2.2 导数的几何意义

第二章 导数及其应用2.2.2 导数的几何意义1. 理解割线逼近切线的过程，了解曲线上一点处的切线的意义；2. 理解由平均变化率到瞬时变化率与由割线到切线的斜率之间的关系．重点：曲线上一点处的切线概念的形成过程． 难点：用运动变化的观点认识导数的几何意义．一、新课导入问题1：我们学习了函数在某区间上的平均变化率，它的几何意义是什么呢？答案：几何意义为割线的斜率，反映了直线的“陡峭”程度．近似地刻画了曲线在这一区间上的变化趋势． 设计意图：这一段的内容既是对平均变化率与瞬时变化率进一步的概括，又是对本节课要研究内容的适时切入，展现了数学知识发生与发展的过程，更重要的是，这种发生、发展的规律，与人们认识事物的规律是吻合的，即数学知识的发生往往是从原有知识的基础发展而来的．问题2 有些时候我们需要研究曲线上某一点处的变化趋势，比如我们熟悉的幂函数，如图，这些幂函数在[0，1]区间上的平均变化率是相同的，但是在点P (1，1)处的变化趋势是相同的吗？答案：不相同．设计意图：提出研究方向，感受研究的必要性．其实在我们生活中也有这样的例子．在2010年广州亚运会的链球决赛中，我国选手张文秀技压群芳，获得了冠军，为国争光，作为一个专业运动员，她很好地掌握了链球在抛出点处的运动趋势，把握了链球出手的最佳时机．这些都告诉我们，确实有必要来研究曲线上一点处的变化趋势．设计意图：数学知识的产生往往离不开生产和生活的实际需要，从生活背景出发，提出◆教学目标◆教学过程◆教学重难点 ◆研究问题的必要性．二、新知探究问题3怎样在图形中表示由平均变化率到瞬时变化率？如图，设Q为曲线C上不同于点P的一点，则直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线l，这时直线l称为曲线在点P处的切线．设计意图：通过类似放大镜观察图形的过程，可以近似地把曲线在一点处的变化趋势看成直线，用信息技术表达．问题４对于一般的曲线C，如抛物线f (x)＝x2，如何定义它在某一点，如P0 (1，1)处的切线呢？追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？答案：不一定. 例如，二次函数f (x)＝x2的图象和直线x＝1只有一个交点，但它们显然不相切．追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案：不一定. 例如，正弦函数f (x)＝sin x的图象和直线y＝1相切，但它们显然不止一个交点．因此不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过交点个数来定义相切．追问3：对于抛物线f (x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线的切线呢？答案：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线的割线P0 P的变化情况．我们可以借助几何画板工具来观察．通过演示可以看到，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线．这样，我们得到抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的含义．从几何上看，抛物线在点P0的切线，是由过这一点的割线P0P，当P无限接近P0时的极限位置确定的．我们知道，斜率是确定直线的一个要素．在已知切点的情况下，如果我们再能确定切线的斜率，就能确定切线的方程．追问4：如何求抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？答案：从上述切线的定义可见，抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．既然切线是割线的极限位置确定的，那么切线的斜率也就应该是割线斜率当P无限接近P0时的极限值．我们记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标为(x，(1＋Δx)2)．于是割线P0P的斜率k=f(x)−f(1)x−1=(1+Δx)2−1Δx=Δx+2我们可以通过割线P0P的斜率近似地表示切线的斜率，并且通过不断缩短横坐标间隔|Δx来提高近似表示的精确度．我们可以借助电脑的excel计算，来观察当P无限接近P0时，割线P0P的斜率变化情况．当Δx无限趋近于0时，无论x从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，割线斜率都无限趋近于2．事实上，由k=f(1+Δx)−f(1)Δx=Δx+2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2. 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k=f(1+Δx)−f(1)Δx的极限”，记做lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=2．问题５曲线上一点处切线的斜率与导数是什么关系？答案：由导函数的定义可知，曲线上一点处切线的斜率就是曲线对应的函数在这一点的导数，可以通过割线的斜率逼近切线的斜率．