2023届中考第三次模拟试卷数学答题注意事项1．本试卷共6页．全卷满分150分．考试时间120分钟．2．答题全部写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 的相反数是（ ）A. B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】此题考查了相反数，利用相反数的定义判断即可．【详解】的相反数是，故选：D ．2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据积的乘方和幂的乘方、合并同类项法则以及完全平方公式计算出各选项后再进行判断即可得到答案．【详解】解：A. ，选项A 计算正确，符合题意；B. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；C. ，故此选项计算错误，不符合题意；D. ，故此选项计算错误，不符合题意；3-3-1313-3-3()23639a a =3252a a a +=()222a b a b +=+()347a a =()23639a a =3a 2a ()2222ab a ab b +=++()3412a a =【点睛】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方、合并同类项以及完全平方公式，熟练掌握相关法则和公式是解答本题的关键．3. 将一个正方体截一个角，得到如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【详解】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线．故选：．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4. 如图，．若，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C =58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE 的大小，然后利用对顶角性质即可求解．【详解】解：设CD 与EF 交于G，C ,AB CD BC EF ∥∥158∠=︒2∠120︒122︒132︒148︒∴∠1=∠C =58°∵BC ∥FE ，∴∠C +∠CGE =180°，∴∠CGE =180°-58°=122°，∴∠2=∠CGE =122°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键5. 对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（ ）A. 中位数是5B. 众数是7C. 平均数是4D. 方差是3【答案】C【解析】【分析】分别根据中位数、众数、平均数和方差的定义计算各项，进而可得答案．【详解】解：将数据按从小到大排列为，中位数为3，众数是3，平均数，方差；故选：C ．【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数及方差的定义，属于基础题目，解题的关键是熟练掌握上述基本概念．6. 关于x 的方程的解是正数，则a 的取值范围是（ ）A.B. C. 且 D. 且【答案】D【解析】【分析】先解分式方程，得出，根据方程的解是正数得出，同时注意分2,3,3,5,72335745x ++++==()()()()()22222224343454741655s -+-+-+-+-==12122a x x -+=--5a >5a <5a >7≠a 5a <3a ≠5x a =-12122a x x-+=--50a ->式有意义，解不等式即可．【详解】解：，去分母，得，解得：，∵关于x 的方程的解是正数，∴且，∴且．故选：D ．【点睛】本题主要考查了根据分式解的情况求参数的范围，解题的关键是解分式方程得出关于a 的不等式，同时注意分母不等于零．7. 如图，点A 、B 、C 在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先证得是等腰直角三角形，然后根据即可求得．【详解】解：∵，∴，而，∴是等腰直角三角形，∵，∴ ．故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．52a -≠12122a x x-+=--122a x -+=-5x a =-12122a x x-+=--50a ->52a -≠5a <3a ≠O 45BAC ∠=︒2OB =4π-213π-2π-223π-OBC △OBC OBC S S S =-V 阴影扇形45BAC ∠=︒90BOC ∠=︒OB OC =OBC △2OB =OBCOBC S S S =-V 阴影扇形29021223602π⨯=-⨯⨯2π=-8. 如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，平分交于点，连接交于点，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，延长交延长线于点，过点作于点，由矩形的性质可得 ，，，根据全等三角形的判定与性质可得，，然后利用相似三角形的判定与性质可得答案，熟练掌握以上知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：延长交延长线于点，过点作于点，在矩形中，，，，∵平分，，，∴，设，则，∵点是的中点，∴，∵，ABCD 4AB =6AD =E BC AE AF DAE ∠CD F BF AE G AG 225409AE DC M F FN AM ⊥N 4AB CD ==6AD BC ==90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒4AB MC ==AE ME =AE DC M F FN AM ⊥N ABCD 4AB CD ==6AD BC ==90ABC BCD ADC BAD ∠=∠=∠=∠=︒AF DAE ∠FN AM ⊥FD AD ⊥FN FD =FN FD x ==4FC x =-E BC 3BE EC ==90ABE MCE Ð=Ð=°在和中，，∴，∴，，在中，，∴ ，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 请写出一个图象经过点的函数的关系式______．