2018届二轮(理科数学)小题提速练(5)专题卷(全国通用)

小题提速练（二）（满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分）、选择题（本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2设集合 A= {x |x — 4x + 3 w 0}, B =欣n选 C.由 2k n — n W2x — y w 2k n , k € Z ,得 33w x w k n+nn , k €乙，贝y An B =()A . [1,2]B . (1,2] C. [1,3]D. (1,3]解析：选B.解不等式x 2 — 4x + 3< 0, 1w x w 3,.・.A = [1,3],1解不等式L! > 1，得1< xx ——Iw 2,「. B = (1,2] ,••• A n B = (1,2].1 + 2i2 .复数厂-的共轭复数为（1 — i 1 3 A .— 2+ 2i B .1 3.2 — 2iC. — 1 + 3iD.—1 — 3i3. i 2解析：选B.「节彳 1+11—1 1+11 —2 + 3i 13 2 =— 2+ 2i .•的共轭复数为—27t 3 .函数 f (x ) = cos |2x — — 3, x € ［0 , n ］的单调递增区间是（A j O ,B.2nC. |0,72 T ，nD.解析:x ,使cos x € 2 , -2的概率为（）•函数 f (x ) = cos 2x — nn , x € [0 , 7t2n n ］的单调递增区间是 0, J ,3 ,7t1 B . 41C.3n3 61w x W 牙，•所求概率P =3x 的焦点重合，则此双曲线的方程为 (1的一条渐近线方程为y = 1x ，- a 2又•••抛物线y 2= 8 5x 的焦点为(2 5, 0) ,••• c = 2 5, a = 4, b = 2,二此双曲线的方程为 代6 .一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为解析：选A. •/ y = cos x 是偶函数，.••只研究［0 ,n ］上的情况即可，解1 < cos x w 5•已知双曲线的中心在原点，一条渐近线方程为1y = 2x ，且它的一个焦点与抛物线y 2= 8 5A.64_16 = 1B . 642x =116 D.解析：选C.由已知，双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为 x y孑—氏=1(a >0, b >0),•••双曲线14代亍C. 6B . D.19解析：选D.根据三视图可知，几何体是由棱长为 2的正方体切去两个三棱锥得到的几何体,如图所示，.••该几何体的体积为19132a n ,且 a 1, a 4035 是函数 f (x ) = -x — 4x + 6x — 6的极值点,3则log 2a 2 018的值是（ ）A . 2A.—解析: …cos …cos 7 .右 2cosB.选D.37t=2cos 21 9,\= cos J n —2 n=—cos — 2 a31 9'8.执行如图所示的程序框图,B. §1310 C 不D.12 131 21 —3> 3） ,•••执行程序框图，输出的结果是数列1S = 0 + 21，若n = 11，则输出的S = 0 + 2B . 39 .数列｛ a n ｝中，满足 a n +2 = 2a n + 1C. 4D. 5解析：选A.根据题意，可知a n+2-a n+1 = a n+1 —a n,即数列｛a n｝是等差数列.又f'(x) = X2—8x + 6，所以a i+ a4 035 = 8= 2a2 018，所以log 2比018 = log 24 = 2.10. 如图为2016年春节文艺晚会初审中五名评委对甲、乙两个节目的综合评分，其中a>0,1 9b>0,已知甲、乙两个节目的平均得分之和为179，则a+b的最小值为()FI3乙9 88 3 3 72 n 09b 9A.1B.2C.4 D.8解析：选C.甲的得分分别为88,89,90,90 + a, 92乙的得分分别为83,83,87,90 + b, 991 1由题意得-[88 + 89 + 90 + 90 + a+ 92] + [83 + 83 + 87 + 90 + b+ 99] = 179.5 5解得a+ b=4,^19 19 a+ b 1 9 b 9a 5 b 9a 5 b 9a 5 3 ”故一 + = | + ~ X =；+：+〒+ =；+〒+ 》：+ 2 / X =~ + 2X = = 4,当且仅a b a b 4 4 4 4a 4b 2 4a 4b 2 4a 4b 2 4 J当厂=JZ, 即卩3a= b= 3时，等号成立，4a 4ba b11. 已知向量a, b 满足a ・（a+ 2b）= 0, | a| = | b| = 1,且|c —a—2b| = 1,则|c| 的最大值为（）A. 2B. 4C. 5 + 1D. 3 + 1解析：解法一：选 D.因为a・（a+ 2b）= 0，所以2a • b=—| a|2，又| a| = | b| = 1,所以| a +2b| = , |a|2+ 4| b|2+ 4a -b= .4| b|2—| a| 2= .3，所以| c| ma<= | O B + 1 = | a+ 2b| + 1=. 3 + 1.解法二：如图，连接AB设a = OA a+ 2b= O B c = O C且设点A在x轴上，则点B在y轴上，由| c—a—2b| = 1,可知|c—（a+2b）| = | OC- OB = | BC| = 1,所以点C在以B 为圆心，1 为半径的圆上.3 9所以-+的最小值为4.因为 0B= O A^AB= a + 2b,所以 AB= 2b .因为 | a | = | b | = 1，所以 | AB = 2, | OA = 1，所以 | OB = \ | AB 2— | OA 2 = 3,所以 I c | ma<= | OB + 1 = \: 3 + 1. 12.对于函数 f (x )和 g (x )，设 a € {x | f (x ) = 0}, b €{x | g (x ) = 0}，若存在 a , b 使得 | a — b | w 1,则称f (x )与g (x )互为"零点相邻函数”.若函数 f (x ) = e x +x — e — 1与g (x ) = x 2— mx- 2m解析：选C. •••函数y = e x ,y = x — e — 1均为单调递增函数，二函数f (x )为单调递增函数，•/ f (1) =0,.・.函数f (x )的零点为1,设g (x )的零点为b ,则|1 — b | w 1, ••• 0< b w 2. v g (x ) = x — mx- 2m+ 5 的图象必过点(一2,9)，要使 g (x )在[0,2].g U > 0, g 2 > 0,上有零点，则 g (0) • g (2) w 0 或 < △ = m —& — 2m^ 5 > 0,m.0w ?w 2,5解得2w n W 》二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)y w x ,13. 若变量x , y 满足约束条件+ y w 1, __ 则z = 2x + y 的最大值为.y >— 1,解析：作出可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数可知，当直线 y = — 2x + z 经过点A时，z 取得最大值.A .石4]B .1，4+ 5互为“零点相邻函数”，则实数m 的取值范围是( )答案：314. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为 [20,40) , [40,60) , [60,80) ,[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是解析：成绩低于60分的频率为(0.010 + 0.005) X 20= 0.3，故所求的人数为 答案：5015. 在△ ABC 中 ,X C = 2AD ^ ABC 的面积为6 6，若X P = *础 |臨则厶ABP 勺面积为解析：如图，在AB 上取点E 使AE =6••• AC= 2AD , D 是 AC 的中点，1 T T•••—AC= AD2以AD AE 为邻边作平行四边形 ADPE则AP= A D+ AE= ；AC 汁-AB 又厶 ABP 与△ ABD 同底 AB 且等高，• S^BP = &ABD2 6• • S ^ ABP = S ^ ABD = ^S ^ABC = 3 6.答案：3 616. 对于函数 f (x )和 g (x )，设 a €{x | f (x ) = 0}, B €{x | g (x ) = 0}，若存在 a , 3 , | a - 3 | w 1,15 03 = 50.使得2=x —则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数” •若函数f(x) = e x T + x —2与g(x)ax — a + 3( a > 0)互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是解析：函数f (x ) = e x —1 + x — 2的零点为x = 1.设g (x )= x 2— ax —a + 3的零点为b,若函数f (x ) =e x —1 + x — 2与g (x ) = x 2— ax —a + 3互为“零点相邻函数”，则|1 — b | < 1，所以O w b < 2.由于g ( x ) = x — ax — a + 3必经过点(一1,4)，所以要使其零点在区间 [0,2]上，则g (0) > 0? — a + 3> 0,或 a w — 6，又 a > 0，贝V a 》2,所以 2w a w 3.答案：[2,3]4 .在区间［—n , n ］上随机取一个数i > 3）的前n 项中所有奇数项的和，即即a < 3,则对称轴3,从而可得-|— a + 3w 0,即卩 a 2 + 4a —12>0，解得,a > 22。

