§2-3 刹车距离与二次函数2

y=2x2+1
y
9
y=2x2
8 7 6 5 4 3 2 1
o
x 1 2 3 4
y y = 2x 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3
y = 2x 2 -1
o
1
2
3பைடு நூலகம்
4
x
y y = 2x 2
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1
0.5.
0.75.
1
x
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
y=3x2-1
二次函数y=ax +c的图象有什么关系 的图象有什么关系？ 二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？ 二次函数y=ax +c的图象可以由 的图象可以由y=ax 二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象 平移c个单位得到. 当c > 0 时 向上平移c个单位得到. 平移- 个单位得到. 当c < 0 时 向下平移-c个单位得到.
刹车距离与二次函数
1 2 雨天行使时， 雨天行使时，这一公式为 s= v 50
影响刹车距离的最主要 因素是汽车行使的速度及 路面的摩擦系数。 路面的摩擦系数。 经我们实践和研究表明： 经我们实践和研究表明： 晴天在某段公路上行驶时速度为 V (km/h)的汽车的刹车距离 S / 的汽车的刹车距离 1 2 m 可由公式 s = v 确定。 确定。
4. a 越大 开口越小, 越大,开口越小 开口越小 a 越小 开口越大 越小,开口越大 开口越大.
议一议 函数y=2x2+1 y=2x +1的 图象是什么形状? 它的开口方向,对称 轴和顶点坐标分别 是什么?它与y=2x2 y=2x 的图象有什么相同 和不同? y = 2x 2 -1呢? 呢

求解
根据所建立的方程，可以直接求解 出刹车距离d。
实例二：利用二次函数解决刹车距离问题
定义问题
已知刹车距离d与速度v之间的实际数据，绘制出二者的 散点图，并利用二次函数进行拟合。求出拟合函数的系 数k。
建立数学模型
根据散点图，可以猜测刹车距离与速度之间存在二次函 数关系，即d = k(v^2)。利用最小二乘法对数据进行拟 合，求出拟合函数的系数k。
通过二次函数课件的教学，学生能够掌握二次函数的图像与性质，能够解决实际问题中的 二次函数问题，培养数学思维和解决问题的能力。
教学内容
二次函数课件主要包括二次函数的图像与性质、基本形式、应用案例等方面，同时配备了 相应的练习题和答案，方便学生进行自主学习和自我检测。
二次函数课件的使用方法
01
课前预习
在课前，学生可以通过二次函数课件进行预习，了解二次函数的基本
概念和性质，为课堂学习做好准备。
02
课堂教学
在课堂上，教师可以利用二次函数课件进行讲解和演示，帮助学生深
入理解二次函数的图像和性质，掌握基本形式和应用案例。
03
课后复习
在课后，学生可以通过二次函数课件进行复习和巩固，加强对于二次
函数知识的理解和掌握，同时可以通过相应的练习题进行自我检测和
背景
在车辆安全、交通工程、航空航天等领域，刹车距离是衡量 物体减速能力的重要指标，而二次函数在描述物体运动规律 方面具有广泛的应用。
研究意义
理论意义
通过研究二次函数刹车距离，可以深入探讨物体减速过程的数学规律，为相 关领域提供新的理论依据和方法。
实践意义
通过分析二次函数刹车距离，可以为车辆安全设计、交通规划、航空航天等 领域提供实际应用价值，提高相关系统的安全性和效率。

§2．3 刹车距离与二次函数课时安排3课时从容说课本节课要研究的问题是关于函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。