ABE MCE △ABE MCE BE ECAEB MEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABE MCE ≌4AB MC ==AE ME =Rt ABE △5AE ===10AM =M M ∠=∠90MNF MDA ∠=∠=︒MFN MAD ∽NF MF AD AM=8MF x =-8610x x -=3x =5MF =AB CD ∥BAG M ∠=∠BAG FMG ∽BA AG FM MG=45AG MG=444010999AG AM ==⨯=B ()1,2【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】让时，函数值写出一个正比例函数即可．【详解】解：函数经过点．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是正确掌握函数的性质．10.有意义，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【详解】解：由题意得，．故答案为：．11. 根据宿迁市文化广电和旅游局统计，年“五一”假期，我市家重点景区共接待国内外游客人次，比年同期增加，其中数据用科学记数法表示为_____．【答案】【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．【详解】解：，故答案为：．12. 因式分解： ___________．【答案】【解析】【分析】先提取公因式4，再根据平方差公式进行分解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．2y x =1x =2y =2y x =(1,2)2y x =x 1x ≥-10x +≥1x ∴≥-1x ≥-2023281097200201933.04%109720061.097210⨯10n a ⨯110a ≤<n a n 61097200 1.097210=⨯61.097210⨯2416m -=4(2)(2)m m +-()()()2241644422m m m m --==+-()()422m m +-【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式要先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13. 若一个圆锥的侧面积是50π，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是_______．【答案】5【解析】【分析】根据圆锥和扇形的关系，先利用扇形面积公式求出扇形半径，再用弧长公式求出弧长，扇形的弧长就是底面圆周长，再求出底面圆半径．【详解】解：圆锥的侧面是一个扇形，根据扇形面积公式，解得，根据弧长公式，扇形的弧长就是圆锥的底面圆周长，，解得．故答案是：5．【点睛】本题考查扇形面积公式和弧长公式，解题关键是掌握圆锥与扇形的联系，利用公式求解．14. 关于的一元二次方程的一个根为，该方程的另一个根是_____【答案】【解析】【分析】根据根与系数的关系即即可求得答案．【详解】解：设该方程的另一个根是，一元二次方程的一个根为，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的关系，熟练掌握一元二次方程根的关系是解题的关键．15. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．22180********n R R S πππ︒⋅===︒︒10R =1801010180180n R l πππ︒⨯===︒︒210Cr ππ===5r x 240x x c -+=22x =-2x =12b x x a+=-x 240x x c -+=2+24b x a∴++=-=∴2x =2x =-2y ax c =+y mx n =+()()2,,4,A p B q -2ax mx c n -+<【答案】−2<x <4【解析】【分析】根据A 、B 两点横坐标可得 −2<x <4时， ax 2+c <mx +n ，即可得出 ax 2−mx +c <n 的解集．【详解】∵抛物线与直线交于 A (−2，p ) ，B (4，q )，抛物线开口向上，∴ −2<x <4时，ax 2+c <mx +n ，∴ ax 2−mx +c <n 的解集为 −2<x <4．故答案为：−2<x <4．【点睛】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键．16. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x 尺，长木长y 尺，依题意可列方程组为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设绳子长x 尺，木长y 尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组即可．【详解】解：设绳子长x 尺，木长y 尺，根据题意得：，故答案为．的4.5112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩4.5112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩17. 如图，反比例函数图像经过正方形的顶点，边与轴交于点，若正方形的面积为16，，则的值为______【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，过作轴于，过作轴于，于，交轴于，通过证得，得出由，根据平行线分线段成比例定理求得，利用勾股定理以及正方形的面积即可求得的坐标，进而求得的值，正确的作出辅助线是解题的关键．