函数的上下极限和应用 数学毕业论文
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2012届本科毕业论文函数的上下极限及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学08班学生姓名：指导教师：答辩日期：2012年5月 3 日新疆师范大学教务目录引言 (1)1. 数列上下极限的基本概念 (1)2．函数上下极限的定义及等价述 (2)3．单侧上，下极限 (6)4.函数上，下极限的不等式 (6)总结 (6)5.函数得上下极限列题 (6)参考文献 (8)函数的上下极限及其应用摘要：数列的上、下极限和函数的上、下极限是数列极限和函数极限的进一步加深和推广，所以我们将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.关键词：函数；数列；上极限；下极限引言数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题..1数列上下极限的基本概念定义：数列{}n x 的上，下极限可用εδ-语言来描述如下：数lim n x μ=意指如下两条件成立：a ）ε∀> 0，n x 终<εμ+（即ε∀> 0，∃N> 0当n > N 时，恒有n x <εμ+） （此条等价于：∀c>μ，n x 终<c ）。
b ）ε∀> 0，n x 常>με-（即ε∀> 0，∀N> 0，∃n > N ，使得n x >με-） （此条等价于：∀c<μ，n x 常>c ）。
同样，lim n n x λ→∞=意指：a ')ε∀> 0，n x 终>λε- .b ') ε∀> 0, n x 常<λε+.另外，当且仅当{}n x 上无界时，规定lim n n x →∞=+∞；当且仅当lim n n x →∞=+∞时，规定lim n n x →∞=lim n n x →∞=+∞；当且仅当{}n x 下无界时，规定lim nn x →∞=-∞；当且仅当lim nn x →∞=-∞时，规定lim lim n n n n x x ∞→→∞==-∞.定理：1.任一有界数列，存在收敛的子数列（一下称之为致密性原理）.任何数列都有广义收敛子数列（广义收敛，意指及极限允许为无穷大）. 2.数列{}n x 的上极限的特征是：a ）∃子数列{k n x }使得lim lim knn k n x x →∞→∞=.b ）对于{}n x 的任一收敛子数列{k n x }，恒有lim lim k n n k n x x →∞→∞≤. 同样，下极限lim n x 特征是：a ')∃子数列{k n x }，使lim k n k x →∞lim n n x →∞=.b '）∀收敛子数列{k n x }，有lim k n k x →∞≥lim n n x →∞.3.如{k n x }是{}n x 的子数列，则lim k n k x →∞lim n n x →∞≤，lim k n k x →∞lim n n x →∞≥利用这些，我们可以将上，下极限的问题，通过选子数列的方法解决。
定义：数列的上，下极限，可利用确界的极限来描述：lim n n x →∞=limsup inf sup k k n nk nk nx x →∞≥≥=，lim n n x →∞lim inf kn k x →∞≥=k x =supinf k k nnx ≥.（式中k n ≥改换成k >n ，不影响等式成立）.利用这种描述，关于上，下极限的不等式，可以通过建立确界的不等式，取极限得到。
.2函数的上下极限的定义及等价述为了引进函数的上，下极限，我们先来定义函数的子极限.定义 点0x 称为集合E 的聚点，函数f 在集合E 上有定义，数α称为()f x 在0x 处的子极限（或部分极限），当且仅当∃n x E ∈0()n x x ≠(1,2....)n =使得0n x x →且()n f x α→（n →∞时）。
例如1）函数()f x =1sin x在E={|0}x x ≠上有定义，此时∀[1,1]y ∈-都是函数在0x =处的子极限. 2)当0x →时21()f x x =1|sin |x 的图像在21y x=与0y =之间无限次振动，故0x →时，任何0α≥都是()f x 在0x =处的子极限. 3）Dirichlet 函数1,(1)()0,(2)D x ⎧=⎨⎩，（1）当x 为有理数时，（2）当x 无理数时 在任一点x 处，0,1α=都是()D x 的子极限. 现在介绍上，下极限的定义.定义 设()f x 在集合E 上有定义，0x 是E 的一个聚点，当且仅当数A 为()f x 在0x 处所有子极限的最大者时，A 称为()f x 在0x 处的上极限，记作0lim x x A →=()f x .