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高一数学每日一题

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每日一题
【例1】 （2018.05.29）设 O 是 △ ABC 的外心， a、b、c 分别为 △ ABC 的内角 A、B、C 的对边，满足 b 2 − 2b + c 2 = 0 ，则 BC AO 的取值范围是__________ 1 【解析】 [− , 2) 4 2 2 1 1 1 2 2 由 BC AO = AC − AB AO = AC AO − AB AO = AC − AB = ( b − c ) 2 2 2
2−3 2 0 , A． 4 【解析】 C．
2 − 3 2 1 , − B． 2 4
1 9 C． − , − 16 2
9 2−3 2 D． − , 4 16
2 −1 1 由题意，画出 f ( x) 图象，由 f ( x1 ) = f ( x2 ) ，可得出 x1 ， 则 2 2
2
10 17 【例2】 （2018.05.30） 若使得 10−10 成立的最小整数 n = 44 ， 则使得 104 的最小整数 m = 17 10 ____________ 【解析】 18
10 10 由 10−10 n lg −10 n − n lg17 −10 n lg17 n + 10 的最小正整数为 44， 17 17 令 f ( x) = lg17 x ， g ( x) = x + 10 ，即 f ( x) g ( x) 的最小正整数解为 44
【例3】 （2018.05.31）定义在 R 上的函数 f ( x) 具有下列性质： （1） f ( x + 1) = f (1 − x) ； （2） f ( x + 2) = f ( x − 2) ； （3）当 1 x1 x2 3 时， f ( x1 ) − f ( x2 ) ( x1 − x2 ) 0 ，则（ ）
f ( n) = n 2 + n + 60 (n + 1)2 − (n + 1) + 60 60 = = (n + 1) + −1 n +1 n +1 n +1
当且仅当 n + 1 = 60 时，取得最小值，但 n N + ，且 7 60 8 则 f (6) =
102 29 29 ， f (7) = ， f (7) f (6) ，则最小值 7 2 2
【例8】 （2018.06.05） 设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和， 已知 a1 = 2 ， 对任意 p、q N + ， 都有 a p + q = a p + aq ， S + 60 (n N + ) 的最小值是__________ 则 f ( n) = n n +1 29 【解析】 2 令 p = n , q = 1 ，则 an +1 = an + a1 an +1 = an + 2 ，则 {an } 等差数列， an = 2n ， Sn = n 2 + n
2 − 16 2 由题意， f ( x) 是周期为 4 的函数，则 f ( )= f( ) 2 2 又 f ( x) 关于 x = 1 对称，且在 x [1 , 3] 上单调递增，所以 f ( x) 在 x [0 , 1] 单调递减 2 2 2 2 因为 ，则 1 cos cos = = sin sin 0 3 4 3 4 3 4 3 2 2 2 2 2 − 16 2 则 f (cos ) f ( ) f (sin ) ，即 f (cos ) f ( ) f (sin ) 3 2 3 3 2 3
1 1 1 1 1 9 x1 f ( x2 ) − f ( x2 ) = x1 f ( x1 ) − f ( x1 ) = x1 ( x1 + ) − ( x1 + ) = x12 − x1 − = x1 − − ， 2 2 2 2 4 16
2
因为
1 9 2 −1 1 x1 ，则 x1 f ( x2 ) − f ( x2 ) − , − ，选 C 2 16 2 2
1 因为 u = cos x 在 x , 时为减函数，此时 u 0 , ，因为复合函数 f ( x) 单调递减，根 2 3 2 1 据同增异减，则只需 y = −2u 2 + au + 1 在 u 0 , 单调递增即可 2 a a 1 因为 y = −2u 2 + au + 1 在 u − , 单调递增，则只需 a 2 即可 4 4 2 所以当 a [2 , + ) 时， f ( x) 在区间 , 上是减函数 3 2
【例9】 （2018.06.06）已知数列 {bn } 是首项为 −34 ，公差为 1 的等差数列，数列 {an } 满足
