河南省平顶山市2020-2021学年期末调研考试高二理科数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （ ） A ．18
±
B ．14
±
C ．4±
D ．8±
2．命题“3[0,),0x x x ?∈+∞+≥”的否定是 （ ） A ．()3
,0,0x x x ?∈-∞+<
B ．()3
,0,0x x x ?∈-∞+≥
C ．[)30000,,0x x x ?∈+∞+<
D ．[)3
0000,,0x x x ?∈+∞+≥
3．等差数列{}n a 中，6916a a +=，41a = ，则11a =（ ） A ．64 B ．31 C ．16 D ．15
4．在ABC △ 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a b > 是sin sin A B > 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-?+∞ C ．(]
2,2
-
D ．(]
,2-∞
6．已知双曲线C ：22221x y a b -= （0a > ，0b > ）
，右焦点F 到渐近线的距离为2 ，F 到原点的距离为3 ，则双曲线C 的离心率e 为（ ）
A B ．
2
C D
7．设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b c .若3
A π
=
，a =
，
1b = ，则c = （ ）
A ．1
B ．2
C 1
D
8．若a ，b ∈R ，0ab > ，则44
41
a b ab
++ 的最小值为（ ）
A ．6
B ．4 C
．D
9．设向量a ，b ，c 是空间基底，x y z R ∈，
， ，有下面四个命题： 1p ：若0xa yb zc ++= ，那么0x y z === ； 2p ：若0a l ?= ，0b l ?= ，则a b ；
3p ：a b c +- ，a b c -+，a b c ++也是空间基底； 4p ：若1111n x a y b z c =++，2222n x a y b z c =++，则
121212120n n x x y y z z ⊥?++= .其中真命题为（ ）
A ．1p ，3p
B ．1p ，4p
C ．2p ，3p
D ．2p ，4p
10．过点(11)M ， 的直线与椭圆22
143
x y += 交于A ，B 两点，
且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为（ ） A ．3470x y +-= B ．3410x y -+= C ．4370x y +-=
D ．4310x y --=
11．定义数列{}n a 如下：01a = ，11a = ，当2n ≥ 时，有2
112n
n n n a a a a ---=+ ；
定义数列{}n b 如下：01b = ，13b =，当2n ≥ 时，有2
112n n n n b b b b ---=+
，则20172018
b a = （ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．
2019
2
二、填空题
12．已知椭圆的两焦点坐标分别是(20)-，
、(20)， ，
并且过点 ，则该椭圆的标准方程是__________．
13．已知三个数1a - ，1a + ，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三项，则能使不等式1212
11
1
n n
a a a a a a +++≤
+++
成立的自然数n 的最大值为 __________．
14．在平行六面体ABCD A B C D '-''' 中，4AB = ，3AD = ，5A A '= ，
90BAD ∠=? ，60A AB A AD ''∠=∠=? ，则AC '= __________． 15．函数()2g x ax =+ （0a > ），()2
2f x x x =- ，对[]
112x ?∈-，
，[]012x ?∈-， ，使()()10g x f x = 成立，则a 的取值范围是__________．
三、解答题 16．（1）解不等式
2
8
223
x x x +<+- ；
（2）已知a 、0b ≥ ，求证：3322)a b a b +≥
+
17．已知a ，b ，c 分别为ABC ?三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-. (Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若a =2，ABC ?b ，c .
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1n a = ，且2
3
n n n S a += ；数列{}n b 是等比数列，且12b a = ，23b a = . （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n c 满足1()n n n n c a a b +=-，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2
ABC BAD π
∠=∠=
，2PA AD ==，1AB BC ==.
（1）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；
（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.
20．已知M 是抛物线C ：2
2y px =（0p >）上一点，F 是抛物线的焦点，
60MFx ∠=?且4FM =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）已知(10)D -，
，过F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，以F 为圆心的圆F 与直线AD 相切，试判断圆F 与直线BD 的位置关系，并证明你的结论. 21．在平面直角坐标系中，已知点()()1,0,M P x y ，为平面上一动点，P 到直线2x =
的距离为d ，
2
PM d
=
. （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）不过原点O 的直线l 与C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，直线OD 与直线
2x =交点的纵坐标为1，求OAB ?面积的最大值及此时直线l 的方程.
参考答案
1．A 【解析】
由题意得，抛物线2
y mx =的标准方程为2
1x y m =
， 则抛物线的准线方程为1
4y m
=-
， 又由原点到准线的距离为2，则124m -=，解得1
8
m =±，故选A ． 2．C 【详解】
试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“[)3
0,,0x x x ?∈+∞+≥”的否定是
[)30000,,0x x x ?∈+∞+<，选C.
