数学必修四北师大版15 正弦函数的性质与图象教学设计

1.5 正弦函数的图像与性质知识梳理1。

任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.（2)定义如图1-4—1所示,单位圆与角α的终边交于P点.设P(a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数，记为b=sinα（α∈R）。

通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx（x∈R).图1—4-1（3)正弦线如图1—4-1所示,过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线。

当角α的终边在x轴上时,M与P重合，此时正弦线变成一个点.（4)正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正,向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图1—4—2所示，设P（x，y）是α的终边上任意一点,图1-4—2P 到原点的距离|OP|＝r ，有r=22y x ， 则sinα＝ry 。

对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数。

正弦函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小。

2.周期函数一般地，对于函数y=f （x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f （x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明,一般都是指它的最小正周期. 3.任意角的正弦值的符号(1）图形表示：各象限正弦函数符号,如图1—4—3所示.图1-4-3（2）表格表示.α的终边 sinα x 非负半轴 0 第一象限+y非负半轴+第二象限+x非正半轴0第三象限—y非正半轴-第四象限—4.正弦函数的图像和性质(1)图像：如图1-4-4所示.图1—4—4（2)性质.函数性质y=sinx 定义域R值域［-1,1］当x=2kπ+2π（k∈Z）时，y取最大值1;当x=2kπ-2π（k∈Z)时,y取最小值-1周期2π奇偶性奇函数单调性增区间［—2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z）减区间［—2π+2kπ,23π+2kπ］（k∈Z)5。

