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矩阵论1-4

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§4 Hamilton-Cayley 定理一、Hamilton-Cayley 定理定理 设n n ⨯∈C A 的特征多项式为 )det()(A I -=λλϕ，则O A =)(ϕ，即方阵A 是其特征多项式的根。

证 设A 的n 个特征值为 n λλλ,,,21 （可以有相同的），则有)())(()(21n λλλλλλλϕ---=又存在n 阶可逆阵P ，使 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-n λλλ**211 J AP P ，其中*代表1或0，于是)())(()(21I A I A I A A n λλλϕ---==)())((12111I PJP I PJP I PJP n λλλ------ =121)())((----P I J I J I J P n λλλ 由于 )())((21I J I J I J n λλλ---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--112**0λλλλn ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221*0*λλλλn⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0**11nn nλλλλ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*00**00**00⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0**11nn nλλλλO = 故 O A =)(ϕ。

证毕二、Hamilton-Cayley 定理的应用 1．求矩阵多项式例 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=100221212A ，求1）I A A A A A A ++-+-=23468439)(g ； 2）100A 。

解 1） A 的特征多项式为)d e t ()(A I -=λλϕ=375)3()1(232-+-=--λλλλλ 设 1439)(23468++-+-=λλλλλλg 。

将)(λg 用)(λϕ除可得等式 )23181395()(2345+++++=λλλλλλg )(λϕ+68107322+-λλ 由于O A =)(ϕ，于是)(A g =I A A 68107322+-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----700421421422114 2）用待定系数法设 +=)()(100λϕλλq 0122b b b ++λλ需求出012,,b b b 。

注意)(λϕ满足： )3(ϕ=)1(ϕ=)1(ϕ'=0 ；又对上式求导得 )()()()(10099λϕλλϕλλ'+'=q q +122b b +λ于是有 ⎪⎩⎪⎨⎧+=++=++=1201201210021001393bb b b b b b b ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=)2013()3401()5973(100412100211100410b b b 故 =100A I A A 0122b b b ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+------+10013)13()13()13()13()13(10010021100211001002110021 例 设3阶方阵A 的特征值为1，–1，2，试将n 2A 表为A 的二次多项式。

解 A 的特征多项式为 )det()(A I -=λλϕ=)2)(1)(1(-+-λλλ。

令 +=)()(2λϕλλq n 0122b b b ++λλ ， 将 λ=1，–1，2依次代入得⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=++=012201201224211bb b b b b b b b n ， 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)12(0)24(231212310n nb b b 因此 n 2A =)12(231-n 2A +)24(231n-I 2．求方阵的逆设n n ⨯∈C A 的特征多项式为 )det()(A I -=λλϕ=0111a a a n n n ++++--λλλ ， 由于 0a =A A det )1()det()0(n -=-=ϕ，可见 00det 0≠⇔≠a A 。

当A 可逆时，由 I A A A A O 0111)(a a a n n n ++++==-- ϕ 得 I I A A A =+++----)](1[12110a a a n n n 故 )(1121101I A A A a a a n n n +++-=---- 例 已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ，试求 1-A 。

解 因为 )d e t ()(A I -=λλϕ=254)1)(2(232-+-=--λλλλλ， 所以 1-A =)54(212I A A +---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11302802621三、最小多项式 1．定义与性质定义 设n n ⨯∈C A ，)(λf 是多项式，如果有O A =)(f ，则称)(λf 是A 的零化多项式。

问题：是否存在比A 的特征多项式次数更低的零化多项式？定义 在矩阵A 的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A 的最小多项式，记为)(λm （或 )(λA m ）。

性质1 如果)(λA m 是方阵A 的最小多项式，)(λf 是A 的任一零化多项式，则)()(λλf m A ，且)(λm 是唯一的。

证 利用多项式带余除法知 )()()()(λλλλr m q f +=A 其中余式)(λr 的次数低于)(λA m 的次数。

如果 )(λr 0≠，则由)()()()()(A A A A A O A r r m q f =+==知 )(λr 是A 的零化多项式，且其次数低于)(λA m ，矛盾。

