2.1一元二次方程学案

第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离 ？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流 探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？ 教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

《一元二次方程》复习导学案》考点分析：必考点：一元二次方程的解法及应用常考点：一元二次方程的概念及根的情况 本节重难点知识及体系构建3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【基础知识提前整理】---------课前预习1、只含 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程叫一元二次方程。

2、一元二次方程的常见解法有 、 、配方法、 。

3、一元二次方程的求根公式是 。

4、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，Δ= ，Δ＞0，方程 ， Δ=0，方程 ，Δ＜0，方程 ，Δ≥0，方程 。

5、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，x 1 、x 2是方程的两个实数根，则x 1 +x 2= ， x 1 x 2= 。

应用问题中常用的数量关系及题型： 6、数字问题： （1）设个位数字为c ，十位数字为b ，百位数字为a ，则这个三位数为 ； （2）日历中前后两日差 ，上下两日差 。

7、体积变化问题： 8、打折销售问题（1）利润= -成本；（2）利润率=利润×100％. 9、行程问题10、教育储蓄问题（1）利息= ；（2）本息和= =本金х（1+利率х期数）；（3）利息税= ；（4）贷款利息=贷款数额х利率х期数考点、易错点探究：二、课内探究探究一：一元二次方程的基本概念典例1：已知方程24(2)(3)50m m m x m x --++++=是一元二次方程，求你M 的值。

变式训练：关于x 的方程是一元二次方程，则a=__________典例2：已知关于X 的方程x 2-kx-6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2变式训练：若0是关于x 的方程（m-2）x 2+3x+ m 2+2m-8=0的解，求实数m 的值，并讨论方程解的情况。

用心 爱心 专心 江西省萍乡市宣风镇中学九年级数学上册《2.1花边有多宽（1）》学案 北师大版【学习目标】1．会根据具体问题列出一元二次方程。

2．会识别一元二次方程，并能指出二次项系数、一次项系数、常数项。

【重点】一元二次方程的概念。

【难点】如何把实际问题转化为数学方程。

【学习过程】一、出示课题二、自学指导 指导1：阅读课本第46--47页，并填空。

指导2：把刚得到的三个方程化简，并回答下面的问题：1.每一个方程中含有几个未知数？2.未知数的最高次数是几次？3.它们是整式方程吗？三、归纳总结上面的方程都是只含有_______个未知数x 的_____式方程，并且都可以化为 (a,b,c 为常数，a 不等于0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式： (a,b,c 为常数，a 不等于0) 一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为_____、_____、_____、二次项系数为：_____、 一次项系数为：_____四、随堂练习1． 把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．判断题：下列方程中，是一元二次方程的_________________.（填序号）（1）5x 2+1=0 （2）3x 2+x1+1=0 （3）4x 2=ax (其中a 为常数) （4）2x 2+3x =0 （5）5132+x =2x （6）22)(x x + =2x （7）｜x 2+2x ｜=4 3．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程。

五、看我有多棒（每题20分，共100分）1．一元二次方程的一般形式是__________.2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.3. 方程2x 2=－8化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为_______，常数项为__________4. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m __________时，是一元一次方程.5．课本第49页的第3题。

