【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学必修一 第二章课时作业5]

§4平面向量的坐标4．1平面向量的坐标表示4．2平面向量线性运算的坐标表示4．3向量平行的坐标表示1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点)3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)[基础·初探]教材整理1平面向量的坐标表示阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题．如图2－4－1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝x i＋y j.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)．图2－4－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样．( ) 【解析】 (1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标． (3)错误．两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关． 【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示 阅读教材P 89～P 91“练习”以上部分，完成下列问题． 1．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么： ①a ＋b ＝(x 1，y 1)＋(x 2，y 2)＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1，y 1)－(x 2，y 2)＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝λ(x 1，y 1)＝(λx 1，λy 1)．(2)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O (0,0)，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．2．向量平行的坐标表示(1)设a ，b 是非零向量，且a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则存在实数λ，使a ＝λb ，用坐标表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.若y 1≠0且y 2≠0，则上式可变形为x 1y 1＝x 2y 2.(2)文字语言描述向量平行的坐标表示①定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． ②定理 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)向量a ＝(1,2)与b ＝(－3，－6)共线且同向．( ) (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2.( )【解析】 (1)正确．a ∥b ，则a ＝λb 可得x 1y 2＝x 2y 1. (2)错误．a ＝－3b ，a 与b 共线且反向． (3)错误．若y 1＝0，y 2＝0时表达式无意义． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标．【精彩点拨】【自主解答】 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0,0)，B (2,0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32.1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．[再练一题]1．已知点O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，求向量AB →，BC →.【解】 如图所示，以点O 为原点，OA →所在射线为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．∵|OB →|＝1，∠AOB ＝150°， ∴B (－cos 30°，sin 30°)， 即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.∵|OC →|＝3，∴C (－3sin 30°，－3cos 30°)， 即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－323.又∵A (2,0)，∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12－(2,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2，12，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－323－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12＝⎝⎛ 3－32，⎭⎪⎫－323－12.已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC ＝13AB ，DA ＝－13BA .求点C ，D 和CD→的坐标.【导学号：66470051】【精彩点拨】 先求出AB →的坐标，然后求AC →，DA →的坐标，最后求出OC →，OD →及CD →的坐标．【自主解答】 ∵A (－1,2)，B (2,8)， ∴AB →＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)， AC →＝13AB →＝(1,2)，DA →＝－13BA →＝13AB →＝(1,2)，则OC →＝OA →＋AC →＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，OD →＝OA →＋AD →＝OA →－DA →＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)， ∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此CD →＝(－2，－4)．1．向量的坐标形式的线性运算，主要是利用加、减、数乘运算法则进行． 2．若已知线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用．[再练一题]2．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1) 求3a ＋b －3c 的坐标；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标． 【解】 由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点， ∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9,2)－(0,20)＝(9，－18)．[探究共研型]探究1 设1122b ≠0)，则这两个向量的坐标满足什么关系？反之成立吗？【提示】 这两个向量的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0，反之成立．即a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.探究2 如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？【提示】 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？【精彩点拨】【自主解答】 法一：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2) ＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)， 得⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. 即当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， ∵λ＝－13＜0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二：由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)． ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13. 此时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．解决向量共线问题时，常常根据向量平行的坐标表示，将向量间的平行关系转化为坐标间的数量关系来求解．[再练一题]3．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解】 (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λBC →，λ∈R ，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )， ∴⎩⎨⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32. [构建·体系]1．下列各组向量共线的是( ) A ．a 1＝(－2,3)，b 1＝(4,6)B ．a 2＝(2,3)，b 2＝(3,2)C ．a 3＝(1,2)，b 3＝(7,14)D ．a 4＝(－3,2)，b 4＝(6,4)【解析】 因为b 3＝(7,14)＝7(1,2)＝7a 3，所以a 3与b 3共线． 【答案】 C2．已知a ＝(3,5)，b ＝(－3,2)，则a ＋b ＝( ) A ．(8，－1) B ．(0,7) C ．(7,0)D ．(－1,8)【解析】 a ＋b ＝(3,5)＋(－3,2)＝(3－3,5＋2) ＝(0,7)． 【答案】 B3．已知A (4,1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－32，若A ，B ，C 共线，则x ＝________.【导学号：66470052】【解析】 因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4，－52，所以－32(x －4)＝152，解得x ＝－1.【答案】 －14．已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标为________． 【解析】 AC →＝13AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23，OC →＝OA →＋AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，113，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，113.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1135．已知A (1,2)，B (3，－6)，向量a ＝(x ＋3，y －4)．若a ＝2AB →，求x ，y 的值．【解】 由题意得AB →＝(3，－6)－(1,2)＝(2，－8)，所以2AB →＝2(2，－8)＝(4，－16)．又因为a ＝(x ＋3，y －4)，a ＝2AB →. 所以⎩⎨⎧ x ＋3＝4，y －4＝－16，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－12.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。

第一章统计案例(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图1所示，在这5组数据中，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大( )图1A．A(1,3) B．B(2,4)C．C(4,5) D．D(3,10)【解析】从散点图容易观察，去掉D(3,10)后，其余点大致在一条直线附近．【答案】 D2．对于相关系数r，叙述正确的是( )A．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越大，反之相关程度越小B．r∈(－∞，＋∞)，r越大，相关程度越大，反之，相关程度越小C．|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小D．以上说法都不对【解析】由相关系数的概念及计算公式可知|r|≤1.【答案】 C3．当χ2>2.706时，有多大的把握认为“x与y有关系”()A．99% B．95%C．90% D．以上都不对【解析】若χ2>2.706，则有90%的把握认为“x与y有关系”．【答案】 C4．已知呈线性相关关系的变量x，y之间的关系如下表所示，则回归直线一定过点( )x 0.10.20.30.5y 2.11 2.85 4.0810.15A.(0.1,2.11) B．(0.2,2.85)C．(0.3,4.08) D．(0.275,4.797 5)【解析】回归直线不一定过样本点，但由于a＝y－b x，即y＝a＋b x，所以回归直线一定过点(x，y)，即点(0.275,4.797 5)．【答案】 D5．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高(数据略)，由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( ) A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm左右D．身高在145.83 cm以下【解析】回归模型只能进行预测，应选C.【答案】 C6．(2013·某某检测)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200 D．y＝10x－200【解析】因为销量与价格负相关，由函数关系考虑为减函数，又因为x，y不能为负数，再排除C，故选A.【答案】 A7．对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是( )A．模型1的相关系数r为0.98B．模型2的相关系数r为0.80C．模型3的相关系数r为0.50D．模型4的相关系数r为0.25【解析】根据相关系数的定义和计算公式可知|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，拟合效果越好，|r|越接近于0，相关程度越小，拟合效果越弱．【答案】 A8．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B的概率为( )A.13 B.12C.23D.56【解析】P (A )＝16＋16＝13，P (B )＝23，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝P (A )＋1－P (B )＝13＋1－23＝23.【答案】 C9．一个口袋内装有大小相同的8个白球和4个黑球，从中不放回地任取出两个球，在第一次取出是黑球的前提下，第二次取出黑球的概率为( )A.311B.12C.13D.712【解析】 把第一次取出的是黑球记作事件A ，第二次取出的是黑球记作事件B ， 则P (A )＝412＝13，P (AB )＝4×312×11＝111，P (B |A )＝P ABP A ＝11113＝311.【答案】 A10．在一次投球比赛中，男、女生投球结果人数统计如下表：结果 性别中 不中 男 65 35 女4238则χ2的值为( ) A ．3.97 B ．6.89 C ．2.88 D ．1.25 【解析】 由列联表知χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝180×65×38－35×422100×80×107×73≈2.88.【答案】 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上)11．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2≈4.073，那么有________的把握认为两个变量间有关系．【解析】 由χ2≈4.073>3.841，故有95%的把握认为两个变量间有关系． 【答案】 95%12．为预测某种产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成份含量x 之间的相关关系，现取了8组数据．计算知：∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝288，∑i ＝18x 2i ＝798，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 对x 的回归方程是________．【解析】b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2＝1 849－8×528×2888798－8×5282＝－0.05，a ＝y －b x ＝36＋0.05×132＝36.325，∴回归方程为y ＝36.325－0.05x . 【答案】y ＝36.325－0.05x13．