关于一道平行四边形判定题中的28种情形解析

A B C DC平行四边形判定知识讲解一、知识结构：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧形分的四边形是平行四边对角线：对角线互相平的四边形是平行四边形角：两组对角分别相等四边形是平行四边形一组对边平行且相等的边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边平行四边形的判定 二、型例题讲解：例1、如图,AD=BC,要使四边形ABCD 是平行四边形,还需补充的一个条件是______ 分析：可以从边、角、对角线上分别考虑。

答案：不唯一：如，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠A ＋∠B ＝180°，∠C ＋∠D ＝180° 点评：本体起点低，入口宽，能够满足不同层次的同学。

例2、点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ②AB ＝CD ③BC ∥AD ④BC ＝AD 这四个条件中任选两个，使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种分析：可以用①分别与②、③、④组合，可以构成①②，①③两组正确命题；②与②④组合，可以构成②④一组正确命题；③与④组合，可以构成③④一组正确命题，因此，共有4组，故，选择B 。

答案：B点评：本题考查大家灵活掌握平行四边形判定方法和分类思想。

例3、下列条件中，能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. 对角线AC 平分BDB. ∠A=∠B, ∠C=∠DC. AB=AD, CB=CDD. AB=CD, AD=BC 分析：本体给出的条件有边、角、对角线，那我们就可以从边、角、对角线三个知识点来加以分析，利用排除法进行淘汰。

答案：D点评：只有熟练掌握其知识点，才能做出正确的选择。

例4、D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、AB 、AC 上，且DE ∥AF ，DE ＝AF ，G 在FD 的延长线上，DG ＝DF ，试说明AG 和ED 互相平分分析：要想判断AG 和ED 互相平分，我们可以说明四边形ADGE 可以连接AD 、EG ，先证四边形AEDF 是平行四边形，再证四边形AEGD 解：连接AD 、EG ，因为，DE ∥AF ，DE ＝AF ，所以，四边形AEFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 所以，AE ∥DF ，AE=DF （平行四边形的一组对边平行且相等）又因为，DG ＝DF所以，AE=DG ，AE ∥DG所以，四边形AEGD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 所以，AG 和ED 互相平分（平行四边形的对角线互相评分）点评：本题主要是考查平行四边形的判定与性质的运用，在使用的过程中要注意二者的O A BC DG H E F区别和联系。

