，，当时，，函数在单调减；当时，，函数在单调增；②当时，即，，函数在上单调减；函数在和单调增；③当时，即，，函数在单调增；④当时．即，，函数在单调减区间；函数在和单调增；（3）由题设，①令，则，时，，函数在是减函数，而，时，，，，即，②令，则，时，，在是增函数，时，，，即③由①②③得．【考点】导数几何意义，利用导数求函数单调性，利用导数证不等式6.（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足．（1）当时，①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列；②若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，，且，，求实数的取值范围．【答案】（1）①，数列是等比数列；②3；（2）【解析】（1）①由，列出关于两个独立条件，解出，利用解出递推关系式，再根据，构造，从而得证数列是等比数列；②从数列是等差数列出发，将条件转化为关于恒等式：，消去，得出关系，即可求出的值；（2）本题实质求和，难点为配方：，以下就简单了，一是裂项相消求和，二是恒成立转化为最值求解试题解析：（1），，①令，可得，即，令，可得，即，,，①当时，，②①-②，得，，即，又，，，数列是等比数列；②数列是等差数列，设，，，，；（2）当时，数列是等差数列，，，，，，，，，即，，，令，，当时，，在上是增函数，而，，．【考点】等比数列定义，裂项相消求和，数列最值7.（选修4-1：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段的垂直平分线．已知，求线段的长度．【答案】【解析】因为AB是线段CD的垂直平分线，所以AB是圆的直径，在直角三角形ABC中由射影定理得的长度．试题解析：连接BC，相交于点．因为AB是线段CD的垂直平分线，所以AB是圆的直径，∠ACB＝90°．设，则，由射影定理得＝AE·EB，又，即有，解得（舍）或所以，＝AE·AB＝5×6＝30，．【考点】射影定理8.（选修4-2：矩阵与变换）若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵．【答案】【解析】先由矩阵对应关系求出，再根据逆矩阵公式求逆矩阵试题解析：，即，解得，，解法一：，.解法二:设，由，得解得．【考点】逆矩阵9.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．【答案】【解析】先求出圆心坐标，再利用余弦定理求半径，最后写出圆的极坐标方程是．试题解析：因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是，又圆经过点，圆的半径，圆过原点，圆的极坐标方程是．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）【考点】圆极坐标方程10.（选修4-5：不等式选讲）设均为正数，．求证：．【答案】详见解析【解析】根据均值不等式，得，，，三式相加即得试题解析：由为正数，根据平均值不等式，得，，．将此三式相加，得，即．由，则有．所以，．【考点】均值不等式11.（本小题满分10分）已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）由等比数列定义知即证比值为非零常数，代入化简即可（2）由（1）得，，，即证，这可利用数学归纳法进行论证试题解析：（1）令，则，，，，数列，即是等比数列；（2）由（1）得，，，下面用数学归纳法证明当，时，．①当时，不等式的左边，右边，而，时，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即；当时，当时，不等式也成立．由①②可得，当，时，．【考点】等比数列定义，数学归纳法12.（本小题满分10分）如图，已知点，直线，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、．①求证：、、三点的横坐标成等差数列；②若，，求的值．【答案】（1）（2）①详见解析②或.【解析】（1）直接法求轨迹：设点坐标，将条件用坐标表示并化简即可得（2）①用点横坐标分别表示、横坐标，及，所以是方程的两根，得出关系是解题目标②，再由或.试题解析：（1）设，则，，，，，，，，即动点的轨迹的方程为；另解：设，则，，，以为邻边的平行四边形是菱形，，，，即动点的轨迹的方程为；（2）①设，，，则切线的方程，，，①同理，②方法1:①②得，，，即、、三点的横坐标成等差数列.方法2：由①②得是方程的两根，，即、、三点的横坐标成等差数列.②由①②得是方程的两根，，，，，，，，，或.【考点】直接法求曲线轨迹，直线与抛物线位置关系。

江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.若复数满足（是虚数单位），则．2.已知全集，集合，，则中最大的元素是．3.直线与直线平行的充要条件是．4.设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是．5.如图，沿田字型的路线从往走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点的概率是．6.实数满足，则的值为．7.与抛物线有且仅有一个公共点，并且过点的直线方程为．8.空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线与这三条直线所成的角均为，则．9.将函数的图象向左平移至少个单位，可得一个偶函数的图象．10.将一个长和宽分别为的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是．11.在中，角所对边分别是，若，则．12.已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于对称．若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是．13.已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，，且，则边上的高的最大值为．14.各项为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则．二、解答题1.设函数，其中，若，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是．（1）求函数的解析式；（2）若是的三个内角，且，求的取值范围2.