四元数运动学笔记（1）旋转的表⽰
1.参考资料Quaternion kinematics for the error-state KF
barfoot《state estimation forrobotics》袁信、郑锷《捷联式惯性导航原理》
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2.旋转矩阵的性质
2.1旋转矩阵
定义frame1到frame2的旋转矩阵为，旋转矩阵是单位正交矩阵。
对于旋转矩阵的下标可以这样理解，等式右边是旋转矩阵转化后的新位置坐标，左右是上⼀时刻的位置坐标,因此旋转的叠加（积分）即在原来的基础上再左乘新的旋转矩阵。
z-y-x即图中3-2-1，是我看很多导航的书的表⽰⽅式，barfoot的书中以1-2-3旋转⽅式作为航空中常⽤的旋转⽅式，对⽐袁信的捷联惯导书和barfoot的书，两者每次旋转对应的旋转
矩阵是相通的，只不过定义的旋转次序不同使得旋转矩阵的形式不太⼀样
-欧拉⾓的⼤⼩和⽅向定义：
barfoot书中每次旋转的旋转矩阵定义，和袁信书中⼀致。
以袁信书中的z-y-x即3-2-1的旋转⽅式表⽰的旋转矩阵，,这⾥frame1看作是n系，frame2看作是b系，则导航系n到机体系b的旋转矩阵
旋转矩阵的⼩⾓度表⽰：当旋转⾓都⽐较⼩时，利⽤三⾓函数的与欧拉⾓的近似,省略⼩量的⼆次以上部分，得到：
2.2旋转矩阵的奇异点
barfoot书中以1-2-3的旋转⽅式为例，如果中间那次旋转，则旋转就会变成绕1轴旋转,即旋转耦合在⼀起，即这次旋转的欧拉⾓⽆法恢复。
2.3旋转矩阵的微分⽅程哥⽒定理
利⽤哥⽒定理推导旋转矩阵的微分⽅程
3.向量叉乘与斜对称矩阵
向量叉乘可以表⽰成向量的叉乘矩阵和向量相乘，叉乘矩阵是斜对称矩阵,这种表⽰在旋转相关公式⾥经常⽤到。对于列向量a,b有：
4.四元数
4.1四元数表⽰
四元数有很多表⽰⽅法，这⾥采⽤标量+向量的形式表⽰（scalar+vector）
4.2四元数乘法
两个四元数等于各个元素分别相乘，表⽰旋转的积分
旋转矩阵、旋转向量、欧拉⾓、四元数的关系
向量的矩阵形式
有两个向量：
→a=(a1,a2,a3)
→b=(b1,b2,b3)
叉乘的结果表⽰⼀个向量，这个向量向量垂直于a,b向量构成的平⾯。
→a×→b=‖e1e2e3
a1a2a3
b1b2b3‖=a2b3−a3b2
a3b1−a1b3
a1b2−a2b1=0−a3a2
a30−a1
−a2a10b1
b2
b3=a∧b
将向量a对应的矩阵表⽰出来，为⼀个反对称矩阵，每⼀个向量都对应着⼀个反对称矩阵。这就引出向量的矩阵形式。
a∧=0−a3a2
a30−a1
−a2a10
坐标变换的易混点
在齐次变换中
p1=T12·p2
p2=T23·p3
T12表⽰，把坐标系{2}的向量变换到坐标系{1}中，T23同理，如果把坐标系{3}下的向量变换到坐标系{1}中为：
p1=T12·T23·p3
旋转向量和欧拉⾓:
SO(3)的旋转矩阵有9个量，但是只有3个⾃由度，同理SE(3)有16个量，但是也只有6个⾃由度。在实际的旋转中，任意的旋转都可⽤⼀
个旋转轴和⼀个旋转⾓来表⽰，我们使⽤⼀个向量，⽅向与旋转轴⼀致，长度等于旋转⾓，这样只需要⼀个三维向量即可描述旋转。对于
SE(3),⽤⼀个旋转向量和⼀个平移向量即可表达，恰好⾃由度为6.如果⽤旋转向量来描述R：旋转轴为⼀个单位长度的向量n,⾓度为θ，那么
θn可以表⽰这个旋转。旋转矩阵R和旋转向量θn的转换过程为罗德⾥格斯变换：
R=cosθI+(1−cosθ)nnT+sinθn∧
此处末尾的n∧ 如上⾯所⽰，代表矩阵表⽰的向量。那么反过来通过旋转矩阵获取转⾓ θ;
θ=arccostr(R)−1
2
tr(R)为矩阵R的迹。对于转轴n,Rn=n;表⽰为转轴绕⾃⾝转动不⽣改变，从数学来说n是矩阵R特征值为1时对应的特征向量。从现在来看旋转
轴和旋转⾓来表⽰的旋转是紧凑的，没有冗余性，但是欧拉⾓RPY的空间中，当⼀个旋转达到+
_90∘是就出现了奇异性。相当于地球的经纬