专题05平行四边形的性质与判定压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用平行四边形的性质求解】 (1)【考点二利用平行四边形的性质证明】 (3)【考点三判断能否构成平行四边形】 (7)【考点四添一个条件成为平行四边形】 (10)【考点五证明四边形是平行四边形】 (12)【考点六平行四边形中的折叠问题】 (16)【考点七利用平行四边形的性质无刻度作图】 (18)【考点八利用平行四边形的性质与判定综合】 (21)【过关检测】 (27)【典型例题】【考点一利用平行四边形的性质求解】【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四=边形的性质，得出AF AB根据平行四边形的对边平行且相等可得AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==；根据两直线平行，内错角相等可得AFB FBC ∠=∠；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得ABF FBC ∠=∠；推得ABF AFB ∠=∠，根据等角对等边可得6AF AB ==，6DE DC ==，即可列出等式，求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==，∵AD BC ∥，∴AFB FBC ∠=∠，∵BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，则ABF AFB ∠=∠，∴6AF AB ==，同理可证：6DE DC ==，∵2EF AF DE AD =+-=，即669EF +-=，解得：3EF =；故答案为：3．【变式训练】【答案】22【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分求出【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，【答案】16【分析】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，关键．根据题意，OM 垂直平分【考点二利用平行四边形的性质证明】例题：（2023下·广东广州·八年级校考期中）平行四边形ABCD 中，AE BF 、分别平分DAB ∠和ABC ∠交CD 于点E F AE BF 、，、交于点G ．(1)求证：AE BF ⊥；(2)判断DE 和CF 的大小关系，并说明理由【答案】(1)证明见解析(2)DE CF =，理由见解析【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；（1）证明90BAE ABF ∠+∠=︒，即可推出90AGB ∠=︒即AE BF ⊥；（2）证明,DE AD CF BC ==，再利用平行四边形的性质AD BC =，即可解决问题；【详解】（1）证明：如图，∵在平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，AE、BF 分别平分DAB ∠和ABC ∠，22DAB BAE，ABC ABF ∴∠=∠∠=∠，22180BAE ABF ∴∠+∠=︒，即90BAE ABF ∠+∠=︒，90AGB ∴∠=︒，AE BF ∴⊥；（2）解：结论：线段DF 与CE 是相等关系，即DF CE =，∵在平行四边形ABCD 中，CD AB ∥，DEA EAB ∴∠=∠，又AE 平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠，DEA DAE ∴∠=∠，DE AD ∴=，同理可得，CF BC =，又∵在平行四边形ABCD 中，AD BC =，DE CF ∴=．【变式训练】1．（2023上·福建厦门·九年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BC 到点E ，使得CE BC =，连接AE 交CD 于点F ．证明：AFD EFC △≌△．【答案】证明见解析【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的证明．由平行四边形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，从而D FCE ∠=∠，AD CE =，又AFD EFC ∠=∠，通过“AAS ”证得ADF ECF ≌△△．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴D FCE ∠=∠，∵AD BC =，CE BC =，∴AD CE =，∴在ADF △和ECF △中，D FCE AFD EFC AD EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADF ECF △△≌．2．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，点E 为AB 的中点，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F ．(1)求证：AEF BEC ≌△△；(2)求证：DE 是CDF ∠的平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F 得CB DF ∥，则BCE AFE ∠=∠，根据点E 为AB 的中点得AE BE =，利用AAS 即可证明；（2）根据四边形ABCD 是平行四边形得AB CD ∥，可得AED CDE ∠=∠，根据2AB BC =，点E 为AB 的中点，得AE AD =，则AED ADE ∠=∠，等量代换得CDE ADE ∠=∠，即可得．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F ，∴CB DF ∥，∴BCE AFE ∠=∠，∵点E 为AB 的中点，∴AE BE =，在AEF △和BEC 中，AFE BCE AEF BEC AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF BEC AAS ≌；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴AED CDE ∠=∠，∵2AB BC =，点E 为AB 的中点，∴AE AD =，∴AED ADE ∠=∠，∴CDE ADE ∠=∠，∴DE 是CDF ∠的平分线．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．3．（2023上·北京海淀·九年级统考期中）如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点,O EF 过点O 且分别与,AD BC 交于点,E F ．△≌△(1)求证：AOE COF(2)记四边形ABFE的面积为【答案】(1)证明见解析【考点三判断能否构成平行四边形】例题：（2023下·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A ．OA OC =，OB OD=B ．AB CD ∥，AD CB ∥C ．AB CD =，AD CB=D ．AB CD ∥，AD CB=【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项A 不符合题意；B 、∵AB CD ∥，AD CB ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项B 不符合题意；C 、∵AB CD =，AD CB =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项C 不符合题意；D 、由AB CD ∥，AD CB =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·江西赣州·八年级校联考期末）如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上．下列条件中，不能．．得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）A ．AF CE=B ．AE CF =C ．AE CF ∥D ．BAE DCF∠=∠【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．【详解】A 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，即AF CE ∥．又AF CE =，∴四边形AECF 为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．B 、无法证明四边形AECF 为平行四边形，该选项符合题意．C 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，即AF CE ∥．又AE CF ∥，∴四边形AECF 为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．D 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BAD BCD ∠=∠，B D ∠=∠．又BAE DCF ∠=∠，EAF BAD BAE ∠=∠-∠，FCE BCD DCF ∠=∠-∠，∴EAF FCE Ð=Ð．∵AEC B BAE ∠=∠+∠，AFC D DCF ∠=∠+∠，∴AEC AFC ∠=∠．∴四边形AECF 为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）如图，AD BC ∥，AD BC =，E 、F 是线段BD 上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF 是平行四边形的是（）A ．BE DF=B ．AEB DFC =∠∠C ．AF FE=D ．AE BD ⊥，CF BD⊥【答案】C 【分析】连接AB 、CD 、AC 交BD 于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA OC =，OB OD =，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE OF =即可，然后根据各选项的条件分析判断结合平行四边形的判定即可得解．