[“12＋4”小题提速综合练] (每练习限时40分钟)“12＋4”小题提速综合练(一)一、选择题1．(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.2．在△ABC 中，若a ＝2，b ＝4，C ＝π3，则A ＝( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A 在△ABC 中，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋16－8＝12，即c ＝23，则a ＜c ，A ＜C ，故选A.3．已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量η＝3X －1，则E (η )为( ) A ．4.2 B ．18.9C ．5.3D ．随m 变化而变化 解析：选C 因为0.2＋0.5＋m ＝1，所以m ＝0.3，所以E (X )＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.又η＝3X －1，所以E (η )＝3E (X )－1＝3×2.1－1＝5.3.4．执行如图所示的程序框图，若输入的N ＝20，则输出的S ＝( )A ．190B ．361C ．400D ．441解析：选B 依题意，结合题中的程序框图知，当输入的N ＝20时，输出S 的值是数列{2k －1}的前19项和，即19(1＋37)2＝361. 5．(2017·成都模拟)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：选C 如图，AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF ，又ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB 1C 1C ，由平面α∩平面A 1B 1C 1＝GH ，平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1C 1，知GH ∥B 1C 1，而GH ∥B 1C 1不一定成立，故②错误；由AA 1⊥平面BCFE ，结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ，又EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE .综上可知，选C.6．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，M 是线段AB的中点，O 为坐标原点，连接MO 并延长交椭圆C 于点P ，PF 1与x 轴垂直，则椭圆C 的离心率为( )A.14B.12C.22D.32解析：选C 由题意可得M ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，P ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，又M ，O ，P 三点共线，则k OM ＝k OP ，b a ＝b 2ac ，化简得b ＝c ，即a ＝2c ，所以离心率e ＝c a ＝22.7.(2017·重庆二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.23B.43C.53D.73解析：选B 依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2)、高为1，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43.8.(2017·安徽二校联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 解析：选A 由图象知，A ＝2，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π12，2，所以2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ，所以2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以令k ＝0，得φ＝π3，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，把函数f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度后，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z)，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)． 9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，3x －y －2≥0，y ≥2，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．－23B ．－1C ．－2D ．－83解析：选C 依题意，在坐标平面内画出题中不等式组所表示的平面区域及直线x －2y ＝0，平移该直线，当平移到经过可行域内的点A (2,2)时，相应直线在x 轴上的截距达到最大，此时z ＝x －2y 取得最大值，最大值为－2.10．(2017·太原三模)已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值为( )A ．126B ．130C ．132D ．134解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意可知，lg a 3＝b 3，lg a 6＝b 6.又b 3＝18，b 6＝12，则a 1q 2＝1018，a 1q 5＝1012，∴q 3＝10－6，即q ＝10－2，∴a 1＝1022.又{a n }为正项等比数列，∴{b n }为等差数列，且公差d ＝－2，b 1＝22，故数列{b n }的前n 项和S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2322＋5294.又n ∈N *，故n ＝11或12时，(S n )max ＝132. 11．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA ―→－23OB ―→.若M是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( )A ．3B ．2 3C ．2D ．－3解析：选A 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA ―→＝(x 1，y 1)，OB ―→＝(x 2，y 2)，OM ―→＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以OC ―→＝53OA ―→－23OB ―→＝⎝⎛⎭⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2.由|AB ―→|＝2，得(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝4①，又A ，B 在圆O 上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4②.联立①②得x 1x 2＋y 1y 2＝2，所以OC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫53x 1－23x 2，53y 1－23y 2·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，化简并整理，得56(x 21＋y 21)－13(x 22＋y 22)＋12(x 1x 2＋y 1y 2)＝56×4－13×4＋12×2＝3. 法二：由条件易知△OAB 为正三角形．又由M 为AB 的中点，则OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)·⎝⎛⎭⎫53 OA ―→－23 OB ―→ ＝1253|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－23|OB ―→|2＝1253×4＋2×2×12－23×4＝3.12．(2017·长沙模拟)对于满足0＜b ≤3a 的任意实数a ，b ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 总有两个不同的零点，则a ＋b －c a的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤1，74 B ．(1,2] C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意对方程ax 2＋bx ＋c ＝0，有Δ＝b 2－4ac ＞0，于是c ＜b 24a ，从而a ＋b －c a ＞a ＋b －b 24a a ＝1＋b a －14⎝⎛⎭⎫b a 2，对满足0＜b ≤3a 的任意实数a ，b 恒成立．令t ＝ba ，因为0＜b ≤3a ，所以0＜t ≤3.因此－14t 2＋t ＋1∈(1,2]，故a ＋b －c a ＞2.二、填空题13．(2017·宝鸡模拟)若(ax －1)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，且a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝0，则a 3＝________.解析：取x ＝1得(a －1)9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝0，∴a ＝1.又T 7＝C 69x 3(－1)6＝84x 3，∴含x 3项的系数为84，即a 3＝84.答案：8414．(2018届高三·湖北五校联考)已知直线l ：mx ＋y ＋3＝0与圆(x ＋1)2＋y 2＝2相交，弦长为2，则m ＝________.解析：由已知可得圆心(－1,0)到直线l 的距离d ＝|3－m |m 2＋1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|3－m |m 2＋12＋1＝2，解得m ＝33. 答案：3315.空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士从当地某年的AQI 记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI 大于100的天数为________．(该年为365天)解析：该样本中AQI 大于100的频数为4，频率为25，以此估计此地全年AQI 大于100的频率为25，故此地该年AQI 大于100的天数约为365×25＝146.答案：14616．给出下列命题：①实验测得四组数据(x ，y )的值为(1,2.1)，(2,2.8)，(3,4.1)，(4,5)，则y 与x 的回归直线方程为y ＝2x ＋1；②函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )＝2sin 3x 的图象； ③当x ∈[0,1]时，函数y ＝x 1－x 2的最大值为12；④幂函数f (x )的图象经过点A (4,2)，则它在A 点处的切线方程为x －4y ＋4＝0. 其中正确命题的序号是________．解析：对于①，注意到x ＝14×(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14×(2.1＋2.8＋4.1＋5)＝3.5，样本点的中心(2.5,3.5)不在直线y ＝2x ＋1上，因此①不正确；对于②，将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π4－π4＝2sin(3x －π)＝－2sin 3x 的图象，因此②不正确；对于③，注意到当x ∈[0,1]时，y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋(1－x 2)2＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，x ∈[0,1]，即x ＝22时取等号，因此y ＝x 1－x 2的最大值为12，③正确； 对于④，设f (x )＝x α，则有f (4)＝4α＝22α＝2，α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x －12，f ′(4)＝12×4－12＝14，因此函数f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －2＝14(x －4)，即x －4y ＋4＝0，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④. 