一元二次方程知识要点：1．关于一元二次方程：①元的个数是一个，方程是整式方程；②含有未知数的最高次项的次数是二次；③若方程有实数根，则解的个数一定是两个．2．关于配方法解一元二次方程：①首先将二次项系数变为1；②方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解．3．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=(b2-4ac 0) 推导过程：利用配方法4．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：Δ=b2－4ac，其作用如下：(1)=b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根(2)=b2-4ac=0 方程有两个相等的实数根(3)=b2-4ac<0 方程没有实数根拓展：韦达定理设x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，x1+x2=- ，x1 x2= ，利用公式法推导，其作用如下：①能运用它由已知方程的一个根，求出另一个根及未知数的系数；②可以利用它求出两根的平方和、立方和、两根倒数和的平方等等；③利用x1+x2和x1·x2的关系可以解特殊的二元二次方程组；④利用根与系数关系判定两根的符号及方程各项系数的符号；⑤利用根与系数的关系，可以造出新的一元二次方程ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)例题及分析：例1、判断下列方程哪些是一元二次方程：(1)3x2+4x-2=0；(2)x2-2x+3=6x-1；(3)7-x3=x+x2；(4)x2-2xy-4=0；（5）3x2=5-；(6)2-x2+y2=x+m(7)6x2+3x=-3x(3-2x)；(8)3(x+1)+3=3x(2x+5)例2、关于x的方程(m+3)x2-mx+1=0是不是一元二次方程的条件？例3、(1)用开平方法解方程（3x-1）2=9(2)用配方法解方程3x2－1=6x（3)用公式法解方程2x2+5x－3=0（4）用因式分解法解方程x2＋7x＋12=0例4、解关于x的方程x2＋mx＋2=mx2＋3x（m≠1）解：x2－mx2＋mx-3x＋2=0（1－m）x2＋（m-3）x＋2=0∵m≠1，∴1-m≠0，∴原方程为一元二次方程∵b2-4ac＝（m-3）2-4（1-m）·2＝（m＋1）2≥0x= =x1=, x2=1例5、已知a、b、c是三角形的三边，求证：方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实数根．例6、求证方程(m－1)x2＋3mx＋m＋1＝0 (m≠1)，必有两个不相等的实数根．证明：∵m≠1∴m－1≠0∴此方程是关于x的一元二次方程△＝(3m)2－4(m－1)(m＋1)＝9m2－4m2＋4＝5m2＋4∵不论m取任何不为1的实数都有5m2≥0∴5m2＋4＞0即△＝5m2＋4＞0∴方程必有两个不相等的实数根例8、如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？例9、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为6和-1，那么正确的方程应是____．例10、解方程x2-2|x|-1=0．提示：原方程化为|x|2-2|x|-1=0，例11、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．例12、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？例13、已知三个连续奇数的平方和为371，求这三个奇数．例14、有一个直角三角形三边的长为三个连续整数，求三边的长．练习及答案一、选择题1．方程x2=x的解[ ]A．0 B．1 C．0或1 D．0或-12．关于x的一元二次方程（m－1）x2＋x＋（m2＋2m－3）=0有一个根是零，则m的值为[ ]A．1 B．-3 C．1或-3 D．-1或33．如果一元二次方程x2＋mx＋n=0的两个根是0和-2，则m＋n等于[ ]A．2 B．4 C．-2 D．-44．如果方程2x2-x-3m=0与2x2＋3x＋m＝0有一个根相同，则m一定等于[ ]A．0 B．1 C．2 D．0或15．若c是实数，且x2-3x+c=0的一个根的相反数是x2＋3x－c＝0的一个根，则x2－3x ＋c=0的解是[ ]A．1，2 B．-1，-2 C．0，3 D．0，-3二、填空题1．方程x（x-4）＝4的根是______．2．方程（3x－1）2=（2x－3）2的根是______．3．关于t的方程t2－7mt－18m2=0的根是____．4．关于y的方程y（y＋b－1）=b的根是______．5．方程9（x+2）2=16的根是______．6．方程（m2－3）x2－（m＋1）x＋1=0，当m______时是一元二次方程，其判别式△=_______，m=_______时是一元一次方程．7．已知方程（2a－b）x2＋（2b－c）x＋2c－a＝0有一个根是1，则a＋b+c=_______．8．若二次方程k（x－1）2＋x=2无实数根，则k的最大整数值是______．三、解答题1．用配方法解方程2x2＋7x－4=02．用适当的方法解下列方程（1）4（x＋3）2=25（x－2）2；（2）（x-2）（x-3）=1；（3）3x2-7x-6=03．解方程：（2x+1）2＋3（2x+1）＋2＝04．解关于x的方程（a－b）x2＋（b－c）x＋（c－a）=0（a≠b）5．不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2＋5x-1=0；（2）9x2－6x＋1=0；（3）2x2＋1=-x6．已知两数和为7，积为-6，求两数．思考并总结：a为何值时，方程8x2＋（a＋1）x＋（a－8）＝0（1）两根异号（2）两根均为负根（3）有一根为1（4）有一根为0（5）两根互为相反数（6）两根互为倒数,。

一元二次方程一，教学目标1，让学生熟练的掌握一元二次方程的解法及应用二，教学重难点（1）一元二次方程的实际应用，进一步体验到列一元二次方程解应用题的应用价值。

（2）进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能。

三，教学过程（一）、一元二次方程的概念在整式方程中只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2这样的整式方程叫一元二次方程1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式 02=++c bx ax （ 0≠a )例：1，已知关于x 的方程()2220m m xx m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程； （2） m 为何值时方程为一元二次方程。

2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）让学生明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。

