圆.板块四.直线与圆相交.学生版

D
A．r＝5 B．r＝ 5
C. ≤r＜5 D．r＝2 或r＞5
5
5
2
2
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圆
1.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离. （1）从公共点数来判断；
（2）从d与r间的数量关系来判断.
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圆
2.直线和圆的位置关系的性质与判定：
（1）直线和圆相离 d＞r； （2）直线和圆相切 d=r； （3）直线和圆相交 d＜r.
离，求r的取值范围．
导引：⊙C与直线AB不相离，即⊙C与直线AB相交或相 切，因此只需点C到直线AB的距离小于或等于r.
知3－练
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解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，
AC＝3 cm，BC＝4 cm，∠ACB＝90°，
∴AB＝ AC 2 BC 2 32 42 5(c m). 又∵S△ABC＝ 1 AB•CD= 1AC•BC,
直线与圆的位置关系的判定 直线与圆的位置关系的性质
逐点 导讲练
课堂小 结
作业提 升
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本课是在研究点和圆的位置关系之后，进一步研究由点组成 的直线和圆的位置关系.
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知识点 1 直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．
这条直线叫做圆的割线，公共点叫直线和圆的交点．
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总结
1. 直线和圆相离→d＞r； 2. 直线和圆相切→d=r； 3. 直线和圆相交→d＜r.
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圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心． （2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系 判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程． 重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（ ） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

直线和圆有1个交点,则直线和圆_相__切______; 直线和圆有没有交点,则直线和圆_相__离______;
练习巩固
1、已知⊙O的半径为6cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据 条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 d > 6cm ; 2)若AB和⊙O相切, 则 d = 6cm ; 3)若AB和⊙O相交,则 0cm≤ d < 6cm.
2.直线和圆有2个交点,则直线和圆相__交_______;
r
.O2
d
，那么在不同的位
l
置上，d与r的数量
关系有什么变化呢
？
数形结合
dr
直线和圆相交 d< r
d< r
直线和圆相交
r
直线和圆相切
d= r
d
d= r
直线和圆相切
r
直线和圆相离
d> r
d> r
直线和圆相离
位置关系
数量关系
练习巩固
1、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ： 1)若d=4.5cm ,则直线与圆 相交 , 直线与圆有__2__个公共点. 2)若d=6.5cm ,则直线与圆_相__切___, 直线与圆有___1_个公共点.
探索新知
有两个公共点
.o
l
交
割
点
相交 线
有一个公共点
切
.o
线
l
切 点
相切
没有公共点
.o
l 相离
直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条 直线叫做圆的割线
直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切, 这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.

易错点09 直线与圆易错点1： 直线的方程 若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验。

注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。

易错点2：圆的方程(1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；(2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单.易错点3：直线与圆相离直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.易错点4：直线与圆相切直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.易错点5：直线与圆相交直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.1．已知A ，B 分别为x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆与直线240x y +-=相切，则该圆面积的最小值为（ ）A ．5πB ．25π C ．45π D ．π 2．已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点23AB =，则k ＝（ ）A ．15B ．43C ．12D ．5123．已知圆C 经过点(0,2)，半径为2，若圆C 上存在两点关于直线20x ky k --=对称，则k 的最大值为（ ）A ．1B ．32C ．3D ．4554．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．B ．2C ．4D ．5．已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C 的面积为（ ）A ．115π B ．265π C D ．1045π1．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D20y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ）AB ．C ．-D ．-3．过点（，0）引直线ι与曲线21y x =- 交于A,B 两点 ，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线ι的斜率等于A ．B ．-C ．D - 4．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=0内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．B ．C ．D ．5．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎢⎣⎦D ．⎛ ⎝⎭一、单选题1．已知A ，B 分别为x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆与直线240x y +-=相切，则该圆面积的最小值为（ ）A ．5πB ．25πC ．45πD ．π2．若直线x =-224x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA AB ⋅=（ ）A ．B ．4C ．-D ．－43．过直线5x y +=上的点作圆22:2410C x y x y +-+-=的切线，则切线长的最小值为（ ）A ．B ．C D4．不论k 为何值，直线140kx y k +-+=都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ） A ．()()222125x y -++=B ．()()221225x y +++= C ．()()223425x y -++= D ．()()221325x y +++= 5．已知直线:20+-=l x y 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，动点P 在以点A 为圆心，2为半径的圆上，当ABP ∠ 最大时，△APB 的面积为（ ）A B ．1 C ．2 D ．6．当圆224x y +=截直线():10l x my m m -+-=∈R 所得的弦长最短时，m 的值为（ ）A ．BC ．-1D ．17．过圆C : 22(1)1x y -+=外一点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，若P A △PB ，则点P 到直线:50l x y +-=的距离的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．8．已知A ，B 为圆22:4O x y +=上的两动点，||AB =，点P 是圆22:(3)(4)1C x y ++-=上的一点，则||PA PB +的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知直线:40l x y +-=，圆22:2O x y +=，M 是l 上一点，MA ，MB 分别是圆O 的切线，则（ ）A ．直线l 与圆O 相切B ．圆O 上的点到直线lC ．存在点M ，使90AMB ∠=︒D ．存在点M ，使AMB 为等边三角形10．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ）A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB 的最大距离为2三、解答题11．已知ABC 的三个顶点分别为(0,4)A ，(2,0)B -，(2,2)C -，求：(1)AB 边中线所在的直线方程；(2)ABC 的外接圆的方程.12．圆C 的圆心为(1,0)C ，且过点12A ⎛ ⎝⎭．(1)求圆C 的标准方程；(2)直线l ：20kx y -+=与圆C 交,M N 两点，且MN k ．。