答案：③④“12＋4”小题提速综合练(二)一、选择题1．(2017·西安模拟)已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．{x |2＜x ＜3} C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C 化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}． 2．(2017·福州模拟)已知复数z ＝2＋i ，则z z＝( )A.35－45i B ．－35＋45iC.53－43i D ．－53＋43i解析：选A 因为z ＝2＋i ，所以zz ＝2－i 2＋i ＝(2－i )25＝35－45i.3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝512-，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析：选C 因为a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，又c ＝5－12＝15，5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，故c ＜a ＜b .4．(2017·兰州一中月考)在电视台举办的一次智力答题中，规定闯关者从图中任选一题开始，必须连续答对能连成一条线的3道题目，闯关才能成功，则闯关成功的答题方法有( )A ．3种 C ．30种D ．48种解析：选D 能连成横着的一条线的有123,456,789，共3种，能连成竖着的一条线的有147,258,369，共3种，能连成对角线的有159,357，共2种，故共有8种．又因为每种选择的答题顺序是任意的，故每种选择都有6种答题方法：如答题为1,2,3时，答题方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有8×6＝48(种)答题方法．5．(2017·合肥模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6 C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即A ⎝⎛⎭⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝x ＋2y ＝132. 6．(2018届高三·宝鸡调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585解析：选B 依题意，执行题中的程序框图，当输入x 的值为1时，进行第一次循环，S ＝1＜50，x ＝2；进行第二次循环，S ＝1＋23＝9＜50，x ＝4；进行第三次循环，S ＝9＋43＝73＞50，此时结束循环，输出S 的值为73.7．(2017·衡阳三模)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A．2n＋1－2 B．3nC．2n D．3n－1解析：选C因为数列{a n}为等比数列，a1＝2，设其公比为q，则a n＝2q n－1，因为数列{a n＋1}也是等比数列，所以(a n＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n＋2＋1)⇒a2n＋1＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2⇒a n＋a n＋2＝2a n＋1⇒a n(1＋q2－2q)＝0⇒q＝1，即a n＝2，所以S n＝2n.8．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：选C法一：由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD.又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.法二：∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B、D错；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．9．(2017·湖北七校联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设条件p：0＜r＜3，条件q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝|1－3×0＋3|＝2.12＋(－3)2当0＜r＜1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当r＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当1＜r＜2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2＜r＜3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1.综上，当0＜r ＜3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0＜r ＜3，故p 是q 的充要条件，故选C.10．(2017·合肥模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .P 是椭圆上一点，满足PF 2⊥F 1F 2，点Q 在线段PF 1上，且F 1Q ―→＝2QP ―→.若F 1P ―→·F 2Q ―→＝0，则e 2＝( )A.2－1 B ．2－ 2 C ．2－ 3D.5－2解析：选C 由题意可知，在Rt △PF 1F 2中，F 2Q ⊥PF 1，所以|F 1Q |·|F 1P |＝|F 1F 2|2，又|F 1Q |＝23|F 1P |，所以有23|F 1P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2，即|F 1P |＝6c ，进而得出|PF 2|＝2c .又由椭圆定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝6c ＋2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝26＋2＝6－22，所以e 2＝2－ 3.11．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为0＜φ＜π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝⎛⎭⎫π8，3π8上单调递增，故选D. 12．(2017·贵阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x 2－4x －a )，若对任意的m ∈R ，均存在x 0使得f (x 0)＝m ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4]D ．[－4，＋∞)解析：选D 依题意得，函数f (x )的值域为R ，令函数g (x )＝x 2－4x －a ，其值域A 包含(0，＋∞)，因此对方程x 2－4x －a ＝0，有Δ＝16＋4a ≥0，解得a ≥－4，即实数a 的取值范围是[－4，＋∞)．二、填空题13．(2017·兰州模拟)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝π3，则BD ―→·CD ―→＝________.解析：由菱形的性质知|BD ―→|＝3a ，|CD ―→|＝a ，且〈BD ―→，CD ―→〉＝π6，∴BD ―→·CD ―→＝3a ×a ×cos π6＝32a 2.答案：32a 214．(2017·石家庄模拟)若⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n 的展开式的二项式系数之和为64，则含x 3项的系数为________．解析：由题意，得2n ＝64，所以n ＝6， 所以⎝⎛⎭⎫x 2＋1x n ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 6， 其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 6x12－3r. 令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中含x 3项的系数为C 36＝20. 答案：2015．某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出三箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，则ξ的数学期望E (ξ)＝________.解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝310，P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 25＝125，所以ξ的数学期望为E (ξ)＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝65.答案：6516．(2018届高三·云南调研)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为289π16的球面上，底面ABC 是边长为3的等边三角形，则三棱锥P -ABC 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4πR 2＝289π16，R ＝178，△ABC 的外接圆半径为r ＝32sin 60°＝1，球心到截面ABC 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝⎛⎭⎫1782－12＝158，因此点P 到截面ABC 的距离的最大值等于h ＋R ＝178＋158＝4，因此三棱锥P -ABC 体积的最大值为13×⎣⎡⎦⎤34×(3)2×4＝ 3.答案： 3“12＋4”小题提速综合练(三)一、选择题1．(2017·洛阳模拟)已知集合A ＝{x |x (x －1)＜0}，B ＝{x |e x ＞1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)D ．