【详解】解：连接AB ，CD ，，AD BCAD BC=，∴四边形ABCD是平行四边形，连接AC交BD于O，∴=，BO ODAO OC=，=，BE DF∴=，OE OF∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；，∠=∠AEB CFD\Ð=Ð，AEO CFO∴∥，AE CF，AO OC∠=∠AOE COF=，≌，∴∆∆(AAS)AOE COF∴=，AE CF∴四边形AECF是平行四边形，故B不符合题意；=，故无法判定四边形AECF是平行四边形，故C符合题意；AF FE⊥，，CF BD⊥AE BD∴∠=∠，AEB CFD以下的证明与B相同，故D选项不符合题意；故答案为：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．【考点四添一个条件成为平行四边形】【答案】BE DF =或BF DE =或BAE DCF ∠=∠．【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．【详解】解：使四边形AECF 是平行四边形．就要使AE CF ，AE CF =，就要使AEB CFD ≅△△，而在平行四边形中已有AB CD =，ABE CDF ∠=∠，再加一个BE DF =或BF DE =可用SAS 证AEB CFD ≅△△，或BAE DCF ∠=∠用ASA 证AEB CFD ≅△△．故答案为：BE DF =或BF DE =或BAE DCF ∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明AEB CFD ≅△△的条件来得到AE CF ，AE CF =，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．【变式训练】【答案】AD BC=【分析】在DEBF 中可得ED BF ∥行四边形．【详解】解：添加条件AD BC =，【答案】2或3【分析】根据平行四边形的判定可知，分两种情况：可得．【考点五证明四边形是平行四边形】Y的对角线AC，BD相交于点O，例题：（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCDBM AC ⊥，DN AC ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：四边形BMDN 是平行四边形．【答案】见解析【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，首先根据平行四边形的性质得到AB CD =，BAM DCN ∠=∠，然后证明出()AAS ABM CDN △△≌，得到MB DN =，然后证明出MB DN ∥，即可证明四边形BMDN 是平行四边形．熟悉相关性质是解题的关键．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD =，BAM DCN∠=∠∵BM AC ⊥，DN AC⊥∴90AMB CND ∠=∠=︒∴()AAS ABM CDN △△≌∴MB DN=∵BM AC ⊥，DN AC⊥∴90OMB OND ∠=∠=︒∴MB DN∥∴四边形BMDN 是平行四边形．【变式训练】1．（2023下·天津·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，点G H ，分别是AB CD ，的中点，点E F 、在对角线AC 上，且AE CF =．(1)求证：AGE CHF ≌△△；(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若6AB =，8AD =，A ∠=【答案】(1)见解析(2)27由（1）得：四边形CEDF 是平行四边形，CE DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，60BCD A ∴∠=∠=︒，CD =【考点六平行四边形中的折叠问题】【答案】40︒/40度【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质．根据平行四边形和折叠的性质，得到而求出MFA∠的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵平行四边形∥，∴CD AB故答案为：40︒．【变式训练】【答案】110︒/110度【分析】根据平行四边形的性质和外角定义证明折可得240EDB ∠=∠=︒，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设BE ，DC 交于点∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠，由翻折可知：ABD EBD ∠=∠，∴EBD CDB ∠=∠，E A ∠=∠，【答案】30︒/30度【分析】由平行四边形的性质得∠=由三角形外角性质求出AEF【详解】解： 四边形ABCD是平行四边形，【考点七利用平行四边形的性质无刻度作图】例题：（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，只用无刻度的直尺按下列要求画图．（不写画法）(1)在图1中，点E 是BC 的中点，作边AD 上的中点F ；(2)在图2中，ABC ∠的平分线交AD 于点F ，在边BC 上的找点P ，使得连接DP 后，DP 平分ADC ∠．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题主要考查利用平行四边形性质作图，（1）利用平行四边形对角线相互平分的性质，即可确定EO AB ∥，且点E 为中点，即可求得点F 也为中点；（2）利用平行四边形对角线相互平分的性质，可判定四边形FBPD 为平行四边形，结合BF 平分ABC ∠，则DP 即为所求．【详解】（1）解：连接AC 和BD 交于点O ，连接EO ，延长EO 交AD 于点F ，如图，（2）连接AC 和BD 交于点O ，连接FO ，延长FO 交BC 于点P ，如图，【变式训练】1．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）例在ABCD Y 中，点E 为AB 上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）(1)如图1，E 为AB 边上一点，AE AD =，画出∠D 的角平分线；(2)如图2，E 为AB 边上一点，AE AD =，画出∠B 的角平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接DE ，由AE AD =得AED ADE ∠=∠，结合平行线的性质可得AED CDE ∠=∠，进而可得DE 平分ADC ∠，即DE 即为所求；（2）连接AC BD ，交于点O ，连接EO 并延长交CD 点F ，连接BF ，BF 为所求．【详解】（1）解：如图：DE 即为所求．（2）解：如图：BF 即为所求．【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．2．（2023上·湖北黄石·九年级统考期中）如图是由小正方形组成的86⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺．．．．．．．．在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．(1)判断四边形ABCD 的形状；(2)在图1中，在CD 上画点E ，使=45ABE ∠︒；(3)在图2中的CD 上画点G ，使CG AD =．【答案】(1)平行四边形(2)见解析（3）解：如图2，点G即为所求；【考点八利用平行四边形的性质与判定综合】Y对角线AC上的两点．例题：（2023下·广东深圳·八年级校考期末）已知：如图，E、F是ABCD(1)若AE CF =，求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若DE AC ⊥，BF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，35EDF ∠=︒，求FBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)35︒【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，根据ABCD Y ，得OB OD =，OA OC =，继可证得OE OF =，即可由平行四边形的判定定理得出结论．（2）先由DE AC ⊥，BF AC ⊥，得出90AED BFC ∠=∠=︒，DE BF ∥，再证()AAS ADE CBF ≌△△，得DE BF =，从而证得四边形BFDE 是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得35FBE EDF ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，∵ABCD Y ，∴OB OD =，OA OC =，∵AE CF =，∴AE OA CF OC -=-，即OE OF =，∴四边形BFDE 是平行四边形．（2）解：∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AED BFC ∠=∠=︒，DE BF ∥，∵ABCD Y ，∴AD BC =，AD BC ∥，∴DAE BCF ∠=∠，在ADE V 和CBF V 中，DAE BCF AED BFC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADE CBF ≌△△，∴DE BF =，∴四边形BFDE 是平行四边形∴35FBE EDF ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE DF =，连接EF 交BD 于O ．(1)连接BF 、DE ，判断四边形DEBF 的形状并说明理由．(2)若6AE =，2BE =，BOF 的面积为2，求ABCD Y 的面积．(3)若BD AD ⊥，45A ∠=︒，EF AB ⊥，延长EF 交AD 的延长线于G ，当1FG =时，则AB 的长为______．【答案】(1)四边形DEBF 是平行四边形，理由见解析；(2)16；(3)4；【分析】（1）分别证明DF EB ∥，BE DF =，即可；（2）利用平行四边形的性质，由BOF 的面积为2，得到4EFB S = ，再利用三角形同底等高的性质，得到EDB △的面积，再求出8ADB S = ，则可知ABCD Y 的面积为216ADB S = ；（3）由ADB 是等腰直角三角形，得出45A ∠=︒，因为EF AB ⊥，得出45G ∠=︒，所以ODG 与DFG 都是等腰直角三角形，从而依次求得GF 、GE 、AE 的长，则AB 可求；【详解】（1）解：四边形DEBF 是平行四边形；(1)如图①，求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图②，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ．若30α=︒，2AB =(3)如图③，平分ABC ∠，交AD 于点E ，作AH CD ⊥交射线DC 图①图②综上所述，线段AF ，DE ，CH 之间的数量关系为DE CH AF +=或DE CH AF-=【过关检测】一、单选题1．