例：1、(2009·日照中考)若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为 （ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）－1 （D ）－2解析：选D.将n 代入方程，方程两边同时除以n 求解，可得m +n=－2.2、（2008·烟台中考）已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A ．ab B ．abC ．a b +D ．a b - 解析：选D.将－a 代入20x bx a ++=中，则a 2－ab+a=0，则a －b+1=0∴a －b=－1（恒为常数）3、（2008·东营中考）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0 答案：B4、（2007·荆州中考）若0x =是方程22(2)3280m x x m m -+++-=的解，则m ＝ ．答案：2或－4；（3）．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解。

一元二次方程复习（1）学习目标：（1）会判断一个方程是否是一元二次方程，及其一般形式的注意点.（2）复习用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程； 能根据方程特征，灵活选择解方程的方法。

教学重难点：重点： 一元二次方程的解法。

难点：根据方程特征，灵活选择适当的方法解方程。

学习过程：一、 课前预习：（15分钟）复习课本基础知识，自主完成习题1、定义：只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是____的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是____________。

其中____叫二次项，_____是二次项系数；_____叫一次项,______是一次项系数；______叫常数项。

3、将方程 8652-=x x 化为一元二次方程的一般形式是：_____________，它的二次项系数是____，一次项系数是___，常数项是___.4、在下列方程 2222)2(,01,1,012x x x x x y x =-=-=+=+ 中，是一元二次方程的有___________ 。

5、方程()1142=+-x 的解___________方程()()321=++x x 的解是____________.二、课内探究：（45分钟）（一）自主学习：归纳一元二次方程的解法（同学们观察题目，然后指明每一道题目的解法，用适当的方法求解下列方程最后总结归纳用哪种方法解最合适）(1)3)10(2=-x (2)0362=+-x x(3)041092=++x x (4)0522=-x x（二）合作探究：（学生独立思考并解决学案中问题1，其中生板演第1（1）、（2）、（3）题，自己点评。

第2题通过变式训练考查一元二次方程根的判别式的三种情况，先由每个小组组长或代表点评。

老师最后点评）1、不解方程判断下列方程解得情况（1）x²-3x+2=0 （2）4x 2-3x-1=x-2 (3)3x 2+x-2=02、已知一元二次方程3x 2-2x+a=0有两个不相等的实数根，求a 的取值范围。

预习九，学案九 17.2.1.1 解一元二次方程- -配方法¤ 预习1.直接开平方法解一元二次方程对于形如x 2=m 或(ax+n)2=m(a≠0,m≥0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.x 2=m 的解为x=m ±,即m x m x -==21,(ax+n)2=m 转化为ax+n=m ±,即ax+n=m ,或ax+n=－m ,这两个一元一次方程来解. 因为负数没有平方根,所以当m<0时,x 2=m 或(ax+n)2=m 无解2.运用配方法解一元二次方程通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m 的形式,再运用直接开平方的方法求解.用配方法解一元二次方程的步骤如下:(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求出它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解. 示例:解方程x 2+6x +4=0解： x 2+6x =−4x 2+6x +9=−4+9(x +3)2=5x +3=±√5 ∴ x 1=√5−3 x 2=−√5−3¤ 学案1.解下列方程:（1）x 2=5 （2）3x 2=12（3） (x +3)2=5 （4）x 2+6x +9=42.用配方法解一元二次方程的关键是配方，复习完全平方公式，并完成填空： a 2+2ab +b 2=(a +b )2 a 2−2ab +b 2=(a −b )2(1)x 2+10x+______=(x+____)2 (2)x 2-12x+______=(x-____)2(3)x 2+5x+_____=(x+____)2 (4)x 2- 2×3x+_____=(x-____)23.用配方法解下列方程(1)x 2+4x －9=0; (2)3x 2=－6+8(3) 9x 2−18x +15=0 (4) 3x 2−6x +4=0¤ 精练1.①+-x x 212 =(x － )2 ②++x x 252 =(x+ )2 2.若(2x －1)2=1－m 有实数解,则∣m －1∣= 。

