2019年高考数学(文)：专题10-数列、等差数列﹑等比数列(命题猜想)

【考向解读】

1.高考侧重于考查等差、等比数列的通项an，前n项和Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点．

2.备考时应切实理解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识．

3.等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.

【命题热点突破一】等差、等比数列的基本计算

例1、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则

A. B. C. D.

【答案】B

【变式探究】(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )

A．1 B．2

C．4 D．8

【解析】通解：选C.设{an}的公差为d，则

由 a4＋a5＝24，S6＝48，得 a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48， 解得d＝4.故选C.

优解：由S6＝48得a4＋a3＝16，

(a4＋a5)－(a4＋a3)＝8，

∴d＝4，故选C.

解得q＝－2，a1＝－2.

故{an}的通项公式为an＝(－2)n.

(2)由(1)可得

Sn＝－2[1－－n]1＋2＝－23＋(－1)n2n＋13.

由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n2n＋3－2n＋23

＝2－23＋－n2n＋13＝2Sn，

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

【变式探究】已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，an＋1an＋an＋1－an＝0(n∈N*)．

(1)设bn＝1an，求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列ann＋1的前n项和Sn.

【感悟提升】 等差数列的判定与证明有以下四种方法：①定义法，即an－an－1＝d(d为常数，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列；②等差中项法，即2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；③通项公式法，即an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列；④前n项和公式法，即Sn＝an2＋bn(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．等比数列的判定与证明有以下三种方法：①定义法，即anan－1＝q(q为常数且q≠0，n∈N*，n≥2)⇔{an}为等比数列；②等比中项法，即a2n＋1＝anan＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列；③通项公式法，即an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列．

【变式探究】若{an}是各项均不为零的等差数列，公差为d，Sn 为其前n 项和，且满足a2n＝S2n－1，n∈N*.数列{bn} 满足bn＝1an·an＋1，Tn为数列{bn}的前n项和．

(1) 求an 和Tn.

(2) 是否存在正整数 m，n(1

（2）假设存在正整数 m，n（1

∵T1·Tn＝n6n＋3＝16＋3n<16，

∴T2m＝m2m＋12＝m24m2＋4m＋1<16，

∴2m2－4m－1＜0，∴1－62＜m＜1＋62，又∵m∈N且m＞1，

∴m＝2，则T22＝425.令T1·Tn＝n6n＋3＝425，得n＝12，

∴当且仅当m＝2，n＝12时，T1，Tm，Tn成等比数列.

【命题热点突破三】 数列中an与Sn的关系问题

例3 、（2018年天津卷）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．

（Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.

【变式探究】已知{}na是等差数列，{S}n是其前n项和.若，则9a的值是 ▲ .

【答案】20.

【解析】由510S得32a，因此

【感悟提升】 在等差数列、等比数列的综合问题中，通过列方程(组)求基本量是基本而重要的方法．在数列的最值问题中，如果使用函数的方法，要充分考虑数列中的自变量是正整数．

【变式探究】已知等比数列{}an的首项a1＝2，公比q>1，且an，54an＋1，an＋2成等差数列（n∈N*）.

（1）求数列{}an的通项公式；

（2）记bn＝nan，数列{}bn的前n项和为Sn，若（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.

（2）因为bn＝nan＝n·2n，所以Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，

2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，

所以Sn＝－（2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1）＝－（2－2n＋11－2－n·2n＋1）＝（n－1）·2n＋1＋2.

因为（n－1）2≤m（Sn－n－1）对于n≥2，n∈N*恒成立，

所以（n－1）2≤m[（n－1）·2n＋1＋2－n－1]恒成立，即（n－1）2≤m（n－1）（2n＋1－1）恒成立， 于是问题转化为m≥n－12n＋1－1对于n≥2，n∈N*恒成立.

令f（n）＝n－12n＋1－1，n≥2，则f（n＋1）－f（n）＝n2n＋2－1－n－12n＋1－1＝（2－n）·2n＋1－1（2n＋2－1）（2n＋1－1）<0，

所以当n≥2，n∈N*时，f（n＋1）

则f（n）≤f（2）＝17，

所以m≥17.

故实数m的取值范围为17，＋∞.

【高考真题解读】

1. （2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则

A. B. C. D.

【答案】B

2. （2018年北京卷）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为

A. B.

C. D.

【答案】D 【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，

又，则，故选D.

3. （2018年江苏卷）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

【答案】27

4. （2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列

{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由是的等差中项得，

所以，

7. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s

（1）求的值；

（2）求的表达式(用n表示)．

【答案】（1）2 5

（2）n≥5时，

【解析】（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，

所以．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

1．(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )

A．1 B．2

C．4 D．8

【解析】通解：选C.设{an}的公差为d，则

由 a4＋a5＝24，S6＝48，得 a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，

解得d＝4.故选C. 优解：由S6＝48得a4＋a3＝16，

(a4＋a5)－(a4＋a3)＝8，

∴d＝4，故选C.

2．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )

A．－24 B．－3

C．3 D．8

【解析】选A.由已知条件可得a1＝1，d≠0，

由a23＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，

解得d＝－2.

所以S6＝6×1＋－2＝－24.故选A.

3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

【答案】－8

4．(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得

 a1＋q＝2，a1＋q＋q2＝－6.

于是当{2,4}T时，.

又30rS，故13030a，即11a. 所以数列{}na的通项公式为.

（2）因为，，

所以.

因此，1rkSa.

1.【2015高考重庆，理2】在等差数列na中，若2a=4，4a=2，则6a= （ ）

A、-1 B、0 C、1 D、6

【答案】B

【解析】由等差数列的性质得，选B.

2.【2015高考福建，理8】若,ab 是函数的两个不同的零点，且,,2ab 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq 的值等于（ ）