[0,1]解析：选A 依题意得，A ＝{x |0＜x ＜1}， 则∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥1}，B ＝{x |x ＞0}， 故(∁R A )∩B ＝{x |x ≥1}＝[1，＋∞)．2．(2018届高三·湖北五校联考)已知复数z 满足1－z1＋z＝－i ，则|z |＝( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由1－z 1＋z ＝－i ，得z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )(1＋i )(1＋i )(1－i )＝i ，则|z |＝1.3．(2017·郑州模拟)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；若a ⊥b ，b ⊥m ，但直线a ，m 不一定相交，所以推不出α⊥β，所以“a ⊥b ”是“α⊥β ”的必要不充分条件．4．设O 为△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，则∠BAC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选C ∵O 为△ABC 的外心， ∴|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，又OB ―→＝OA ―→＋AB ―→，AO ―→＝13AB ―→＋13AC ―→，∴OB ―→2＝OA ―→2＋AB ―→2＋2 OA ―→·AB ―→＝OA ―→2＋AB ―→2－23(AB ―→＋AC ―→)·AB ―→＝OA ―→2＋13AB ―→2－23AB ―→·AC ―→，∴AB ―→·AC ―→＝12AB ―→2.同理可得，AB ―→·AC ―→＝12AC ―→2，∴|AB ―→|＝|AC ―→|，∴cos ∠BAC ＝AB ―→·AC ―→| AB ―→| |AC ―→|＝12，∴∠BAC ＝60°.5．(2017·佛山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝( )A.34 B.23 C.56D.825解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1， 由S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝12，得q 3＝－12， 所以S 9S 3＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 91－q 3＝1＋q 3＋q 6＝1－12＋14＝34. 6．(2017·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为( )A.34B.58C.78D.12解析：选B 依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x 不小于40的概率为58.7．(2017·江西九江一中月考)某教师一天上3个班级的课，每班1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且该教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的所有排法有( )A ．474种B ．77种C ．462种D ．79种解析：选A 不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A 39种排法，其中上午连排3节的有3A 33种，下午连排3节的有2A 33种，则这位教师一天的课的所有排法有A 39－3A 33－2A 33＝474(种)．8.(2017·昆明模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．[－1＋4k π，1＋4k π]，k ∈ZB ．[－3＋8k π，1＋8k π]，k ∈ZC ．[－1＋4k,1＋4k ]，k ∈ZD ．[－3＋8k,1＋8k ]，k ∈Z解析：选D 由图，知T ＝4×(3－1)＝8， 所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ. 把(1,1)代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，令π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，得φ＝π4＋2k π(k ∈Z)． 又|φ|＜π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. 由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z)．9．(2018届高三·石家庄摸底)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34 D.34 解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长 L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4. t ＝a 1＋2b 2＝122(22a )·1＋2b 2 ≤122·12·[](22a )2＋(1＋2b 2)2 ＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34.10．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，55 B.⎝⎛⎦⎤0，255 C.⎝⎛⎦⎤0，355D.⎝⎛⎦⎤0，455解析：选B 依题意，b ＝2，kc ＝2，则k ＝bc ，设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又d ＝21＋k 2，所以41＋k 2≤165，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255.11．(2017·石家庄模拟)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5 C.92D.94解析：选D 过点P 作PH ⊥平面ABCD 于点H .由题知，四棱锥P -ABCD 是正四棱锥，内切球的球心O 应在四棱锥的高PH 上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE ，PF 是斜高，M 为球面与侧面的一个切点．设PH ＝h ，易知Rt △PMO ∽Rt △PHF ，所以OM FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94.12．(2017·合肥模拟)已知函数y ＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0解析：选A 注意到y ＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x ＋1，可令t ＝x －1，令g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ，则y ＝g (t )＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t )max ＋2，m ＝g (t )min ＋2.又g (t )为奇函数，则g (t )max ＋g (t )min ＝0，所以M ＋m ＝4.二、填空题13．(2018届高三·洛阳摸底)若∫n 0|x －5|d x ＝25，则(2x －1)n 的二项展开式中x 2的系数为________．解析：依题意，当0＜n ≤5时，∫n 0(5－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫5x －12x 2|n 0＝5n －12n 2＝25，即n 2－10n ＋50＝0，Δ＝100－4×50＜0，因此这样的n 不存在；当n ＞5时，∫50(5－x )d x ＋∫n 5(x －5)d x＝⎝⎛⎭⎫5x －12x 2|50＋⎝⎛⎭⎫12x 2－5x |n 5＝12n 2－5n ＋25＝25(n ＞5)，由此解得n ＝10，(2x －1)n ＝(2x －1)10的展开式的通项T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·(－1)r ＝C r 10·210－r ·(－1)r ·x 10－r .令10－r ＝2得r ＝8.因此，(2x －1)n ＝(2x －1)10的展开式中x 2的系数为C 810·22·(－1)8＝180. 答案：18014．在平面几何中：△ABC 的∠C 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AE BE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AE EB ＝S △ACD S △BCD .答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD15．(2017·宝鸡模拟)我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A 录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 录像课，则称A 录像课不亚于B 录像课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课．解析：记这5节录像课为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，设这5节录像课先退到2节录像课的情形，若A 1的点播量＞A 2的点播量，且A 2的专家评分＞A 1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2节；再考虑3节录像课的情形，若A 1的点播量＞A 2的点播量＞A 3的点播量，且A 3的专家评分＞A 2的专家评分＞A 1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3节．以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5节．答案：516．(2017·南京模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －3≤0，x －3y ＋6≥0，2x ＋y －2≥0，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为________．