2.4_一元线性回归分析的应用：_...

C=α+βy + µ
其中， µ是随机误差项。 是随机误差项。 其中， 是随机误差项 根据该方程， 的值， 根据该方程，每给定一个收入 y 的值，消 并不是唯一确定的， 费C并不是唯一确定的，而是有许多值， 并不是唯一确定的 而是有许多值， 他们的概率分布与µ的概率分布相同 的概率分布相同。 他们的概率分布与 的概率分布相同。 线性回归模型的特征： 线性回归模型的特征： 有随机误差项！ 有随机误差项！
21
说
明
一、严格地说，只有通过了线性关系的检验，才 严格地说，只有通过了线性关系的检验， 能进行回归参数显著性的检验。 能进行回归参数显著性的检验。 有些教科书在介绍回归参数的检验时没有考虑线 性关系的检验，这是不正确的。 性关系的检验，这是不正确的。因为当变量之间 的关系没有通过线性检验时， 的关系没有通过线性检验时，进行回归参数显著 性的检验是没有意义的。 性的检验是没有意义的。 在一元线性回归分析中， 二、在一元线性回归分析中，即只有一个解释变 量时，这两种检验是统一的。 量时，这两种检验是统一的。但在多元回归分析 这两种检验的意义是不同的。 中，这两种检验的意义是不同的。 为了说明该问题， 为了说明该问题，我们在本章中依然把两种检验 分开论述。 分开论述。
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为了达到上述目的， 为了达到上述目的，我们直观上会采 用以下准则： 用以下准则： 选择这样的SRF，使得： 选择这样的 ，使得：
残差和∑ ε i = ∑ ( yi − yi )尽可能小！ ˆ
但这个直观上的准则是否是一个很好 的准则呢？我们通过以下图示说明： 的准则呢？我们通过以下图示说明：
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12
ˆx i + ε i yi = α + β ˆ ˆ 即：y i = y i + ε i ˆ ∴ ε i = yi − yi

1122 1298 1496 1716 1969 1155 1331 1562 1749 2013
2244 2585 2299 2640
1188 1364 1573 1771 2035 2310
1210 1408 1606 1804 2101
1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200
–“衍生的随机误差”包含上述所有内容，并不一定 服从极限法则，不一定满足基本假设。
–在§9.3中将进一步讨论。
四、样本回归函数 Sample Regression Function, SRF
1、样本回归函数
• 问题：能否从一次抽样中获得总体的近似信息？ 如果可以，如பைடு நூலகம்从抽样中获得总体的近似信息？
• 随机误差项主要包括下列因素：
–在解释变量中被忽略的因素的影响；
• 影响不显著的因素 • 未知的影响因素 • 无法获得数据的因素
–变量观测值的观测误差的影响；
–模型关系的设定误差的影响；
–其它随机因素的影响。
• 关于随机项的说明：
–将随机项区分为“源生的随机扰动”和“衍生的随 机误差”。
–“源生的随机扰动”仅包含无数对被解释变量影响 不显著的因素的影响，服从极限法则（大数定律和 中心极限定理），满足基本假设。
• 关于变量的术语
– Explained Variable ~ Explanatory Variable – Dependent Variable ~ Independent Variable – Endogenous Variable ~ Exogenous Variable – Response Variable ~ Control Variable – Predicted Variable ~ Predictor Variable – Regressand ~ Regressor

由题意知lg lg
ห้องสมุดไป่ตู้
300＝klg 200＝klg
300＋b 2 000＋b，
解得k＝－14 b＝285，
所以 lg f＝－14lg W＋285，
25
1
所以f关于W的函数解析式为f＝10 8 W 4 .
03 残差平方和与决定系数R2
问题3 例2中给出了两个模型，那么如何比较这两个模型的拟合效果？ 提示 残差平方和、决定系数.
(2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产 生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的 影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2， 且 I11＋I42＝1010.已知点P的声音能量等于声音 能量I1与I2之和，请根据(1)中的经验回归方 程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并 说明理由.
点P的声音能量I＝I1＋I2， ∵I11＋I42＝1010， ∴I＝I1＋I2＝10－10·I11＋I42(I1＋I2)＝10－10· 5＋II21＋4II21≥9×10－10(当且仅当II21＝4II21，即 I2＝2I1 时等号成立)， 根据(1)中的经验回归方程，点 P 的声音强度 D 的最小预测值为D^ ＝ 10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
量 I 的经验回归方程D^ ＝a^ ＋b^ ·lg I；
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v^ ＝
n
ui－ u vi－ v
i＝1
α^ ＋β^ u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^ ＝
，α^ ＝ v
n
ui－ u 2
i＝1
－β^ ·u .
由Wi＝lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，

1




p

e1
e

e2


en
1 x11

X

1
x12

1 x1n
xp1
xp2

xpn
• 我们得到的是一组实测p个变量的样本，利用这 组样本（n次抽样）对上述回归模型进行估计， 得到的估计方程为多元线性回归方程，记为:
nb0

b
n i 1
xi

n i 1
yi

n
n
n

b0
i 1
xi
b
i 1
xi 2

i 1
xi
yi

（3）
（3）式称为求回归系数的标准方程组。
回归系数也可直接表示为：
b0 y bx

n

b


xi yi nxy
气温T 0.9 1.2 2.2 2.4 -0.5 2.5 -1.1 0 6.2 2.7 3.2 -1.1 2.5 1.2 1.8 0.6 2.4 2.5 1.2 -0.8
环流指标 32 25 20 26 27 24 28 24 15 16 24 30 22 30 24 33 26 20 32 35
气温T
• 方差分析表明，预报量y的变化可以看成由 前期因子x的变化所引起的，同时加上随机 因素e变化的影响，这种前期因子x的变化影 响可以用回归方差的大小来衡量。如果回 归方差大，表明用线性关系解释y与x的关系 比较符合实际情况，回归模型比较好。
(4)式两边同时乘以n变成各变量离差平方和的关系。