在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，，且，连接．（1）求证：平面；（2）求证：四边形为正方形．3.如图1，、是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与、平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）．（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值．4.已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、．（1）证明：；（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值．5.已知函数（）．（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围；（2）若，求方程在上解的个数．6.已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（≤≤≤），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”．（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数列”，试确定的最大值；（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．7.已知矩阵，向量．求向量，使得．8.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求9.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）写出的概率分布列并计算10.在数列和中，，，，其中且，．设，，试问在区间上是否存在实数使得．若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.若复数满足（是虚数单位），则．【答案】.【解析】.2.已知全集，集合，，则中最大的元素是．【答案】3【解析】,,,.所以最大元素为3.3.直线与直线平行的充要条件是．【答案】-2.【解析】,当a=2时，两直线重合；当a=-2时，两直线平行4.设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是．【答案】.【解析】当q=1时，.当时，，所以.5.如图，沿田字型的路线从往走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点的概率是．【答案】.【解析】从A到N共需要走四步，两横步，两纵步.共有,其中经过点C的走法有横竖横竖，横竖竖横，竖横横竖，竖横竖横共4种方法.所以所求事件的概率为.6.实数满足，则的值为．【答案】8.【解析】,7.与抛物线有且仅有一个公共点，并且过点的直线方程为．【答案】或y="1."【解析】设此直线方程为,它与抛物线方程联立消经得，,k=0时，符合要求，此时直线方程为y=1.当时，.所以直线方程为,即.所以所求直线方程为或y=1.8.空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线与这三条直线所成的角均为，则．【答案】.【解析】在空间取一点分别作三条直线的平行线，然后构造一个正方体如右图所示，则直线OD所OA、OB、OC所成的角相等均为,则.9.将函数的图象向左平移至少个单位，可得一个偶函数的图象．【答案】.【解析】,设向左至少平移m(m>0)个单位，得到一个偶函数的图像，则平移后的函数解析式为,的最小值为10.将一个长和宽分别为的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是．【答案】.【解析】设正方形的边长为x,则,则此长方体的外接球直径最小时，其外接球的体积存在最小值.由于当时，2R才存在最小值，因为0<a<b,所以,所以11.在中，角所对边分别是，若，则．【答案】.【解析】,.12.已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于对称．若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是．【答案】.【解析】的图象关于对称,所以的图像关于原点对称，所以y=f(x)是奇函数，并且是R上的增函数，所以所以,即,则当x>3时，由于点(3,2)到原点的距离为,半圆上的点到原点的最大距离为圆心（3，4）到原点的距离加上半径,即5+2=7,所以13.已知中，，为的外心，若点在所在的平面上，，且，则边上的高的最大值为．【答案】.【解析】取AC的中点为D，设的外接圆半径为R，则,设的夹角为，则.又因为所以所以R的最小值为,所以h的最大值为.14.各项为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则．【答案】.【解析】,数列是首项为,公差为的等差数列，所以,所以,.所以,所以二、解答题1.设函数，其中，若，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是．（1）求函数的解析式；（2）若是的三个内角，且，求的取值范围【答案】（1）．（2）．【解析】(1)根据,可得,进而可确定.由题意知,进而可确定,所以解析式确定.(2) 根据,可确定，然后,再利用三角函数的性质求值域即可.（1）由条件，，……………………3分又图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是，所以周期为，，．（2）由，知，是的内角，，，，从而．……………………………9分由，…………12分，，即．2.在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，，且，连接．（1）求证：平面；（2）求证：四边形为正方形．【答案】（1）略（2）略【解析】(1)证明本小题的关键是证明,,再证,问题得证.(2)证明本小题的关键是证明：，进而关键是证明,从而说明其是矩形，又因为此四边形本身是菱形，所以所证四边形是正方形.问题得证（1）证明：因为是菱形，所以又，，所以因为，所以…………………4分因为，所以由，所以………………………8分（2）证明：因为，所以，……………………………10分又因为，所以，所以所以四边形为正方形3.如图1，、是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤．为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与、平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台．建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）．（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该面积的最小值．【答案】（1）（2）225【解析】(1)先确定z关于x的函数关系式，因而要求y与x的等式关系消y.，然后要注意x 的取值范围.(2) ,,利用导数研究单调性再求其最值.（1），………………………2分由题知，在曲线段上，∴且，∴，………………………4分……………………7分（2）……10分时，，∴在上单调递减，∴4.已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、．（1）证明：；（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值．【答案】（1）略（2）2表示出来.相加即【解析】(1) 设，先利用焦半径公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x1可.(2)根据离心率可求出a值，进而椭圆方程确定，然后设直线的方程为,由直线QR与圆O相切，进而得到,然后直线与椭圆方程联立，消y之后，表示出,则,，,因而确定当且仅当时，取最大值2.（1）设，得，…………………3分由是圆的切线，，注意到，，……………6分所以．……………7分（2）由题意，，．…………………………9分方法一：设直线的方程为，点在第一象限，．由直线与圆相切，．…………………………11分由，消得，设，则．由（1）知，，…14分，．当且仅当时，取最大值2，此时直线的方程为，过焦点．方法二：设，则直线的方程为．……11分由，消得，则，，，由（1）知，，……14分，，当且仅当时，取最大值2，此时，直线过焦点．方法三：由（1）同理可求，则，………11分，当且仅当直线过焦点时等号成立，从而．5.已知函数（）．（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围；（2）若，求方程在上解的个数．【答案】（1）．（2）当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．当时，<0，∴g(x)＝0在上无解．【解析】（1）然后分别研究时,恒成立且时,恒成立时b的取值范围即可.(2) 构造函数，即分别研究和上的单调性,极值和最值.做出草图，数形结合解决即可（1）…………………2分①当时，，．由条件，得恒成立，即恒成立，∴．……………………4分②当时，，．由条件，得恒成立，即恒成立，∴b≥－2．综合①，②得b的取值范围是．……………6分（2）令，即………………8分当时，，．∵，∴．则．即，∴在（0，）上是递增函数．………………………10分当时，，．∴在（，＋∞）上是递增函数．又因为函数在有意义，∴在（0，＋∞）上是递增函数．………12分∵，而，∴，则．∵a≥2，∴，……14分当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．当时，<0，∴g(x)＝0在上无解6.已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（≤≤≤），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”．（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数列”，试确定的最大值；（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由．【答案】（1）2 （2）．（3）（2）的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．【解析】(1)根据题意可知，易得，即数列一定是“2项可减数列”.（2）因为数列是“项可减数列”，所以必定是数列中的项.而是递增数列，故，所以必有，，是解决本小题的关键.(3) 的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．证明要注意利用≤≤,求出的通项公式.（1）设，则，易得，即数列一定是“2项可减数列”，但因为，所以的最大值为2．………………5分（2）因为数列是“项可减数列”，所以必定是数列中的项，………………………7分而是递增数列，故，所以必有，，则，所以，即．又由定义知，数列也是“项可减数列”，所以．……………………………10分（3）（2）的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．……………………12分理由如下：因为≤≤，所以当≥时，，两式相减，得，即（）则当时，有（）由（）－（），得，又，所以，故数列是首项为0的递增等差数列．设公差为，则，对于任意的≤≤≤，，因为≤，所以仍是中的项，故数列是“项可减数列”．7.已知矩阵，向量．求向量，使得．【答案】【解析】设出,根据=,得到方程组求解即可.，………………………4分设，则=……………8分，.8.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为．（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求【答案】（1）（2）【解析】（1）可以先求出直线l的普通方程，即,所以斜率为,倾斜角为.（2）先求出曲线C的普通方程为,再求出圆心到直线l的距离d，进而利用即可求值.（1）设直线的倾斜角为，则且，，即直线的倾斜角为…………………………5分（2）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离，9.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）写出的概率分布列并计算【答案】(1)2(2) 的概率分布列为：∴．【解析】(1)设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有（）人，只会一项的人数是（）人,再利用，∴，即,可解出x的值.(2)分别求出对应的概率，列出分布列，根据期望公式求期望即可.设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有（）人，只会一项的人数是（）人．………………2分（1）∵，∴，即．∴，解得．故文娱队共有5人．………………………5分（2），，………………………7分的概率分布列为：∴．10.在数列和中，，，，其中且，．设，，试问在区间上是否存在实数使得．若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由．【答案】在区间上存在实数，使成立，当时，；当时，【解析】设存在实数，使，设，则，且，设，，则，所以，因为，且，所以能被整除.然后分三种情况讨论(1) ;(2) ;(3) 进行研究.设存在实数，使，设，则，且，设，，则，所以，因为，且，所以能被整除…………………………4分（1）当时，因为，，所以；…………………………5分（2）当时，，由于，所以，，所以，当且仅当时，能被整除. …………………………7分（3）当时，，由于，所以，所以，当且仅当，即时，能被整除．………………9分综上，在区间上存在实数，使成立，当时，；当时，．。