解析：设在这两个实数x ，y 之间插入三个实数a 1，a 2，a 3，即x ，a 1，a 2，a 3，y 构成等差数列，所以这个等差数列后三项和为a 2＋a 3＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y2＋y 2＋y ＝34(x ＋3y )，令z ＝x＋3y ，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，将直线x ＋3y ＝0平移至A 处时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y －3＝0，x －3y ＋6＝0，解得A (3,3)， 所以z max ＝3＋3×3＝12.所以(a 2＋a 3＋y )max ＝34(x ＋3y )max ＝34×12＝9.答案：9“12＋4”小题提速综合练(四)一、选择题1．(2017·惠州模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R|x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1,2}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{1}解析：选D 因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为∁A (A ∩B )，所以阴影部分所表示的集合为{1}．2．(2017·石家庄模拟)若复数z 满足z i ＝2－3i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( )A ．－3－2iB ．－3＋2iC ．2＋3iD ．3－2i解析：选B 由题意，得z ＝2－3i i ＝i (2－3i )i 2＝－3－2i ，所以z ＝－3＋2i ，故选B. 3．(2017·广州三市联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A ．2 B ．－1 C ．－6D ．－18解析：选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝1×23×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－6－12＝－18.4．(2017·湘中名校联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则∫2－1f (x )d x 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛－12f (x )d x ＝∫1－11－x 2d x ＋⎠⎛1221(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43.5．(2018届高三·湖北七校联考)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，底边长为4，腰长为3，则该几何体的表面积为( )A ．6πB ．8πC ．10πD ．12π解析：选C 根据三视图，可以看出该几何体是一个圆锥，其底面圆的半径r 为2，侧棱长l 为3，故该圆锥的表面积S ＝πr (r ＋l )＝π×2×(2＋3)＝10π.6．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0，且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A.13 B.23 C ．1D ．2解析：选D 法一：由题意可知m ＞0，作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，作出直线l ：3x －y ＝0，平移直线l ：由题意可知，当直线l 经过点A 时，z ＝3x －y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＝0，3x －2y ＋2＝0， 解得A ⎝⎛⎭⎫22m －3，2m 2m －3，∴3×22m －3－2m 2m －3＝2，解得m ＝2.法二：若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2,4)，B ⎝⎛⎭⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D.7．(2017·福州模拟)在检测一批相同规格共500 kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( )A ．2.8 kgB ．8.9 kgC ．10 kgD ．28 kg解析：选B 由题意，可知抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×5280＝12514≈8.9 kg.8.执行如图所示的程序框图，若输入的m ＝168，n ＝112，则输出的k ，m 的值分别为( )A ．4,7B ．4,56C ．3,7D ．3,56解析：选C 执行第一个循环结构，第一次循环：k ＝1，m ＝84，n ＝56，m ，n 均为偶数；第二次循环：k ＝2，m ＝42，n ＝28，m ，n 均为偶数；第三次循环：k ＝3，m ＝21，n ＝14，因为m 不是偶数，所以结束第一个循环．因为m ≠n ，所以执行第二个循环结构，第一次循环：d ＝|21－14|＝7，m ＝14，n ＝7，m ≠n ；第二次循环：d ＝|14－7|＝7，m ＝7，n ＝7，因为m ＝n ，所以结束循环，输出的k ＝3，m ＝7.9．(2017·广州三市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43 B.53 C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a ，∵|PA |＝12|PF 1|＝a ＋c ，∴4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，故3c ＝5a ，则双曲线的离心率为e ＝c a ＝53.10．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0，－x ln (1－x )＋x 2，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]解析：选D 若x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝x ln(1＋x )＋x 2＝f (x )，同理可得x ＜0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )为偶函数．当x ≥0时，易知f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2为增函数，所以不等式f (－a )＋f (a )≤2f (1)等价于2f (a )≤2f (1)，即f (a )≤f (1)，亦即f (|a |)≤f (1)，则|a |≤1，解得－1≤a ≤1.11．(2018届高三·张掖调研)已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)的值为( )A ．2 468B ．3 501C ．4 033D ．5 739解析：选C f (x )＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2，∵f (x )max ＝3，∴A ＝2，令x ＝0，则cos 2φ＝0，∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4，易知函数f (x )的最小正周期为4， ∴2π2ω＝4，得ω＝π4， 故f (x )＝－sin πx2＋2，∵f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＝8， 2 017＝504×4＋1，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017) ＝504×8＋(－1＋2)＝4 033.12．若存在正实数m ，使得关于x 的方程x ＋a (2x ＋2m －4e x )[ln(x ＋m )－ln x ]＝0有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B.⎝⎛⎭⎫0，12e C ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞ 解析：选D 当a ＝0时，方程只有一个解，不满足题意，当a ≠0，原方程有两个不同的根等价于方程1a ＝2⎝⎛⎭⎫2e －x ＋m x ln x ＋m x 有两个不同的根．令t ＝x ＋m x ＞1，则1a ＝2(2e －t )lnt ．设f (t )＝2(2e －t )ln t ，则f ′(t )＝2⎝⎛⎭⎫2et －ln t －1，当t ＞e 时，f ′(t )＜0，当1＜t ＜e 时，f ′(t )＞0，所以f (t )在(e ，＋∞)上单调递减，在(1，e)上单调递增，所以f (t )≤f (e)＝2e ，且当1＜t ＜e 时，f (t )＞0，当t →＋∞时，f (t )→－∞，所以要使1a ＝2(2e －t )ln t 存在两个不同的根，则需0＜1a ＜2e ，即a ＞12e，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞. 二、填空题13．(2017·贵阳模拟)设m 是正整数，(1－2x )m 的展开式中含x 项的系数为－16，则m ＝________.解析：依题意得C 1m ×1m －1×(－2)1＝－2m ＝－16，解得m ＝8. 答案：814．(2018届高三·长春调研)已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1，0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案：1415．(2017·成都模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t 取[0,3]上的任意值时，直线y ＝t 被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为________．解析：类比祖暅原理，得图1的面积就是图2梯形的面积，即为(1＋2)×32＝92.答案：9216．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．解析：双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝ab c ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233.答案：233“12＋4”小题提速综合练(五)一、选择题1．(2017·沈阳检测)已知集合A ＝{x |x (x －3)＜0}，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1} B ．{1,2} C ．{0,3}D ．