贵州省贵大附中2011届数学复习教学案：平面向量的数量积及运算律(2) doc

§5.10 平面向量的数量积及运算律（二）教学目标：1．进一步掌握平面向量数量积的定义及性质；2．掌握向量数量积的运算律及向量的混合运算；3．会利用向量的数量积的性质求向量的长度及夹角；4．会运用平行，垂直的充要条件及数形结合的思想解决有关三角形和平行四边形中的某些问题．教学重点：如何求向量的模与夹角，垂直的充要条件的应用．教学难点：综合问题的解决．教学过程知识平台1．认真学习向量数量积的运算律，主要是数量积及运算律的应用，主要解决与长度、角度和垂直有关的问题；2．向量数量积的运算律：交换律和分配律．情景平台1．给出以下五个命题：①若a≠0且a·b=0，则b=0②若a≠0且a·b=a·c，则b=c③若a2=b2，则a=b或a=-b④(a·b)·c=a·(b·c)⑤若|a·b|=|a||b|，则a∥b其中正确命题的序号是．2．已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120o，求：（1）a·b（2）(a+b)2（3）a2-b2（4）(2a-b)·(a+3b) （5）|a+b| （6）|a-b|【小结】1°向量数量积的运算律：分配律、交换律；注：不满足消去律、结合律．2°在进行向量运算时，应注意向量运算与实数运算的联系与区别，不要把实数的运算性质随意地推广到向量运算上；3°向量模的计算方法：|a能力平台3．如果a 、b 是两个不共线的向量，根据向量加减法法则，说明|a -b |及|a +b |的几何意义．4．若非零向量a 与b 满足|a -b |=|a +b |，则a ·b = ．5．设|m |=2，|n |=1，⊥m n ，若a =4m -n ，b =m +2n ，c =2m -3n ，求a 2+3(a ·b )-2(b ·c )+1．6．已知a ，b 是非零向量，a +3b 与7a -5b 垂直，a -4b 与7a -2b 垂直， 求a 与b 的夹角θ．【小结】1°对公式的灵活运用；2°夹角的计算方法：cos θ=g g a b a b； 3°垂直的充要条件⊥⇔=0g a b a b (,)≠0a b作业：教材P 121习题5.6 T6，T7，T8后记:。