【详解】解：过作轴于，过作轴于，于，交轴于∵四边形是正方形，∴∴∴在与中，，()0k y x x=>OABC A BC y D OABC 2BD CD =k 245k B BH x ⊥H A AM x ⊥M CN BH ⊥N y E ,AOM COE COE BCN ≌≌,,CN OE OM BN CE AM ====2BD CD =:::1:3CE CN CE OE AM OM ===A k B BH x ⊥H A AM x ⊥M CN BH ⊥N y E OABC ,90OA OC AOC =∠=︒90COE AOE AOE AOM ∠+∠=∠+∠=︒COE AOM∠=∠COE AOM COE AOM CEO AMO OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AOM COE ∴ ≌同理，轴，， 正方形的面积为，∵反比例函数图象经过正方形的顶点故答案为：．18. 如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为______,OM OE AM CE∴==COE BCN≌,CN OE BN CE∴==//BH y CD CE BC CN∴=2BD CD∴=13CE CN ∴=13CE AM OE OM ∴==222OA OM AM =+ OABC 1622169AM AM ∴=+AM ∴=OM ∴=A ∴(0)k y x x=>OABCA 245k ∴==245ABCD 8AB=BC =E BD CE CE CEFG CF EG 、H DH DH【答案】【解析】【分析】作于点则由正方形的性质得所以 取的中点连接以点为圆心为半径作则点、点都在上, 所以可知点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，则当时，线段的值最小，此时由矩形的性质得，则由得所以于是得到问题的答案．详解】如图，作于点，则∵四边形是正方形，∴且取的中点连接以点为圆心为半径作，【CT BD ⊥,I 90,EIC ∠=︒90,,EHC CH EH ∠=︒=45,HCE HEC ∠=∠=︒CE ,O ,OH OI 、O OE ,O H I O 45,HIE HCE ∠=∠=︒H I BD 45︒DH IH ⊥DH ,DH =90BCD ∠=︒8,CD AB ==16,BD ==cos ID CD BDC CD BD ==∠24,CD ID BD ==4DH ==1CI BD ⊥I 90,EIC ∠=︒CEFG ,CF EG ⊥1,2CH FH CF ==1,2EH GH EG ==,CF EG =90,EHC ∴∠=︒,CH EH =45,HCE HEC ∴∠=∠=︒CE ,O ,OH OI 、O OE O 1,2OH OI OE CE ===∴点、 点都在上，∴点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，∴当时，线段的值最小，如图，则∵点、点都在以为直径的圆上，，，∵四边形是矩形，，∴的最小值为故答案为：【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的H I O 45,HIE HCE ∴∠=∠=︒H I BD 45︒DH IH ⊥DH 2,DH IH ⊥90,DHI ∠=︒H I CE 18045HID HIE HCE ∴∠=︒-∠=∠=︒sin45DH ID ∴=⋅= ABCD ,8AB BC ==90,8,BCD CD AB ∴∠=︒==16BD ∴===90,CID ∠=︒ cos ,ID CD BDC CD BD∴==∠2284,16CD ID BD ∴===4DH ∴==DH文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先进行负整数指数幂的运算，零指数幂运算和化简绝对值运算，最后加减运算即可，熟练掌握运用法则是解题的关键．【详解】解： ，，20. 先化简，再求值：，其中【答案】【解析】【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x 的值代入计算．【详解】解：，当时，原式．【点睛】本题考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键．21. 某校组织了一次数学实验比赛，设置了A 测高、B 测距、C 折纸、D 拼图、E 搭建共五个比赛项目，()1012π20232-⎛⎫---- ⎪⎝⎭5-()1012π20232-⎛⎫---- ⎪⎝⎭221=---5=-2121211x x x x +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭1tan 60x =+ 11x -2121211x x x x +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭2112(1)11x x x x x +-⎛⎫=÷+ ⎪---⎝⎭211(1)1x x x x ++=÷--211(1)1x x x x +-=⋅-+11x =-1tan 60x =+︒1=+=学校对全校1800名学生参与比赛项目的分布情况进行了一次抽样调查，并将调查所得的数据整理如下．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中D 项目对应的百分比是______；（2）请在答题卡上把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应数据）（3）该校参加人数最多的项目是哪个项目？约有多少学生参加？【答案】（1）300；8%．（2）作图见解析（3）该校参加人数最多的项目是E 搭建项目，约有558人参加【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的性质计算，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，首先计算A 组学生人数，再补全条形统计图即可；（3）根据用样本评估总体的性质分析，即可得到答案．【小问1详解】根据题意，A 组学生人数为：63人，A 组学生人数占比为： ∴本次抽样调查的样本容量人∴扇形统计图中D 项目对应的百分比 故答案为：300；8%；【小问2详解】根据（1）的结论，得本次抽样调查的样本容量人∴A 组学生人数人条形统计图补充如下：的21%6330021%==24100%8%300=⨯=300=3006345249375=----=；【小问3详解】∵本次抽样调查，E 组学生的人数最多∴该校参加人数最多的项目是E 搭建项目∴该校参加E 搭建项目的人数为：人．