考点：全称命题与存在性命题. 3．D 【解析】
试题分析：由等差数列性质可知694111116115a a a a a +=+∴=-= 考点：等差数列性质 4．C 【解析】
在ABC ?中，由正弦定理可得a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B > 又sin sin A B >，则
22a b
R R
>，即a b >， 所以a b >是sin sin A B >的充要条件，故选C ． 5．C 【分析】
将不等式转化为2
(2)2(2)40a x a x -+--<，再对二次项系数进行分类讨论，结合一元二次不等式在R 上恒成立，即可求得参数范围. 【详解】
由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2
(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；
当20a -≠时，要使不等式恒成立，需()2
20
4244(2)0a a a -
， 解得22a -<<，
综上所述，所以a 的取值范围为(]
2,2-， 故选：C . 【点睛】
本题考查一元二次不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题. 6．D 【解析】
由题意，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，右焦点F 到渐近线的距离为2，
到原点的距离为3，则双曲线焦点到渐近线的距离为2,3b c ==，
又222b c a =-，代入得25a =
，解得5e ==，故选D ． 7．B 【解析】 由正弦定理
sin sin a b A B =
，得1
sin sin 2
b B A a ===， 又a b >，所以6
B π
=，所以2
A π
∠=
，
所以在直角ABC ?
中，2c ==，故选B ． 8．B 【解析】
根据题意，442244a b a b +≥=，当a b =时等号成立，
则由44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥=，
当且仅当2
2,24
a b ==
时等号成立，即4441a b ab ++的最小值为4，故选B ． 9．A 【解析】
由题意得，1:p 若0xa yb zc ++=，根据向量相等可得0x y z ===是正确的； 2:p 若0,0a l b l ?=?=，当0l =时，a 与b 不一定是共线向量，所以不正确； 3:p 中，由三个不共面的向量，可以作为一个孔家基底，而向量
,,a b c a b c a b c +--+++ 是三个不共面的向量，所以可以作为一个空间的基底，所
以是正确的；
4:p 中，只有当向量,,a b c 是三个两两垂直的单位向量时，才能使得12n n ⊥?
1212120x x y y z z ++=成立，所以不正确，故选A ．
10．A 【解析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得2222
1122
1,14343
x y x y +=+=，
两式相减可得
12121212()()()()
044
x x x x y y y y +-+-+=，
又12
121212
2,2,
y y x x y y k x x -+=+==-，
即为12123()3
4()4
x x k y y +=-
=-+，
则直线AB 的方程为：3
1(1)4
y x -=-
-，化为3470x y +-=，故选A ． 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键． 11．D 【解析】
由2
112
n n n n a a a a ---=+，两边同除1n a -，可得1121n n n n a a a a ---=+，即1121n n n n a a a a ----=， 则数列1n n a a -??
????
构成首项为1，公差为1的等差数列，所以1n n a n a -=，
所以3
2112
1
1234n
n n a a a a a n a a a -=?
???
=?????
同理可得
112
1n n n n b b b b ----=，则数列1n n b b -??
????
构成首项为3，公差为1的等差数列，所以1
2n
n b n b -=+， 可得3
2112
1
34(2)n
n n b b b b b n b b b -=?
???
=???+，
所以
201720183420192019
1220182
b a ??
?==??
?，故选D ．
点睛：本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项、累乘法求解数列的通项公式等知识点的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，在利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形，运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
12．22
11612
x y +=
【解析】
由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0),(2,0)-，可得2c
=，
设椭圆的方程为22
2214x y a a +=-，椭圆经过点，
可得2212314a a +=-，解得4a =，所以椭圆的方程为2211612
x y +=．
13．7 【解析】
因为三个数1,1,5a a a -++成等比数列，所以()()()2
115a a a +=-+，所以3a =， 倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{}n a 的前三项为111
,
,842
，公比为2， 所以数列1{}n a 是以8为首项，12
为公比的等比数列，
则不等式1212
111n n a a a a a a +++≤
+++等价为11(12)8(1)8211212
n n --≤
--， 整理，得722n ≤，所以17,
n n N +
≤≤∈，所以n 的最大值为7． 14【解析】
连接AC ，因为0
4,3,90AB AD BAD ==∠=，所以5AC =, 根据cos cos cos A AB
A AC CA
B ∠=∠?∠''， 即
1cos 22
A AC '=∠?
，所以045A AC ∠='，则0135C CA
∠=', 而5,5AC AA '==, 根据余弦定理得AC '=.
点睛：本题考查了几何体的对角线长的求解，以及余弦定理的应用，同时考查了空间象限能力，计算推理的能力，属于中档试题，立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点，此类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题． 15．10,2
?? ??