江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.己知集合，则中元素的个数为_______．2.设复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为_______．3.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_______．4.某用人单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，若每名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙2人中至少有1入被录用的概率为 _______．5.如图是一个算法的流程图，若输入x的值为2，则输出y的值为_____．6.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的体积为 ______.7.已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为_____.8.在等差数列中，已知，则的值为______.9.若实数满足，则的最小值为_______.10.已知椭圆，点依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线与直线的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______.11.将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为______．12.己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________.13.已知函数，则不等式的解集为______.14.在△ABC中，己知，点D满足，且，则BC的长为_______ ．二、解答题1.（本小题满分14分）己知向量，．（1）若，求的值：（2）若，且，求的值．2.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P- ABC中，已知平面PBC 平面ABC．（1）若AB BC，CP PB，求证：CP PA：（2）若过点A作直线⊥平面ABC，求证：//平面PBC．3.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，己知点，C， D分别为线段OA， OB上的动点，且满足AC=BD.（1）若AC=4，求直线CD的方程;（2）证明： OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）.4.（本小题满分16分）如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）.设点P到边AD的距离为t（单位:km），△BEF的面积为S（单位: ）.（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 ?并说明理由.5.（本小题满分16分）在数列中，已知，为常数.（1）证明: 成等差数列;（2）设，求数列的前n项和；（3）当时，数列中是否存在三项成等比数列，且也成等比数列?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.6.（本小题满分16分）己知函数（1）若，求函数的单调递减区间;（2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:（3）若，正实数满足，证明:江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.己知集合，则中元素的个数为_______．【答案】6【解析】,共6个元素。

江苏高考数学模拟试卷(一)20xx年江苏高考数学模拟试卷（一）第1卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1.设复数z满足$\frac{z+i}{i}=-3+2i$（i为虚数单位），则z的实部是______。

2.若全集$U=\{x||x|<2\}$，$A=\{x|\log_3(x^2-1)<1\}$，则$U-A=$______。

3.某单位招聘员工，有200名应聘者参加笔试，随机抽查了其中20名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表：分数段 | [60,65) | [65,70) | [70,75) | [75,80) | [80,85) | [85,90) | [90,95) |人数。

| 13.| 66.| 211.| 62.| 11.| 1.| 0.|若按笔试成绩择优录取40名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为______分。

4.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是______。

5.运行如图所示程序框图后，输出的结果是______。

k←1while k≥-3S←S-2kk←k-1print(S)6.设m，n是两条不同的直线，$\alpha$，$\beta$是两个不同的平面，$S=$______。