【点睛】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握条形统计图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解．22. 如图，在菱形中，点是边上一点，延长至点，使，连接、．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质得出，，得出，证明，即可得出．【详解】证明：四边形菱形，，，，在和中，是931800558300⨯=ABCD E AD AB F BF AE =BE CF BE CF =AD BC ∥AB BC =A CBF ∠=∠()SAS ABE BCF ≌△△BE CF = ABCD AD BC ∴∥AB BC =A CBF ∴∠=∠ABE BCF △，，．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．23. 一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出个球，取出白球的概率为．（1）布袋里红球有______个；（2）先从布袋中摸出个球后不再放回，再摸出个球，求两次摸到的球都是白球的概率（请用画树状图或列表的方法写出分析过程，并求出结果）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（）设布袋里红球有个，根据白球的概率列方程求解可得；（）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得；本题考查了分式方程的应用，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握列表法或树状图法求概率，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有可能的结果．【小问1详解】设布袋里红球有个.由题意可得：解得：经检验：是原方程的解，∴布袋里红球有个，故答案为：；【小问2详解】画树状图如下：AE BF A CBF AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABE BCF ∴△≌△BE CF ∴=21112111()21126P ==两次摸到的球都是白球1x 2x 21,212x =++1,x =1x =11由图可得，两次摸球共有种等可能结果，其中，两次摸到球都是白球的情况有种，∴．24. 时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D 处，最后从D 处回到A 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【答案】420米【解析】【分析】过D 点分别作DE BC ，DF AB ，垂足分别是点E ，点F ．由三角函数可求，．可证四边形 BEDF 是矩形，可求AF ＝140,在Rt △ADF 中，利用三角函数可求DF ＝AF ·tan65°≈299.60.,可求BC ＝BE ＋CE ≈420（米）．【详解】解∶过D 点分别作DE BC ，DF AB ，垂足分别是点E ，点F ．由题意得，＝37°．在R △CDE 中∵，，．，．的122()21126P ==两次摸到的球都是白球⊥⊥120CE ≈160DE ≈⊥⊥CDE ∠sin 37,cos37,200CE DE CD CD CD︒=︒==200sin 372000.60120CE ∴=⋅︒≈⨯=200cos372000.80160DE =⋅≈⨯=︒,,AB BC DE BC DF AB ⊥⊥⊥ 90B DEB DFB ∴∠=∠=∠=︒∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE ＝DF ，BF ＝DE ＝160，∴AF ＝AB －BF ＝300－160＝140.在Rt △ADF 中，，∴DF ＝AF ·tan65°≈140×2.14＝299.60.∴BC ＝BE ＋CE ＝299.60＋120≈420（米）．所以，革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420米．【点睛】本题考查解直角三角形应用，矩形判定与性质，掌握锐角三角函数的定义与矩形判定和性质是解题关键．25. 如图，已知内接于，是的直径．（1）尺规作图：确定点D ，E 的位置，使得点D 是弧的中点，交直线于点E ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：是的切线；（3）连接，交于点F ，若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）【解析】tan 65DF AF︒=ABC O BC O AC ∥D E A C BC DE O BD AC 6AB =10BC =DF DF =【分析】（1）先作的垂直平分线，分别以点A 、点C 为圆心，以为半径画圆弧并交于一点，将的圆心与弧线的交点连接，与弧的交点即为点D ；以点D 为圆心画圆弧，交直线于两点，得到以点D 为中点的一条线段，作该线段的垂直平分线,交的延长线与点E ；（2）连接，设交于点M ．先证明垂直平分，再通过证得，最后得到是的切线；（3）通过勾股定理计算出的长度，再通过中位线的性质得到，的值，再证明，通过相似三角形的性质求出，再次利用勾股定理即可求得答案．【小问1详解】解：正确作出图形．（如图所示）∴如图所示，点D ，点E 就是所求作的点．【小问2详解】证明：如下图所示，连接，设交于点M ．∵点是弧的中点，∴弧等于弧．∴．∵，．，是中点．，AC AO O AC OD AB OA OD AC OD AC ∥D E A C 90ODE OMC ∠=∠=︒DE O AC OM AM ABF MDF ∽△△MF OA OD AC D AC AD DC AOD COD ∠=∠OA OC =∴OD AC ⊥90OMC ∴∠=︒M AC ∥D E A C，是的半径，是的切线．【小问3详解】证明：如下图所示，，，，根据勾股定理，得．，．∵点O 是的中点，点M 是的中点，，，．．．．．