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应收集的数据是________．【解析】 本题研究的两个变量是性别与职称．因此收集的数据应分别是男、女正、副教授人数．【答案】 男正教授人数、男副教授人数、女正教授人数、女副教授人数14．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.【解析】 设解释变量和预报变量分别为x ，y ，它们对应的取值如表所示：x 173 170 176 y170176182于是x ＝173，y ＝176，b ＝0×－6＋－3×0＋3×602＋－32＋32＝1， a ＝176－173×1＝3，得y ＝x ＋3，x ＝182时， y ＝185.【答案】 18515．甲、乙、丙三位学生用远程教学共同学习外语，并且每天独立完成6道作业题．已知甲全对的概率为810，乙全对的概率为610，丙全对的概率为710，则三人中只有一人全对的概率为________．【解析】 设甲、乙、丙三人答题全对分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝810，P (B )＝610，P (C )＝710，设三人中仅有一人全对为事件D ，则P (D )＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝47250. 【答案】47250三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)某学生在上学路上要经过4个路口，设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，求这名学生在上学路上到第三个路口首次遇到红灯的概率．【解】 设“该学生在上学路上到第i 个路口遇到红灯”的事件为A i (i ＝1,2,3,4)， 则P ＝P (A 1∩A 2∩A 3)＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3) ＝(1－13)(1－13)·13＝427.答：这个学生在上学路上到第三个路口首次遇到红灯的概率为427.17．(本小题满分12分)为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．【解】 2×2列联表如下：BAB 1合格品数B 2次品数合计 A 1甲在生产现场 982 8 990 A 2甲不在生产现场493 17 510 合计1 475251 500根据χ2公式得χ2＝n ad －bc 2a ＋bd ＋c a ＋cb ＋d＝1 500×982×17－493×82990×510×1 475×25≈13.097>6.635.所以有99%的把握认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系”． 18．(本小题满分12分)(2013·某某高二检测)某个班级有学生40人，其中有共青团员15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率为多少？现在要在班级内任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？【解】 设A ＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班内任选一个学生，该学生是共青团员}，而第二问中所求概率为P (A |B )，于是P (A )＝1040＝14，P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝110，∴P (A |B )＝P ABP B ＝11038＝415.19．(本小题满分13分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份 2004 2006 2008 2010 2012 需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝bx ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量．【解】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份－2008 －4 －2 0 2 4 需求量－257－21－111929对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.242＋22＋22＋42－5×02＝26040－5×02＝6.5，a ＝y －b x ＝3.2.由上述计算结果知所求回归直线方程为y －257＝b (x －2 008)＋a ＝6.5(x －2 008)＋3.2.即y ＝6.5(x －2 008)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2014年的粮食需求量为6．5(2 014－2 008)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．20．(本小题满分13分)某省2013年的阅卷现场有一位质检老师随机抽取5名学生的总成绩和数学成绩(单位：分)如下表所示：学生 A B C D E 总成绩(x ) 482 383 421 364 362 数学成绩(y )7865716461(1)作出散点图； (2)对x 与y 作回归分析；(3)求数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程；(4)如果一个学生的总成绩为500分，试预测这个学生的数学成绩． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)x ＝2 0125，y ＝3395，∑5i ＝1x 2i ＝819 794，∑5i ＝1y 2i ＝23 167，∑5i ＝1x i y i ＝137 760.≈0.989.因此可以认为y 与x 有很强的线性相关关系．(3)回归系数b ＝∑5i ＝1x i y i －5 x y∑5i ＝1x 2i －5x2≈0.132 452，a ＝y －b x ≈14.501 315.∴回归方程为y ＝0.132 452x ＋14.501 315.(4)当x ＝500时，y ≈81.即当一个学生的总成绩为500分时，他的数学成绩约为81分． 21．(本小题满分13分)下表是一次试验的数据：编号 x iy i1 1 10.15 25 2.853 10 2.11 4501.30根据上面数据分析：y 与1x之间是否具有线性相关关系？如果有，求出回归方程．【解】 令u ＝1x，得到如表数据：编号 u iy i1 1 10.152 0.2 2.853 0.1 2.11 40.021.30u ＝1.324，y ＝16.414， ∑i ＝14u 2i ＝12＋…＋0.022＝1.050 4， ∑i ＝14y 2i ＝10.152＋…＋1.302＝117.287 1， ∑i ＝14u i y i ＝10.957，相关系数r ≈0.999 9.由于r 与1非常接近，所以u 与y 有很强的线性相关关系． ∴b ＝10.957－4×1.324×16.4141.050 4－4×1.3242≈9.014，a ＝y －b u ＝16.414－9.014×1.324≈1.128， ∴y ＝1.128＋9.014u . 所求回归曲线为y ＝1.128＋9.014x.。

模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .(2012·某某高考)已知命题p：对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )A．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．对任意x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0【解析】命题p的否定为“存在x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．【答案】C2 .抛物线x2＝－8y的焦点坐标为( )A．(0，2) B．(0，－2)C．(0，4) D．(0，－4)【解析】由定义可得焦点坐标为(0，－2)．【答案】B3 .曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】y′＝3x2，故曲线在点P(1，12)处的切线斜率是3.切线方程为y－12＝3(x－1)，令x＝0，得y＝9.【答案】C4 .a，b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b为一次函数a⊥b，且|a|≠|b|.【答案】B5 .已知双曲线的焦点在y轴上，其渐近线与直线y＝±2x垂直，则其离心率为( )A.5B.55C.52D.255【解析】 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则渐近线为y ＝±a bx ，∵渐近线与直线y ＝±2x 垂直，∴a b ＝12. ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋（ba）2＝ 5.故选A【答案】A6 .(2013·某某高考)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )图【解析】 从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．A 项，在x ＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D 项，变化率是越来越小的，故错误．B 项正确．【答案】B7 .(2012·某某高考)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 若函数f (x )＝a x在R 上为减函数，则有0<a <1；若函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上为增函数，则有2－a >0，即a <2，所以“函数f (x )＝a x在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，选A.【答案】A8 .对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ， 当Δ＝4a 2－84a ≤0， 即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．【答案】A9 .(2012·某某高考)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5【解析】 ∵抛物线的焦点是F (3，0)， ∴双曲线的半焦距c ＝3， ∴4＋b 2＝32，解得b ＝5，故双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ， 从而双曲线的焦点到其渐近线的距离为 5. 【答案】A10 .设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【解析】a >0时，F (a 4，0)，直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0得y ＝－a2. ∴S △OAF ＝12·a 4·|－a2|＝4.解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8. ∴抛物线的方程为y 2＝±8x . 【答案】 B二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11 .命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题有________个，真命题有________个．【解析】 在四种命题中，真命题(或假命题)的个数总是偶数0或2或4，本题的原命题是假命题，因此它的逆否命题也是假命题，逆命题“可以被9整除的正整数的各位数字之和是3的倍数”是真命题，因此，否命题也是真命题．【答案】 2 212 .要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为________． 【解析】 设圆锥的高为h cm ， ∴V ＝13π(400－h 2)h ，∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′＝0，得h 2＝4003，∴h ＝2033.【答案】2033cm13 .以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 本题需分类讨论．①当以△ABC 的两个锐角顶点为焦点时，由题意得b ＝c ，即a 2＝2c 2， ∴离心率e ＝22. ②当以∠ABC 的直角顶点和一锐角顶点为焦点时，由题意得：2c ＝b 2a，即c 2＋2ac －a 2＝0. 即e 2＋2e －1＝0， ∴e ＝2－1. 【答案】22或2－1 14 .与直线x ＋2y ＋3＝0垂直，且与抛物线y ＝x 2相切的直线方程为________． 【解析】 ∵y ′＝2x ，与直线x ＋2y ＋3＝0垂直的直线的斜率为2，令y ′＝2，得x ＝1，即切点为(1，1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.【答案】 2x －y －1＝015 .(2012·某某高考)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．【解析】 不妨设点P 在双曲线的右支上； 因为PF 1⊥PF 2，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2， 所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4， 可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3. 【答案】 2 3三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16 .(12分)已知命题p ：－2<1－a 3<2，命题q ：集合A ＝{x |x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0，x ∈R }，B ＝{x |x >0}且A ∩B ＝，求使命题p ，q 中有且只有一个真命题时，实数a 的取值X 围．【解】 命题p 为真命题时，解得－5<a <7. 对方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0， 当Δ<0时，A ＝满足A ∩B ＝， 此时求得－4<a <0；当Δ≥0时，由B ＝{x |x >0}， 且A ∩B ＝，设x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（a ＋2）2－4≥0，x 1＋x 2＝－（a ＋2）<0，得a ≥0.x 1·x 2＝1>0，综上，a >－4，即命题q 为真命题时a >－4.若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <7a ≤－4－5<a ≤－4.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－5或a ≥7a >－4a ≥7.∴所求a 的取值X 围为(－5，－4]∪[7，＋∞)．17 .(12分)(2012·高考)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．【解】f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b .∵曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝g ′（1）f （1）＝g （1）， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b a ＋1＝1＋b ＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3. ∴a ，b 的值分别为3，3.18 .(12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32，x ∈N *.(1)将该厂的日盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数； (2)为获得最大盈利额，该厂的日产量应为多少件？【解】 (1)T (x )＝x ·3x 4x ＋32·(－100)＋x ·(1－3x 4x ＋32)·200＝－100x 2＋6 400x4x ＋32＝－25（x 2－64x ）x ＋8，x ∈N *.(2)T ′(x )＝－25（x 2＋16x －512）（x ＋8）2，令T ′(x )＝0，得x ＝－32或16.因为x >0，所以x ＝16为唯一的极大值点，根据实际问题，它为最大值点，即当日产量为16件时，获得最大盈利额，为800元．19 .(13分)(2012·某某高考)如图2，动点M 与两定点A (－1，0)，B (1，0)构成△MAB ，且直线MA ，MB 的斜率之积为4.设动点M 的轨迹为C ，求轨迹C 的方程．图2【解】 设点M 的坐标为(x ，y )，当x ＝－1时，直线MA 的斜率不存在；当x ＝1时，直线MB 的斜率不存在．于是x ≠1且x ≠－1.此时，直线MA 的斜率为y x ＋1，直线MB 的斜率为yx －1.由题意得yx ＋1·yx －1＝4，化简得x 2－y 24＝1.因为x ≠1且x ≠－1，即y ≠0，所以轨迹C 的方程为x 2－y 24＝1(y ≠0)．20 .