当且仅当()f x 在0x 附近上无界（即：δ∀> 0，M ∀> 0，x E ∃∈，0<0||x x -<δ使得()f x >M ）规定0lim ()x x f x →=+∞.类似，子极限的最小者B 定义为()f x 在0x 处的下极限，记作0lim ()x x f x B →=，当且仅当()f x 在0x 附近下无界时，规定0lim ()x x f x →=-∞.当且仅当0lim ()x x f x →=+∞时，规定lim ()x x f x →= 0lim ()x x f x →=-∞，对0lim ()x x f x →=-∞有类似的规定.下面介绍函数上，下极限的等价描述.定理1 若()f x 在集合E 上有定义，0x 为E 的一个聚点，()f x 在0x 附近有界，则如下三条等价： i ) 0lim ()x x f x A →=.ii ) ()f x 在0x 附近满足条件： a ）ε∀> 0,∃δ> 0,当x E ∈，0<0||x x -<δ时，有()f x <A+ε.b) ε∀> 0, δ∀> 0, ∃x E ∈： 0<0||x x -<δ，a ）和b)两个关系使得()f x >A-εii ）000||lim sup()x x x EA f x δδ+→<-<∈=000||inf sup()x x x Ef x δδ<<-<∈=.证 1()i ii ︒⇒ 因0lim()x x f x A →=所以n x E ∃∈0()n x x ≠，(1,2....)n =使得0n x x →，()n f x A →(当n →∞时).故ε∀> 0，δ∀> 0，0N ∃>，n N >时，有00||n x x δ<-<，|()|n f x A ε-<.从而ε∀> 0，δ∀> 0，∃x E ∈，既0<0||x x -<δ，又()f x >A-ε，此即2）中条件b)成立.现证条件a ），用反证法. 设∃00ε>，1n nδ∀=，∃n x E ∈，虽然00||n x x δ<-<但()n f x A ε≥+.(1,2....)n =. 因有界性，用致密性原理，有收敛子列0{()}k n f x c A ε→≥+（其中c 为某一常数）. 与A 为最大子极限矛盾. 条件a ）获证.2︒ (证明ii iii ⇒) 要证明000||lim sup()x x x Ef x A δδ+→<-<∈=. 亦即：ε∀> 0，要找00δ>使得10δδ<<时，有A-ε< 00||sup()x x x Ef x δ<-<∈< A+ε (1)1)由已知条件a ）：ε∀> 0，10δ>，当x E ∈，0<0||x x -<1δ时，有()2f x A ε<+.故 010||sup()x x x Ef x δ<-<∈≤2A ε+< A+ε，于是，当10δδ<<时，有010||sup()x x x Ef x δ<-<∈≤010||sup()x x x Ef x δ<-<∈< A+ε （2）2）由已知条件b ），ε∀> 0，δ∀> 0，∃x E ∈有0<0||x x -<δ，()f x A ε>-， 从而更有 010||sup()x x x Ef x δ<-<∈>A ε- （3）联立（1）和（3）式这就证明了式（1）.因此0100||lim sup ()x x x Ef x A δδ+→<-<∈=.因为 0100||()lim sup()x x x EM f x δδδ+→<-<∈= 是δ的增函数，故0100||lim sup()x x x Ef x δδ+→<-<∈=0100||infsup ()x x x Ef x δδ><-<∈.3︒ ()iii i ⇒已知0100||lim sup()x x x Ef x A δδ+→<-<∈=，故∀1n 0>,0n δ∃>(不妨取1n nδ<)，使得0n δδ<<时，有010||1|sup()|x x x Ef x A nδ<-<∈-<. 从而有 010||10sup()x x x Ef x A nδ<-<∈<-<. 故 010||1sup()x x x EA f x A nδ<-<∈<<+. 由此n x E ∃∈，010||n n x x n δ<-<<，使得 1()n A f x A n<<+ (1,2....)n =即n x E ∃∈，0n x x ≠，0n x x →，()n f x A →（当n →∞）故A 为()f x 在0x 处的子极限.最后来证A 为子极限的最大者. 设B>A 为任一大于A 的实数，则n 充分大时，1A B n+<.据（3）式，有010||1sup()x x x Ef x A B nδ<-<∈<+< 于是对一切x ：00||x x δ<-<，x E ∈，恒有1()f x A B n<+<.