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）在ABCD Y 中，80A C ∠+∠=︒，则D ∠的度数为（）A ．140︒B ．40︒C ．70︒D ．80︒【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．由平行四边形的性质得,A C AB CD ∠=∠∥，则180A D ∠+∠=︒，再求出40A ∠=︒，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,A C AB CD ∠=∠∥，180,A D ∴∠+∠=︒80,A C ∠+∠=︒Q 40,A C \Ð=Ð=°180140,D A ∴∠=︒-∠=︒故选：A ．2．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列说法：①平行四边形的两组对边分别平行且相等；②平行四边形的对角线互相平分；③平行四边形的对角相等、邻角互补；④平行四边形的对角线相等．其中正确的说法有（）A ．4个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】略3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，点P 是ABCD Y 内的一点，过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，与ABCD Y 的边分别交于G 、F 、H 、E ．则图中平行四边形的个数为（）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．【详解】解：∵ABCD Y ，∴,∥∥AD BC AB CD ，∵过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，∴,EF AB CD GH AD BC ∥∥∥∥，∴四边形,,,,,,,AGPE ABFE AGHD GBCH EPHD PFCH EFCD GBFP 均为平行四边形，∴加上ABCD Y 共9个；故选D ．4．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，点E 是ABCD Y 边AD 延长线上一点，连接BE 、CE 、BD ，BE 与CD 交于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（）A ．DE DA=B ．ABD DCE ∠=∠C ．DEB BCD ∠=∠D ．EF FB=【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，CD AB ∥，AD BC =，CD AB =，若DE DA =，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项A ；若ABD DCE ∠=∠，易得DCE CDB ∠=∠，即可证明BD CE ∥，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可判断选项B ；若EF FB =，证明DEF CBF ≌△△，由全等三角形的性质可得DE CB =，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D ；由DEB BCD ∠=∠不能证明四边形BCED 为平行四边形，即可判断选项C ．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，CD AB ∥，AD BC =，CD AB =，即DE BC ∥，若DE DA =，则有DE BC =，∴四边形BCED 为平行四边形，故选项A 不符合题意；∵CD AB ∥，∴ABD CDB ∠=∠，若ABD DCE ∠=∠，则有DCE CDB ∠=∠，∴BD CE ∥，又∵DE BC ∥，∴四边形BCED 为平行四边形，故选项B 不符合题意；∵DE BC ∥，∴DEF CBF ∠=∠，若EF FB =，则在DEF 和CBF V 中，DEF CBF EF FB DFE CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DEF CBF ≌，∴DE CB =，又∵DE BC∥∴四边形BCED 为平行四边形，故选项D 不符合题意；由DEB BCD ∠=∠不能证明四边形BCED 为平行四边形，选项C 符合题意．故选：C ．5．（2023下·浙江·八年级校联考期中）如图，E ，F 分别是平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上的点，AF 与A ．a b+B ．12c a b --【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形12DEC S DC EM =⋅ ，ABCD S DC EM c =⋅= ，12DEC S c ∴= ， 四边形ABCD 是平行四边形，二、填空题【答案】24︒【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出形两个锐角角互余即可求得答案．【答案】213【分析】本题主要考查平行四边形的性质及勾股定理的运用，长度，则BD即可求解，解答本题的关键在于表示出所需边长．【详解】解：∵四边形ABCD【答案】40【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定是解题的关键．【答案】40°/40度【分析】根据平行四边形的性质可得∠=∠，然后由四边形内角和定理即可解决问题．EFD EFN【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∥，∴AB CDAD BC，∴∠=∠，DAM AMB，DAM BAM ∠=∠∴∠=∠，BAM AMB同理可证，AE EM=，可得1()2EF AD CM=-=综上所述，EF的长为故答案为：5或2．三、解答题(1)求证：CE AB=(2)连接CF，若CF DE⊥【答案】(1)见解析（2）解：过点D作DH⊥=，∵E∠=60°，CD CE是等边三角形，∴CDE∥，∵CD AB(1)求证：四边形ADFE 是平行四边形；(2)若25BD AE ==，，直接写出【答案】(1)见解析(2)13【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理(1)在BC 上取点M ，使四边形ABME 为平行四边形；(2)在CD 的延长线上取一点F ，使四边形BDFA 为平行四边形．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO 并延长交为平行四边形，则AE BM ∥，又因为E 为AD 的中点，以四边形ABME 为平行四边形；（2）连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，连接AF ，则点则FC AB ∥，所以ABE DFE ∠=∠，又因为E 为AD 的中点，所以()AAS ABE DFE ≌△△，即AB DF =，所以四边形BDFA 【详解】（1）解：点M 即为所求：（2）解：如图，点F 即为所求：【点睛】本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关．14．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是CD 延长线上的一点，连接AE ，EAD DBC ∠=∠，BE 交AD 于点F ．(1)求证：四边形ABDE 为平行四边形；(2)若4BAD EAD ∠=∠，50BDC ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)104度【分析】（1）平行四边形的性质，得到AD BC ∥，AB CD ，进而得到ADB DBC ∠=∠，推出EAD ADB ∠=∠，得到AE BD ，即可得证；（2）邻补角求出BDE ∠，平行四边形的性质，得到BAE BDE ∠=∠，结合4BAD EAD ∠=∠，求出EAD ∠，进而得到DBC ∠的度数，再利用外角的性质，求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD ，(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB BF ⊥，8AB =，6BF =，AC 【答案】(1)证明见解析(2)192516．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）将ED绕点E逆时针旋转90︒得到EF(1)当点E 在线段BC 上，=45ABC ∠︒时，如图①，求证：BEF AED ≌△△：(2)当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC ∠︒时，如图②；当点E 在线段CB 延长线上，ABC ∠如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；(3)在（1）、（2）的条件下，若3BE =，5DE =，则CE =______．【答案】(1)见解析∴()SAS BEF AED ≌；（2）解：当=45ABC ∠︒时，如图②：∵AE BC ⊥，=45ABC ∠︒，∴45BAE ∠=︒，90AEB ∠=︒，∴AE BE =，90BEF AEF ∠+∠=︒，∵ED 绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，∴,90DE EF DEF =∠=︒，∴90AEF AED ∠+∠=︒，∴AED BEF ∠=∠，在BEF △和AED △中，AE BE AED BEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BEF AED ≌；∴BF AD =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD =，∴BF BC =，∵BE BC EC =+，∴AE BF EC =+；当135ABC ∠=︒时，如图③：∵135ABC ∠=︒，∴=45ABE ∠︒，∵AE BC ⊥，∴45BAE ∠=︒，90AEB ∠=︒，∴AE BE =，90BED AED ∠+∠=︒，∵ED 绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，∴,90DE EF DEF =∠=︒，∴90BED BEF ∠+∠=︒，【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法，证明BEF AED ≌△△，以及掌握全等三角形对应边相等，平行四边形对边相等．。