问题６ 在曲线上怎样反映出从平均变化率到瞬时变化率？答案：点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，也就是说Δx →0．即：切线的斜率为k ，那么当Δx →0，f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx→k ．总结：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．三、应用举例例1 已知函数y =x 2及自变量x 0=−2．(1) 分别对Δx =1，0.5，0.1求y =x 2在区间[x 0，x 0+Δx]上的平均变化率，并画出过点(x 0，f (x 0))的相应割线；(2) 求函数y =x 2在x 0处的导数，并画出曲线y =x 2在点(x 0，f (x 0))处的切线． 解：(1)当Δx =1，0.5，0.1时，区间[x 0，x 0+Δx]相应为[−2，−1]，[−2，−1.5]，[−2，−1.9]，y =x 2在这些区间上的平均变化率分别为f (−1)−f (−2)1=(−1)2−(−2)21=−3， f (−1.5)−f (−2)0.5=(−1.5)2−(−2)20.5=−3.5， f (−1.9)−f (−2)0.1=(−1.9)2−(−2)20.1=−3.9．如图，其相应割线分别是经过点(−2，4)和点(−1，1)的直线l 1，经过点(−2，4)和点(−1.5，2.25)的直线l 2，经过点(−2，4)和点(−1.9，3.61)的直线l 3．(2) y =x 2在区间[−2，−2+Δx]上的平均变化率为(−2+Δx)2−(−2)2Δx=−4Δx+(Δx)2Δx=−4+Δx ．令Δx 趋于0，可知函数y =x 2在x 0=−2处的导数为−4．因此，曲线y =x 2在点(−2，4)处的切线为经过点(−2，4)，斜率为−4的直线l ．例2 求函数y ＝f (x )＝2x 3在x ＝1处的切线方程． 解：f(1+Δx)−f (1)Δx=2(1+Δx)3−2×13Δx=2[1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3]−2Δx=6+6Δx +2(Δx)2．令Δx 趋于0，可知y =2x 3在x =1处的导数为f ′(1)=6．于是，函数y =2x 3在点(1，f(1))即(1，2)处的切线斜率为6，即该切线经过点(1，2)，且斜率为6．因此，函数y ＝f (x )=2x 3在x =1处的切线方程为：y −2=6(x −1)，即y =6x −4．四、课堂练习1．曲线f (x )=−2x 在点A (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4 D ．y ＝2x ＋42．如图，函数y =f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f′(5)＝___________．3. 直线y =−14x +b 是函数f (x )=1x图象的切线，则切点是_________，实数b ＝________．４．曲线y =f (x )=x 2−1在x ＝x 0处的切线与曲线y =g (x )=1−x 3在x ＝x 0处的切线互相平行．(1)求x 0的值；(2)求曲线y =f (x )在x ＝x 0处的切线方程． 参考答案：1．答案 C 解析：ΔyΔx =−21+Δx+2Δx=21+Δx ，所以当Δx →0时，f′(x)=2，故直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4．2．答案：2解析：点P 横坐标为5，故由在点P 处切线为y ＝－x ＋8，得f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3．∴f(5)＋f′(5)＝2．3．答案：(−2，−12)或(2，12)，1或－1． 解析：f ′(x )=limΔx→01x+Δx −1xΔx=−1x 2=−14 ，解得x ＝±2．当x ＝－2时，y ＝－12，b ＝－1；当x ＝2时，y ＝12，b ＝1．４．解：(1) f′(x 0)＝lim Δx→0f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx＝limΔx→0(x 0+Δx)2−1−(x 02−1)Δx =2x 0，g′(x 0)＝limΔx→0g(x 0+Δx)−g (x 0)Δx＝limΔx→01−(x 0+Δx)3−(1−x 03)Δx=−3x 02．由题意得2x 0＝−3x 02，解得x 0＝0或－23．(2)当x 0＝0时，f′(x 0)＝0，又f (0)＝－1，故所求切线方程为y ＝－1；当x 0＝－23时，f′(x 0)＝－43，又f (－23)=−59，故所求切线方程为y ＋59＝－43(x +23)，即y ＝－43x －139．五、课堂小结１.切线的定义：设Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，这时直线l 称为曲线在点P 处的切线．２.导数的几何意义：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．六、布置作业教材第56页A 组练习第3，4，5题．。