给出下列命题：1) 若$\alpha\parallel\beta$，$m\perp\beta$，$n\parallel\alpha$，则$m\perp n$；2) 若$\alpha\parallel m$，$\beta\parallel n$，$m\subset\beta$，$n\subset\alpha$，则$S=S-2k$，输出S；3) 若$\alpha\perp\beta$，$m\perp\alpha$，$n\parallel\beta$，则$m\parallel n$；4) 若$\alpha\perp\beta$，$m\perp\alpha$，$n\perp\beta$，则$m\perp n$。

江苏高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，，则= ．2.若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是．3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是．4.在如图所示的算法中，输出的的值是．5.已知是等差数列，若，则的值是．6.若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是．7.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是8.若，则的值是．9.若，，是实数，则的最大值是．10.如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是．11.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是．12.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是．13.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是．14.已知函数（其中是自然对数的底数），，．（1）记函数，且，求的单调增区间；（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．二、解答题1.如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是．2.已知的内角的对边分别为，．（1）若，，求的值；（2）若，求的值．3.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．（1）求证：；（2）若平面与平面的交线为，求证：．4.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知为直径，且km,为圆心，为圆周上靠近的一点，为圆周上靠近的一点，且∥．现在准备从经过到建造一条观光路线，其中到是圆弧，到是线段.设，观光路线总长为.（1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）求观光路线总长的最大值.5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．，若，．6.已知数列是等差数列，其前n项和为Sn（1）求；}满足条件：，当时，－，其中数列单调递增，且，．（2）若数列{Mn①试找出一组，，使得；②证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．江苏高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.已知集合，，则= ．【答案】【解析】由题意得：，【考点】集合运算2.若复数为纯虚数，是虚数单位，则实数的值是．【答案】1【解析】因为，所以【考点】纯虚数3.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是．【答案】6【解析】因为区间内的人数共有每20人抽取一人，因此共抽人，即编号在区间内的人数是6人【考点】系统抽样4.在如图所示的算法中，输出的的值是．【答案】7【解析】第一次循环：第二次循环：第三次循环：结束循环，输出【考点】循环结构流程图5.已知是等差数列，若，则的值是．【答案】3【解析】因为，所以【考点】等差数列性质6.若将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在，号盒子中各有一个球的概率是．【答案】【解析】将甲、乙两个球随机放入编号为，，的三个盒子中，共有种方法，其中在，号盒子中各有一个球有种方法，因此所求概率是【考点】古典概型概率7.在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程是，且经过点，则该双曲线的方程是【答案】【解析】由题意设双曲线的方程是，因为经过点，所以，从而双曲线的方程是【考点】双曲线渐近线8.若，则的值是．【答案】【解析】【考点】给值求值9.若，，是实数，则的最大值是．【答案】2【解析】因为，所以，的最大值是2【考点】基本不等式求最值10.如图，在正三棱柱中，若各条棱长均为2，且M为的中点，则三棱锥的体积是．【答案】【解析】【考点】等体积法求体积11.设函数是定义在上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集是．【答案】【解析】当时，，当时，【考点】解不等式12.已知光线通过点，被直线：反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是．【答案】【解析】关于直线：的对称点为，所以反射光线所在直线的方程是直线的方程:【考点】反射直线13.已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以当且仅当时等式的解集为空集，因此实数a的取值范围是【考点】解不等式14.已知函数（其中是自然对数的底数），，．（1）记函数，且，求的单调增区间；（2）若对任意，，均有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）和（2）【解析】（1）利用导函数大于零求单调增区间：因为，所以，令，因为，得或，所以的单调增区间为和（2）双变量不等式恒成立问题，先对不等式进行等价变形，转化为对应函数增减性问题：不妨设，根据在上单调递增，所以有对恒成立，即对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数，然后分别求对应函数增减性条件：在上恒成立，在恒成立，得在恒成立，；在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，，所以实数的取值范围为．