在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与y=x2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．课题§2．3 刹车距离与二次函数教学目标(一)教学知识点1．能作出y=ax2和y=ax2+c的图象．并研究它们的性质．2．比较y=ax2和y＝ax2+c的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响． (二)能力训练要求1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．通过比较y＝ax2，y=ax2+c与y=x2的图象和性质的比较．培养学生的比较、鉴别能力．(三)情感与价值观要求1．由“刹车距离”与二次函数的关系．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．2．由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．教学重点1．能作出y＝ax2和y=ax2+c的图象，并能够比较它们与y＝x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．2．能说出y＝ax2和y=ax2+c图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．教学难点能作出函数y＝ax2和y=ax2+c的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较，教学方法类比学习法．教具准备投影片三张第一张：(记作§2．3 A)第二张：(记作§2．3 B)第三张：(记作§2．3 C)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y＝x2与y=-x2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质．如图象x轴是否有交点，交点坐标是什么?y随x的增大而如何变化．抛物线是否为轴对称图形等．那么二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝-x 2这两种呢?本节课我们继续学习其他形式的二次函数．Ⅱ．新课讲解一、刹车距离与二次函数的关系．[师]大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗? [生]怕发生“迫尾”事故．[师]汽车刹车时向前滑行的离与什么因素有关呢? [生]与汽车行驶的速度有关系．[师]究竟与什么有关，关系有多大呢? 投影片：(§2．3 A)影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴 天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝1001v 2确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝501v 2． [师]引刹车距离s 与速度v 之间的关系是二次函数吗? [生]根据二次函数的定义可知，它们都是二次函数．[师]与一上节课中学习的二次函数y ＝x 2和y ＝-x 2有什么不同吗?[生]y ＝x 2中的a 为1． s ＝1001 v 2中的a 为1001. 所以它们的不同之处在于a 的取值不同．[师]很好． 既然s ＝1001v 2和s=501v 2与y=x 2,y=-x 2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a 值的不同．所以它们肯定还有不同之处．比如在y ＝x 2中自变量x 可以取正数或负数，在s ＝1001 v 2中，因为v 是速度，能否取负值呢?由实际情况可知”不可以取负值．下图是s ＝1001v 2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐 标系内作出函数s=501v 2的图象．二、比较x=1001v 2和s ＝501v 2的图象． [师]从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同?[生]相同点：(1)它们都是抛物线的一部分 (2)二者都位于s 轴的左侧．(3)函数值都随v 值的增大而增大． 不同点：(1)s=501 v 2的图象在s= 1001 v 2的图象的内侧． (2)s= 501v 2的s 比s ＝ 1001 v 2中的S 增长速度快．[师]如果行车速度是60 km ／h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?[生]已知v ＝60 km ／h ．分别代入s ＝501v 2与s ＝1001 v 2中．相应地求出各自的刹车 距离，再求它们的差，即s 1＝ 501× 602=72， s 21001×602＝36．则 s 1-s 2＝72-36＝36(m)．所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36 m ． 三、做一做投影片：(§2．3 B)作二次函数y ＝2x 2的图象．(2)在下图中作 出y ＝2x 的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状?它与二次函数y=x 2的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? [生](1)略 (2)如图(3)二次函数y=2x 2的图象是抛物线．它与二次函数y ＝x 2的图象的相同点： 开口方向相同，都向上． 对称轴都是y 轴．顶点都是原点，坐标为(0，0)．在y 轴左侧，都是y 值随x 值的增大而减小；在y 轴右侧，都是y 值随x 值的增大而增大．都有最低点，即原点．函数都有最小值．不同点：y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧．y＝2x2中函数值的增长速度较快．四、议一议投影片：(§2．3 C)(1)在同一直角坐标系内作出函数y＝2x2与y＝2x2+1的图象．并比较它们的性质．(2)在同一直角坐标系内作出函数y＝3x2与y＝3x2-1的图象，并比较它们的性质．(3)由上可得出什么?[生](1)图象如下：比较性质如下：相同点：a．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．b．它们都是轴对称图形，且对称轴都是y轴．c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大．d．都有最低点，y都有最小值．不同点：a．它们的顶点不同，y＝2x2的顶点在原点，坐标为(0，0)；y＝2x2+1的顶点在y轴上，坐标为(0，1)．b．虽然函数y都有最小值，但y＝2x2的最小值为0，y＝2x2+1的最小值为1．联系；y=2x2+1的图象可以看成函数y=2x2的图象整体向上平移一个单位．(2)[生]y＝3x2与y＝3x2-1的图象如下：性质比较如下：相同点：a ．它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同． b.它们都是轴对称图形，且对称轴都是y 轴． c.都有最低点，函数值都有最小值．d.在y 轴左侧,y 都是随x 的增大而减小，在y 轴右侧，y 都随x 的增大而增大． c ．它们的增长速度相同． 不同点：a ．它们的顶点不同y=3x 2的顶点在原点，坐标为(0，0)，y ＝3x 2-1的顶点在y 轴上，坐标为(0，-1)．b ．y ＝3x 2的最小值为0，y ＝3x 2-1的最小值为-1．联系：y=3x 2-1的图象可以看成是y ＝3x 2的图象整体向下平移一个单位．[生](3)可以知道y=2x 2+1的图象是y=2x 2的图象整体向上移动一个单位得到的．[师]是的．由上可知，y ＝ax 2与y=ax 2+c 的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小值不同．y ＝ax 2+c 的图象可以看成y=ax 2的图象整体上下移动得到的，当c>O 时,向上移动│c │个单位，当c<0时，向下移动│c │个单位． Ⅲ．课堂练习 画出函数y ＝21x 2与y ＝2x 2的图象．(在同一直角坐标系内)并比较它们的性质． 分析：画函数图象的步骤有列表、描点、连线．解：分别描点画图．相同点：图象都是抛物线，开口方向相同、顶点相同，都有最低点，函数有最小值．y 的值随x 的增大而变化情况相同．不同点：抛物线的开口大小不同，函数值的增长速度不同． Ⅳ．课时小结本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关系；并比较了函数y ＝2x 2与y=x 2，y ＝2x 2+1与y ＝2x 2，y ＝3x 2-1与y ＝3x 2的图象的性质． Ⅴ．课后作业 习题2．3Ⅵ，活动与探究 略 板书设计§2．3 刹车距离与二次函数一、1. 刹车距离与二次函数的关系(投影片§2．3 A)2．比较s ＝1001v 2与s ＝501v 2的图象 3．做一做(投影片§2．3 B)4．议一议(投影片§2．3 C) 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 备课资料 参考练习1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象： (1)y ＝3x 2(2)y ＝-3x 2(3)y ＝31x 2答案：略2．分别说出抛物线y=4x 2与y=-41x 2的开口方向、对称轴与顶点坐标． 答案：y ＝4x 2的开口方向向上，对称轴为y 轴．顶点坐标为(0，0)．3．函数y ＝5x 2的图象在对称轴哪侧?y 随着x 的增大怎样变化?答案：函数y ＝5x2的图象在对称轴右侧部分．y 随着x 的增大而增大．4．函数y ＝-5x 2有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少：答案：函数y ＝-5x 2有最大值，这个值是0．。