课 题：实数与向量的积（2）教学目的：1了解平面向量基本定理；2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =013．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa +λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e作法：（1）取点O ，作=-251e =32e（2）作 OACB ，OC 即为所求-251e +32e 例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，和MD解：在 ABCD 中 ， ∵AC =+=a +b ，=-=a -b ∴=-21=-21(a +b )=-21a -21b ，=21=21(a -b )=21a -21b =21=21a +21b =-=-21=-21a +21b 例3已知ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：+++=4证明：∵E 是对角线AC 和BD 的交点∴AE ==- ,BE =ED =-DE在△OAE 中，OA +AE =OE同理 OB +=OE ， OC +CE =OE ，OD +=OE以上各式相加，得 OA +OB +OC +OD =4OE例4如图，OA ，OB 不共线，=t (t ∈R)用OA ,OB 表示OP解：∵=t ∴=+=+ t =OA + t(OB -OA )=OA + t OB -t OA =(1-t) OA + t OB四、课堂练习：1设e 1、e 2是同一平面内的两个向量,则有A e 1、e 2一定平行B e 1、e 2的模相等C 同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D 若e 1、e 2不共线,则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )2已知矢量a =e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,其中e 1、e 2不共线,则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A 不共线B 共线C 相等D 无法确定3已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于A3 B -3 C0 D24若a 、b 不共线,且λa +μb =0(λ,μ∈R )则λ= ,μ=5已知a 、b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),若c 与b 共线,则λ1=6已知λ1＞0,λ2＞0,e 1、e 2是一组基底,且a =λ1e 1+λ2e 2,则a 与e 1_____,a 与e 2_________(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线 不共线五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝ａ，AD ＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与 分析：以ａ，ｂ为基底分解与，实为用ａ与ｂ表示向量与解：由H 、M 、F 所在位置有：=+=+21DC =+21=ｂ＋21ａ， ＝－＝＋－ ＝＋2131-＝＋31－21＝ａ－61ｂ 2．如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求与分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ AB AP =＝ｔ，转化向量的关系为：＝ｔ，AQ ＝ｔAC ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：∵PQ ∥BC ，且BC PQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BC PQ ），即AC AQ AB AP =＝ｔ． 转化为向量的关系有：＝ｔ，＝ｔ， 又由于：AP ＝－，AQ ＝OQ －，＝－，＝－ ∴＝＋＝＋ｔ（－）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋ｔ（OC －OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс七、板书设计（略）八、课后记：1注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC 分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：AM ＝21AB ，＝21然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即＝－AM ＝21－21AB ＝21（－AB ）＝21 最后又将向量语言MN ＝21BC 翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC 2向量法应用例2已知平行四边形ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点，∴＝21DC ，＝21， 由向量加法法则可知： AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21DC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋21BA ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴＝－，＝－， ∴AE ＝－CB －21BA ＝－（CB ＋21BA ）＝－CF ∴∥CF ，∴AE ∥CF强化训练：1下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2(3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2 (e 1、e 2不共线)A (2)(3)B (2)(3)(4)C (1)(3)(4)D (1)(2)(3)(4) 2设一直线上三点A 、B 、P 满足=λ(λ≠±1),O 是空间一点,则用 、表示式为（ ）A =+λB =λ+(1-λ)C OP =λλ++1 D λλ-+=111 3若a 、b 是不共线的两向量,且=λ1a +b , =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A λ1=λ2=-1B λ1=λ2=1C λ1λ2+1=0D λ1λ2-1=04若a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是5已知两向量e 1、e 2不共线,a =2e 1+e 2,b=3e 1-2λe 2,若a 与b 共线,则实数λ=6设平面内有四边形ABCD 和点O , OA =a , OB =b , OC =c ,=d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是7设、不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且=(1-t ) +t (t ∈R ),求证A 、B 、P 三点共线8当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件9已知向量a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?参考答案：1A 2C 3D 4-181b +277 c 5- 41 6平行四边形 7 (略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d 与c 共线。

平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。

《平面向量数量积》教案一、教学目标知识与技能目标：使学生理解平面向量数量积的概念，掌握平面向量数量积的计算公式及性质，能够运用数量积解决一些几何问题。

过程与方法目标：通过探究平面向量数量积的概念和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。

情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在现实生活中的应用价值。

二、教学重点与难点重点：平面向量数量积的概念，计算公式及性质。

难点：平面向量数量积的运算规律及其在几何中的应用。

三、教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法，引导学生主动探究，发现平面向量数量积的规律，提高学生解决问题的能力。

四、教学准备教师准备PPT，涵盖平面向量数量积的概念、计算公式、性质及应用实例。

学生准备笔记本，以便记录学习过程中的疑问和感悟。

五、教学过程1. 导入新课教师通过展示一个实际问题，引导学生思考平面向量数量积的定义和作用。

2. 探究平面向量数量积的概念（1）教师引导学生根据定义，探究平面向量数量积的计算公式。

（2）学生通过实例，理解并掌握平面向量数量积的计算方法。

3. 学习平面向量数量积的性质（1）教师引导学生总结平面向量数量积的性质。

（2）学生通过练习，巩固对平面向量数量积性质的理解。

4. 应用平面向量数量积解决几何问题教师展示几个应用实例，引导学生运用平面向量数量积解决几何问题。

学生分组讨论，合作解决问题，分享解题过程和心得。

5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，强调平面向量数量积的概念、计算公式及性质。

学生整理学习笔记，反思自己在学习过程中的收获和不足。

6. 布置作业教师布置一些有关平面向量数量积的练习题，巩固所学知识。

学生认真完成作业，巩固课堂所学内容。

七、教学反思教师在课后对自己的教学过程进行反思，分析教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

学生反思自己的学习过程，总结经验教训，提高学习效果。

八、教学评价教师通过课堂表现、作业完成情况和课后练习成绩，全面评价学生对平面向量数量积的掌握程度。