试题解析：（1）因为，所以， 2分令，因为，得或， 5分所以的单调增区间为和； 6分（2）因为对任意且，均有成立，不妨设，根据在上单调递增，所以有对恒成立， 8分所以对，恒成立，即对，恒成立，所以和在都是单调递增函数， 11分当在上恒成立，得在恒成立，得在恒成立，因为在上单调减函数，所以在上取得最大值，解得． 13分当在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，因为在上递减，在上单调递增，所以在上取得最小值，所以， 15分所以实数的取值范围为． 16分【考点】不等式恒成立问题二、解答题1.如图，已知中，，，是的中点，若向量，且的终点在的内部（不含边界），则的取值范围是．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则且，【考点】向量数量积2.已知的内角的对边分别为，．（1）若，，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）已知两边及一角求第三边，一般利用余弦定理求解：由余弦定理得，因为，，，所以，即解之得，（舍去）．（2）已知两角求第三角，根据三角形三角和为，利用两角和正切公式求解：因为，所以试题解析：（1）由余弦定理得，， 3分因为，，，所以，即 5分解之得，（舍去）．所以. 7分（2）因为，，所以 9分11分．所以． 14分【考点】余弦定理，两角和正切公式3.如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．（1）求证：；（2）若平面与平面的交线为，求证：．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理求证：因为四边形ABCD为菱形，所以，又因为，O为BD的中点，所以而所以，又因为所以（2）证明线线平行。

江苏高考模拟考试数学试卷附带答案(满分：150分 考试时间：120分钟)一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{0，a }，B ＝{2a ，b }，若A ∩B ＝{1}，则a ＋b ＝( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 若1＋i 是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则( )A. p ＝2，q ＝2B. p ＝2，q ＝－2C. p ＝－2，q ＝2D. p ＝－2，q ＝－23. 若(x ＋y )6＝a 0y 6＋a 1xy 5＋a 2x 2y 4＋…＋a 6x 6，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5)2的值为( ) A. 0 B. 32 C. 64 D. 1284. 在音乐理论中，若音M 的频率为m ，音N 的频率为n ，则它们的音分差1 200log 2mn .当音A 与音B的频率比为98 时，音分差为r ；当音C 与音D 的频率比为256243时，音分差为s ，则( )A. 2r ＋3s ＝600B. 3r ＋2s ＝600C. 5r ＋2s ＝1 200D. 2r ＋5s ＝1 2005. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x －2y ＋2＝0与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，则OA → ·OB → 的值为( )A. 4B. 8C. 12D. 166. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (6，8)，将OA → 绕点O 顺时针旋转π4 后得OA ′→，则A ′的纵坐标为( )A. 2B. 3C. 2D. 57. 已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，若f (π4 )＝0，f (π)＝－1，f (x )的最小正周期T >2π，则φ的值为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6 8. 若实数a ，b ，c 满足6a ＝12ac ＝3，3b－ab＝5a－ab，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a >b >cB. b >c >aC. c >a >bD. c >b >a二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知一组数据为4，1，2，5，5，3，3，2，3，2，则( ) A. 标准差为85 B. 众数为2和3C. 第70分位数为72D. 平均数为310. 用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是( ) A. 锐角三角形 B. 直角梯形C. 正五边形D. 边长不全相等的六边形11. 已知定义域为R 的函数f (x )＝x 4－x 2＋ax ＋1，则( ) A. 存在唯一的实数a ，使函数f (x )的图象是轴对称图形 B. 存在实数a ，使函数f (x )为单调函数 C. 对任意实数a ，函数f (x )都存在最小值D. 对任意实数a ，函数f (x )都存在两条过原点的切线12. 过圆O ：x 2＋y 2＝8内一点P (1，3 )作两条互相垂直的弦AB ，CD ，得到四边形ADBC ，则( ) A. AB 的最小值为4 B. 当AB ＝25 时， CD ＝27 C. 四边形ADBC 面积的最大值为16 D. AC → 与BD →为定值 三、 填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．13. 若椭圆C 2的焦点在y 轴上，且与椭圆C 1：x 24 ＋y 22 ＝1的离心率相同，则椭圆C 2的一个标准方程为________．14. 某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务，两人被选中的概率都是0.5.根据以往经验，若选员工甲，按时完成任务的概率为0.8；若选员工乙，按时完成任务的概率为09.则选派一名员工，任务被按时完成的概率为________．15. 设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10S 2，则S 6S 2的值为________．16. 一名学生参加学校社团活动，利用3D 技术打印一个几何模型．