一元二次方程的概念与解法讲义【学习目标】1．了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数； 2．了解一元二次方程的根的意义；3．能够根据一元二次方程的定义求解待定字母的值；4．会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．【教学重难点】掌握一元二次方程的解法．考点1：一元二次方程的概念 知识点与方法技巧梳理：1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，这样的整式方程叫做一元二次方程． 我们把ax2＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数．【例1】1下列方程：①13122=-xx ；②05222=+-y xy x ；③0172=+x ；④022=y ． 其中一元二次方程是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和③ 【变式】下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．20y x-= B ．210x y -+= C ．3210x x -+= D ．220x x +-=【例2】关于x 的方程01)2(22=-+--mx x m m 是一元二次方程，则m ＝___________．【变式1】已知2(4)(4)30m m xm x --+--=是关于x 的一元二次方程，则m ＝___________．【变式2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一个根，求代数式22016()a b c -+的值．【例3】把一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 化成一般形式为______________________． 【变式】把一元二次方程(82)(52)18x x --=化成一般形式______________________．考点2：用直接开平方法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：直接开平方法：如果方程2()x m n +=（n ≥0），那么就可以用两边开平方来求出方程的解． 【例】用直接开平方法解下列方程： （1）2250x -=（2）212(1)90x +-=【变式】用直接开平方法解下列方程： （1）214m +=（2）24(31)124x --=（3）900)12(16002=-x （4）08)12(212=--x （5）22(32)(4)x x -=+（6）224(2)(23)x x -=+考点3：用配方法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：配方法：通过配成完全平方公式的方法来求出方程的解．用配方法解一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使得方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为2()x m n +=；⑤如果n ≥0就可以用两边直接开平方法来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无实数解．注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +． 【例】用配方法解下列方程： （1）2147x x -=（2）23395x x x ++=+【变式】用配方法解下列方程： （1）0342=+-x x （2）212280x x +-= （3）22129x x -=（4）161442=++x x （5）2132x x x ++=-+（6）24123x x x -+=+考点4：用公式法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．求根公式是通过配方推导出来的． 一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式是24b b ac x -±-（b2－4ac ≥0）．应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定系数a 、b 、c 的值；③求出b2－4ac 的值； ④若b2－4ac ≥0，则代入求根公式，求出x 1、x 2；若b2－4ac ＜0，则方程无实数解． 【例】用公式法解下列方程：（1）0232=--x x（2）52)2)(1(+=++x x x【变式】用公式法解下列方程： （1）0822=--x x （2）02722=+-x x （3）2134x x =（4）(2)50x x --=考点5：用因式分解法解一元二次方程 知识点与方法技巧梳理：因式分解法：用因式分解求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法． 因式分解法的理论根据是：由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0．因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积（提公因式或乘法公式或十字相乘法等） ③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如22(4)3(4)x x -+=+中，不能随便约去(4)x +． ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外），但又必须熟练掌握．解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 【例】用因式分解法解下列方程： （1）0232=+-x x （2）01762=+-x x （3）272x x =（4）3(23)23x x x +=+【变式】用因式分解法解下列方程： （1）23x x =（2）4(21)3(21)x x x -=- （3）2(31)31x x x -=-（4）23(2)4(2)x x -=- （5）22150x x --=（6）246100x x --=【能力提升】 1．已知11(1)401m x m x m ++--=+是关于x 的一元二次方程，则m 的值为___________． 2．关于x 的方程是(m2－1)x2＋(m －1)x －2＝0．①当m __________时，方程为一元二次方程；②当m __________时，方程为一元一次方程．3．已知关于x 的一元二次方程22(1)a x x a --+＝1有一个根为0，则a 的值为___________． 4．一元二次方程264x x -+＝0可以化成2()x m +＝n 的形式，则m ＝_________，n ＝_________． 5．已知三角形的两边长分别是2和9，第三边长是一元二次方程21448x x -+＝0的两根，则这个三角形的周长是（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．19 6．方程2230x x --=的解是______________．7．设a ，b 是一个直角三角形两条直角边的长，且2222()(1)a b a b +++＝12，则这个直角三角形的斜边长为___________．8．已知一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且b 112a a --，则此一元二次方程的解是______________．9．已知x 1，x 2是二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，记S 1＝x 1＋x 2，S 2＝x 12＋x 22，…，S n ＝x 1n ＋x 2n ，则 aS n ＋bS n －1＋cS n －2的值为___________．10．已知a 是方程x2－3x ＋1＝0的一个根，求下列各式的值：（1）24291a a a -+ （2）223251a a a -++． ★★熟记一元二次方程的概念和几种解法，下次课要背或默写． 作业1．用配方法解一元二次方程2810x x --=，配方后得（ ）A ．2(4)17x +=B ．2(4)15x +=C ．2(4)17x -=D ．2(4)15x -= 2．已知2是关于x 的方程x2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值为___________．3．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a2－1＝0的一个根是0，则a 的值为___________．4．一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0若有两根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝_________，a －b ＋c ＝_________．5．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程268x x -+＝0的根，则该三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．12 6．解下列方程： （1）211063x x +-=（2）)3)(21()12(5+-=-x x x。