(13分)(2013·课标全国卷)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值X 围． 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数．(2)由f (2)≥0得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞. 21 .(13分)(2012·高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k2，所以|MN |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝2（1＋k 2）（4＋6k 2）1＋2k2. 又点A (2，0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，化简得7k 4－2k 2－5＝0，解得k ＝±1.。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程课时训练 北师大版选修1-1一、选择题1. 已知M (－2，0)，N (2，0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的左支C ．一条射线D ．双曲线的右支【解析】 本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM |－|PN |＝4恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．【答案】 C2. 已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的焦距为( ) A ．10B ．5 C.15D ．215 【解析】 由双曲线方程知a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝25，∵c >0，∴c ＝5，故焦距为2c ＝10.【答案】 A3. (2012·北海高二检测)双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22 【解析】 由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝10.即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22.【答案】 D4. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过焦点F 1和双曲线同一支相交的弦AB 长为m ，另一个焦点为F 2，则△ABF 2的周长为( )A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m【解析】 如图所示，由双曲线的定义，得|BF2|－|BF 1|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a .两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m ，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .故选C.【答案】 C5. 已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.y 24－x 212＝1 D.y 212－x 24＝1 【解析】 由题意，知圆C 仅与x 轴有交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，y ＝0， 得x 2－6x ＋8＝0.∴x ＝2或x ＝4，即c ＝4，a ＝2.∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1. 【答案】 A二、填空题6. 双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________．【解析】 化为标准方程：x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝32，∴c ＝62，∴右焦点的坐标为(62，0)． 【答案】 (62，0) 7. 与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2，1)的双曲线方程是________． 【解析】 ∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1， ∴双曲线方程为x 22－y 2＝1. 【答案】 x 22－y 2＝18. 双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则k 的值是________．【解析】 原方程化为x 21k －y 28k＝1，由焦点坐标为(0，3)，可知c ＝3，且焦点在y 轴上，∴c 2＝(－1k )＋(－8k )＝－9k＝9，∴k ＝－1. 【答案】 －1三、解答题9. 设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，在第一象限的交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的方程．【解】 法一 由椭圆方程x 227＋y 236＝1， 得椭圆的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0，3)．∵椭圆与双曲线在第一象限的交点A 的纵坐标为4，∴这个交点为A (15，4)．设所求双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（15）2b 2＝1a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 法二 由椭圆方程，得 F 1(0，－3)，F 2(0，3)，A (15，4)．∴2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|（15）2＋（4＋3）2－（15）2＋（4－3）2|＝4. ∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝5. 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.10. 已知曲线x 216－m －y 2m＝1. (1)当曲线为椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标；(2)当曲线为双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标．【解】 (1)当曲线为椭圆时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，－m >0，16－m ≠－m ，解得m <0，即m 的取值范围为(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0)．(2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m )m >0，解得0<m <16，即m 的取值范围为(0，16)． 此时，双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4，0)．11. 根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5且焦点在坐标轴上； (2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上；(3)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)． 【解】 (1)设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)． ∵P ，Q 两点在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴可设所求双曲线的标准方程为x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)． ∵双曲线经过点(－5，2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(3)设所求双曲线的标准方程为x216－λ－y24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线经过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，∴λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴所求双曲线的标准方程为x212－y28＝1.。