b an +1 − an = 2n (n N + ) ，且 a1 = b37 ，则数列 n 的最大值是_________ an
【解析】 2−36 由题意 bn = n − 35 ， a1 = b37 = 2 ，累加法，求得 an = 2n ，则
y
1 2 2
x O
2 x1 2 1 x2 1
【例6】 （2018.06.03）若函数 f ( x) = 2sin 2 x + a cos x − 1 在区间 , 上是减函数，则实数 a 的取值 3 2 ___________ 范围是 【解析】 [2 , + )
f ( x) = 2(1 − cos 2 x) + a cos x − 1 = −2cos 2 x + a cos x + 1 令 u = cos x ； y = −2u 2 + au + 1
【例4】 （2018.06.01）已知 a、b 为异面直线， a ⊥ 平面 ， b ⊥ 平面 ，直线 l 满足 l ⊥ a , l ⊥ b ， l , l ，则（ ） A． 且 l B． ⊥ 且 l ⊥ C． 与 相交，且交线垂直于 l D． 与 相交，且交线平行于 l 【解析】 D． 若 ，由 a ⊥ , b ⊥ a b 与题目中 a、b 为异面直线矛盾，所以令
2k − 1 k a1 + (k − 1)d = a1q (k − 1)d = a1 (q − 1) = q +1 q = 2 2 k −1 k −1 a1 + (2k − 1)d = a1q (2k − 1)d = a1 (q − 1)
则 kq =
1 1 = 4 k2 = 1 1 1 1 2 1 − −( − ) + k −1 k k2 k 2 4
n
n
m
17 17 由求 104 m lg 4 m lg17 − m 4 m lg17 m + 4 的最小正整数解， 10 10 令 f ( x) = lg17 x ， h( x) = x + 4 ，即求 f ( x) g ( x) 的最小正整数解，由图象可知
2 2Sn = an +1 − an +1 2 2 2 2 n2, 2an = an +1 − an +1 − an + an an + an +1 = an +1 − an = (an +1 + an )(an +1 − an ) 2 2Sn −1 = an − an 则 an + an +1 = 0 或 an +1 − an = 1
=m
如图，将 b 平移到 b´与 a 相交，因为 l ⊥ a , l ⊥ b´，则 l 垂直于 a 与 b´所在的平面 由 a ⊥ , m a ⊥ m ； b ⊥ , m b ⊥ m ，则 b´ ⊥ m ，则 m 垂直于 a 与 b´所在的平 面，则 m l ，选
专题·每日一题·解析版
3
【例7】 （2018.06.04）已知数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列，若 a1 , ak , a2 k (k 2) 是公比为 q 的等 比数列，则 k q 的最小值为________ 【解析】 4． 思路： ak = a1 + (k − 1)d , a2 k = a1 + (2k − 1)d ，由等比数列可得
C y g(x)=x+10
m
f(x)=lg17•x h(x)=x+4 D
x A B O Em Fn
△BOD △ AOC ，可得
OD OB 4 2 OE OD 2 = = = ，由 △ODE △OCF ，可得 = = OC OA 10 5 OF OC 5
专题·每日一题·解析版
1
2 2 即 OE = OF ，即 xD = xC ，又 43 xc 44 ，则 17.2 xD 17.6 ，所以 f ( x) h( x) 的最小正 5 5 整数为 18
n − 35 2n 由题意 n − 35 2n
bn n − 35 = an 2n
n − 34 2n +1 36 n 37 ，则数列 36 或 37 项最大，为 2−36 n − 36 2n −14源自专题·一次课突破函数·解析版
2 a = a9 ，则所有满足条件 【例10】 （2018.06.07）已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ， 2Sn = an +1 − an +1 ，且 2 的数列中， a1 最大的是（ ） A． 3 B． 6 C． 9 D． 12 【解析】 B．
(
)
又 b2 − 2b + c 2 = 0 b 2 − 2b = −c 2 ，代入可得 BC AO = 因为 b 0 且 b2 − 2b = −c 2 0 ，得 0 b 2 1 则 BC AO [− , 2) 4