?
【分析】
[]11,2x ?∈-，存在[]01,2x ∈-，使得()()10g x f
x =，因此()g x 的值域为()f x 的值域
的子集，故可求实数a 的取值范围．
【详解】
由函数()2
2f x x x =-的图象是开口向上的抛物线，且关于1x =对称，
所以[]
01,2x ∈-时，函数()f x 的最小值为()11f =-，最大值为()13f -=， 可得()0f x 的值域为[]
1,3-，
又因为()[]
12(0),1,2g x ax a x =+>∈-，所以()g x 为单调增函数，
()1g x 的值域为()()1,2g g ??-??，即()[]12,22g x a a ∈-+，
因为对[]
11,2x ?∈-，[]
01,2x ?∈- ，使()()10g x f x =成立，
所以21
2230
a a a -≥-??+≤??>?
，解得102a <≤，所以实数a 的取值范围是10,2??
???．
【点睛】
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈
（1）若[]1,x a b ?∈，[]
2,x c d ?∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <； （2）若[
]
1,x a b ?∈，[]
2,x c d ?∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <； （3）若[]
1,x a b ?∈，[]
2,x c d ?∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <； （4）若若[]
1,x a b ?∈，[]
2,x c d ?∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 16．(1) 7
2
x <- 或31x -<< 或2x > (2)见解析 【解析】
试题分析：（1）把原不等式化简为等价不等式7()(3)(1)(2)02
x x x x ++-->，即可额牛街不等式的解集；
（Ⅱ）由a 、b 是非负实数，作差比较，即可作出证明． 试题解析：
（1）原不等式可化为222314
023
x x x x --+<+-
继续化为()()
()()
272
31
x x
x x
+-
>
+-
，其等价于()()()
7
3120
2
x x x x
??
++-->
?
??
．
∴原不等式的解为
7
2
x<-或31
x
-<<或2
x>．
（Ⅱ）由a、b是非负实数，作差可得：
)
3322
a b a b
++
a b
=+
55
??
=-
??
??
当a b
≥
≥，
从而
55
≥，
得
55
??
-≥
??
??
；当a b
<
时，0≤<，
从而
55
<，
得
55
??
-<
??
??
；
所以，)
3322
a b a b
+≥+．
17．(1)
3
A
π
=(2)b c
==2
【详解】
(Ⅰ)
由sin cos
c C c A
=-及正弦定理得
sin cos sin sin
A C A C C
-=
由于sin0
C≠，所以
1
sin
62
A
π
??
-=
?
??
，
又0Aπ
<<，故
3
A
π
=.
(Ⅱ)ABC
?的面积S=
1
sin
2
bc A
,故bc=4，
而2222cos
a b c bc A
=+-故22
c b
+=8，解得b c
==2
18．(1)
(1)
2
n
n n
a
+
=，*
n∈N，1
32n
n
b-
=?，*
n∈N．(2) 32n
n
T n
=?
【解析】
试题分析：（1）由
2
3
n n
n
S a
+
=，得
11
3
3
n n
n
S a
++
+
=，以上两式相减1
2
n
n
a n
a n
+
+
=，利用数列的累乘法，求解求解数列{}n a的通项公式，进而求解{}n b的通项公式；
（2）由（1）可得1
3(1)2n n c n -=?+?，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前n 项和．
试题解析： （1）∵23n n n S a +=
，∴113
3
n n n S a +++= ． 以上两式相减得：()12n n na n a +=+ ，即12
n n a n a n
++= ． 所以，
3
212
1345
1
123
1
n n a a a n a a a n -+???
=????
- ， 所以，()1112n n n a a ?+=? ，即()12
n n n a += ，*n N ∈ ∴123b a == ，236b a == ，因此，1
32n n b -=? ，*n N ∈．
（2）∵()()1
1312n n n n n c a a b n -+=-=?+?
∴()0
1
2
1322324212n n T n -??=??+?+?+++???
∴()1
2
1232232212n n n T n n -??=??+?+
+?++?? ，
以上两式相减得：(
)
()1
2
13222212n n n T n -??=?-
-++
+++???
所以，32n
n T n =? ．
19．(1) 3
【详解】
试题分析：以
为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的
坐标为()()()()1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,2B C D P ．
（1） 因为AD ⊥平面PAB ，所以是平面PAB 的一个法向量，．
因为(1,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-．
设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则0,0m PC m PD ?=?=， 即20
{
220
x y z y z +-=-=，令1y =，解得1,1z x ==．
所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量，从而3
cos ,||||AD m AD m AD m
???=
=
所以平面PAB 与平面PCD （2） 因为(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-≤≤， 又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--， 又(0,2,2)DP =-， 从而cos ,||||10CQ DP CQ DP CQ DP ???=
=，
设[]12,1,3t t λ+=∈，
则22
2
2229
cos ,51091015
20999t CQ DP t t t ??==≤-+??-+
???