故 )(λr 0≡，即),()()(λλλA m q f = 也即 )()(λλf m A 。

再证唯一性。

设)(1λm 和)(2λm 都是A 的最小多项式，令)(λg =)()(21λλm m -，则)(λg 的次数低于)(1λm 和)(2λm 的次数。

若 )(λg 0≠，则由)(A g =O A A =-)()(21m m 得出矛盾，故 )(λg 0≡，即 )(1λm =)(2λm 。

证毕性质2 0λ是A 的特征值的充要条件是，0λ是A 的最小多项式)(λA m 的零点。

证 充分性 由性质1即得。

必要性 设0λ对应的特征向量为x ，即x Ax 0λ=，则 x x A A A )()(0λm m ==0由于 0≠x ，所以 0)(0=λA m ，即 0λ是)(λA m 的零点。

证毕推论 若n 阶方阵A 的n 个特征值互异，则A 的最小多项式就是特征多项式。

性质3 相似矩阵有相同的最小多项式。

证 设B AP P =-1，又设 )(λA m 和)(λB m 分别是A 与B 的最小多项式，由B AP P =-1得 P A P B B B )()(1m m -=，但 O B B =)(m ，所以 O A B =)(m ，这表明)(λB m 是A 的零化多项式，从而 )()(λλB A m m （由性质1）。

同理可证 )(λA m 是B 的零化多项式，从而 )()(λλA B m m 。

由它们的首项系数为1得 )(λA m =)(λB m 。

证毕利用这一性质，可先对矩阵相似化简，再求其最小多项式。

2．最小多项式的求法性质1和2给出了求最小多项式的一种方法——试探法。

例 试求下列矩阵的最小多项式1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=031251233A ；解 A 的特征多项式为 )det()(A I -=λλϕ=)4()2(2--λλ。

)(λϕ的因式有： 2-λ，4-λ，2)2(-λ，）（2-λ)4-λ（，2)2(-λ）（4-λ由性质2，只需验证第4个因式。

可知 O I A I A =--)4)(2(，故)(λA m =）（2-λ)4-λ（ 2） nn ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001000010B 。

解 B 的特征多项式为 )det()(B I -=λλϕ=n λ，所以)(λϕ的因式为 λ，2λ，1,-n λ ，n λ。

因为 1-n B =O ≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00100，O B =n， 故B 的最小多项式为 )(λB m =)(λϕ=n λ当矩阵A 的阶数较高，且特征值的重数较大时，利用试探法计算的工作量较大。

定理 设n n ⨯∈C A ，s λλλ,,,21 是A 的全部互异特征值，则)(λA m =1)(1n λλ-2)(2n λλ-s n s )(λλ-其中i n 是A 的Jordan 标准形中含特征值i λ的Jordan 块的最高阶数。

例 求下列矩阵的最小多项式1） ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=313321212212A ； 2） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=031251233A 。

解 1） )(λA m =32）（-λ2)3-λ（；2） 因为 )det(A I -λ=)4()2(2--λλ，所以A 的特征值为4,2321===λλλ。

对应2=λ有两个线性无关的特征向量 T )0,1,3(，T )1,0,2(-，从而A 的Jordan 标准形为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=422J故 )(λA m =）（2-λ)4-λ（。

推论 n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的最小多项式无重根。

定理 设n n ⨯∈C A 的特征多项式为)det()(A I -=λλϕ，又)(1λ-n D 是A 的1-n 阶行列式因子，则 )(λA m )()()(1λλλϕn n d D ==-。

（证明略） 例 求下列矩阵的最小多项式1） nn ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010 A ；解 )det()(A I -=λλϕ=n λ，但 A I -λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--λλλ11 中右上角的1-n 阶子式0)1(111≠-=---n λλ， 故)(1λ-n D =1，从而 )(λA m =n n D λλϕλλϕ==-)()()(12） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A 。

解 )d e t ()(A I -=λλϕ=）（2-λ21）（-λ，但在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+=-201034011λλλλA I 中1，3行、1，2列的二阶子式 10111-=--+λ，所以 )(2λD =1，从而 )(λA m =)(λϕ。

这一方法的缺点是，求)(1λ-n D 可能比较麻烦。

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矩阵论之矩阵论

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第一章 线性空间和线性变换1.1 线性空间定义1.1 设V 是一个非空集合，它的元素用,,x y z等表示，并称之为向量；K 是一个数域，它的元素用,,k l m 等表示。