所以不存在n x E ∈，0n x x ≠，0n x x →，使得()n f x B →.故A 是自极限的最大者. 对于函数的下极限有完全类此的结论.定理 1' 若()f x 在集合E 上有定义，0x 为E 的一个聚点，()f x 在0x 附近有界，则如下三条件等价： i ． 0lim ()x x f x B →=.ii ．()f x 在0x 附近满足条件：a '）ε∀> 0，∃0δ>，当x E ∈，00||x x δ<-<时有 ()B f x ε-<.b '）ε∀> 0, δ∀> 0, ∃x E ∈，0<0||x x -<δ，使得()f x B ε<+ iii . 010||0lim inf ()x x x EB f x δδ+<-<→∈==010||0sup inf ()x x x Ef x δδ<-<>∈. 推论1)如()f x 在0x 附近有界，则()f x 在0x 处一定有有限的上，下极限. 2)不论()f x 在0x 附近是否有节，下式总成立： 0lim()x x f x →=010||limsup()x x x Ef x δδ+→<-<∈ 0100||infsup ()x x x Ef x δδ><-<∈=,lim ()x x f x →=010||0lim inf ()x x x Ef x δδ+<-<→∈010||0sup inf()x x x Ef x δδ<-<>∈=.3）0lim ()x x B f x →=0lim ()x x f x A →≤=.4）对于任一子极限α，恒有B A α≤≤.5) ε∀> 0，∃0δ>，当x E ∈，00||x x δ<-<时有 ()B f x ε-<< A+ε. 6) 0lim ()x x f x A →=的充要条件是lim ()x x f x →= 0lim ()x x f x A →=.7) 0lim ()x x f x →= max{ lim ()|n n f x →∞n x E ∈，（0n x x ≠），0n x x →}，lim ()x x f x →=min{lim ()|n n f x →∞n x E ∈，（0n x x ≠），0n x x →}..3单侧上，下极限函数上，下极限的定义中，若0x 仍为E 的聚点，但增加限制0x x >（或0x x <），那么上面定义的上，下极限，便是()f x 在0x 处的右上下极限（左上下极限），可以证明：lim ()x x f x →=00max{lim ()x x f x →+，00lim ()x x f x →-}，lim ()x x f x →=00min{lim ()x x f x →+，00lim ()x x f x →-}..4 函数上，下极限的不等式跟数列上下极限一样，关于极限的四则运算性质，不再成立.但是关于极限的不等式性质，仍被保持：设()f x ，()g x 在E 上有定义，0x 是E 的一个聚点，若∃0δ>，当00||x x δ<-<，x E ∈时，()()f x g x ≤，则lim ()x x f x →0lim ()x x g x →≤，lim ()x x f x →0lim ()x x g x →≤.总结函数的上，下极限，与数列的上，下极限有完全平行的理念，二者有着密切的内在联系，关于函数的上，下极限的问题，一般可以仿照数列上，下极限的方法来处理，或者利用推论7)中的关系式，把函数的上，下极限的问题，转化为数列上，下极限的问题，通过数列上，下极限的相应结果求解. .5函数得上下极限列题设()f x ，()g x 在E 上有定义，0x 是E 的一个聚点，则lim ()x x f x →+0lim ()x x g x →0lim(()())x x f x g x →≤+0lim(()()x x f x g x →≤+.证I δ∀> 0，x E ∀∈，00||x x δ<-<时，有inf ()inf ()f x g x +≤()()f x g x +sup ()()f x g x ≤+（其中确界是在x E ∈，00||x x δ<-<的范围里取得，下面的也一样）.所以inf ()inf ()f x g x +≤inf(()())f x g x +sup(()())f x g x ≤+从而有inf ()inf ()f x g x +≤inf(()())f x g x +sup ()inf ()f x g x ≤+.最后令0δ+→取极限，便得欲证的不等式.证II 先利用数列上，下极限的相应不等式，对E 中任一趋向0x 的数列{}n x 有lim ()n f x +lim ()n g x lim(()())n n f x g x ≤+lim(()n f x ≤+lim ()n g x然后利用上面的推论7），在此式自左至右取最小，最大值，容易得到欲证得得不等式。