{－1,1,2,3}解析：选B 因为A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝{－1,0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,2}．2．(2017·兰州模拟)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则|z ·z －|＝( ) A ．1 B. 2 C ．2D.10解析：选C ∵z －＝－1＋i ，∴|z ·z －|＝(－1)2＋12＝2.3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选C 依题意得(a ＋b )·a ＝1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，cos 〈a ，b 〉＝－12，〈a ，b 〉＝2π3，即向量a 与b 的夹角为2π3. 4．随机抽取100名高三学生的某次数学考试成绩，经数据处理后作出如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，可以推断出成绩在[80,90)之间的人数是( )A ．20B ．45C ．50D ．55解析：选A 依题意得(0.010＋0.015＋x ＋0.030＋0.015＋0.010)×10＝1，解得x ＝0.02，所以成绩在[80,90)之间的频率为0.02×10＝0.2，故成绩在[80,90)之间的人数是100×0.2＝20.5．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，计算得K 2的观测值k ＝8.01，若推断“喜欢乡村音乐与性别有关系”，则这种推断犯错误的概率不超过( )A ．0.01B ．0.025C ．0.005D ．0.001解析：选C 由K 2的观测值k ＝8.01，观测值同临界值进行比较可知，这种推断犯错误的概率不超过0.005.6．(2018届高三·长沙摸底)运行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．1 008B ．1 009C ．2 016D ．2 017解析：选A 由程序框图知，此题是求当k 取1,2，…，2 016这些值时，(－1)k ·k 的和，所以输出的S ＝0－1＋2－3＋4－…＋2 014－2 015＋2 016＝0＋(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008.7.(2017·石家庄模拟)某几何体的三视图如图所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选A 由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面面积S ＝12×(1＋2)×2＝3，高为2，所以该几何体的体积V ＝13×3×2＝2.8．(2017·长沙模拟)关于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1，下列叙述有误的是( ) A ．其图象关于直线x ＝－π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 C ．其图象关于点⎝⎛⎭⎫11π12，0对称 D ．其值域是[－1,3]解析：选C 法一：由3x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π12＋k π3，k ∈Z ，当k ＝－1时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1的对称轴为 x ＝－π4，故A 正确；由图象变换知识可得横坐标变为原来的13，就是把x 的系数扩大3倍，故B 正确；由3x ＋π4＝k π(k ∈Z)，解得x ＝－π12＋k π3，k ∈Z ，当k ＝3时，x ＝11π12，对称中心为⎝⎛⎭⎫11π12，1，故C 错误；因为－1≤sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4≤1，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1的值域为[－1,3]，故D 正确． 法二：由于函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＋1是在y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的基础上向上平移了1个单位长度而得到，因此对称中心的纵坐标应为1，故选项C 错误．9．函数y ＝2xln|x |的图象大致为( )解析：选B 函数y ＝2xln|x |的定义域是{x |x ≠0，x ≠1，x ≠－1}，排除A ；函数定义域关于原点对称，且f (－x )＝－2x ln|x |＝－f (x )，则函数为奇函数，排除C ；当x ∈(0,1)时，y ＝2x ln x＜0，排除D ，故选B.10．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列四个结论：①c a ＞cb ；②ac ＞b c ；③(1－c )a ＜(1－c )b ；④log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中正确结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B 因为a ＞b ＞1，c ＜0，所以0＜1a ＜1b ＜1，c a ＞c b ，①正确；因为c ＜0，所以y ＝x c 在(0，＋∞)上单调递减，则a c ＜b c ，②错误；因为c ＜0,1－c ＞1，所以y ＝(1－c )x 在R 上单调递增，则(1－c )a ＞(1－c )b ，③错误；因为a －c ＞b －c ＞1，则log b (a －c )＞log b (b －c )＞log a (b －c )，④正确．综上所述，正确的结论有2个，故选B.11．(2017·云南模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y＋20＝0过点F 且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点，若|OP |＝|OF |，则C 的离心率为( )A ．5B. 5C.53D.54解析：选A 依题意得F (－5,0)，|OP |＝|OF |＝5，tan ∠PFO ＝43，cos ∠PFO ＝11＋tan 2∠PFO ＝35，|PF |＝2|OF |cos ∠PFO ＝6.记双曲线的右焦点为F 2，则有|FF 2|＝10.在△PFF 2中，|PF 2|＝|PF |2＋|FF 2|2－2|PF |·|FF 2|·cos ∠PFF 2＝8.由双曲线的定义得a ＝12(|PF 2|－|PF |)＝1，则C 的离心率为e ＝ca ＝5.12．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，25 B ．[1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) 解析：选D f ′(x )＝3a －4x ＋1x (a ＞0)， 若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立， 令h (x )＝4x －1x ，则h ′(x )＝4＋1x 2＞0，x ∈[1,2]，所以h (x )＝4x －1x 在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)＝152或3a ≤h (1)＝3，又a ＞0，则0＜a ≤25或a ≥1.二、填空题13．设1＋x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 5·(x －1)5，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________.解析：令x ＝2，得1＋25＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝33. 答案：3314．若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，x －2y ≥－4，3x －y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线z ＝2x －y 经过点A (1,0)时，目标函数取得最大值，即z max ＝2×1－0＝2.答案：215．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋(5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝916．(2017·辽宁朝阳三校协作体模考)定义：如果函数y ＝f (x )在定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，例如y ＝x 2是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝x 3＋mx 是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3＋mx 是[－1,1]上的平均值函数，知关于x 的方程x 3＋mx ＝f (1)－f (－1)1－(－1)在区间(－1,1)上有解，即方程x 3＋mx －m －1＝0在区间(－1,1)上有解，就是方程m ＝－x 2－x －1在区间(－1,1)上有解．因为当x ∈(－1,1)时，y ＝－x 2－x －1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122－34∈⎝⎛⎦⎤－3，－34，所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－3，－34.答案：⎝⎛⎦⎤－3，－34“12＋4”小题提速综合练(六)一、选择题1．(2018届高三·广西三市联考)设集合A ＝{x |y ＝x －1}，集合B ＝{x |2x －x 2＞0}，则(∁R A )∩B 等于( )A ．(0,2)B ．[1,2)C ．(0,1)D ．∅解析：选C ∵A ＝[1，＋∞)，B ＝(0,2)，∴(∁R A )∩B ＝(0,1)．2．(2017·湘中名校联考)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1z ＝( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i解析：选A 由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1－i ＝i.3．设a ＝⎠⎛12(3x 2－2x )d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6展开式中的第4项为( ) A ．－1 280x 3 B ．