如果V 满足下列条件(I) 在V 中定义一个加法运算，即当,x y V ∈ 时，有唯一的x y V +∈，且加法运算满足下列性质(1) 结合律 ()()x y z x y z ++=++；(2)交换律 x y y x +=+;(3)存在零元素0 ，使00x x x +=+=；(4)存在负元素，即对任一向量,x V ∈ 存在向量y V ∈ ，使得0,x y += 则称y 是x的负元素，记为x -，于是有()0x x +-=(II)在V 中定义数乘（数与向量的乘法）运算，即当,x V k K ∈∈时，有惟一的,kx V ∈且数乘运算满足下列性质(5)数因子分配律()k x y kx k y +=+；(6)分配律()k l x kx lx +=+(7)结合律 ()()k lx kl x =；(8)1x x =则称V 为数域K 上的线性空间或向量空间。

不管V 的元素如何，当K 为实数域R 时，则称V 为实线性空间，当K 为复数域C 时，就称V 为复线性空间。

例1. 设R +为所有正实数组成的数集，其加法与数乘运算分别定义为 m n mn ⊕=，k k m m = 证明R +是R 上的线性空间。

定理 1.1 线性空间V 有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素。

同n 维线性空间nR 中向量组的线性相关性一样，如果12,,...,n x x x 为线性空间V 中的n （有限正整数）个向量，,x V ∈且存在数域K 中的一组数12,,...,n c c c , 使1122...n n x c x c x c x =+++(1.1)则称x 为向量组12,,...,n x x x 的线性组合，有时也称向量x 可由12,,...,n x x x线性表示。

矩阵论课程简介

矩阵论课程简介

课程名称（中文）：矩阵论课程名称（英文）：Matrix Theory一）课程目的和任务：本课程是泛应用数学包括计算数学、运筹与控制特别是组合与图论、应用数学等专业的一门共同的基础课，主要讲授矩阵的分析性质和组合性质。

课程的目的和任务是让学生掌握矩阵论的基本知识和思想方法、了解该领域的某些最新成果、通过利用数学其他分支的工具来解决矩阵问题以及用矩阵解决其他领域的问题加深对数学的认识并且增加数学修养。