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高一数学每日一题

高一数学每日一题

3.在等差数列{a n}中，(1)已知a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.明理由．6．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．9．已知各项均为正数的数列{a n}满足a2n＋1－a n＋1a n－2a2n＝0(n∈N*)，且a3＋2是a2、a4的等差中项，求{a n}的通项公式．(2)求数列{a n}的前n项和S n.12．若S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列S1，S2，S4的公比；(2)若S2＝4，求{a n}的通项公式．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，a2＝6，S n＝3S n－1－2S n－2＋15．设一元二次方程a n x2－a n＋1x＋1＝0(n∈N*)有两个根x1，x2，满足6x1－2x1x2＋6x2＝3，且a1＝7 6 .(1)用a n表示a n＋1；(2)求{a n}的通项公式；(3)求{a n}的前n项之和S n.每日一练答案1[解](1)数列{b n}构成等差数列．证明如下：∵b n＝1a n－a，∴b n＋1＝1a n＋1－a，∴a n＝1b n＋a，a n＋1＝1b n＋1＋a，∴1b n＋1＋a＝2a－a21b n＋a，即1b n＋1＝a－a2b n1＋ab n＝a1＋ab n. ∴b n＋1＝b n＋1a，即b n＋1－b n＝1a，3[解]根据已知条件a2＋a3＋a10＋a11＝48，得2(a6＋a7)＝48，∴a6＋a7＝24.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，得a2＋a5＝17.5[解] a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)] ＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式， ∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104.由a n ＝－3n ＋104≥0得n ≤34.7， 即当n ≤34时，a n >0，当n ≥35时，a n <0.n n －2·4＝3＝153＋c，∵{7[解] (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ， ∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >013a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >03＋d <0，∴－247<d <－3.(2)∵S 12>0，S 13<0，＝1n－n＋＝121 3)＋(13－15)＋…＋(12n－∴S n＝20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1.①12[解](1)设数列{a n}的公差为d，由题意，得S22＝S1·S4，所以(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)．(2)因为S2＝4，d＝2a1，S2＝2a1＋2a1＝4a1，所以a1＝1，d＝2.因此a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1.则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ①－②可得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1(1－n )－2， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2，＝(2n －3)2n ＋3.15[解] (1)由x 1，x 2是方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0的两个根，得x 1＋x 2＝a n ＋1a n ，x 1x 2＝1a n ，∵6(x 1＋x 2)－2x 1x 2＝3，∴6×a n ＋1a n －2×1a n ＝3.即a n ＋1＝12a n ＋13. (2)由a n ＋1＝12a n ＋13，得a n ＋1－23＝12(a n －23)，则{a n －23}是以a 1－23＝12为首项，公比为12的等比数列，a n －23＝(12)n ，∴a n ＝(12)n ＋23(n ∈N *)．(3)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝[(12)1＋23]＋[(12)2＋23]＋…＋[(12)n ＋23]＝1－12n ＋23n .。

高一数学每日一题

高一数学每日一题

高一数学每日一题1、设集合{|0},{|03}1x Ax B x x x =<=<<-，那么“m A∈”是“m B ∈”的（ ）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件2、2{|20},{|0}2x M x x x N x x =-≤=≤-，则“x M ∈”是“x N∈”的（）.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3、若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是 ( ).A 14,,43⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； .B 14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦； .C 13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦； .D 以上结论都不对.4、“0ab >>”是“222a b a b+≤”的（ ）.A 必要不充分条件.B 充分不必要条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件5、集合{}12+==xy y A，集合{}1),(2+==xy y x B BA ,(中),R y R x ∈∈。

