数学
篇平面向量的数量积问题侧重于考查平面向量的加法、减法、数乘运算法则，数量积公式和向量的模的公式.平面向量的数量积问题的常见命题形式是：根据已知图形、向量及其关系，求两个向量的数量积或其范围.本文主要谈一谈解答平面向量的数量积问题的三种方法.一、公式法已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量||||||a→||||||b→cosθ称为a和b的数量积，
即
a
⋅b=||||||a→||||||b→cosθ.运用公式法解答平面向量的数量积问题主要就是利用平面向量的数量积公式，求出||||||a→、||||||b→及两个向量a→和b→的夹角的余弦值，即可求得两个平面向量a和b的数量积.特别要注意的是，在求两个向量的夹角θ时，需要使a和b共起点.例1.在边长为1的正三角形ABC中，D,E是边BC的两个三等分点（D靠近点B），求AD⋅AE.解：因为D,E是边BC的两个三等分点，所以BD=DE=CE=13，在△ABD中，AD2=BD2+AB2-2BD∙AB∙cos60°=æèöø132+12-2×13×1×12=79，即AD=73.同理可得AE=73，在△ADE中，由余弦定理可得cos∠DAE=AD2+AE2-DE22AD⋅AE=79+79-æèöø1322×73×73=1314，所以AD⋅AE=||AD|AEcos∠DAE=73×73×1314=1318.对于本题，需要先用余弦定理求出两个向量的夹角的余弦值，再利用向量数量积的公式求解.当题目中两个向量的夹角或向量的模未知时，可以先利用解三角形知识求出它们的夹角或者向量的模，再将其代入数量积公式，运用公式法求解.二、基底法运用基底法求解平面向量的数量积问题，首先要确定一组基底，将题目中涉及的向量分别用这组基底表示出来，将问题转化为基底间的运算问题，通过向量运算求得问题的答案.此方法通常适用于向量的模或夹角不明确，无法用公式直接求出的题目.例2.如图1所示，已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边上的动点，则DE⋅CB的值为_____；DE⋅DC的最大值为_______.解：因为DE=AE-AD，所以DE⋅CB=(AE-AD)⋅CB=AE⋅CB-AD⋅CB=1；DE⋅DC=(AE-AD)⋅DC=AE⋅DC-AD⋅DC=||AE⋅||DC≤||DC2，所以()DE⋅DCmax=||DCmax=1.解答本题，需以AD、AE为基底，运用基底法求解.运用基底法求解向量的数量积问题，关键是根据已知条件选取恰当的基底，将所求向量用基底来表示，从而将问题简化.三、坐标法坐标法是指通过建立平面直角坐标系，用坐标的形式来表示各个向量，通过坐标运算求得问题的答案.运用坐标法解答平面向量的数量积问题，关键是根据题意或已知图形建立合适的平面直角坐标系.通常可以矩形的两条相邻的边为坐标轴；以直角三角形的两条直角边为坐标轴；正三角形的中线和底边为坐标轴来建立平面直角坐标系.例3.如图2，在直角△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，AB=2，AC=4，求AD⋅AB.解：建立如图2所示的平面直角坐标系，由题意可得AD=(2,1)，AB=(0,2)，所以AD⋅AB=(2,1)⋅(0,2)=2.该三角形为直角三角形，于是以该直角三角形的两条直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，便可通过向量坐标运算求解.总之，在求解平面向量的数量积问题时，同学们要根据题意和图形，灵活选用合适的方法进行求解，这样才能简化运算过程，达到快速解题的目的.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）施冰洁图1
平面向量的数量积及应用举例
考纲解读 1.利用向量数量积的定义或坐标求数量积；2.利用向量数量积的运算求向量夹角及模；3.利用数量积的运算研究垂直关系及图形特征．
[基础梳理]
1．向量的夹角
定义 图示 范围 共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b
2.平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫作向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
①e·a＝a·e＝|a|cos θ.
②cos θ＝a·b|a||b|.
③a·b≤|a||b|.
4．数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c
5．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
数量积 a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ x21＋y21
夹角 cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22 向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0
[三基自测]
1．设a＝(3，1)，b＝1，－33，则向量a，b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120° D．150°
答案：B
2．已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝( )
A.5 B．5
高中数学平面向量的运算法则及应用解析
一、引言
在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅有着广泛的应用，而且在解题过程中也有着独特的运算法则。本文将围绕平面向量的运算法则及应用展开讨论，通过具体的题目举例，分析解题思路和考点，帮助高中学生提高解题能力。
二、平面向量的基本概念
平面向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。平面向量的运算包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 平面向量的加法
平面向量的加法满足交换律和结合律。例如，已知向量a = (3, 4)和向量b = (-1,
2)，求向量c = a + b。
解析：根据平面向量的加法法则，我们可以将向量a和向量b的对应分量相加，得到向量c的对应分量。即c = (3 + (-1), 4 + 2) = (2, 6)。
2. 平面向量的减法
平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。例如，已知向量a = (3, 4)和向量b
= (-1, 2)，求向量c = a - b。
解析：根据平面向量的减法法则，我们可以将向量a和向量b的对应分量相减，得到向量c的对应分量。即c = (3 - (-1), 4 - 2) = (4, 2)。
3. 平面向量的数乘
平面向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。例如，已知向量a =
(3, 4)，求向量b = 2a。 解析：根据平面向量的数乘法则，我们可以将向量a的每个分量都乘以2，得到向量b的对应分量。即b = (2 × 3, 2 × 4) = (6, 8)。
4. 平面向量的数量积
平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘再相加。例如，已知向量a
= (3, 4)和向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的数量积。
解析：根据平面向量的数量积法则，我们可以将向量a和向量b的对应分量相乘再相加，得到数量积。即a · b = 3 × (-1) + 4 × 2 = 5。
三、平面向量的应用解析
平面向量不仅在数学中有着重要的应用，而且在物理、几何等领域也有着广泛的应用。下面将通过几个具体的例题，来说明平面向量的应用解析。
富县高级中学集体备课教案
年级：高三 科目：数学 授课人：
备课组长签字： 年 月 日 课题 平面向量的数量积及应用举例 第46课时
教学
目标 1、 理解平面向量数量积的含义及其物理意义
2、 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
重点 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 中心发言人
难点 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算
教法 讨论与讲授法相结合 学法 课前预习、课堂合作探究
个人主页
教具 教材、练习册 课型 常规课 课时安排 1课时
教
学
过
程
主要知识：
1、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a·b=b·a
（2）分配律：(a+b)·c=a·c+b·c
（3）数乘向量结合律：(λμ)·a=λ(μa)
2、向量的长度、距离和夹角公式：
(1)设a=(a1,a2),则|a|= .
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|= .
(3)设a=(a1,b1),b=(a2,b2),则cos=
3、平面向量数量积的坐标表示
（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b= .
（2）若a=(x,y)，则|a|2=a·a= ,|a|= .
（3）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a⊥b .
主要方法：零向量:(1)0与实数0的区别,不可写错:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的,并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系.