－1 280 C ．240D ．－240解析：选A 由微积分基本定理知a ＝x 3－x 2| 21＝4，则⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫4x 2－1x 6展开式中的第4项为T 3＋1＝C 36(4x 2)3⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－1 280x 3.4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )解析：选A 法一：对于选项B ，如图所示，连接CD ，因为AB∥CD ，M ，Q 分别是所在棱的中点，所以MQ ∥CD ，所以AB ∥MQ .又AB ⊄平面MNQ ，MQ ⊂平面MNQ ，所以AB ∥平面MNQ .同理可证选项C 、D 中均有AB ∥平面MNQ .故选A.法二：对于选项A ，设正方体的底面对角线的交点为O (如图所示)，连接OQ ，则OQ ∥AB .因为OQ 与平面MNQ 有交点，所以AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行，根据直线与平面平行的判定定理及三角形的中位线性质知，选项B 、C 、D 中AB ∥平面MNQ .故选A.5．(2017·北京西城区模拟)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 根据题意直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.6．函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )解析：选C ∵y ＝e cos x ，x ∈[－π，π]为偶数．故排除B 、D.又当x ∈[0，π]时u ＝cos x 为减函数，y ＝e u 为增函数，∴y ＝e cos x 在[0，π]内为减函数，故排除A ，选C.7.(2018届高三·云南调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选C 依题意，题中的几何体是一个直三棱柱(其底面左、右相对)，其中底面是直角边长分别为1、2的直角三角形，侧棱长为3，因此其体积为⎝⎛⎭⎫12×1×2×3＝3. 8．(2017·广州模拟)执行如图所示的程序框图．若输入的n ＝5，则输出k 的值为( )A ．2B ．3。

专题能力训练5导数及其应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0<a<B.<a<C.a≥D.0<a<4.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江金丽衢十二校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极大值点,2个极小值点B.2个极大值点,1个极小值点C.3个极大值点,无极小值点D.3个极小值点,无极大值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则α的最大值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为自然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成立,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=.11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于∀t∈R,f(t)≤kt恒成立,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线方程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最小值(用a表示).16.(本小题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能力训练5导数及其应用1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成立.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增.而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所示,从而可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极小值点,x2为极大值点,即F(x)有1个极大值点,2个极小值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90°时,其图象都仍然是一个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且0<y'≤1,当且仅当x=0时等号成立,故在函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象的切线中,x=0处的切线倾斜角最大,其值为,由此可知αmax=.故选D.7.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,又∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成立.故选A.8.A解析设公切线与函数f(x)=ln x切于点A(x1,ln x1)(x1>0),则切线方程为y-ln x1=(x-x1),设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),所以有因为x2<0<x1,所以0<<2.又a=ln x1+-1=-ln-1,令t=,所以0<t<2,a=t2-t-ln t.设h(t)=t2-t-ln t(0<t<2),则h'(t)=t-1-<0,所以h(t)在区间(0,2)上为减函数,则h(t)>h(2)=-ln 2-1=ln,所以a∈.故选A.9.(-∞,-1)∪(2,+∞)解析f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),由题意知f'(x)=0有两个不相等的实根,则Δ=(6a)2-4×3×3(a+2)>0,即a2-a-2>0,解得a>2或a<-1.10.5解析f'(x)=3x2+2ax+3,由题意知x=-3为方程3x2+2ax+3=0的根,则3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.11.(-2,0)∪(2,+∞)解析令g(x)=,则g'(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)==g(x),则g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),则f(x)=xg(x)>0⇔解得x>2或-2<x<0.故不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).12.解析因为f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x-=-f(x),所以f(x)为奇函数.因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f(x)在R上单调递增,因为f(a-1)+f(2a2)≤0可化为f(2a2)≤-f(a-1),即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤,故实数a的取值范围是.13.14.①②③解析由f(1)+f(3)=2f(2)化简得b=-6a.f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-12ax+c,其对称轴为x=2,如果f(x)在区间(0,1)上递增,其关于x=2对称的区间为(3,4),故区间(3,4)也是其增区间,①正确.a[f(1)-f(3)]≥0,即2a(11a-c)≥0,导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的判别式144a2-12ac=12a(12a-c),当a>0时,12a-c>11a-c≥0,判别式为正数,当a<0时,11a-c≤0,12a-c≤a<0,其判别式为正数,即导函数有零点,根据二次函数的性质可知原函数有极值,②正确.注意到f'(2)=c-12a,则③转化为f'(2)=,即函数图象上任意两点连线的斜率和函数在x=2处的切线的斜率相等的有且仅有一个点.由于x=2是导函数f'(x)=3ax2-12ax+c的最小值点,即有且仅有一个最小值点,故③正确.15.解(1)因为当a=1,x<1时,f(x)=x3+1-x,f'(x)=3x2-1,所以f(0)=1,f'(0)=-1,所以f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1.(2)当a∈(0,1)时,由已知得f(x)=当a<x<1时,由f'(x)=3x2+1>0,知f(x)在(a,1)上单调递增.当-1<x<a时,由f'(x)=3x2-1,知①当a∈时,f(x)在上递增,在上递减,在上递增,所以f(x)min=min=min=a-.②当a∈时,f(x)在上递增,在上递增,在(a,1)上递增,所以f(x)min=min{f(-1),f(a)}=min{a,a3}=a3.综上所述,f(x)min=16.解(1)∵f'(x)=a=a ln x,令f'(x)>0,当a>0时,解得x>1;当a<0时,解得0<x<1,∴当a>0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(1,+∞);当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间是(0,1).(2)①∵h(x)=g'(x)=x2-f'(x)=x2-a ln x,∴由题意得h(x)min≥0.∵h'(x)=x-,∴当x∈(0,)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增.∴h(x)min=h()=a-a ln,由a-a ln≥0,得ln a≤1,解得0<a≤e.∴实数a的取值范围是(0,e].②由(1)知a=e时,h(x)=x2-eln x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,当x=时等号成立,∴x∈N*时,2eln x<x2,令x=1,2,3,…,n,累加可得2e(ln 1+ln 2+ln 3+…+ln n)<12+22+32+…+n2,即ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).。