选项中元素与集合的关系都正确的是,2.A A ∈且B∈2AB ∈)2,1.(,且B∈)2,1(AC ∈2.,且B ∈)10,3(AD ∈)10,3.(,且B ∈26、已知集合{}|35=-<Mx x ≤，{}|55=<->N x x x 或，则=M N （ ） {}.|53A x x x <->-或{}.|55B x x -<<{}.|35C x x -<<{}.|35D x x x <->或7、集合{|03}A x x x N =≤<∈且的真子集个数是（ ）. A .16个B .8个C.7个D.4个8、下列选项中的M 与P 表示同一集合的是（ ） A {}001.02=+∈=x R x M ，{}2==xx PB {}Rx xy y x M∈+==,1),(2,{}Ry yx y x P ∈+==,1),(2C {}Rx xy y M∈+==,22,(){}Rx x y y P ∈+-==,212D {}Z k k x x M∈==,2,{}Z k k x x P ∈+==,249、设集合{}1345A=，，，，{}234B=，，，{}12C =，，则集合()A B C 等于（ ）{}.2A{}.12B ，{}.1234C ，，，{}.12345D ，，，，10、若集合{}0123A=，，，，{}124B=，，，则集合A B =（ ） {}.01234A ，，，，{}.1234B ，，，{}.12C ，{}.0D11、若{}Z n n x x A∈+==,14，{}Z n n x x B ∈-==,34，{}Z n n x x C ∈+==,18，则CB A ,,之间的关系是（）。

高一数学习题每日练

高一数学习题每日练

3.1 弧度制及任意角的三角函数P17.8. 若β的终边所在直线经过点P （cos 43π,sin 43π),则sin β= ,tan β= . P18.9 函数y=x sin +x cos -的定义域是 。

10.设θ为第三象限角，试判断2cos 2sinθθ的符号。

11.扇形AOB 的周长为8cm. (1)若这个扇形的面积为3cm 2,求圆心角的大小； （2）.求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB 。

3.2 同角三角函数及诱导公式P19.9.已知cos(125π+α)=31,且-π<α<-2π，则cos(12π-α)= . P20.10.已知sin(3π+θ)=31,求]1-)-(cos [cos )(cos θπθθπ++)23(sin -)-(cos )23-(sin )2-(cos θππθπθπθ+的值。

11.已知tan α=2,求下列各式的值。

（1） ααααsin 3cos 5cos 2-sin 4+； （2） 2sin 2α+3sin αcos α-5cos α.6.1 不等关系与不等式P43. 6.若角α、β满足-2π<α<β<2π，则2α-β的取值范围是 。

7.给出下列条件：①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中，能推出log b b 1<l log a b 1<log a b 成立的条件的序号是 。

（填所有可能的条件的序号）。

11.设x<y<0,试比较（x 2+y 2)(x+y)与（x 2-y 2)(x+y)的大小；6.2 一元二次不等式及其解法P45.7. 不等式232-2++x x x >0的解集是 。

10.解不等式：log 21(3x 2-2x-5)≤log 21(4x 2+x-5).11.当a 为何值时，不等式（a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集是全体实数？12.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件，若售价降低x 成（1成=10％），售出商品数量就增加58x 成。

高中数学每日试题及答案

高中数学每日试题及答案

高中数学每日试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列函数中，哪一个不是一次函数？A. y = 2x + 3B. y = 3x^2 - 1C. y = 4x - 5D. y = -x2. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，根据勾股定理，这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. -4C. 4D. 无法确定5. 若sinθ = 1/√2，且θ在第一象限，那么cosθ的值是：A. 1/√2B. √3/2C. -1/√2D. -√3/2二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第5项a5的值是_________。

7. 函数y = log2(x)的定义域是_________。

8. 已知圆的半径为5，圆心到直线x + y - 7 = 0的距离是4，求圆与直线的位置关系是_________。

9. 已知正方体的棱长为a，求正方体的表面积S的公式是_________。

10. 若cosα = 1/3，且α在第一象限，求sinα的值是_________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

12. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，求直线AB的斜率k。

13. 证明：若a、b、c是正数，且a + b + c = 1，求证：1/a + 1/b + 1/c ≥ 9。

14. 已知函数f(x) = 3x - 2，求f(x)的反函数。

四、综合题（每题10分，共10分）15. 某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，售价为40元。