2015届内蒙古包头中考总复习练习：第2章 第2节 一元二次方程

第2节 一元二次方程

基础过关

一、精心选一选

1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值范围是( A )

A．2018 B．2008 C．2014 D．2012

2．(2014·宜宾)若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是( B )

A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0

C．x2－2x＋3＝0 D．x2＋3x＋2＝0

3．(2013·兰州)用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后所得的方程为( D )

A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0

C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2

4．(2014·钦州)若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( A )

A．－10 B．10 C．－16 D．16

5．下列关于x的一元二次方程有实数根的是( D )

A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0

C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0

6．(2014·广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为( B )

A．m＞94 B．m＜94

C．m＝94 D．m＜－94

7．(2014·昆明)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为( D )

A．144(1－x)2＝100 B．100(1－x)2＝144

C．144(1＋x)2＝100 D．100(1＋x)2＝144

8．(2013·东营)要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是( C )

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个

二、细心填一填

9．(2014·舟山)方程x2－3x＝0的根为__x1＝0，x2＝3__．

10．(2014·巴中)菱形的两条对角线长分别是方程x2－14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为__24__．

11．(2014·丽水)如图，某小区规划在一个长30 m，宽20 m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为x m，由题意列得方程__(30－2x)(20－x)＝6×78__． 12．(2013·自贡)已知关于x的方程x2－(a＋b)x＋ab－1＝0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12＋x22＜a2＋b2.则正确结论的序号是__①②__．

三、用心做一做

13．解下列方程：

(1)(2014·无锡)x2－5x－6＝0；

解：x1＝－1，x2＝6

(2)(2013·义乌)x2－2x－1＝0.

解：x1＝1＋2，x2＝1－2

14．(2013·襄阳)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

(1)求每轮传染中平均一个人传染几个人？

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x个人，依题意得1＋x＋(1＋x)x＝64，解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，则每轮传染中平均一人传染了7个人

(2)7×64＝448，则第三轮将又有448人被感染

15．(2014·泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根．

(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

解：(1)由根与系数的关系得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2－2m－24＝0，∴m1＝－4，m2＝6，由Δ≥0得m≥2，∴m＝6 (2)当底边为7时，则两根相等，∴[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝0，∴m＝2，∴x1＝x2＝3，不能构成三角形．当腰为7时，代入原方程可求m1＝4，m2＝10，当m＝4时，原方程变为x2－10x＋21＝0，解得x1＝3，x2＝7，周长为17；当m＝10时，原方程变为x2－22x＋105＝0，解得x1＝7，x2＝15，不能构成三角形．综上可知，三角形的周长为17

16．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边长．

(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根．

解：(1)将x＝－1代入原方程，得a＋c－2b＋a－c＝0，可得a＝b，故△ABC是等腰三角形 (2)由已知可得Δ＝(2b)2－4(a＋c)×(a－c)＝0，即4b2－4(a2－c2)＝0，可得b2＋c2＝a2，故△ABC是直角三角形 (3)∵a＝b＝c，∴原方程可化为2ax2＋2ax＝0，解得x1＝0，x2＝－1

17．(2014·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？

解：设每个商品的定价为x元，则(x－40)[180－10(x－52)]＝2000，整理得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60，当x1＝50时，进货180－10(x－52)＝200(个)，不合题意，舍去；当x＝60时，进货180－10(x－52)＝100(个)

挑战技能

18．(2013·潍坊)已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( C )

A．当k＝0时，方程无解

B．当k＝1时，方程有一个实数解

C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解

D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

19．(2013·烟台)已知实数a，b分别满足a2－6a＋4＝0，b2－6b＋4＝0，且a≠b，则ba＋ab的值是( A ) A．7 B．－7 C．11 D．－11

20．(2014·孝感)已知关于x的方程x2－(2k－3)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.

(1)求k的取值范围；

(2)试说明x1＜0，x2＜0；

(3)若抛物线y＝x2－(2k－3)x＋k2＋1与x轴交于A，B两点，点A，点B到原点的距离分别为OA，OB，且OA＋OB＝2OA·OB－3，求k的值．

解：(1)由题意可知Δ＝[－(2k－3)]2－4(k2＋1)＞0，∴－12k＋5＞0，∴k＜512

(2)∵x1＋x2＝2k－3＜0，x1x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0 (3)依题意，不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，∴OA＋OB＝|x1|＋|x2|＝－(x1＋x2)＝－(2k－3)，OA·OB＝|－x1|·|－x2|＝(－x1)·(－x2)＝x1x2＝k2＋1，∵OA＋OB＝2OA·OB－3，∴－(2k－3)＝2(k2＋1)－3，整理得k2＋k－2＝0，解得k1＝1，k2＝－2，∵k＜512，∴k＝－2

21．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2.

(1)求实数k的取值范围；

(2)是否存在k使得x1x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)k≤14 (2)假设存在实数k，使得x1x2－x12－x22≥0成立．∵x1＋x2＝2k＋1，x1x2＝k2＋2k，由x1x2－x12－x22≥0得3x1x2－(x1＋x2)2≥0，∴3(k2＋2k)－(2k＋1)2≥0，整理得－(k－1)2≥0，∴只有当k＝1时上式才能成立，又由(1)知k≤14，∴不存在实数k使得x1x2－x12－x22≥0成立

22．(2013·威海)要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案．

小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2300平方米．

小颖设计的方案如图②所示，BC＝HE＝x，AB∥CD，HG∥EF，AB⊥EF，∠1＝60°.

(1)求小亮设计方案中甬路的宽度x；

(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积．(友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)

解：根据小亮的设计方案列方程得(52－x)(48－x)＝2300，整理得x2－100x＋196＝0，解得x1＝2，x2＝98(舍去)，∴小亮设计方案中甬路的宽度为2 m (2)易证四边形ADCB为平行四边形．由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝AD＝2.过A作AI⊥CD于I，则AI＝2sin60°＝3，∴小颖设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋(3)2＝2299(m2)