第二十二章一元二次方程复习学案一、学习目标；1、理解一元二次方程的意义。

2、能熟练掌握一元二次方程的四种解法，会选择适当的方法解方程，进一步体会相互之间的关系及其“转化”的思想。

3、能熟练分析数量之间的关系，列出一元二次方程来解应用题。

二、中考热点：本章的应用性较强，本章内容一直是命题的热点，填空题、选择题有，解答题也有，单独出现或和其它内容结合出现．三、本章知识框架图：四、知识点与方法：（一）定义：方程两边都是，只含有个未知数，且未知数的最高次是，这样的方程叫做一元二次方程。

一般形式：。

温馨提示：对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的四个条件，千万不要忽视二次项系数不为0。

【练习】1、若方程（a-1）x12 a+5x-3=0是关于x的一元二次方程，则a= 。

2、已知方程2（m+1）x2 +4mx+3m－2 = 0 是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是3、下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A.()()12132+=+x xB.02112=-+x xC.02=++c bx axD. 1222-=+x x x4、把方程21+x =33-x 2化为一般形式 。

5、把方程（1－3x ）（x +3）= 2x 2 + 1化成一般形式是 ，它的二次项是 ，一次项是 ， 常数项是 。

（二）一元二次方程的判别式：（1）当 时，方程有两个．．不相等．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个．．相等．．的实数根； （3）当 时，方程没．有．实数．．根．。

温馨提示：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根的判别式正反都成立．其作用有：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．【练习】 6、方程022=-+-k kx x 的根的情况是（ ）（A ）方程有两个不相等的实数根 （B ）方程有两个相等的实数根（C ）方程没有实数根 （D ）无法确定7、若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2＋6＝0 无实数根，则k 的最小整数值是（ ） A 、－1 B 、2 C 、3 D 、48、下列方程中，有两个不相等实数根的是 ( )Ａ．240x += Ｂ．24410x x -+= Ｃ．230x x ++= Ｄ．2210x x +-=9、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是 （ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定10、a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()022=++++b a cx x b a 的根的情况是A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根11、（2012·德州）若关于x 的方程()0222=+++a a ax 有实数解，求实数a 的取值范围。

江宁区体育中心位于南京市东南部，距青奥村22.7千米,运动
员甲坐公交车，乙骑自行车，他们分别从体育中心和青奥村出发，相向而
千米/时，自行车的速度是
.
年南京奥运花坛的设计中，有一个造型需要摆
盆鲜花，为青奥会作奉献的精神促使公园园林队的工人们以原计倍的速度，提前一小时完成了任务，工人们实际每小时摆放多少盆
图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2 ，设金色纸边的宽
一元一次方程与一元二次方程有什么联系与区别？一元一次方程与一。

21.1 一元二次方程一、学习目标1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、学习重点、难点重点：建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。

难点：在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项。

三、学习过程（一）知识准备：（1) 多项式3x 2y -2x -1是 次 项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 。

（2） 叫方程,我们学过的方程类型有 ,它们的解法还清楚吗,解题思想方法及步骤分别是什么？（3）解下列方程或方程组： ①1)1(2-=+x x ②⎩⎨⎧=+=-42y x y x ③211=-x （二）新课学习：1.自学教材P 1——3，回答以下问题。

（1）一元二次方程的定义：等号两边都是 ，只含有 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 （二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中 是二次项， 是二次项系数， 是一次项， 是一次项系数， 是常数项。

【注意】①方程ax 2+bx +c =0只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a =0，b ≠0时就是 方程了。

所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件。

②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。

2．新课应用:1、下列方程是一元二次方程的是有 ：（1），（2）(x +1)(x -1)=0，（3），（4）01122=-+x x ，（5）， （6）05322=-+y x2、参照教材P 3例题，解答：① 一元二次方程15242+-=x x x 化为一般形式是： ；其二次项是： ；一次项是： ；常数项是： .②把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为： ；其二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 .3、若033)3(2=++-nx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围 .4、已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k ，当k 时，方程为一元二次方程.四、达标过关测试1．一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ___，一次项系数为： ____，常数项为： _____.2．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m ________时为一元一次方程；当m ___________时为一元二次方程.3．若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ．4、由于甲型H 1N 1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ．5.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）.A.()()12132+=+x xB.02112=-+x xC.02=++c bx axD.1222-=+x x x6．如图所示，在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．0350652=+-x x7．已知01033=-+-x x a 和都是08643=++-x x b 一元二次方程，求20142014)()(b a b a +⨯-的值。