平行四边形的性质与计算一、平行四边形的定义与性质1.平行四边形是一种四边形，其对边平行且相等。

2.平行四边形的对角相等。

3.平行四边形的对边相等。

4.平行四边形的对角线互相平分。

5.平行四边形的任意一条对角线将平行四边形分成两个三角形，这两个三角形的面积相等。

6.平行四边形的对边平行且相等，所以其对边上的高也相等。

7.平行四边形的对角线互相平分，所以其对角线的中点到相邻边的距离相等。

二、平行四边形的计算1.面积计算：平行四边形的面积等于底乘以高。

2.周长计算：平行四边形的周长等于两条平行边的和乘以2。

3.对角线长度计算：平行四边形的对角线长度可以通过勾股定理计算。

4.面积计算的变种：如果平行四边形的对角线互相平分，那么平行四边形的面积可以通过对角线的长度计算。

三、平行四边形的判定1.如果一个四边形的对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。

2.如果一个四边形的对角相等，那么这个四边形是平行四边形。

3.如果一个四边形的对边相等，那么这个四边形是平行四边形。

4.如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。

四、平行四边形的应用1.平行四边形在几何图形中的应用：平行四边形是许多复杂图形的基础。

2.平行四边形在建筑设计中的应用：平行四边形的性质使得建筑设计更加灵活。

3.平行四边形在日常生活中的应用：例如，在摆放物品时，平行四边形的性质可以帮助我们更有效地利用空间。

五、注意事项1.理解平行四边形的性质与计算方法，不要死记硬背。

2.在解决实际问题时，要注意灵活运用平行四边形的性质。

3.平行四边形的性质与计算在学习过程中只是基础，要继续深入学习其他图形的性质与计算。

以上是关于平行四边形的性质与计算的知识点总结，希望对你有所帮助。

习题及方法：1.习题：判断下列图形中哪些是平行四边形。

A. 两个对边平行且相等的四边形B. 两个对角相等的四边形C. 两个对边相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形答案：A、B、C、D都是平行四边形。

专题18.1 平行四边形一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2019·厦门市湖里中学初二月考）一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°2．（2020·全国初二课时练习）下列说法不正确的是（）A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．平行四边形的对角线互相平分C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等3．（2019·贵州初二期末）如图，EF为△ABC的中位线，若AB=6，则EF的长为（）A．2B．3C．4D．54．（2019·福建师范大学附属中学初中部初三月考）将平行四边形纸片沿过其对称中心的任一直线对折，下图不可能的是（）A．B．C．D．5．（2020·陕西西北工业大学附属中学初三月考）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A ．6B ．12C ．18D ．246．（2020·全国初二课时练习）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种7．（2017·湖北初二期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）A ．①，②B ．①，④C ．③，④D ．②，③8．（2020·广东初三期末）如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB=4，BC=6，OE=3，那么四边形EFCD 的周长是（ ）A ．16B ．13C ．11D ．109．（2019·河南初二期中）在ABCD 中，已知76A C ∠+∠=︒，则下列正确的是（ ）A ．28A ∠=︒B ．142B ∠=︒C ．48C ∠=︒D ．152D ∠=︒10．（2019·河北初二期末）如图，在▱ABCD 中，∠BAD ＝120°，连接BD ，作AE ∥BD 交CD 延长线于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ，且CF ＝1，则AB 的长是( )A ．2B ．1C D11．（2019·曲阜师范大学附属实验学校初二月考）如图所示，在长为5cm，宽为3cm的长方形内部有一平行四边形，则平行四边形的面积为（）．A．7cm2B．8cm2C．9cm2D．10cm212．（2019·浙江初二期末）下图入口处进入，最后到达的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．（2019·河北金华中学初三开学考试）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试了一种辅助线，如图1，图2所示，其中辅助线做法能够用来证明三角形中位线定理的是（）A．小丽和小亮的辅助线做法都可以B．小丽和小亮的辅助线做法都不可以C．小丽的辅助线做法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线做法可以，小丽的不可以14．（2020·山东省东营市河口区义和镇中心学校初二期末）如图，将一张平行四边形纸片撕开并向两边水平拉伸，若拉开的距离为l cm，AB＝2cm，∠B＝60°，则拉开部分的面积（即阴影面积）是（）A ．1cm 2B ．2cm 2C 2D ．2二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·民勤县新河乡中学初二月考）已知ABCD 中一条对角线分A ∠为35°和45°，则B ∠=________度．16．（2019·厦门市湖里中学初二月考）如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的角平分线交CD 于E ，若DE ：EC=3：1，AB 的长为8，则BC 的长为______17．（2019·福建初三）如图，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到点E ，使CE ＝14CD ，过点B 作BF ∥DE 交AE 的延长线于点F ，若BF ＝10，则AB 的长为____．18．（2020·全国初二课时练习）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=12，点E 是BC 的中点．点P 、Q 分别是边AD 、BC 上的两点，其中点P 以每秒个1单位长度的速度从点A 运动到点D 后再返回点A ，同时点Q 以每秒2个单位长度的速度从点C 出发向点B 运动．当其中一点到达终点时停止运动．当运动时间t 为_____秒时，以点A 、P ，Q ，E 为顶点的四边形是平行四边形．三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·全国初二课时练习）已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 中BD 上的点，且BE ＝DF ，试说明，四边形AECF是平行四边形。

2022-2023学年江苏省淮安市金湖县八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2. 某地区有10所高中，30所初中，要了解该地区的中学生视力情况，下列哪种抽样方式获得的数据最能够反映该地区的中学生视力情况( )A. 从该地区随机挑一所中学的学生B. 从该地区的一所高中和一所初中各挑一个年级的学生C. 从该地区40所中学随机选取1000名学生D. 从该地区30所初中随机抽出500名学生3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )A. 水落石出B. 水涨船高C. 水滴石穿D. 水中捞月4. 为了解全校600名八年级学生的身高，从该校八年级随机抽取了50名学生测量身高.那么在这个问题中，样本是( )A. 50B. 被抽取的50名学生的身高C. 被抽取的50名学生D. 全校600名八年级学生的身高5. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )A. B. C. D.6. 菱形ABCD的对角线长分别为6和8，它的面积为( )A. 5B. 20C. 24D. 487.如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=105°，则∠BAC是( )A. 25°B. 30°C. 45°D. 50°8. 正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积．( )A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9. 某产品生产企业开展有奖促销活动，将每8件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是______ ．10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，将三角形ABC绕点A按顺时针方向旋转到三角形AB1C1的位置，使得点C、A、B1在一条直线上，那么旋转角等于______ ．11.一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是______ ．12.如图，四边形ABCD为平行四边形，则点A的坐标为______ ．13. 某地区八年级共有学生50000名，为了解该地区八年级学生平均每天完成课外作业的时间情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题所要经历的几个主要步骤进行排序：①分析数据；②用直方图或扇形统计图将200个数据进行整理：③得出结论；④从50000名学生中随机抽取200名学生，调查他们平均每天完成课外作业的时间.合理的排序是______ .(只填序号)14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=8，AD=10，则AO的长为______ ．15. 如图，△ABC的边BC长为6cm.将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______ cm2．16.如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。