1.5.2 正弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手,由此展开正弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线,观察它的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么?③观察正弦曲线,说出正弦函数的值域是什么?由值域又能得到什么?④观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线,它有哪些对称?图1活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质. 对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势. 对问题②,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R 〔或(-∞, +∞)〕.对问题③,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是［-1,1］.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明. ∵正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, ∴|sinx|≤1,即-1≤sinx≤1.也就是说,正弦函数的值域是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x ∈R ),1°当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. 2°当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的［-2π,23π］(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选［0,2π］的道理,其他类似.图2 图3这个变化情况也可从下表中显示出来: x -2π 0 2π π 23π sinx-1↗↗1↘↘-1就是说,函数y=sinx,x ∈［-2,23］. 当x ∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1;当x ∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 结合正弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O 对称.在R 上,y=sinx 为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢? 由诱导公式,∵sin(-x)=-sinx, ∴y=sinx 为奇函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔. 讨论结果:①略. ②定义域为R .③值域为［-1,1］,最大值是1,最小值是-1. ④单调性(略). ⑤奇偶性(略). 应用示例思路11.函数y=-3sin2x,x ∈R 有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.解:令z=2x,使函数y=-3sinz,z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z|z=-2π+2kπ,k ∈Z }, 由2x=z=-2π+2kπ,得x=-4π+kπ. 因此使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+kπ,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+kπ,k∈Z }.函数y=-3sin2x,x ∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设z=ωx+φ化归为y=Asinz+B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.2.利用三角函数的单调性,比较sin(-18π)与sin(-10π)的大小. 解:因为-2π＜-10π＜-18π＜0,正弦函数y=sinx 在区间［-2π,0］上是增函数,所以sin(-18π)＞sin(-10π).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题.3.求函数y=sin(21x+3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把21x+3π看成z,这样问题就转化为求y=sinz 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令z=21x+3π.函数y=sinz 的单调递增区间是［-2π+2kπ,2π+2kπ］. 由-2π+2kπ≤21x+3π≤+2kπ,得-35π+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z .由x ∈［-2π,2π］可知,-2π≤-35π+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是-121≤k≤125,由于k ∈Z ,所以k=0,即-35π≤x≤3π,而［-35π,3π］⊂［-2π,2π］,因此,函数y=sin(2x +3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-35π,3π］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.4.利用“五点法”画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质. 解:列表,根据表中数据画出简图(如图4所示).x 0 2π π23π 2π Sinx 0 1 0 -1y=sinx-1-1图4函数 y=sinx-1定义域 R 值域 ［-2,0］ 奇偶性 非奇非偶函数周期2π单调性当x ∈［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )时,函数是递增的; 当x ∈［2kπ+2π,2kπ+23π］(k ∈Z )时,函数是递减的最大值与最小值当x=2kπ+2π(k ∈Z )时,最大值为0;当x=2kπ+23π(k ∈Z )时,最小值为-2 思路2例1 求函数y=xsin 11+的定义域.活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等. 解:由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x|x≠23π+2kπ,k∈Z }. 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.2.在下列区间中,函数y=sin(x+4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin ［φ(x)］,φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的.解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )上是递增的,故令2kπ-2π≤x+4π≤2kπ+2π.∴2kπ-43π≤x≤2kπ+4π.∴y=sin(x+4π)的递增区间是［2kπ-43π,2kπ+4π］. 取k=-1、0、1分别得［-411π,47π］、［-43π,4π］、［45π,49π］. 答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出. 解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断. 变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,θ=2πB.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=2π解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使f(x)取得最大值,可取θ=2π答案:A 2.求函数y=21sin(4π-32x )的单调递减区间及单调递增区间.解:y=21sin(4π-32x )=-21sin(32x -4π).由2kπ-2π≤32x -4π≤2kπ+2π,可得3kπ-83π≤x≤3kπ+89π(k ∈Z ),为单调减区间;由2kπ+2π≤32x -4π≤2kπ+23π,可得3kπ+89π≤x≤3kπ+821π(k ∈Z ),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为［3kπ-83π,3kπ+89π］(k ∈Z );原函数的单调增区间为［3kπ+89π,3kπ+821π］(k ∈Z ).知能训练课本本节练习2 1、2、3. 课堂小结1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图像的画法.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=xxx sin 1cos sin 12-++-.解答:(1)函数的定义域为R ,它关于原点对称.又∵f(x)=xsin(π+x) =-xsinx, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),∴函数为偶函数.(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x≠2kπ+2π,k ∈Z }. ∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.设计感想1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.2.在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,加大应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.3.学习三角函数的性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.1.是“三角”还是“函数”应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.2.是“图像”还是“变换”现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图像和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图像和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本. 3.国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点:美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx 、cosx 、tanx 和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限.从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图像和性质;第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系.这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故. 二、备用习题1.函数y=sin(3π-2x)的单调减区间是( ) A.［2kπ-12π,2kπ+125π］(k ∈Z ) B.［4kπ-35π,4kπ+311π］(k ∈Z ) C.［kπ-125π,kπ+1211π］(k ∈Z ) D.［kπ-12π,kπ+125π］(k ∈Z )2.满足sin(x-4π)≥21的x 的集合是( )A.{x|2kπ+125π≤x≤2kπ+1213π,k ∈Z }B.{x|2k π-12π≤x≤2kπ+127π,k ∈Z }C.{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+65π,k ∈Z }D.{x|2kπ≤x≤2kπ+6π,k ∈Z }∪{x|2kπ+65π≤x≤(2k+1)π,k∈Z }3.求函数y=lgsinx 的定义域和值域.4.已知函数y=f(x)的定义域是［0,41］,求函数f(21sin 2-x )的定义域. 参考答案:1.D2.A3.解:由题意得sinx ＞0,∴2kπ＜x ＜(2k+1)π,k∈Z .又∵0＜sinx≤1,∴lgsinx≤0. 故函数的定义域为(2kπ,(2k+1)π),k∈Z ，值域为(-∞,0］.4.解:由题意得0≤21sin 2-x ≤41,∴-23≤sinx≤-22或22≤sinx≤23∴x∈［kπ+4π,kπ+3π］∪［kπ+32π,kπ+43π］,k ∈Z .。

北师大版必修4§1.5《正弦函数的性质与图像》第一课时设计者：江西省南康中学 邱小伟一、教学目标1.知识与技能(1)理解正弦线的概念和函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质。

(2)了解正弦函数图像的画法，掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

2.过程与方法通过利用单位圆研究正弦函数性质的过程，增强学生自主分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度价值观通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。

二、教材分析1.教材的地位与作用《正弦函数的图像与性质》是高中《数学》必修4（北京师范大学版）第一章第五节的内容，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数的图像，为今后余弦函数、正切函数的图像与性质、函数 的图像的研究打好基础，起到了承上启下的作用。

因此，本节的学习有着极其重要的地位。

本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出sin ,[0,2]y x x p =?的图象，考察图象的特点，介绍“五点作图法”。

2.教学重、难点重点：函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质；正弦函数图像的五点作图法。

难点：正弦函数值的几何表示；正弦函数sin y x =图像的画法。

难点突破：在正弦函数定义的基础上，给出正弦函数值的几何表示（正弦线），再运用几何画板软件，带领学生一起直观形象地去探索正弦函数的图像，在清楚了正弦曲线的基本形状基础上，让学生通过练习动手实践掌握正弦曲线的五点作图法。

三、教法分析根据上述学习目标分析和教材分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1.计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人以美的享受。

函数sin()y A x ωϕ=+的图象（教学设计）教学目标：1、理解正弦型函数的定义及其中参数的意义； 2、会采用五点法画正弦函数的图像； 3、掌握函数图像之间的关联。