《一元二次方程》教案及反思(总5页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-《一元二次方程》教案及反思《一元二次方程》教案及反思教学目标：1、经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会是刻画现实世界的有效数学模型2、理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。

3、能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

教学重点1、一元二次方程及其它有关的概念。

2、利用实际问题建立一元二次方程的数学模型。

教学难点1、建立一元二次方程实际问题的数学模型．2、把一元二次方程化为一般形式教学方法：指导自学，自主探究课时：第一课时教学过程：（学生通过导学提纲，了解本节课自己应该掌握的内容）一、自主探索：（学生通过自学，经历思考、讨论、分析的过程，最终形成一元二次方程及其有关概念）1、请认真完成课本P39—40议一议以上的内容；整理化简上述三个方程.。

2、你发现上述三个方程有什么共同特点？你能把这些特点用一个方程概括出来吗？3、请同学看课本40页，理解记忆一元二次方程的概念及有关概念你觉得理解这个概念要掌握哪几个要点你还掌握了什么二、学以致用：（通过练习，加深学生对一元二次方程及其有关概念的理解与把握）１、下列哪些是一元二次方程哪些不是①②③④x2+2x-3=1+x2⑤ax2+bx+c=02、判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）3-6x2=0(2)3x(x+2)=4(x-1)+7(3)(2x+3)2=(x+1)(4x-1)3、若关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0是一元二次方程，则k 的值是多少？4、关于x的方程(k2－1)x2＋2(k+1)x＋2k＋2＝0,在什么条件下它是一元二次方程在什么条件下它是一元一次方程5、以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程的系数和常数项，请你写出满足条件的不同的一元二次方程？三、总结反思：（学生总结，进一步加深本节课所学内容）这节课你学到了什么？四、自查自省：（通过当堂小测，及时发现问题，及时应对）1、下列方程中是一元二次方程的有（）Ａ、1个B、2个C、3个D、4个（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、将方程－5x2+1=6x化为一般形式为____________________.其二次项是_________，系数为_______，一次项系数为______，常数项为______。

一元二次方程复习（巩固训练 第一课时）一．课前准备----基本知识点 1.一元二次方程的定义：方程的两边都是_______•，都只含有_______未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式：______________•（ ）。

其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________。

例如：一元二次方程7x-3=2x 2化成一般形式是__________________•，其中二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是________。

2．我们学过的解一元二次方程方法有？2二．课内学习----基础练习补充1．如果1x =-是方程210x mx +-=的一个根，那么m 的值为______，另一个根是________.解下列方程1. （1）x 2-0.81=0 （2） 2(41)50y --=2. （1） x 2+2x-1=0 （2） x 2+10x+20=0求根公式的推导：用配方法解ax 2+bx+c=0（a≠0）3. （1） x 2-3x-4=0 （2） (x+1)(x+2)=64. （1）2(3)5(3)x x x -=- （2） 223(2)4x x -=-拓展1.先用配方法说明：不论x 取何值，代数式257x x -+的值总大于0。

2. 已知: (a 2+b 2)( a 2+b 2-3)=10 ，求a 2+b 2 的值。

5.当m为何值时，方程（m-1）x2 +2mx+m+3=0，满足以下情况：（1）有两个相等实根；（2）有两个不等实根；（3）无实数根；（4）有两个实数根；（5）只有一个实数根；（6）有实根。

达标测评班级_________________姓名_________________1．关于x的方程221(1)50a aa x x--++-=是一元二次方程，则a的值.2.解方程x2-2x=5 3(x+1)2=2(x+1) 3x(x-3)=2(x-1)(x+1) 3.如果关于x的一元二次方程22(21)10k x k x-++=有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是？三．课外延伸1.若（m+2）x 2+（m+2）x-2=0是关于x 的一元二次方程则m 。