平行四边形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ED∥BF，AF=CE，求证：ABCD是平行四边形．2．如图，四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，CD=x﹣5，AD=x﹣3，AC=4．求证：四边形ABCD为平行四边形．3．已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，现给出四个条件：①OA=OC；②AB=CD；③∠BAD=∠DCB；④AD∥BC．请你从中选择两个，推出四边形ABCD为平行四边形，并写出你的推理过程．（1）从以上4个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）_________ ．（2）从（1）中选出一种情况，写出你的推理过程．4．如图，已知：点B、E、F、D在一条直线上，DF=BE，AE=CF．请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使四边形ABCD是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①AB=DC；②BC=AD；③∠AED=∠CFB．5．如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E，点F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．6．如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF 是什么四边形，试证明你的结论．7．如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．求证：（1）AD是△ABC的中线；（2）请连接BF、CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．8．如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O，E、F是BD上的两点，且∠AEB=∠CFD．求证：四边形AECF 是平行四边形．9．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是BC上一点，DE=AB．求证：四边形ABED是平行四边形．10．如图，已知 AB∥DC，E是BC的中点，AE，DC的延长线交于点F；（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）连接AC，BF．则四边形ABFC是什么特殊的四边形？请说明理由．11．等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．12．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．若∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形．13．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．14．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．15．求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．16．△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点，求证：四边形MNEF是平行四边形．17．如图，AD=DB，AE=EC，FG∥AB，AG∥BC．（1）证明：△AGE≌△CFE；（2）说明四边形ABFG是平行四边形；（3）研究图中的线段DE，BF，FC之间有怎样的位置关系和数量关系．18．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F，且BF=DC，连接EF、EB．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）求证：四边形EFCD是平行四边形．19．已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，图中有几个平行四边形？请说明你的理由．20．如图，在△ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．求证：四边形AFBD是平行四边形．21．如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，BC=2AD．找出图中所有的平行四边形，并选择一个说明它是平行四边形的理由．22．求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．23．已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD，AE∥DF，AE=DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．24．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．图中的四边形BFCE 是平行四边形吗？为什么？25．已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点，试问四边形EFGH的形状并说明理由．26．如图，已知四边形ABCD中AD=BC，点A、B、E在同一条直线上，且∠B=∠EAD，试说明四边形ABCD是平行四边形．27．如图，AD∥BC，ED∥BF，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．28．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．29．如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当AB≠AC时，求证：四边形ADFE为平行四边形．30．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AB=DC=5，AC=4，BC=3．求证：四边形ABCD为平行四边形．平行四边形的判定30题参考答案：1．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵ED∥BF，∴∠DEF=∠BFE，∴∠AED=∠CFB，又∵AF=CE，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中：∵∠DAE=∠BCF，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴AD=CB，即：AD∥CB，AD=CB，∴四边形ABCD是平行四边形，2．∵∠BAC=90°，AB=11﹣x，BC=5，AC=4．∴（11﹣x）2+42=52，解得：x1=8，x2=14＞11（舍去），当x=8时，BC=AD=5，AB=CD=3，∴四边形ABCD为平行四边形．3．（1）解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；（2）以①④为例进行证明．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，AD∥BC．证明：∵AD∥BC，∴∠DAO=∠BCO．∴在△AOD与△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD=BC，∴在四边形ABCD中，AD BC，∴四边形ABCD为平行四边形．4．选择①，∵DF=BE，AE=CF，AB=CD，∴△ABE≌△CDF（sss），∴∠ABE=∠CDF，∴四边形ABCD是平行四边形．5. BE=DF，BE∥DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC，OB=OD，因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE=OF，所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF，BE∥DF 6．四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形7．（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD．∵∠BDE=∠CDF，BE=CF，∴△BED≌△CFD．∴BD=CD．∴AD是△ABC的中线．（2）四边形BECF是平行四边形，由（1）得：BD=CD，ED=FD．∴四边形BECF是平行四边形8．∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠AEB=∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，又∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，∴OB﹣BE=OD﹣DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形9．∵AD∥BC，AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵DE=AB，∴∠DEC=∠B，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．10．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，∵E为BC中点，∴CE=BE，∵在△ABE和△FCE中，∠1=∠2，∠FCE=∠EBA，CE=BE，∴△ABE≌△FCE；（2）四边形ABFC是平行四边形；理由：由（1）知：△ABE≌△FCE，∴EF=AE，∵CE=BE，∴四边形ABFC是平行四边形11．连接BF，∵△ADF和△ABC是等边三角形，∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，∴∠FAD﹣∠EAD=∠CAB﹣∠EAD，∴∠FAB=∠CAD，在△FAB和△DAC中，∴△FAB≌△DAC（SAS），∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，∵BE=CD，∴BF=BE，∴△BFE是等边三角形，∴EF=BE=CD，在△ACD和△CBE中∵，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD=CE=DF，∵EF=CD，∴四边形CDFE是平行四边形．12．（1）∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，在△ABC和△EAF中，，∴△ABC≌△EAF（AAS）；（2）∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，∵EF⊥AB，∴AD∥EF，∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC=AD，∴四边形ADFE是平行四边形13．在△ABC中，∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC且DE=BC．在△OBC中，∵OF=FB，OG=GC，∴FG∥BC且FG=BC．∴DE∥FG，DE=FG．∴四边形DFGE为平行四边形14．（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2.2秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是3.6×2×2+15×2=43.2cm．15．：连接BD，∵E、F为AD，AB中点，∴FE BD．又∵G、H为BC，CD中点，∴GH BD，故GH FE．同理可证，EH FG．∴四边形FGHE是平行四边形16．∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．17．（1）证明：∵AG∥BC（已知）∴∠G=∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG=∠FEC（对顶角相等），又AE=EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；（2）说明：∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形（平行四边形的定义）；（3）解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC，理由：由（1）可知△AGE≌△CFE∴AG=FC，FE=EG（全等三角形的对应边相等），∴E是FG的中点，又∵AD=DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，即DE∥BF，DE∥FC，由（2）可知四边形ABFG是平行四边形∴AG=BF，∴BF=FC=BC，∴DE=BF=FC，即线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE=BF=FC．18．（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即：∠EAB=∠DAC，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△ACD，∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，又∵BF=DC，∴BE=BF．∵△ABC是等边三角形，∴∠DCA=60°，∴△BEF为等边三角形．∴∠EFB=60°，EF=BF∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥BC，即EF∥DC，∴四边形EFCD是平行四边形19．平行四边形ADCF和平行四边形DBCF．理由：（1）∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC ，．又∵EF=DE，∴DF=BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）在四边形ADCF中，∵EF=DE，又∵E是AC边的中点，∴EA=EC，∴四边形ADCF是平行四边形20．∵E为AD中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，在△AEF和△CED中∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=DC，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴AF=BD，即AF∥BD，AF=BD，故四边形AFBD是平行四边形21．图中有两个平行四边形：▱ABED、▱AECD．∵，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．22．已知：四边形ABCD，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴2∠A+2∠B=360°，∴∠A+∠B=180°，∴AD∥BC，同理AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF（SAS），∴EB=FC，∠ABE=∠DCF，∵∠ABE+∠EBC=180°，∠DCF+∠FCB=180°，∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥FC，∵BE=FC，∴四边形EBFC是平行四边形24．∵CE∥BF，BD=CD，∴△BDF≌△CDE，∴BF=CE，∴四边形BFCE是平行四边形．25．四边形EFGH是平行四边形证明：连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD，FG=BD，HG=AC，EF=AC∴EH=FG，EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形．26．∵∠B=∠EAD，∴AD∥BC，∵AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．27．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．28．∵AD∥BC，∴∠EAD=∠FCB，又ED∥BF，∴∠FED=∠EFB，∠AED=180°﹣∠FED，∠CFB=180°﹣∠EFB，∴∠AED=∠CFB，又已知AE=CF，∴△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．29．∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°．∴∠FBE=∠CBA，在△FBE和△CBA中，，∴△FBE≌△CBA（SAS）．∴EF=AC．又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC．∴EF=AD．同理可得AE=DF．∴四边形AEFD是平行四边形30．∵AB=5，AC=4，BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5，AC=4，∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形．。