该模型由一个几何体M 及其外接球O 组成，几何体M 由一个内角都是120°的六边形ABCDEF 绕边BC 旋转一周得到，且满足AB ＝AF ＝DC ＝DE ，BC ＝EF ，则球O 与几何体M 的体积之比为________．四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin A sin C ＋sin Csin A＝2cos B ＋1. (1) 求证：b 2＝ac ；(2) 若b2a2＋c2＝25，求cos B的值．18.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足3a na n＋1＝2a n＋1a2，2a1＋1a2＝1a3，a＞0.(1) 求证：数列{1a n}是等差数列；(2) 求数列{a n a n＋1}的前n项和S n.19.(本小题满分12分)甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个项目胜方得100分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，各项目比赛互不影响．(1) 求乙校获得冠军的概率；(2) 用X表示甲校的总得分，求X的分布列与数学期望．20.(本小题满分12分)如图，在三棱台ABCDEF 中，已知平面ABED ⊥平面BCFE ，BA ⊥BC ，BC ＝3，BE ＝DE ＝DA ＝12 AB＝1.(1) 求证：直线AE ⊥平面BCFE ；(2) 求平面CDF 与平面AEF 所成角的正弦值．21. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2，0)的直线l 与双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1的左支交于A ，B 两点，直线OA 与双曲线C 的右支交于点D .已知双曲线C 的离心率为2 ，当直线l 与x 轴垂直时，BD ＝2 AB .(1) 求双曲线C 的标准方程；(2) 求证：直线BD 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切．22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －16 ax 3(a ≠0)，记f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N ), f 0(x )＝f (x ).(1) 当x >0时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的最大值；(2) 当a ＝1时，设g n (x )＝ i ＝2nf i (x )，对任意的n ≥3，当x ＝t n 时，y ＝g n (x)取得最小值，求证：g n (t n )>0且所有点(t n ，g n (t n ))在一条定直线上；(3) 若函数f 0(x)，f 1(x)，f 2(x)都存在极小值，求实数a 的取值范围．参考答案1. B2. C3. A4. C5. C6. A7. D8. D9. BCD 10. BC 11. ACD 12. ABD 13. 形如y 22t ＋x 2t ＝1(t ＞0)都行 14. 0.85 15. 91 16. 5678117. (1) 证明：由正弦定理知sin A sin C ＋sin C sin A ＝a c ＋ca由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，(3分)所以a c ＋ca ＝2·a 2＋c 2－b 22ac ＋1化简得b 2＝ac .(5分)(2) 解：因为b 2a 2＋c2 ＝25 ，b 2＝ac ，所以a 2＋c 2ac ＝52 .(7分)由(1)知a 2＋c 2ac ＝2cos B ＋1，所以2cos B ＋1＝52 ，即cos B ＝34 .(10分)18. (1) 证明：因为数列{a n }满足3a na n ＋1 ＝2a n ＋1a 2 ，a 2＞0令n ＝1，得3a 1a 2 ＝2a 1＋1a 2 ，所以a 1＝1，(2分)令n ＝2，得3a 2a 3 ＝2a 2＋1a 2.又因为2a 1 ＋1a 2 ＝1a 3 ，a 2＞0，所以a 2＝13 ，(4分)所以a n a n ＋1 ＝2a n ＋1，所以1a n ＋1 ＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n故1a n ＋1 －1a n ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为2的等差数列．(7分)(2) 解：由(1)知，1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1所以a n a n ＋1＝1（2n －1）（2n ＋1） ＝12 (12n －1 －12n ＋1 )，(9分)S n ＝12 (1－13 ＋13 －15 …＋12n －1 －12n ＋1 )＝12 (1－12n ＋1 )＝n 2n ＋1即数列{a n a n ＋1}的前n 项和S n ＝n 2n ＋1.(12分)19. 解：(1) 甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.6，0.5，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：乙校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场 若乙校3场全胜，概率为P 1＝0.6×0.4×0.5＝0.12若乙校获胜2场败1场，概率为P 2＝0.6×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＝0.38 所以乙校获得冠军的概率为P ＝P 1＋P 2＝0.5.(5分)(2) 甲校的总得分X 的可能取值为0，100，200，300，其概率分别为 P (X ＝0)＝0.6×0.4×0.5＝0.12P (X ＝100)＝0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＋0.6×0.4×0.5＝0.38 P (X ＝200)＝0.4×0.6×0.5＋0.4×0.4×0.5＋0.6×0.6×0.5＝0.38 P (X ＝300)＝0.4×0.6×0.5＝0.12 则X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×0.12＋100×0.38＋200×0.38＋300×0.12＝150.