《一元二次方程》学案学习目标：了解一元二次方程的定义，一般式ax2+bx+c=0（a≠0），•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．一、自主学习（一）温故知新问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m，则上部高________，得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__________，宽为__________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场.列方程____________________________化简整理得________________________ ③（二）探索新知请回答下面问题：（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？（2）它们最高次数分别是几次？方程①②③的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.二、学习过程1.一元二次方程:_____________________________________________.2.一元二次方程的一般形式：____________________________ .其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________，_____是一次项系数；_____是常数项.（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数0a ≠是一个重要条件，不能漏掉.）3.一元一次方程的解（根）：_____________________________________________. 例：将方程3(1)5(2)x x x -=+化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．三、达标巩固1、判断下列方程是否为一元二次方程：（1）012=-x （2）y x 3)1(22=- （3）01322=--x x（4）0112=-x x（5）22)3()3(+=-x x （6）x x 4592-= 2、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数． （1）7)12(2=-x （2）0)12(532=++x x3、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1） 有一个面积为54m 2的长方形，将它的一边剪短5 m ，另一边剪短2 m ，恰好变成一 个正方形，这个正方形的边长是多少？（2） 三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？4、以-2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+2x -x =0 B ．x 2-x -2=0 C ．x 2+x +2=0 D ．x 2+x -2=0 四、学后记五、课时训练 基础过关1．方程（x+3）（x+4）=5，化成一般形式是________．2．若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．3．如果两个连续奇数的和是323，求这两个数，如果设其中一个奇数为x ，•你能列出求解x 的方程吗？_____________．4．如图，在宽为20m ，长30m 的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m 2，若设路宽为xm ，则可列方程为：_________．5．若ax 2-5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是（ ） A ．a>-2 B ．a<-2 C ．a>-2且a ≠0 D ．a>126．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，•全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A ．x （x+1）=182 B ．x （x-1）=182 C ．2x （x+1）=182 D ．x （x-1）=182×2 能力提升1．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．2x 2x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2是一元二次方程，求k 的取值范围．4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．5.关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，求实数p 的值.6.求证：关于x 的方程（m 2-8m+17）x 2+2mx+1=0，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．一、基础知识（一）一元二次方程的定义1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程．2.注意事项：判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）．三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程．（二）一元二次方程的一般形式：20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ≠），其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆．剖析： 1.一元二次方程的一般形式是将方程变形和整理后的一种很有规律的表达形式,它的左边是未知数的二次三项式的降幂排列,且其中a 通常写成大于0的形式,而右边是0.2.当一元二次方程化成一般形式后,左边的三个单项式ax 2,bx ,c 分别叫做二次项,一次项和常数项;且常数a ,b 分别叫二次项系数和一次项系数.3.一元二次方程的一般形式是用配方法或公式法求一元二次方程根的基础. 二、重难点分析本课教学重点：一元二次方程的识别抓住一元二次方程的三个要点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）．三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程．本题教学难点：一元二次方程的一般形式的转化，熟记公式20ax bx c ++=即可。

一元二次方程定义学案学习目标:1.了解一元二次方程的概念，会将方程整理为一元二次方程的一般形式，并确定各项系数。

2.能根据一元二次方程的定义确定二次项系数中所含字母的值或取值范围。

一．创设情境引入新课我校开展美化校园活动，兴趣小组按照下列要求设计花坛，我们共同来参与：解：设矩形的宽为xcm①矩形的长比宽多1m，周长26m，求矩形的各边长。

方程为：__________________ 整理为:______________________②矩形的长比宽多1m，面积30 m2，求矩形的各边长。

方程为：___________________ 整理为:______________________③用20m长的篱笆靠墙边围成一个矩形，使矩形面积为18m2，求矩形的各边长。

二．探究新知归纳定义1.定义：_________________________________________________________________________。

辨析练习A组：判断下列方程是否为一元二次方程，如果是，填在表格内，并分别指出各项系数和常数项，如果不是说明理由。

2.一般形式：_____________________ 三、巩固提升，理解定义 B 组：1.关于x 的方程053=++x x a是一元二次方程，则a= _______2.若关于x 的方程 a 0532=++x x 是一元二次方程，则a 应满足的条件是____________3.若关于x 的方程 05322=++-x x a 是一元二次方程，则a 应满足的条件是____________4.关于x 的方程（a+2）05322=++-x x a 是一元二次方程，则a 应满足的条件是____________5.关于x 的方程（a+2）x ｜a-2︱+3x+5=0是一元二次方程，则这个方程为：_______________四．拓展训练，课堂培优 C 组：1.下列关于x 的方程是否为一元二次方程？为什么？① 23-5x=x(2-ax) ②0)5(22=+++c bx x a2.关于x 的方程（a 2-4）x 2-（a+2）x+6=0(1) 在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？五．归纳小结自我提升 六.课后作业加深理解 A 层：1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-1 =0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.方程2x 2=3（x-6）的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）． A ．2，3，-6 B ．2，-3，18 C ．2，-3，6 D ．2，3，6 3 .px 2-3x+p 2-q=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）． A ．p=1 B ．p>0 C ．p ≠0 D ．p 为任意实数4.将下列方程进行整理，判断下列方程是否为一元二次方程，是一元二次方程的，分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项B 层1.若关于x 的方程mx 2 +3x-2=2x 2是一元二次方程, 求m 的取值范围。