，
当且仅当95t =
，即25
λ=时，|cos ,|CQ DP ??．
因为cos y x =在0,
2π?
?
??
?
上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．
又因为BP =25BQ BP =
=
考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题. 【方法点晴】
求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设
[]12,1,3t t λ+=∈，二要会处理分式如本题中的
，当然这一步有时使用均值不等式
（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.
20．（1）抛物线C 的方程为2
4y x =；（2）圆F 与直线BD 相切．
【解析】
试题分析：（1）由抛物线C 的方程，可得焦点坐标与准线方程l '，过M 作MN l ⊥'于点N ， 连接NF ，利用等边三角形，求得p 的值，即可得到抛物线的方程； （2）当直线l 的斜率不存在时，可得圆F 与直线BD 相切．
当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)y k x =-，代入抛物线的方程，求得121=x x ，进而得到直线AD 、BD 的方程，求得点F 到直线BD 的距离，得到R d =，即可判定直线与圆相切． 试题解析：
（1）抛物线C :2
2y px = （0p > ）的准线方程为l ' :2
p x =-
， 过M 作MN l ⊥' 于点N ，连接NF ，则MN FM = ， ∵60NMF MFx ∠=∠=? ，∴MNF 为等边三角形，
∴4NF = ，∴2p = ． ∴抛物线C 的方程为2
4y x = ．
（2）直线l 的斜率不存在时，ABD 为等腰三角形，且AD BD = ． ∴圆F 与直线BD 相切．
直线l 的斜率存在时，设方程为()1y k x =- ， 代入抛物线方程，得(
)
222
2
240k x k x k -++= ，
设()11A x y ，
，()22B x y ， ，则121x x = ． 直线AD 的方程为()1
111
y y x x =
++，即()11110y x x y y -++= ， ∴圆F 的半径R 满足
()
()()()
2
222
12
12
2
2
2
22
1
11121
1414411111k x y k R y x k
x x x k x -=
=
=
++-++??++ ?
-?
?． 同理，直线BD 的方程为()22210y x x y y -++= ，
F 到直线BD 的距离d ，
()
2
2
2
2
2
2
22
222244111y k d y x x k x =
=
++??++ ?
-?
? 2
2
2
2
22
122112214411k k x x x x k k x x x x =
=
??
??++++ ?
?
--??
??
． ∴22R d = ，∴R d = ，∴圆F 与直线BD 相切， 综上所述，圆F 与直线BD 相切．
点睛：本题考查了抛物线的标准方程的求解，直线与抛物线的位置关系的应用问题，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量．
21．（Ⅰ）2212x y +=（Ⅱ）ΔOAB
，此时直线l
的方程为y x =-【解析】
试题分析：（Ⅰ）直接法求动点轨迹方程,先设动点坐标,再两点间距离公式及点到直线距离公式将条件用坐标表示,化简整理成椭圆标准方程;（Ⅱ）涉及弦中点问题,一般利用点差法求弦中点坐标与直线斜率的关系,本题由于弦中点与原点连线的斜率已知,所以可得弦所在直线斜率 .根据直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理、弦长公式可得三角形底边长（用直线在y 轴上截距表示），再根据点到直线距离公式可得高（用直线在y 轴上截距表示），利用三角形面积公式可得面积关于直线在y 轴上截距的函数关系式，最后根据基本不等式求最值，确定直线在y 轴上截距，可得直线方程. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意：
2PM d x ==-，
又
PM d
=
2
=
，
化简整理得：2
212x y +=
所求曲线C 的方程为2
212
x y +=.
（Ⅱ）易得直线OD 的方程：12y x =,设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y .其中0012
y x = ∵,A B 在椭圆上，
2
21122
221
2{12
x y x y +=+=，所以()012121212021222AB
x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+?， ∴设直线l 的方程为：,0y x m m =-+≠.
联立：2
21
{2
x y y x m
+==-+.整理得2234220x mx m -+-=. ∵直线l 与椭圆有两个不同的交点且不过原点，
∴()
2
2
=1612220
m m ?-->
，解得：m <<且()0*m ≠
由韦达定理:21212422
,33
m m x x x x -+=?=
∴12AB x =-
=
=
=
∵点()0,0O 到直线l 的距离为：h =
∴11
2232OAB
S h AB ?==?==
.
当且仅当2
32m =
即m =时等号成立，满足（*）式
所以OAB ?，此时直线l 的方程为y x =-. 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.