第六章平行四边形1.平行四边形的性质(1)根据平行四边形对边相等，可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半.(2)平行四边形的对角相等，邻角互补，这是根据平行线的性质进行推导得出的，可以用来求角的度数.(3)平行四边形的对角线互相平分，且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形，可以应用全等三角形的性质进行解题.【例1】在▱ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，则▱ABCD的周长为__________cm.【标准解答】∵在▱ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，∴▱ABCD的周长为6+6+8+8=28(cm).答案：28【例2】在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，则顶点D 的坐标为( )A.(7，2)B.(5，4)C.(1，2)D.(2，1)【标准解答】选C.如图.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，0)，(3，0)，(4，2)，∴顶点D的坐标为(1，2).【例3】如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∵EF⊥AB，∴EH⊥DC，∠BFE=90°，∵∠ABC=60°，∴∠HCB=∠B=60°，∴∠FEB=∠CEH=180°-∠B-∠BFE=30°，∵E为BC的中点，∴BE=CE=2，∴CH=BF=1，由勾股定理得：EF=EH=.∴△DEF的面积是EF·DH=2.答案：2【例4】如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系?并对你的猜想加以证明.【标准解答】猜想：BE DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CB=AD，CB∥AD，∴∠BCE=∠DAF在△BCE和△DAF中，∴△BCE≌△DAF.∴BE=DF，∠BEC=∠DFA.∴BE∥DF，故BE DF.【例5】如图，在▱ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=( )A.40°B.50°C.60°D.80°【标准解答】选B.因为∠B=80°，所以∠BAD=100°，又AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE=∠BEA=50°，因为CF∥AE，所以∠1=∠BEA=50°.【例6】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC=6，则线段AO的长度等于________.【标准解答】易知四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC=AC=3.答案：3【例7】如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是( )A.AC⊥BDB.AB=CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD【标准解答】选A.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，则选项B正确；又根据平行四边形的对角线互相平分，∴BO=OD，则选项C正确；又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=180°，∴∠BAD=∠BCD，则选项D正确；由BO=OD，假设AC⊥BD，又∵OA=OA，∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD与已知AB≠AD矛盾，∴AC不垂直BD，则选项A错误.1.已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=( )A.4B.12C.24D.282.若平行四边形ABCD的周长为22cm.AC，BD相交于O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=________，AB=________.2.平行四边形的判定(1)利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的延长线上的一点，且EC∥BD，试说明：四边形BECD 是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即BE∥CD，∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).(2)利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来说明【例2】在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB，试说明：四边形AFCE是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，∴∠ADE=∠CBF=60°，又∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是等边三角形，又在平行四边形ABCD中，AD=BC，DC=AB，∴AE=CF，ED=BF，∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF，∴四边形AFCE是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)(3)利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来说明【例3】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE.试判断四边形DBCF是怎样的四边形，说明你的理由.【标准解答】四边形DBCF是平行四边形.理由如下：∵△ADE绕点E顺时针旋转180°，得到△CFE，∴△ADE≌△CFE，且A，E，C和D，E，F在一条直线上，∴AD=CF，∠A=∠ECF，∴AB∥CF，又∵D是AB的中点，∴AD=DB=CF，∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形为平行四边形).(4)利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来说明【例4】如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交CD，AB于点E，F，求证：四边形DFBE是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC =∠ADC，∠A=∠C，∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，∴∠1=∠3=∠ADC，∠2=∠4=∠ABC，∴∠1=∠2=∠3=∠4，又∵∠DEB=∠4+∠C，∠DFB=∠3+∠A，∠A=∠C，∴∠DEB=∠DFB，∴四边形DFBE是平行四边形(两组对角分别相等的四边形是平行四边形).(5)利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明【例5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，点E，F分别为OB，OD的中点，过O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.说明：四边形EHFG是平行四边形.【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，又∵∠AOG=∠COH，∴△AOG≌△COH.∴OG=OH.又∵E，F分别为OB，OD的中点，∴OE=OF，∴四边形EHFG是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).1.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件________(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形.2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形.3.三角形中位线(1)三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.(2)三角形的中位线定理中说明了三角形中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系，为我们证明平行或求线段的长度提供了依据.【例1】如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为__________m.【标准解答】由三角形的中位线定理可知，AB=2MN=40m.答案：40【例2】已知：如图，在△ABC中，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，AD，其交点为O.求证：(1)△CDE≌△DBF.(2)OA=OD.【标准解答】(1)∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC.∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF.在△CDE和△DBF中∴△CDE≌△DBF(SAS).(2)∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形DEAF是平行四边形，∵EF与AD交于O点，∴AO=OD.1.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A，D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE.若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为________.2.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为________.4.多边形的有关问题(1)多边形的角度计算①利用多边形内角和公式计算多边形的内角和或边数【例1】一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为( )A.6B.7C.8D.9【标准解答】选B.设边数为n，由题意得(n-2)·180°=900°，解得n=7.②利用多边形外角和，计算多边形中各角的度数或边数.【例2】已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是________.【标准解答】外角是180°-120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形.答案：六③利用多边形内角和公式和外角和，计算多边形中对角线条数【例3】若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是________.【标准解答】由题意可知(n-2)×180°=1260°，解得n=9，所以从一个顶点出发能引9-3=6(条)对角线. 答案：61.正八边形的每个内角为( )A.120°B.135°C.140°D.144°2.若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是( )A.12B.11C.10D.93.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是( )A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形(2)解决多边形问题的方法①将多边形问题转化为三角形问题解决在解决多边形问题时，如果无法直接应用内角和公式或外角和时，我们可以将多边形通过连接对角线转化成三角形问题解决.【例1】求五边形的内角和.【标准解答1】连接对角线AC，AD，将五边形ABCDE转化成三个三角形：△ABC，△ADC，△ADE，此时五边形ABCDE的内角和=3×180°=540°.【标准解答2】在五边形ABCDE内部任取一点O，连接AO，BO，CO，DO，EO，将五边形ABCDE转化为五个三角形△ABO，△BCO，△DCO，△DEO，△AEO，∴五边形ABCDE的内角和=5×180°-360°=540°.实际上点O的位置也可以放在五边形的任意一条边上，或五边形的外部.②将内角问题转化为外角来解决一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以多边形的边数就可以求出外角的度数，再转化为内角的度数.或者利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数.【例2】正五边形的每一个内角都等于________°.【标准解答】正五边形的外角是：360÷5=72°，则内角的度数是：180°-72°=108°.答案：1081.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为( )A.9B.8C.7D.42.正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是________.(3)多边形剪去一个角的三种情况①过多边形的一条对角线剪去一个角，则新多边形的边数比原多边形的边数少1.②过多边形的一个顶点剪去一个角，则新多边形的边数与原多边形的边数相同.③不过多边形的顶点剪去一个角，则新多边形的边数比原多边形的边数多1.【例】若把一个多边形剪去一个角，剩余部分的内角和为1440°，那么原多边形有________条边.【标准解答】设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得(n-2)180°=1440°，解得n=10，原多边形边数是10-1=9或10+1=11或10.答案：9，10或11凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少?画出图形说明.(4)多边形的镶嵌问题判断多边形能否进行平面镶嵌，关键是检验拼接在同一点的各个角的和是否等于360°.若等于360°，则可以镶嵌；若不等于360°，则不能进行镶嵌.【例】下列正多边形中，不能铺满地面的是( )A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正七边形【标准解答】选D.A.∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面；B.∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面；C.∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六边形能铺满地面；D.∵正七边形的内角是，同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正七边形不能铺满地面.小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是( )跟踪训练答案解析1.平行四边形的性质【跟踪训练】1.【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形ABCD的周长是32，∴2(AB+BC)=32，∴BC=12.2.【解析】由平行四边形对角线互相平分知BO=OD，故△AOD周长比△AOB的周长小3cm，实际上就是AB-AD=3(cm).由平行四边形的周长为22cm可知AD+AB=11cm，解得AB=7cm，AD=4cm.答案：4cm 7cm2.平行四边形的判定【跟踪训练】1.【解析】∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形.答案：BO=DO2.【证明】∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，∴∠AEB=∠DFC，在△AEB和△CFD中∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形.3.三角形中位线【跟踪训练】1.【解析】由题意得：CE=CB=12，∵点F是AD的中点，FG∥CD，∴FG是△ADC的中位线，所以CG=AC=9，∵点E是AB的中点，∴EG是△ABC的中位线，∴GE=BC=6，∴△CEG的周长为：CE+GE+CG=12+6+9=27.答案：272.【解析】因为A2，B2，C2是△A1B1C1的三边中点，所以△A2B2C2的周长是=8，以此类推△A5B5C5的周长为=1.答案：14.多边形的有关问题(1)多边形的角度计算【跟踪训练】1.【解析】选B.根据多边形的内角和公式，可得正八边形内角和为：(8-2)×180°=1080°，又因为正八边形的每个内角都相等，所以正八边形的每个内角等于1080°÷8=135°. 2.【解析】选A.∵一个正多边形的每个内角为150°，∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，∴这个正多边形的边数==12.3.【解析】选D.根据题意，得(n-2)·180°=180°，解得：n=3.(2)解决多边形问题的方法【跟踪训练】1.【解析】选B.∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180°-135°=45°，∵360÷45=8，则这个多边形是八边形.2.【解析】因为外角是20°，360÷20=18，则这个正多边形是18边形.答案：18(3)多边形剪去一个角的三种情况【跟踪训练】【解析】∵六边形剪去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，∴新多边形的边数为7，5，6三种情况，如图：(4)多边形的镶嵌问题【跟踪训练】【解析】选B.A.正八边形、正三角形内角分别为135°，60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；B.正方形、正八边形内角分别为90°，135°，由于135×2+90=360，故能铺满；C.正六边形和正八边形内角分别为120°，135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；D.正八边形、正五边形内角分别为135°，108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满.。