在中，根据勾股定理，得．90ODE OMC ∴∠=∠=︒OD O ∴DE O =6AB 10BC =90A ︒∠=8AC ==90OMC ∠=︒ 90A ︒∠=OD AB ∴∥BC AC 132OM AB ∴==142AM AC ==ABF MDF ∠=∠90A FMD ︒∠=∠=ABF MDF ∴ ∽MF MD AF AB∴=2163MF AF ∴==114MF AM ∴==Rt DMF△DF ===【点睛】本题考查尺规作图、圆的性质、相似三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运行相关知识．26. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？【答案】（1）参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人（2）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆（3）学校租车总费用最少是2800元．【解析】【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．【小问1详解】设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；【小问2详解】师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m 辆，则租乙型客车（8﹣m ）辆，根据题意得：，解得3≤m ≤5.5，∵m 为整数，∴m 可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；【小问3详解】设租甲型客车m 辆，则租乙型客车（8﹣m ）辆，由（2）知：3≤m ≤5.5，设学校租车总费用是w 元，w ＝400m +320（8﹣m ）＝80m +2560，∵80＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴m ＝3时，w 取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．27. 综合与实践问题情境：如图，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．使得点落在的延长线上，分别交，于点和点．初步探究：（）的形状是______．深入探究：（）如图，延长交于点，延长交于点，请判断与的数量关系，并说明理由．3530(8)255400320(8)3000m m m m +-≥⎧⎨+-≤⎩1ABCD 6AB =8BC =ABCD A AB C D '''C 'AD B C ''AC CD E F 1AEC ' 22C B ''BC G AB 'BC H GH C F '拓展延伸：（）如图，将矩形沿射线方向平移得到矩形，当点落在上时，延长交于点，请直接写出四边形的面积．【答案】（）是等腰三角形，理由见解析；（），理由见解析；（）．【解析】【分析】（）证明即可解决问题；（）证明，可得结论;（）如图中，过点作于点，连接根据S 求解即可；本题考查了旋转变换的性质， 矩形的性质， 全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用及正确寻找全等三角形．【详解】（）结论：是等腰三角形，理由：由旋转变换的性质可知，，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形，故答案为：等腰三角形；（）结论：，理由：如图中，∵，∴，，∵，33AB C D '''AD A B C D ''''B 'AC FD A D ''N C DND ''1AEC ' 2GH C F '=3693501CAD EC A '∠=∠2()ASA C DF GB H '' ≌33B 'B H AD '⊥H C N 'DNC NC D DND C S S S ''''=+ 四边形1AEC ' CAD C AD ''∠=∠AD B C '''∥AC E C AD '''∠=∠CAD EC A '∠=∠EA EC '=AEC ' 2GH C F '=2AD CB ∥EGC EC A '∠=∠CGE AC E '∠=∠EAC EC A ''∠=∠∴，∴，∵，∴∴；（）如图中, 过点作于点，连接，在中，EGC ECG ∠=∠BG EC =BA EC =,AC C G AC '==' ,AD BC B C =='' ,DC GB =' ,BC AC '∥ ,DC F B GH ∠=∠''90,C DF GB H ∠=∠=''︒ (),C DF GB H ASA ∴'' ≌GH C F '=33B 'B H AD '⊥H C N 'Rt A B C ''△90,6,8,A B C A B B C ∠''︒'''===''10,A C ∴===''11,22A B C S A B B C A C B H ''''''=⨯⨯=''⨯''⨯ 6824,105B H ⨯∴='=18,5A H ∴===',B H CD ∴'∥,AH B H AD CD'∴=．28. 如图1，抛物线与轴交于，，与轴交于点，连接，，点在第四象限的抛物线上运动，连接，，．图1 图2 图3（1）求抛物线的表达式；（2）若，求点的坐标；（3）①如图2，若交于点，过点作轴的垂线交于点，当，求点的坐标；②如图3，在①的条件下，连接，，点是线段上一点，点是线段上一点，连接，245,86AH ∴=32,5AH ∴=14,5AA AH A H ''∴=-=26,5A D AD AA '=-='∴262410,55DC A C A D ∴=-='''-'=339513,,41042DN A D A N A D ''⨯'==== 3,2ND A D A N ∴'-'==''1243913693625102250DNC NC D DND C S S S ''''===⨯⨯⨯++⨯ 四边形∴212y x bx c =++x ()1,0A -()4,0B y C AC BC P AP BP CP 2PBC APC S S -=△△P AP BC E P x BC F EF EP =P AP BP M AP Q BP MQ过点作轴的垂线交抛物线于点，过点作交于点，当，直接写出线段的长______．