富县高级中学集体备课教案
年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号第节
课题
§2.2导数的几何意义
第2课时
三维目标
1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；
2．理解曲线的切线的概念；
3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题.
重点
曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义
中心发言人
我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
（二）导数的几何意义：
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 处的切线的斜率，
即
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①出P点的坐源自;②求出函数在点 处的变化率
，得到曲线在点 的
四．课堂练习
1．求曲线y=f(x)=x3在点 处的切线；
2．求曲线 在点 处的切线．
五．回顾总结
1．曲线的切线及切线的斜率；
2．导数的几何意义
六．布置作业
教后
反思
审核人签字：年月日
1）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数
3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是求函数在点 处的导数的方法之一。
三．典例分析
例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点 处的导数.
白治军
难点
导数的几何意义
教具
课型
新授课
课时安排
2课时

3.掌握利用导数求切线方程的方 3.通过导数实际意义的学习，培养
法．(难点)
了学生数学抽象的核心素养.
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自主预习 探新知
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1．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
函数 y＝f(x)在 x0 点的 瞬时变化率 称为函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，
通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝xl1i→mx0
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1．若 f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则 x0 的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3 3
C [∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴ΔΔyx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝Δlixm→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由 f′(x0)＝3，得 3x20＝3，∴x0＝±1．]
第二章 变化率与导数
§2 导数的概念及其几何意义 2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
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学习目标
核心素养
1．理解导数的概念及导数的几何 1．通过导数几何意义的学习，培
意义．(重、难点)
养了学生直观想象的核心素养.
2．会求导数及理解导数的实际意 2．通过求函数的导数的学习，提
义．(重点)
升了学生数学运算的核心素养.
fxx11－ －fx0x0＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 ______Δ_x_______.
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的
_切__线__的__斜__率__．函数 y＝f(x)在 x0 处 切线的斜率反映了导数的几何意义．

导数的概念及几何意义一. 教学内容：导数的概念及几何意义目标：1. 理解导数的几何背景和物理背景，理解导数的概念；2. 会用定义求简单函数的导数；3. 会用导数的几何意义解题。

二. 重点、难点重点：理解导数的概念，会用导数的定义求导数。

难点：理解导数的概念。

（函数在x ＝x 0处平均变化率的极限）知识点：1. 导数的概念：函数y ＝f （x ）当自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应的增量，则叫做函数在到∆∆∆∆∆∆y f x x f x y x f x x f x x y f x x =+-=+-=()()()()()00000x 0＋△x 之间的平均变化率。

1）若存在，称在处可导。

limlim ()()()∆∆∆∆∆∆x x y x f x x f x x y f x x →→=+-=00000lim lim ()()'()∆∆∆∆∆∆x x y x f x x f x x f x →→=+-00000叫导数，记为。

2）若自变量x 在区间（a ，b ）内的每一点处可导，则称f （x ）在（a ，b ）内可导。

f’（x ）为导函数。

简称f’(x)为（a ，b ）内的导数。

2. 导数的几何意义y ＝f （x ）在x 0处的导数，就是曲线y ＝f(x)在点P （x 0，f(x 0)）处的切线的斜率。

【典型例题】例1. 求曲线上一点（－，－）处切线的倾斜角。

y x x =-2112解：先求曲线在（－1，－1）处的导数即曲线在该点处的斜率由k f x f x x f x x x ==+-→'()lim ()()0000∆∆∆=+-+--→lim ()()()∆∆∆∆x x x x x x x x 000200222=--=-→lim()∆∆x x x x 0002222=-⨯-=2214()∴=θa r c t a n 4例2. 如果质点M 按规律s ＝2t 2－2运动，则在一小段时间［2，2＋△t ］内，相应的平均速度为_________，在t ＝2处的瞬时速度是__________。