小题提速练(五)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“lg x ＞lg y ”是“10x＞10y”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵lg x ＞lg y ，∴x ＞y ＞0，∵10x＞10y，∴x ＞y ，∴lg x ＞lg y 能推出10x＞10y，反之则不能，∴lg x ＞lg y 是“10x＞10y”的充分不必要条件．2．已知集合M ＝{y |y ＝x ＋1x －1，x ∈R ，x ≠1}，集合N ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆∁R N C ．M ⊆∁R MD ．M ∪N ＝R解析：选D.由题意，y ＝x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1(x ≠1)， 当x ＞1时，y ≥2x －1×1x －1＋1＝3，当x ＜1时，y ＝x ＋1x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－x ＋11－x ＋1≤－1，则函数y ＝x ＋1x －1(x ≠1)的值域为{y |y ≤－1或y ≥3}，集合M 为函数y ＝x ＋1x －1(x ≠1)的值域，则M ＝{y |y ≤－1或y ≥3}，x 2－2x －3≤0⇔－1≤x ≤3，则N ＝{x |－1≤x ≤3}．分析选项可得M ∩N ＝{－1,3}，A 项错误；∁R N ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，有∁R N ⊆M ，B 项错误；M ≠∅，则M ⊆∁R M 不成立，C 项错误；M ∪N ＝R 成立，D 项正确．3．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则在复平面内，z 2＋2z对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 D.因为z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则在复平面内z 2＋2z ＝(1－i)2＋21－i ＝－2i ＋21＋i 1＋i 1－i＝－2i ＋21＋i 2＝1－i ，所以在复平面内，z 2＋2z对应的点位于第四象限． 4．下表是某工厂1～4月份用电量(单位：万度)的一组数据：月份x 1 2 3 4 用电量y4.5432.5由散点图可知，用电量y 与月份x 间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝( )A ．10.5B ．5.25C ．5.2D ．5.15解析：选B.x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，∴3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.5．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2x C ．y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x解析：选A.函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，再向上平移1个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋1＝1＋cos 2x ＝2cos 2x .6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，得这个几何体的表面积是( )A ．4πB ．7πC ．6πD ．5π解析：选D.由三视图知，该几何体是一个简单的组合体，上面是一个半球，半球的直径是2，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，圆柱的高是1，∴几何体的表面积由三部分组成，一个半球面，一个圆和一个圆柱的侧面，∴S ＝12×4π×12＋π×12＋2π×1×1＝5π.7．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：选B.令f (x )＝x ln|x ||x |，则f (－x )＝－x ln|－x ||－x |＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，排除A 、C ；当x ＞0时，y ＝x ln xx＝ln x 为增函数，排除D. 8．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数列，且S 6＝38，则a 1等于( )A.421 B ．631 C.821D ．1231解析：选A.∵{log 2a n }是公差为－1的等差数列， ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝－1，即log 2a n ＋1a n ＝log 212，∴a n ＋1a n ＝12，∴{a n }是公比为12的等比数列，又∵S 6＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝38， ∴a 1＝421.9．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，若实数x 0为方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＜cD ．x 0＞c解析：选D.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是R 上的减函数，y ＝log 2x 是(0，＋∞)上的增函数，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 是(0，＋∞)上的减函数，又∵f (a )f (b )f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，∴f (a )＜0，f (b )＜0，f (c )＜0或f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，故f (c )＜f (x 0)＝0，故c ＞x 0，故x 0＞c 不可能成立．10．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256 B ．94 C ．1D ．4解析：选B.作出不等式表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点A (8,10)时，目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)取得最大值40，即8a ＋10b ＝40，即4a ＋5b ＝20，则5a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＋1b 4a ＋5b 20＝54＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5b 4a ＋a 5b ≥54＋1＝94.当且仅当5b 4a ＝a 5b 时取等号，则5a ＋1b 的最小值为94. 11．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f (x )＝a x·g (x )(a ＞0，a ≠1)；②g (x )≠0；③f (x )·g ′(x )＞f ′(x )·g (x )．若f 1g 1＋f －1g －1＝52，则a 等于( )A.12 B ．2 C.54D ．2或12解析：选A.由f 1g 1＋f －1g －1＝52得a 1＋a －1＝52，所以a ＝2或a ＝12.又由f (x )·g ′(x )＞f ′(x )·g (x )，即f (x )g ′(x )－f ′(x )g (x )＞0，也就是⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝－f xg ′x －g x f ′x g 2x ＜0，说明函数f x g x ＝a x是减函数，即0＜a ＜1，故a ＝12. 12．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 解析：选B.∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上，设左焦点为F ′，根据椭圆定义|AF |＋|AF ′|＝2a ，又∵|BF |＝|AF ′|，∴|AF |＋|BF |＝2a ①，O 是Rt△ABF 的斜边中点，∴|AB |＝2c ，又|AF |＝2c sin α②，|BF |＝2c cos α③，把②③代入①得：2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴c a ＝1sin α＋cos α，即e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴π3≤α＋π4≤π2，∴32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，∴22≤e ≤63. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3－12＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝log 33－12＝－12.答案：－1214．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3，所以cos B ＝12，又a ＝1，b ＝3，根据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，即c 2－c －2＝0，因式分解得(c －2)(c ＋1)＝0，解得c ＝2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin Bb ＝2×323＝1.答案：115．向量V →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－a n 2，a 2n ＋12a n 为直线y ＝x 的方向向量，a 1＝1，则数列{a n }前2018项的和为________．解析：因为V →是直线y ＝x 的方向向量，得a n ＋1－a n 2＝a 2n ＋12a n，化简得a n ＋1＝a n ，根据数列的递推式发现，此数列各项都相等，都等于第一项a 1，而a 1＝1，则数列{a n }的前2018项和为S 2018＝1×2018＝2018.答案：201816．若点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为________．解析：(x －5)2＋y 2＝16的圆心为(5,0)，半径为4，则圆心到直线的距离为|5＋3|2＝42，点P 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，过点P 的直线l 2与曲线C ：(x －5)2＋y 2＝16只有一个公共点M ，则|PM |的最小值为422－42＝4.答案：4。