重点、难点：正弦型函数的图像变换 1．,,A ωϕ的物理意义当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T πω=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ωπ==，称为振动的频率。

x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。

2．图象的变换例 ： 画出函数3sin(2)3y x π=+的简图。

解：函数的周期为22T ππ==，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简函数3sin(2)3y x =+的图象可看作由下面的方法得到的：①sin y x =图象上所有点向左平移3π个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3y x π=+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3y x π=+的图象。

一般地，函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到：①把正弦曲线上所有点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。

即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。

问题：以上步骤能否变换次序？∵3sin(2)3sin 2()36y x x ππ=+=+，所以，函数3sin(2)3y x π=+的图象还可看作由下面的方法得到的：①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到函数sin 2y x =的图象；②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6π个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象；③再把函数sin 2()6y x π=+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2()6y x π=+的图象。

《正弦函数的图像》教学设计教科书在回顾三角函数定义的基础上，利用正弦线画出正弦曲线，其中穿插了从图像变换的观点画函数的图像的内容。

【知识与能力目标】1、利用单位圆中的三角函数线作出() siny x x R =∈的图像，明确图像的形状；2、掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”画简单的正弦曲线。

【过程与方法目标】（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数图像的方法；（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数图像的方法。

【情感态度价值观目标】通过作正弦函数图像，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。

【教学重点】掌握用“五点法”作正弦函数图像的方法。

【教学难点】“五点法”作正弦函数图像。

“五点法”作正弦函数图像。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入。

在4.3中我们借助单位圆学习了正弦函数sin y x =的基本性质，下面我们画正弦函数的图像。

正弦函数的图像(1)“五点法”画图：在精确度要求不太高时，我们可以找出正弦曲线上的五个关键点画出正弦函数在一个周期上的图像。

(2)正弦曲线：将函数[]()sin 0,2y x x π=∈的图像向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数()sin y x x R =∈的图像。

正弦函数的图像叫作正弦曲线。

二、例题解析。

用“五点法”画函数图像。

【例】 画函数[]1sin ,0,2y x x π=-∈的简图。

【解析】①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x0 1 0 －1 0 1sin y x =-1121②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：()()()30,1,,0,,1,,2,2,122ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

③连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，得函数[]1sin ,0,2y x x π=-∈的简图，如图所示。

方法归纳用“五点法”画函数()sin 0y A x b A =+≠在[]0,2π的简图的步骤：①列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x1－1 0yb A ＋b b －A ＋bb②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：()()()30,,,,,,,,2,22b A b b A b b ππππ⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