度中当纬度为+
旋转矩阵的概念
嘿，朋友们！今天咱来聊聊旋转矩阵这个有意思的玩意儿。
你说啥是旋转矩阵呢？就好比你有一堆东西，要把它们重新排列组合一下。想象一下，你有一盒五颜六色的糖果，你想把它们摆成各种不同的样子，这就是一种简单的类比啦！旋转矩阵就是这么个能把数据啊、信息啊进行巧妙变换的东西。
咱平常生活里也有类似的情况呀！比如说跳舞的时候，大家的位置会不断变化，从这边转到那边，这其实也有点像旋转矩阵在起作用呢。每个人都有自己的位置和角色，通过一定的规律移动、变换，最后呈现出精彩的舞蹈表演。
再想想拼图游戏，那些小块要不断地调换位置，才能拼成一幅完整的画。这可不就是在进行一种特殊的“旋转矩阵操作”嘛！有时候，我们面对复杂的问题或者情况，就像是面对一堆杂乱无章的拼图，得找到那个合适的“旋转方法”，才能让一切变得清晰明了。
在数学和计算机领域里，旋转矩阵可有着大用处呢！它能帮助我们处理图像啦、进行三维建模啦等等。就好像一个神奇的工具，能让那些看似混乱的数据变得有序，能让虚拟的世界变得更加真实和生动。
比如说，在玩一些虚拟现实游戏的时候，你在里面跑来跑去、转来转去，背后就是旋转矩阵在默默地工作呢，让你感觉自己真的在那个奇妙的世界里。要是没有它，那游戏体验可就大打折扣咯！
而且啊，旋转矩阵可不只是在这些高科技领域里有用，咱日常思考问题的时候也能用得上呢！当我们遇到一些棘手的事情，觉得无从下手的时候，不妨试着像旋转矩阵一样，换个角度去思考，也许就能找到新的解决办法啦。
你想想看，很多时候我们会陷入一种固定的思维模式里，就像被粘在了一个位置上。但如果能像旋转矩阵一样，灵活地转动一下，说不定就能发现新的机会和可能。这多有意思呀！
所以说呀，旋转矩阵可不仅仅是一个数学概念，它更像是一种思维方式，一种能让我们变得更加灵活、聪明的方法。它就像一把钥匙，能打开我们思维的大门，让我们看到更多的精彩和可能。
总之，旋转矩阵是个很奇妙的东西，它在我们生活中的各个角落都发挥着作用。无论是在科技领域还是在我们的日常思考中，它都能给我们带来惊喜和启发。难道不是吗？大家好好感受感受吧！
n维旋转矩阵
N维旋转矩阵是一种常见的数学工具，可以用来描述多维空间中的旋转操作。与二维和三维旋转矩阵类似，N维旋转矩阵也由一组正交矩阵构成，其中每个矩阵对应于一个维度上的旋转操作。下面就来介绍一下N维旋转矩阵的定义、特点以及应用。
一、定义
N维旋转矩阵是一个N x N的正交矩阵，也就是说，每一行和每一列都是一个单位向量，且各行（列）之间互相正交。N维旋转矩阵通常用R表示，其定义为：
R = [R₁, R₂, …, Rₙ]
其中，R₁、R₂、…、Rₙ均为列向量，且满足：
1. R₁、R₂、…、Rₙ互相正交；
2. R₁、R₂、…、Rₙ的长度都为1；
3. R₁、R₂、…、Rₙ构成一个右手系（即按照右手法则满足正向旋转）。
二、特点
1. 正交性质：N维旋转矩阵R的每一行（列）是一个单位向量，且各行（列）之间互相正交。这意味着矩阵R的逆矩阵等于它的转置矩阵，即R⁻¹ = Rᵀ。
2. 行列式为1：N维旋转矩阵的行列式等于1，即det(R) = 1。这可以从几何上理解为，旋转矩阵不改变空间的体积，只是改变了空间的形状和方向。
3. 保长度性质：N维旋转矩阵作用于一个向量时，不改变向量的长度。这可以从几何上理解为，旋转矩阵只是将向量绕某个轴旋转，不改变向量沿其他方向的分量。
三、应用
N维旋转矩阵在计算机图形学、机器人学、物理学等领域都有广泛的应用。其中，计算机图形学是一个重要的应用领域，例如在三维模型的旋转、变形、动画等方面都需要用到旋转矩阵。
在计算机图形学中，通常采用欧拉角或四元数等方式来表示旋转操作，然后再将其转换为N维旋转矩阵。N维旋转矩阵可以通过多个二维和三维旋转矩阵的组合来构成，因此在实践中也需要考虑旋转矩阵的组合和优化等问题。
总之，N维旋转矩阵是一种非常重要的数学工具，可用于描述多维空间的旋转，具有正交性、保长度性等特点，广泛应用于计算机图形学、机器人学、物理学等领域，是现代科学技术领域不可或缺的重要工具之一。