【答案】28. ； 29. 或 ( ； 30. ①；②．【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）设与交于点， 过点作轴于点， 设且 则， 由，结合题意建立方程求解即可得出答案；（3）①利用待定系数法可得直线的表达式为设与轴的交点为 则利用等腰三角形性质和平行线性质可得进而得出，再运用三角函数定义可得建立方程求解即可得出答案；②过点作交的延长线于点， 设交于点，由可得再由可得再证得可推出运用待定系数法可得：直线的解析式为直线的解析式为直线的解析式为设则 进而可得建立方程求解即可得出答案．【小问1详解】M x H H HN PB ∥MQ N 13MHN MHQ S S =△△MH 213222y x x =--145P ⎫-⎪⎪⎭145-()3,2P -3518AP BC G P PK x ⊥K 213,2,22P t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭04,t <<(),0K t ()()PBC APC PBG PGC ACG PGC S S S S S S -=+-+ ()()PBG ABG ACG ABG ABP ABC S S S S S S =+-+=- BC 12,2y x =-PF x 213,,2,22K P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()1,2,,0,2F m m K m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,EPF EFP BCO ∠=∠=∠tan tan 2APK BCO ∠=∠=2,AK PK =P PJ JH ∥HN J HN AP L 13MHN MHQ S S = ，1,3MN MQ =,HN PB ∥1,3ML MN MP MQ ==,MEH PEJ ∽ 3,PJ MH =AP 11,22y x =--BP 28,y x =-HN 21722,22y x n n =+--11,,22M n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭213,2,22H n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭213,22MH n n =-++2176,22PJ n n =-+∵抛物线与轴交于解得：∴该抛物线的表达式为：；【小问2详解】设与交于点， 过点作轴于点，如图，设且， 则，，，，212y x bx c =++x ()()1,0,4,0,A B -10,2840b c b c ⎧-+=⎪∴⎨⎪++=⎩3,22b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩213222y x x =--AP BC G P PK x ⊥K 1213,2,22P t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭04t <<(),0K t 221313222222PK t t t t ⎛⎫∴=---=-++ ⎪⎝⎭PBC APCS S - ()()PBG PGC ACG PGC S S S S =+-+ ()()PBG ABG ACG ABG S S S S =+-+ ABP ABCS S =- ()12AB PK OC =⋅-2113522222t t ⎛⎫=⨯-++- ⎪⎝⎭而解得：或 ( ；【小问3详解】①由得， 直线的表达式为：如图2，设与轴的交点为， 则若则即解得：(舍去)， ②如图3， 过点作交的延长线于点， 设交于点，2515,44t t =-+2,PBC APC S S -= 25152,44t t ∴-+=t=145P ⎫∴-⎪⎪⎭14)5-()()4,00,2B C -、BC 12,2y x =-PF x K 213,2,22P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()1,2,,0,2F m m K m ⎛⎫- ⎪⎝⎭2132,22PK m m ∴=-++1,AK m =+,EB ED =,EPF EFP BCO ∠=∠=∠tan tan 2,APK BCO ∴∠=∠=2,AK PK ∴=213122,22m m m ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭11m =-23,m =()3,2;P ∴-P PJ JH ∥HN J HN AP L，∵，∴直线的解析式为：直线的解析式为：设 则，∴直线的解析式为：1,3MHN MHQ S S = ,13MQ MN ∴=,HN PB ∥∵1,3ML MN MP MQ ∴==H PJ M ∥∵,MLH PLJ ∴∽ 1,2MH ML PJ PL ∴==2,PJ MH = ()()()1,0,4,0,3,2A B P --AP 11,22y x =--BP 28,y x =-11,,22M n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭213,2,22H n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭221113132222222MH n n n n n ⎛⎫∴=-----=-++ ⎪⎝⎭,HN PB ∥∵HN 21722,22y x n n =+--当时， ，解得：(舍去)，，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式和一次函数解析式，三角形面积，三角形相似的性质与判定，等腰三角形的性质，锐角三角函数等，解题的关键是掌握二次函数的性质以及方程思想的运用．3x =2174,22y n n =-+2173,4,22J n n ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭()2217174262222PJ n n n n ∴=-+--=-+，221713622222n n n n ⎛⎫∴-+=-++ ⎪⎝⎭122,33n n ==2122335233218MH ⎛⎫∴=-⨯++= ⎪⎝⎭3518。
