(完整版)历年上海高考题(立体几何)

17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1=12AB ·AC ·AA 1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC.∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角. ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴AM=12BC=12×42+22= 5.由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM,∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =55= 5.∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、（2015.上海）如图。

在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,,AA AB AD E F ===分别是,AB BC 的中点，证明：11,,,A C F E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小。

19．（2014）（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．19．（本题满分12分）解：在123PP P ∆中，13P A P A =，23P C P C =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==．同理，234P P =，314P P =．所以123PP P ∆是等边三角形，各边长均为4． 设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以233AQ =，22263PQ AP AQ =-=． 从而，1223ABC V S PQ ∆=⋅=． 19.(2013)（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离. 【解答】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =， 故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 1B1C BFAEC1A1D DD 1C 1B 11D C BA而1AD C ∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆= 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23．19.(2012)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2，AD=22，P A=2.求：(1)三角形PCD 的面积；(6分) (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.(6分)[解](1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯.(2)[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E(1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8分设AE 与BC 的夹角为θ，则 222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π.21．(2011)（14分）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点。

（1）设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β。

求证：tan βα=；（2）若点C 到平面11AB D 的距离为43，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高。

A B CD P EyDB21．解：设正四棱柱的高为h 。

⑴ 连1AO ，1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ，∴ 1AB 与底面1111A B C D 所成的角为11AB A ∠，即11AB A α∠= ∵ 11AB AD =，1O 为11B D 中点，∴111AO B D ⊥，又1111A O B D ⊥， ∴ 11AO A ∠是二面角111A B D A --的平面角，即11AO A β∠= ∴ 111tan AA h A B α==，111tan 22tan AA h AO βα===。

⑵ 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-=设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n x y z =，∵ 111100n AB n AB n AD n AD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇔⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩，取1z =得(,,1)n h h =∴ 点C 到平面11AB D 的距离为22||043||1n AC h h d n h h ⋅++===++，则2h =。

21、(2010)（本大题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. (1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线13A B 与35A B 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）zyxA 1B 1C 1D 1A BCD O 119(2009)（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA BC AB ===,AB BC ⊥,求二面角111B AC C --的大小。

19，【解】如图，建立空间直角坐标系则A （2，0，0）、 C （0，2，0） A1（2，0，2）， B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分 设AC 的中点为M ，∵BM ⊥AC, BM ⊥CC1;∴BM ⊥平面A1C1C,即BM =(1,1,0)是平面A1C1C 的一个法向量。

……5分设平面111A B C 的一个法向量是(,,)n x y z = =（x ，y ，z ）， 1AC =（-2，2，-2）， 11A B =（-2，0，0） ……7分120,2220,1,0,1(0,1,1)...................10n AB x n AC x y z z x y n ∴⋅=-=⋅=-+-====∴=令解得分设法向量n BM 与的夹角为ϕ，二面角111B AC C --的大小为θ，显然θ为锐角1111cos cos ,233n BMn BM B AC C πθϕθπ⋅====∴--解得二面角的大小为…………………….14分16.(2008)(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点，求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数表示） 【解析】过E 作BC EF ⊥，交BC 于F ，连接DF ． ∵⊥EF 平面ABCD ，∴ EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角． 由题意，得1211==CC EF ． BCA B 1C 1AB CA 1B 1C 1MzyA EB 1D 1 DC 1A 1BC EDC A 1B 1C 1D 1CB1C 1B1AA∵ 121==CB CF ，∴ 5=DF ． ∵ DF EF ⊥，∴ 55tan ==∠DF EF EDF ． 故直线DE 与平面ABCD 所成角的大小是55arctan ． 16．(2007)（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．16．解法一： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． 即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan． 解法二： 由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，， 平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，． 设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，B A 1与n 的夹角为ϕ， 则116cos 6A B n A Bn ϕ==-， 66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 19．(2006--19)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线 DE 与PA 所成角的大小（结果用反 三角函数值表示）． [解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角, ∠PBO=60°. 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO, 于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P-ABCD 的体积V=31×23×3=2.（2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3).E 是PB 的中点,则E(21,0,23) 于是DE =(23,0, 23),AP =(0, 3,3).PA BCD OE设AP 与DE 的夹角为θ,有cosθ=4233434923=+⋅+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 42； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF.由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)，在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中， PA=6，则EF=26. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，cos ∠FED=34621=DE EF=42∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos42.17．(2005-22-17)（本题满分12分）已知直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，∠A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17．[解法一]由题意AB//CD ，BA C 1∠∴是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC ，在Rt △ADC 中，可得5=AC ，又在Rt △ACC 1中，可得AC 1=3.在梯形ABCD 中，过C 作CH//AD 交AB 于H ， 得13,3,2,90=∴==︒=∠CB HB CH CHB 又在1CBC Rt ∆中，可得171=BC ，在.17173arccos ,171732cos ,112121211=∠∴=⋅-+=∠∆ABC BC AB AC BC AB ABC ABC 中∴异而直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos[解法二]如图，以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直 角坐标系.则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BCCD BC CD 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，则,17173arccos .17173||||cos 11==⋅=θθCD BC CD BC ∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为.17173arccos21、(2004-22-21)(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P -ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长P A 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC , 且棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P -ABC 为正四面体； (2) 若PD =21P A , 求二面角D -BC -A 的 大小；(结果用反三角函数值表示) (3) 设棱台DEF -ABC 的体积为V , 是 否存在体积为V 且各棱长均相等的直 平行六面体,使得它与棱台DEF -ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造 出这样的一个直平行六面体,并给出证 明；若不存在,请说明理由.21、【证明】(1) ∵棱台DEF -ABC 与棱锥P -ABC 的棱长和相等, ∴DE +EF +FD =PD +OE +PF . 又∵截面DEF ∥底面ABC ,∴DE =EF =FD =PD =OE =PF ,∠DPE =∠EPF =∠FPD =60°, ∴P -ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M ,连接PM ,DM .AM .∵BC ⊥PM ,BC ⊥AM , ∴BC ⊥平面P AM ,BC ⊥DM , 则∠DMA 为二面角D -BC -A 的平面角. 由(1)知,P -ABC 的各棱长均为1, ∴PM =AM =23,由D 是P A 的中点,得3sin 3AD DMA AM ∠==,∴3arcsin 3DMA ∠=. (3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF -ABC 的棱长和为定值6,体积为V .设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为1sin 8V α=. ∵正四面体P -ABC 的体积是122,∴2012V <<,081V <<.可知arcsin(8)V α= 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsin(8)V 的直平行六面体即满足要求.18．(2003-22-18)（本题满分12分）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积.18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38.17．(2002-22-17)（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABO —A /B /O /中，OO /=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D 是线段A /B /的中点，P 是侧棱BB /上的一点.若OP ⊥BD ，求OP 与底面AOB 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）17.∠POB=arctan 83.19．(2001-22-19)（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示） 【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分）∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分）（II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=，三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=， 当且仅当2a x y ==时，等号成立． 因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2a BF BE ==．......（10分） 过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥．∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角．在直角三角形BEF 中，直角边2a BE BF ==，BD 是斜边上的高， ∴2,tan 224B B BD a B DB BD''=∠==， 故二面角B EF B '--的大小为tan 22arc ． ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题．A B A B O P D O''' 17．(2000-22-18)（本题满分12分） 已知椭圆C 的焦点分别为)0,22()0,22(21F F 和-，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。