教材内容强调以下几方面的标准：1）重要，2）优雅，3）巧妙，4）有趣。

矩阵论在科学与工程计算、控制论、系统论、信息论、信号处理、计算机科学、经济学、组合与图论、运筹学、统计学、概率论、微分方程、数学物理、动力系统等领域都有应用。

矩阵论一方面是有用的工具，另一方面也是目前一个活跃的研究领域。

二）预备知识：线性代数，数学分析三）教材及参考书目：教材：Matrix Theory by X. Zhan, 讲义，已投稿到出版社参考书目：1）《矩阵论》，詹兴致著，高等教育出版社，2008年2）Matrix Analysis, R. Bhatia著, GTM 169, Springer, New York, 1997四）讲授大纲（中英文）第一章预备知识1）特殊矩阵类2）特征多项式3）谱映射定理4）特征值和对角元5）范数6）矩阵乘方序列的收敛性7）矩阵分解8）数值范围9）多项式的伙伴矩阵10）广义逆11）Schur补12）拓扑思想的应用13）Grobner基14）线性不等式组15）正交投影和约化子空间第二章张量积和复合矩阵1）定义和基本性质2）线性矩阵方程3）Frobenius-Konig定理4）复合矩阵第三章 Hermite矩阵和优超1）Hermite矩阵的特征值2）优超与双随机矩阵3）关于半正定矩阵的不等式第四章奇异值和酉不变范数1）奇异值2）对称规度函数3）酉不变范数4）矩阵的笛卡尔分解第五章矩阵扰动1）特征值2）极分解3）带状部分的范数估计第六章非负矩阵1）Perron-Frobenius理论2）矩阵与有向图3）本原和非本原矩阵4）特殊的非负矩阵5）关于正矩阵的两个定理第七章部分矩阵的填充1）Friedland关于对角填充的定理2）Farahat-Ledermann关于边线填充的定理3）Parrott保范填充定理4）正定填充第八章符号模式1）符号非奇异模式2）特征值3）符号半稳定模式4）允许正逆的模式第九章更多的论题1）实矩阵通过复矩阵相似2）带状矩阵的逆3）交换子的范数界4）对角占优定理的逆定理5）数值范围的形状6）一个求逆算法7）相似标准形8）Jordan标准形的极端稀疏性第十章矩阵的应用1）图论2）有限几何3）数论4）代数5）多项式Chapter 1 Preliminaries1) Classes of Special Matrices2) The Characteristic Polynomial3) The Spectral Mapping Theorem4) Eigenvalues and Diagonal Entries5) Norms6) Convergence of the Power Sequence of a Matrix7) Matrix Decompositions8) Numerical Range9) The Companion Matrix of a Polynomial10) Generalized Inverses11) Schur Complements12) Applications of Topological Ideas13) Grobner Bases14) Systems of Linear Inequalities15) Orthogonal Projections and Reducing Subspaces Chapter 2 Tensor Products and Compound Matrices1) Definitions and Basic Properties2) Linear Matrix Equations3) Frobenius-Konig Theorem4) Compound MatricesChapter 3 Hermitian Matrices and Majorization1) Eigenvalues of Hermitian Matrices2) Majorization and Doubly Stochastic Matrices3) Inequalities for Positive Semidefinite MatricesChapter 4 Singular Values and Unitarily Invariant Norms1) Singular Values2) Symmetric Gauge Functions3) Unitarily Invariant Norms4) The Cartesian Decomposition of MatricesChapter 5 Perturbation of Matrices1) Eigenvalues2) The Polar Decomposition3) Norm Estimation of Band PartsChapter 6 Nonnegative Matrices1) Perron-Frobenius Theory2) Matrices and Digraphs3) Primitive and Imprimitive Matrices4) Special Classes of Nonnegative Matrices5) Two Theorems about Positive MatricesChapter 7 Completion of Partial Matrices1)Friedland’s Theorem about Diagonal Completions2)Farahat-Ledermann’s Theorem about Borderline Completions3)Parrott’s Theorem about Norm-Preserving Completions4)Positive Definite CompletionsChapter 8 Sign Patterns1)Sign-Nonsingular Patterns2)Eigenvalues3)Sign Semi-Stable Patterns4)Sign patterns Allowing a Positive Inverse Chapter 9 Miscellaneous Topics1)Similarity of Real Matrices via Complex Matrices2)Inverses of Band Matrices3)Norm Bounds for Commutators4)The Converse of the Diagonal Dominance Theorem5)The Shape of the Numerical Range6)An Inversion Algorithm7)Canonical Forms for Similarity8)Extremal Sparsity of the Jordan Canonical Form Chapter 10 Applications of Matrices1) Graph Theory2) Finite Geometry3) Number Theory4) Algebra5) Polynomials五）教学总学时：4学时/周×19周= 76学时。

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a
则称方阵范数 A 与向量范数 x a 是相容的.
4 February 2018 河北科技大学
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矩阵论
性质:
（1 ） P n n 上的每一个方阵范数,在 P n 上都存在与它 相容的向量范数;
（2 ） P n n 上任意两种方阵范数 A a , A b 都是等价的, 即 存 在 两 个 与 A 无 关 的 正 的 常 数 C1 , C2 , 使 得 对
证
矩阵论
j H n n H n
1 H n


j 1
j 1 i 1
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矩阵论
注 （1 ） F - 范数的优点之一是矩阵乘以酉矩阵U 之 后 F -范数不变，即: UA F A F AU F . 事实上:
H A ( A A); （3） 2
nn
n n Cc ,则
列模和最大者
行模和最大者
H
H
( A A) 是 A A 的最大特征值
2
（4） A
F

a
j 1 i 1
n
m
ij
tr A A ;
H


F -范数
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矩阵论
矩阵序列的极限计算具有以下性质:
设 Am 和 Bm 为两个 n阶矩阵序列
lim Am A ,则对 Cnn 中任何方阵范数 ， Am 有界； （1 ） 如果 m
矩阵论简明教程(整理全)PPT课件

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Example 1
设A, B Cnn ,证明 A B
证：
B AB AB
A
AB A
B AB B


B A B A AB 0 AB
AB AB
Example 2
设A, B, C, D Cnn ,且A可逆，AC CA,
证明 A
B AD CB
CD
证：
A C
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
CD
CD
3 EA
C
EB E
D


0
0 A
I
n


C
B
D


E 0
0A In C
B D
AB E
CD
A C
BF DF

A

a11
,
a22
,L
, ann
ann
3、三角矩阵
a11 a12 ... a1n
上三角矩阵
0
a22
...
a2n

M M O M

0
0
...
ann

a11 下三角矩阵 a21
M an1
0 ... a22 ... MO an2 ...
0
0
;
A 的行向量组的极大线性无关组中向量的个数
2 rank A r
A 的列向量组的极大线性无关组中向量的个数
3 rank A r
A 的最高阶非零子式的阶数