人教A版高中数学选修2-1习题：第三章3.1-3.1.5空间向量运算的坐标表示

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第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.5 空间向量运算的坐标表示

A级 基础巩固
一、选择题
1．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2) ，B(5，－6，2)，C(1，3，－ 1)，则AC边上的
高BD等于( )
A．5 B.41 C．4 D．25

解析：设AD→＝λAC→，又AC→＝(0，4，－3)，
则AD→＝(0，4λ，－3λ)．
又因为AB→＝(4，－5，0)，所以BD→＝(－4，4λ＋5，－3λ)．
由AC→²BD→＝0，得λ＝－45，所以BD→＝－4，95，125.

所以|BD→|＝5.
答案：A
2．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
答案：D
3．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0 B．6 C．－6 D．±6
解析：因为a⊥b，所以1³m＋5³2－2(m＋2)＝0，
解得m＝6.
答案：B

4.如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝14A1B1，则BE1→等于
( )
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A．(0，14，－1)
B．(－14，0，1)
C．(0，－14，1)
D．(14，0，－1)
解析：因为B(1，1，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)．
所以E11，34，1，所以BE1→＝0，－14，1.故选C.
答案：C
5．若a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( )
A．x<－4 B．－4C．04

解析：依题意得cos〈a，b〉＝a²b|a|²|b|<0，
所以a²b<0，即3x＋2(2－x)<0，解得x<－4.
答案：A
二、填空题
6．若a＝(x，3，1)，b＝(2，y，4)，且a＝zb，则c＝(x，y，z)＝________．

解析：由a＝zb，得x＝2z，3＝yz，1＝4z，所以x＝12，y＝12，z＝14.
答案：12，12，14
7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．
解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)²b＝0，
所以ka²b－|b|2＝0，
所以k(－1³1＋0³2＋1³3)－(12＋22＋32)2＝0，
解得k＝7.
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答案：7
8．若a＝(2，2，0)，b＝(1，3，z)，〈a，b〉＝π3，则z等于________．

解析：cos〈a，b〉＝cosπ3＝a²b|a|³|b|＝
2³1＋2³3＋0³z22＋22＋02³12＋32＋z2＝1
2
.

所以z＝±22.
答案：±22
三、解答题
9．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组正交单位基底，试
求a²b及a，b之间夹角的余弦值．
解：由题意知a＝(4，3，－1)，b＝(5，－ 4，2)，所以a²b＝(4，3，－1)³(5，－4，
2)＝4³5＋3³(－4)＋(－1)³2＝6.
又因为|a|＝42＋32＋（－1）2＝26，
|b|＝52＋（－4）2＋22＝45＝35，

所以cos〈a，b〉＝a²b|a||b|＝626³35＝13065，

所以a²b＝6，a与b夹角的余弦值为13065.
10．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，3，1)，求：
(1)(a－2b)²(2a＋b)；
(2)以a，b为邻边的平行四边形的面积．
解：(1)a－2b＝(3，－2，－3)－2(－1，3，1)＝(5，－8，－5)，
2a＋b＝2(3，－2，－3)＋(－1，3，1)＝(5，－1，－5)．
所以(a－2b)²(2a＋b)＝(5，－8，－5)²(5，－1，－5)＝5³5＋(－8)³(－1)＋(－
5)³(－5)＝58.

(2)因为cos〈a，b〉＝a²b|a|²|b|＝－1222³11＝－6211，

所以sin〈a，b〉＝1－cos2〈a，b〉＝1－72121＝711.
所以S▱＝|a|²|b|sin〈a，b〉＝22³11³711＝72.
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为72.
B级 能力提升
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1．已知AB→＝(1，5，－2)，BC→＝(3，1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平
面ABC，则BP→等于( )
A.407，157，－3 B.337，157，－3

C.－407，－157，－3 D.337，－157，－3
答案：D
2．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB→与CA→的夹角θ的大
小是________．

解析：因为AB→＝(－2，－1，3)，CA→＝(－1，3，－2)，

所以cos〈AB→，CA→〉＝AB→²CA→|AB→||CA→|＝
（－2）³（－1）＋（－1）³3＋3³（－2）14³14＝－714＝－1
2
，

又0°≤〈AB→，CA→〉≤180°，所以θ＝〈AB→，CA→〉＝120°.
答案：120°
3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0) 、B(1，
0，0)、C(1，1，0) ，D(0，1，0)、A1(0，0，1)，B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，

由中点性质得E1，1，12、F1，12，0，G12，1，0、H12，12，1.

(1)则AB1→＝(1，0，1)，GE→＝12，0，12，
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EH
→
＝－12，－12，12

因为AB1→＝2GE→，AB1→²EH→＝1³－12＋1³12＝0，
所以AB1→∥GE→，AB1→⊥EH→.即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)因为A1G→＝12，1，－1，DF→＝1，－12，0，
DE→＝1，0，12，所以A1G→²DF
→
＝12－12＋0＝0，

A1G→²DE
→
＝12＋0－12＝0，

所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.