新人教版九年级数学上册第1课时一元二次方程学案一、学习目标1．理解一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4．理解一元二次方程根的概念．二、知识回顾1．多项式3x2y-2x-1是三次二项式，其中最高次项是3x2y ，二次项系数为0 ，一次项系数为-2 ，常数项是-1 ．2．含有未知数的等式叫方程，我们学过的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．三、新知讲解1．一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项．概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分. 如果明确了ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．3．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．四、典例探究1．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程【例1】（2015•浠水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x总结：一元二次方程必须满足四个条件：是整式方程；含有一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.练1（2015•科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a= 时，方程是一元二次方程；当a= 时，方程是一元一次方程．2．把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项）【例2】（2014秋•忠县校级期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）（2）在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．练3（2014•东西湖区校级模拟）将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（）A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣813．根据一元二次方程的根求参数【例3】（2015•临淄区校级模拟）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m的值为（）A．1 B．0 C．1或2 D．2总结：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.练4（2014•绵阳模拟）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a= ．练5（2015•绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= ．五、课后小测一、选择题1．（2015春•莒县期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c=0 B．x+y=2 C．x2+3y﹣5=0 D．x2﹣1=02．（2014•泗县校级模拟）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2014秋•沈丘县校级期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠04．（2015•石河子校级模拟）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，25．（2015•石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）A．0 B．﹣ C． D．0或，6．（2014•祁阳县校级模拟）已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是（）A． B．﹣C．± D．以上答案都不对7．（2014秋•南昌期末）关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2二、填空题8．（2015•东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．9．（2014秋•西昌市校级期中）方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．10．（2015•厦门校级质检）若m是方程x2﹣2x=2的一个根，则2m2﹣4m+2010的值是．三、解答题11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）5x2=3x；（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；（3）（7x﹣1）2﹣3=0；（4）（﹣1）（+1）=0；（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．12．（2015春•亳州校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m的值；（2）求方程的解．13．（2015春•嵊州市校级月考）已知，下列关于x的一元二次方程（1）x2﹣1=0 （2）x2+x﹣2=0 （3）x2+2x﹣3=0 …（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．14．关于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少．典例探究答案：【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；B、不是整式方程，故选项错误；C、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，解得 a=﹣1．即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．故答案是：﹣1；1．点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．去括号，得x2-x=5x－10.移项、合并同类项，得x2-6x＋10=0．其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值．解：∵0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，解方程得：m1=1（舍去），m2=2，∴m=2，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0∴a2﹣1=0，即a=±1；∵a+1≠0，∴a≠﹣1；∴a=1．练5．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，所以n+=2，所以原式=（n+）2﹣2=（2）2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．课后小测答案：一、选择题1．【解析】根据一元二次方程的定义进行判断．解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1，它属于二元一次方程，故本选项错误；C、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．3．【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选：B．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．4．【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．5．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，故选：D．点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．6．【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，根据方程解的含义，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出关于y的方程的解．解：∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，∴3×32+2a×3﹣3a=0，解得：a=﹣9，则关于y的方程是y2﹣12=﹣9，解得y=．故选：C．点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值．7．【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，当k为任意值时，则对应的x的值一定为方程的解．解：A、当x=1时，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为1，所以A选项正确；B、当x=﹣1时，k+2+k﹣2=0，所以当k=0时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣1，所以B选项错误；C、当x=2时，4k+8﹣2k﹣2=0，所以当k=﹣3时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为2，所以C选项错误；D、当x=﹣2时，4k+8+2k﹣2=0，所以当k=﹣1时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣2，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．二、填空题8．【解析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．解：根据题意得m﹣2≠0，所以m≠2．故答案为：m≠2．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号10．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=2，再变形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m2﹣2m=2，所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．故答案为2014．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题11．【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣3；（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；（4）方程整理得：x2﹣1=0，二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．【解析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；（2）分别将m的值代入原式求出即可．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，∴m的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．13．【解析】（1）利用因式分解法分别求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根据以上3个方程的根，可猜测方程（n）的根；（2）观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1．解：（1）（1）x2﹣1=0，（x+1）（x﹣1）=0，x+1=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1；（2）x2+x﹣2=0，（x+2）（x﹣1）=0，x+2=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣2，x2=1；（3）x2+2x﹣3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x+3=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣3，x2=1；…猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；（2）上述几个方程都有一个公共根是1．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．14．【解析】令y=1，即可确定出方程的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和．解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，则方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为0．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．。