ABC DE FG 第1课时《四边形》（1）——平行四边形的性质与判定【知识点拨】一、平行四边形的定义及性质1.平行四边形定义： 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。

平行四边形的对角线互相平分。

[例题1]1．（2009东营）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝8cm ， AB ＝6cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ） A. 2cm B. 4cm C. 6cmD. 8cm 【答案】A2．（2009年桂林市、百色市）如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．24 【答案】C3．（2009年）如图，在ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 【答案】A （此题需用相似的知识，可不做）4．（2009年广西钦州）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝120°，则∠D ＝_ _°. 【答案】605．（2010年贵州毕节）如图，已知：平行四边形 ABCD 中，BCD ∠的平分线CE 交边AD 于E ，ABC ∠的平分线BG 交CE 于F ，交AD 于G ．求证：AE DG =． 【答案】证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形（已知），AD BC ∴∥，AB CD =（平行四边形的对边平行，对边相等） GBC BGA ∴∠=∠，BCE CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）又∵ BG 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠（已知）ABG GBC ∴∠=∠，BCE ECD ∠=∠（角平分线定义） ABG GBA ∴∠=∠，ECD CED ∠=∠．AB AG ∴=，CE DE =（在同一个三角形中，等角对等边） AG DE ∴=第1题图第2题图第3题图AB CDAG EG DE EG ∴-=-，即AE DG =．6．（2010 湖南株洲）如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ． （1）求证：CD CE =；（2）若BE CE =，80B ∠=︒，求DAE ∠的度数． 【答案】（1）如图，在ABCD 中，//AD BC 得，13∠=∠又12∠=∠，∴23∠=∠，∴CD CE = （2）由ABCD 得，AB CD = 又CD CE =，BE CE = ∴AB BE = ∴BAE BEA ∠=∠ ∵80B ∠=︒，∴50BAE ∠=︒， 得：180508050DAE ∠=︒-︒-︒=︒．二、平行四边形的判定平行四边形的判定：1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 b 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。