课题 第二章第三节 刹车距离与二次函数主备： 审核： 审批： 班级： 学生姓名： 【学习目标】1.经历探索二次函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2. 能作出y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 的图象，并能够比较它们与y ＝x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3．能说出y ＝ax 2和y ＝ax 2＋c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4．逐步提高观察和归纳分析问题的能力，体会数形结合思想方法的应用。

【知识回顾】 （1）二次函数y ＝x 2和y ＝－x 2的图象都是 ，它们关于 对称。

（2）函数y ＝x 2的图象的开口 ，关于 对称，当x ＞0时，y 随着x 值的增大而 ，当x ﹤0时，y 随着x 值的增大而 ，顶点为 ，是图象的最 点，函数有最 值.（3）函数y ＝－x 2的图象的开口 ，关于 对称，当x ＞0时，y 随着x 值的增大而 ，当x ﹤0时，y 随着x 值的增大而 ，顶点为 ，是图象的最 点，函数有最 值．本节课我们继续研究其他形式的二次函数． 【自学探究】刹车距离与二次函数的关系．你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离（称为刹车距离）与什么因素有关？知识链接：影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h )的汽车的刹车距离s(m) 可以由公式s ＝1001v 2确定；雨天行驶时，这一公式为s ＝501v 2．问题：1. 刹车距离s 与速度v 之间的关系是二次函数吗？它与上节课中学习的二次函数y ＝x 2和y ＝－x 2有什么不同呢？2.图1：是s ＝1001v 2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s ＝501v 2的图象．3. 比较s ＝100v 2和s ＝50v 2的图象，它 们有什么相同与不同？ 相同点：（图1）不同点：(1)s ＝501v 2的图象在s ＝1001v 2的图象的 ．(2)s ＝501v 2的函数值比s ＝1001v 2中的函数值增长速度 ．4. 如果行车速度是60km ／h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？【做一做】作二次函数y ＝2x 2的图象． (1)完成下表：(2)在右图作出y ＝2x 2的图象．(3)二次函数y ＝2x 2的图象是什么形状？ 它与二次函数y ＝x 2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？【师生合作交流】1．在右图中作出函数y＝2x2＋1的图象．并比较它与y＝2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象关系：相同点：a．它们的图象都是，且形状相同，开口方向相同．b．它们都是图形，且对称轴都是轴．c．在y轴左侧，y随x的增大而；在y轴右侧，y随x的增大而．d．都有最点，y都有最值．不同点：a．它们的顶点不同，y＝2x2的顶点在，坐标为( ，)；y＝2x2＋1的顶点在y轴上，坐标为( ，)．b．虽然函数y都有最小值，但y＝2x2的最小值为，y＝2x2＋1的最小值为．联系：函数y＝2x2＋1的图象可以看成把函数y＝2x2的图象整体向平移单位．2．在右图中作出函数y＝3x2－1的图象．并比较它与y＝3x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？相同点：不同点：联系：3. 由上可得出什么？a决定抛物线y＝ax2＋c的什么？由上可知：（1）a决定抛物线y＝ax2＋c的.（2）y＝ax2与y＝ax2＋c的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函数的最大值或最小值不同．y＝ax2＋c的图象可以看成y＝ax2的图象整体上下平移而得到，当c＞0时，向上移动|c|个单位，当c＜0时，向下移动|c|个单位．【小结】本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关系；并比较了函数y ＝2x 2与y ＝x 2，y ＝2x 2＋1与y ＝2x 2， y ＝3x 2－1与y ＝3x 2的图象及性质． 【今日作业】1. 二次函数y ＝－3x 2的图象与二次函数y ＝3x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，作草图看一看. 二次函数y ＝－21x 2的图象与y ＝21x 2的图象呢？2.二次函数y ＝－3x 2＋21的图象与二次函数y ＝－3x 2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需要，作草图看一看. 二次函数y ＝－21x 2－3的图象与y ＝－21x 2的图象呢？3.下列二次函数中，其图象开口向下，且开口最小的二次函数是（ ）A. y ＝－x 2B. y ＝－2x 2C.y ＝－3x 2D. y ＝4x 2 4.已知Y=(K+2)是二次函数，且当X ＞0时，Y 随X 的增大而增大。