(12分) 20. (1) 证明：在三棱台ABCDEF 中，DE ∥AB . 因为BE ＝AD ，所以四边形ABED 为等腰梯形． 因为BE ＝DE ＝1，AB ＝2，所以可得∠ABE ＝π3.在△ABE 中，由余弦定理可得AE ＝3 ，所以BE 2＋AE 2＝AB 2 所以AE ⊥BE .(3分)又因为平面ABED ⊥平面BCFE ，平面ABED ∩平面BCFE ＝BE ，AE ⊂平面ABED 所以直线AE ⊥平面BCFE .(5分) (2) 由(1)知AE ⊥平面BCFE 因为BC ⊂平面BCFE ，所以AE ⊥BC .又BC ⊥BA ，AE ，BA ⊂平面ABED ，所以BC ⊥平面ABED . 又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ABED 在平面ABED 内过B 作BH ⊥BA ，则BH ⊥平面ABC .21. (1) 解：当直线l 与x 轴垂直时在x 2a 2 －y 2b 2 ＝1中，令x ＝－2得4a 2 －y 2b 2 ＝1，所以y ＝±b a 4－a 2 .不妨令A (－2，－b a4－a 2 )，B (－2，ba4－a 2 )，则D (2，ba4－a 2 )所以BD ＝4，AB ＝2ba4－a 2 .因为BD ＝2 AB ，所以4＝2 ×2ba4－a 2，又a 2＋b 2a＝2 ，所以a 2＝b 2＝2所以双曲线C 的标准方程为x 22 －y 22＝1.(4分)(2) 证明：显然直线BD 的斜率存在，设为y ＝kx ＋m ，设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A (－x 1，－y 1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝2， 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0则x 1＋x 2＝－2kmk 2－1 ，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1 ，(6分)所以|x 1－x 2|＝x 1－x 2＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝（2km k 2－1）2－4·m 2＋2k 2－1 ＝2|k 2－1|m 2－2k 2＋2 .(8分)因为直线l 经过点P (－2，0)，所以－y 1－x 1＋2 ＝y 2x 2＋2 ，即kx 1＋m x 1－2 ＝kx 2＋m x 2＋2即m (x 1－x 2)＝2k (x 1＋x 2)＋4m ，则2m|k 2－1|m 2－2k 2＋2 ＝2k ·－2kmk 2－1＋4m显然m ≠0，化简得m 2－2k 2＋2|k 2－1| ＝－2k 2－1所以m 2＝2k 2＋2，(10分)所以O 到直线BD 的距离d ＝|m |1＋k 2 ＝2k 2＋21＋k 2 ＝2所以直线BD 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切．(12分) 22. 解：(1) 因为x ＞0，所以f (x )≥0即16 a ≤e xx 3 .令h (x )＝e xx 3 (x ＞0)，则h ′(x )＝x －3x4 e x当0＜x ＜3时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，3)上单调递减； 当x ＞3时，h ′(x )＞0，h (x )在(3，＋∞)上单调递增 所以h (x )min ＝h (3)＝e 327 ，所以16 a ≤e 327 ，即a ≤2e 39所以实数a 的最大值是2e 39.(3分)(2) 当a ＝1时，f 0(x )＝e x －16 x 3，f 1(x )＝e x －12 x 2，f 2(x )＝e x －x ，f 3(x )＝e x －1当n ≥4时，f n (x )＝e x ；当n ≥3时，g n (x )＝∑ni ＝2 f i (x)＝(n －1)e x －x －1，所以g′n (x)＝(n －1)e x －1. 令g′n (x)＝0，得x ＝ln 1n －1当x ∈(－∞，ln 1n －1)时，g′n (x)＜0，g n (x)单调递减； 当x ∈(ln1n －1，＋∞)时，g′n (x)＞0，g n (x)单调递增 所以t n ＝ln1n －1 ，且y ＝g n (x)的最小值为g n (t n )＝g n (ln 1n －1)＝ln (n －1). 因为n ≥3，故g n (t n )＞0，此时点(t n ，g n (t n ))对应的坐标为(－ln (n －1)，ln (n －1)) 所以所有点(t n ，g n (t n ))都在定直线y ＝－x 上．(6分)(3) 易知f 0(x)＝e x －16 ax 3，f 1(x)＝e x －12 ax 2，f 2(x)＝e x －ax ，f 3(x)＝e x －a若a ≤0，f 3(x)＝e x －a ＞0，f 2(x)在R 上单调递增，无极值 所以a ＞0，(7分)(或f 1(x )＝e x －12 ax 2＞0，f 0(x )在R 上单调递增，无极值，所以必有a ＞0)此时，当x ＜ln a 时，f 2(x )单调递减；当x ＞ln a 时，f 2(x )单调递增 所以f 2(x )存在极小值，且f 2(x )min ＝f 2(ln a )＝a －a ln a . 当0＜a ≤e 时，有a －a ln a ≥0，即f 2(x )≥0所以f 1(x )＝e x －12 ax 2在R 上单调递增，无极值，所以必有a ＞e ，(8分)此时f 2(ln a )＝a (1－ln a )＜0，f 2(a )＝e a －a 2＞0，f 2(0)＝1＞0，其中0＜ln a ＜a 所以存在t 1∈(0，ln a )使得f 2(t 1)＝0，存在t 2∈(ln a ，a )使得f 2(t 2)＝0所以当t 1＜x ＜t 2时，f 2(x )＜0，f 1(x )单调递减；当x ＞t 2时，f 2(x )＞0，f 1(x )单调递增 因此f 1(x )存在极小值，(10分)下证当a ＞e ，f 0(x )一定存在极小值(事实上，只要a ＞0即可). 当x ＜0时，f 2(x )＝e x －ax ＞0则f 1(x )在(－∞，0)上单调递增，且f 1(－1)＝e －1－12 a ＜0，f 1(0)＝1＞0所以存在t 3∈(－1，0)使得f 1(t 3)＝0所以当x ＜t 3时，f 1(x )＜0，f 0(x )单调递减；当t 3＜x ＜0时，f 1(x )＜0，f 0(x )单调递增； 所以f 0(x )存在极小值．综上，实数a 的取值范围是(e ，＋∞).(12分）。