§5 正弦函数的图像与性质Q 情景引入ing jing yin ru将塑料布扎一个小孔，做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易的单摆，在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，看到纸板上形成一条曲线，本节我们就学习与此曲线有关的正弦函数曲线．X 新知导学in zhi dao xue1．正弦线及五点法 (1)正弦线设任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，我们称__MP __为角α的正弦线．P 叫正弦线的__终点__.(2)五点法用“五点法”作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像的五个点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.它们是正弦曲线与x 轴的交点和函数取最大值、最小值的点．2．正弦函数的图像和性质函数y ＝sin x图像定义域 __R __ 值域__[－1,1]__最值当__x ＝2k π＋π2(k ∈Z )__时，y max ＝1；当__x ＝2k π－π2(k ∈Z )__时，y min ＝－1；周期性 最小正周期为__2π__奇偶性__奇__函数单调性在__[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )__上是增加的在__[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )__上是减少的Y 预习自测u xi zi ce1．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像时，下列哪个点不是关键点( A ) A ．(π6，12)B ．(π2，1)C ．(π，0)D ．(2π，0)2．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图像关于______对称( B ) A ．y 轴 B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x 轴[解析] 在对称轴处y 取得最值，x ＝π2时，sin π2＝1，故选B ．3．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于( A ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±1[解析] 由sin (－x )－|a |＝－sin x ＋|a |，得|a |＝0，故a ＝0.4．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( B ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π5．函数y ＝2＋3sin x 取得最大值时x 的值为__x ＝2k π＋π2，k ∈Z __.[解析] ∵y ＝2＋3sin x ， ∴当sin x ＝1时，y max ＝5，此时x ＝2k π＋π2，k ∈Z .H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨正弦函数的图像典例1 利用“五点法”画函数y ＝－sin x －1(0≤x ≤2π)的图像．[思路分析] 按取值、列表、描点、连线的步骤依次完成即可． [解析] 利用“五点法”作图． 取值列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x －1－1－2－1－1描点连线，如图所示．『规律总结』 “五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分(即取5个点)，分别找到函数图像的最高点、最低点及“平衡点”．因为这五个点大致确定了函数图像的位置与形状，因此就可以迅速地画出函数的简图．画图时，注意曲线要平滑、具有对称美、凹凸方向要正确，即“平衡位置”上方的上凸，“平衡位置”下方的下凸．〔跟踪练习1〕用五点法作出函数y ＝|sin x |在区间[0,2π]上的简图． [解析] 列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝|sin x |11描点：A (0,0)，B (π2，1)，C (π，0)，D (3π2，1)，E (2π，0)．连线成图(如图)．命题方向2 ⇨正弦函数单调性的应用典例2 比较下列各组数的大小：(1)sin 194°与cos 160°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫sin 3π8与sin ⎝⎛⎭⎫cos 3π8. [思路分析] 比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．[解析] (1)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°， 从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. (2)∵cos3π8＝sin π8，∴0<cos 3π8<sin 3π8<1. 而y ＝sin x 在(0,1)内递增， ∴sin ⎝⎛⎭⎫cos 3π8<sin ⎝⎛⎭⎫sin 3π8. 〔跟踪练习2〕下列关系式中正确的是( C ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 168°<sin 11°<cos 10° C ．sin 11°<sin 168°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°[解析] sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为增函数，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C ．命题方向3 ⇨正弦函数的奇偶性典例3 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2sin (x ＋52π)；(2)f (x )＝2sin x －1.(3)f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x ，①x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2； ②x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2. [思路分析] 判断奇偶性，要先看定义域是否关于原点对称，再找f (x )与f (－x )的关系． [解析] (1)因为函数的定义域为R ，关于原点对称， f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋52π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋2π＝2cos x . 显然有f (－x )＝f (x )恒成立，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π2为偶函数． (2)由2sin x －1≥0，即sin x ≥12，得函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )， 定义域不关于原点对称，所以该函数不具有奇偶性，所以f (x )为非奇非偶函数． (3)①f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝(1＋sin x －cos x )(1＋cos x －sin x )(1＋cos x ＋sin x )(1＋cos x －sin x )＝1－(cos x －sin x )2(1＋cos x )2－sin 2x ＝2sin x cos x1＋2cos x ＋cos 2x －sin 2x＝2sin x cos x 2cos x (1＋cos x )＝sin x 1＋cos x，∴f (－x )＝sin (－x )1＋cos (－x )＝－sin x 1＋cos x ＝－f (x )，∴在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，定义域关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )， ∴此函数在(－π2，π2)内是奇函数．②由于x ＝π2时，f (x )＝1，而f ⎝⎛⎭⎫－π2无意义，因此在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上，函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． 『规律总结』 判断函数的奇偶性时，必须先看定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，再验证f (－x )与f (x )的关系．当f (－x )＝f (x )时，f (x )为偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，f (x )为奇函数；当f (－x )不等于f (x )，也不等于－f (x )时，f (x )为非奇非偶函数．即三角函数的性质研究同一般函数性质研究方法相同．〔跟踪练习3〕判断f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋32π的奇偶性． [解析] 函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称， 且f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋32π＝2sin (2x －π2) ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－2cos 2x ， ∴f (－x )＝－2cos (－2x )＝－2cos 2x ， 即f (－x )＝f (x )恒成立，∴函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋32π为偶函数． X 学科核心素养ue ke he xin su yang利用正、余弦函数的图像解三角不等式典例4 画出正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的简图，并根据图像写出y ≥12时x 的集合．[思路分析] (1)作出y ＝sin x ，与y ＝12的图像．(2)确定sin x ＝12的x 值．(3)确定sin x >12的解集．[解析] 用“五点法”作出y ＝sin x 的简图．过(0，12)点作x 轴的平行线，从图像可看出它在[0,2π]区间与正弦曲线交于(π6，12)，(5π6，12)点，在[0,2π]区间内，y ≥12时x 的集合为{x |π6≤x ≤5π6}，当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为{x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }．『规律总结』 1.用三角函数的图像解sin x >a (或cos x >a )的方法 (1)作出直线y ＝a ，作出y ＝sin x (或y ＝cos x )的图像． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．2．利用三角函数线解sin x >a (或cos x >a )的方法(1)找出使sin x ＝a (或cos x ＝a )的两个x 值的终边所在的位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集． 〔跟踪练习4〕求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．[解析] 为使函数有意义，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧ log 21sin x －1≥0，sin x >0，，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0， 由正弦函数的图像或单位圆可得，如图所示．所以函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z }．Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi利用正弦函数、余弦函数图像判断方程根的个数典例5 方程sin x ＝lg x 的实根个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个[错解] A ，如图所示，y ＝sin x 与y ＝lg x 的图像，有且只有1个公共点，故选A ．[错因分析] 作y ＝lg x 图像时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．[思路分析] 画出y ＝sin x 的图像后要充分利用y ＝lg x 过(1,0)点和(10,1)点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键．[正解] C 在同一直角坐标系中作函数y ＝sin x 与y ＝lg x 的图像．由图中可以看出两函数图像有三个交点(x i ，y i )，其中x i ∈(1,10)(i ＝1,2,3)是方程sin x ＝lg x 的解．[点评] 有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图像，利用数形结合求解．〔跟踪练习5〕函数y ＝sin x 与y ＝12x 的图像在(－π2，π2)上的交点有( D )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．函数y ＝－sin (x ＋π2)，x ∈[－π2，3π2]的简图是( C )[解析] 用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin π2＝－1，所以选C ．2．函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 的图像关于( A ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称[解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝sin x 与函数y ＝－sin x 的图像，可知它们关于x 轴对称．3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝－12的交点有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] 如图所示，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝－12的图像有2个交点．4．用“五点法”作出下列函数的简图： y ＝－sin x (0≤x ≤2π)． [解析] 列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x－11描点作图，如图.。

【北师大版】高中数学必修四 正弦函数的图像教学设计 教学设计一、教材分析《正弦函数的图像与性质》是数学必修四（北师大版）第一章三角函数第五节部分内容，其主要内容是正弦函数的图像与性质。

过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学过三角函数线，在此基础上来学习正弦函数的图像与性质，为今后余弦函数、正切函数的图像与性质、函数的图像的研究打好基础。

因此，本节的学习有着极其重要的地位。

本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出x y sin =，[]π2,0∈x 的图像，考察图像的特点，介绍“五点作图法”，再利用图像研究正弦函数的主要性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性） 二、设计思想 教法分析（1）教学模式：建构式教学法本节课应用这种教学模式的具体操作程序是：创设问题情景——小组协作探索——猜想尝试整理——动手画图验证——知识巩固应用——方法归纳整合。

这种教学模式的特点是：学生在一定的情境背景（已具备函数基础知识和三角函数线知识）下，借助老师和学习伙伴的帮助，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的（即在学习过程中帮助学生很好地掌握正弦函数的图像的画法，并对与正弦函数有关的图像平移变换和对称变换达到较深刻的理解）。

（2）教学手段：利用计算机多媒体辅助教学为了给学生认识理解“正弦函数的图像”提供更加形像、直观、清晰的材料，我准备利用电脑动画模拟演示利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像的过程。

运用多媒体教学手段使问题变得形像直观，易于突破难点，借以帮助学生完成对所学知识的过程建构 学法分析引导学生认真观察“正弦函数的几何作图法”教学课件的演示，指导学生进行分组讨论交流，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成，注意面向全体学生，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

《正弦函数的图像》
教科书在回顾三角函数定义的基础上，利用正弦线画出正弦曲线，其中穿插了从图像变换的观点画函数的图像的内容。

【知识与能力目标】
1、利用单位圆中的三角函数线作出(
)sin y x x R =
∈的图像，明确图像的形状； 2、掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”画简单的正弦曲线。

【过程与方法目标】
（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数图像的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数图像的方法。

【情感态度价值观目标】
通过作正弦函数图像，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神。

【教学重点】
掌握用“五点法”作正弦函数图像的方法。

【教学难点】
“五点法”作正弦函数图像。

“五点法”作正弦函数图像。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入。

在4.3中我们借助单位圆学习了正弦函数sin y x =的基本性质，下面我们画正弦函数的图像。

正弦函数的图像
(1)“五点法”画图：在精确度要求不太高时，我们可以找出正弦曲线上的五个关键点画出正弦函数在一个周期上的图像。

(2)正弦曲线：将函数[]()
sin 0,2y x x π=∈的图像向左、向右平行移动(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数()sin y x x R =∈的图像。

正弦函数的图像叫作正弦曲线。

二、例题解析。

用“五点法”画函数图像。

【例】 画函数[]1sin ,0,2y x x π=-∈的简图。

§5.2正弦函数y＝sinx的图像一、教学目标：1、知识与技能：（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

2、过程与方法：初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重、难点重点:1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。

2.正弦函数图像的画法。

难点:1.正弦函数值的几何表示。

2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。

三、学法与教法在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。

教法: 探究讨论法。

四、教学过程【创设情境，揭示课题】三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。

今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。