高中数学教学例题辨析

’
， 易 知 ≤１ ∈ Ｄ ， 且 说
“ ｎ与 ｃ相切”呢？需知高考试卷可是惜字如金 的． 这是 因为
作者简 介 ： 徐波 （ １ ９ ６ ４ 一） ，男，四川大竹人 ，特级教 师，全 国模 范教 师，新 疆生产建设兵 团中小学数 学教 学专业委 员会副理 事长，新疆数学学
会理 事，鸟鲁木齐市学科带头人 ，鸟鲁木 齐市教学名师工作室主持人 ，主要从 事 中学教学教 育与教 学研 究．
．
— —
可得 函数 的定 义域 为 Ｄ＝｛ ｆ ≤ １ 或 ≥ ２ ｝ ，
再 由 Ｙ＝ ＋、 ／ ｒ ＝ ＝ ｙ — ：、 ／ ｒ 二 ≥０ ．
一 ３
呢 （ 但是个别省 自主命题 的试卷 中有切线问题 出现） ？下面举 例
加 以说 明 ．
例 ２ （ ２ ０ １ ２年 高考新课 程全 国卷 ・ 理２ ０ ）设 抛物线 Ｃ ： ＝ ２ ｐ ｙ （ ｐ＞０ ） 的焦 点为 Ｆ ，准线为 Ｉ ，Ａ为 Ｃ上 一点 ，已知 以 Ｆ为 圆心 ，Ｆ Ａ 为半径 的圆 Ｆ交 ｆ 于 曰、Ｄ两点 ．
法” ，还有一些学生是用 “ 求导法” ，得 到的答案是一样的．笔者 为间接证明作理论铺垫 ；二是学习充分必要条件 ．
认 为 应该 用 “ △＝ ０法” ！因为题 目里是说 “ ｎ与 Ｃ只有一个公共
“
关于蕴含式 “ 若 Ｐ，则 ｑ ”形式 的命 题 ，中学 数学教学 中并 “ 若Ｐ ，则 ｑ ”命题 的否定 ，还 用对 比的方
圆 Ｆ的 方 程 ：
对 任 意 的 ， ， ≥ ２ ， 令 鲁， 易 知 ≥ ２ ∈ Ｄ ， 且 ） ， ＝ ＋
、 ／ 丽 ． ②
一
且ｒ ， ｌ 与ｃ 只有一个公共点 ，求坐标原点到 ｍ 、ｎ 距离的 比值．

结合《课程标准》及考虑到学生的接受能力和课容 量，本节课只要求学生在建构线面垂直定义的基础上探 究线面垂直的判定定理。因此我将本节课的教学目标确 立为：
知识与技能：理解直线与直线垂直的概念；理解直 线与平面垂直的概念和判定定理；能够初步运用线面垂 学生学习能 直的定义和判定定理证明简单命题。 力分析
新课引入： 通过实例让学生感受什么样的位置关系可以理解 为直线与平面的垂直，小组成员通过观察动画演示，交 流讨论自己对直线与平面垂直的感悟，用语言描述出对 直线与平面垂直的理解，进而形成直线与平面垂直的定 义. 从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面
垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学 抽象做准备.
高中数学教学课例《直线与平面垂直的判定》教学课例名
《直线与平面垂直的判定》
称
1、教材的地位和作用：
本节课主要学习的是线面垂直的定义、判定定理及
其初步应用。“直线与平面垂直”是直线与平面相交中
的一种特殊情况，它既是后面学习面面垂直的基础，又
是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空
通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵. 问题 1 的答案是“不一定”；也正是因为“不一 定”，所以要回答问题（2）的“如何翻折”，这也正 是判断直线与平面垂直的要件。 动手操作，小组交流，确定自己的猜想. 质疑反思，进一步深化对定理的理解. 动手操作解释抽象的直线与平面垂直的判定定理. 借助折纸发现图形与图形之间的关系，折纸结果反 映的数学本质就是要解决直线与平面垂直的判定问题.
过程与方法：在学生现有的基础上引导学生运用类 比、观察、联想、概括、归纳的方法去探究空间中线面 垂直的位置关系，概括出线面垂直的定义和判定定理， 把握研究问题的一般方法和步骤，体验数形结合的思想 方法。

高中数学教学设计案例分析参考高中数学《圆锥曲线定义的运用》教学案例的反思一、教学内容分析圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。

二、学生学习情况分析我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。

三、设计思想由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.四、教学目标1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。

3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.五、教学重点与难点:教学重点1.对圆锥曲线定义的理解2.利用圆锥曲线的定义求“最值”3.“定义法”求轨迹方程教学难点:巧用圆锥曲线定义解题六、教学过程设计【设计思路】（一）开门见山，提出问题一上课，我就直截了当地给出——例题1：(1) 已知A（－2，0）， B（2，0）动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是（）。

（A）椭圆（B）双曲线（C）线段（D）不存在（2）已知动点 M（x，y）满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是（）。

（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）两条相交直线【设计意图】定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。

高中数学简易逻辑中几个概念的辨析及教学建议简易逻辑是高中阶段数学学科的重要组成部分，因此，对这部分的理解和掌握至关重要。

简易逻辑的核心概念是关系、命题、推理和证明。

其中，关系、命题和推理概念间存在着联系和相互紧密联系，而通过这些概念所表达的思想和方法，学生们可以更好地理解数学的思维方式和解决问题的方法。

首先，要对关系概念有较为深入的认识，需要对该概念的各种类型、表示形式及它们之间的联系加以区分和理解，如运算关系、等价关系、全称关系、相关关系、依赖关系、归纳关系等等；其次，要对命题概念进行深入认识，需要熟悉和了解命题的构成与分类、情况分析、命题判断以及二重否定转换等内容；最后，在进行推理和证明时，要掌握简易逻辑中通用的推理形式，诸如演绎法、归纳法和分析法等，而在做出有效的推理和证明时要加以正确的理解和运用，使得该推理的正确性及有效性得到有效的证明和说明。

因此，在简易逻辑教学中，教师应该给予学生足够的时间，正确的理解和运用这些概念，搞清楚概念之间的联系，培养学生的解题能力和推理能力，做到举一反三，使得学生在学习和运用这些概念时更轻松，而不是简单地counting on阅读记忆。

此外，应将这些概念联系到实际生活中，使其能够更好地被学生理解和掌握，形成理解性学习的习惯，以便将来解决数学问题时能够更加自如。

在具体的教学过程中，教师可以采用考试题目、案例研究和实践活动等形式来结合简易逻辑进行教学，引导学生更好地学习和掌握简易逻辑，让学生感受到数学的构成及其与其他学科的相互关联，也可以通过小组学习和讨论，让学生自觉地深入探讨和总结，并且通过让学生进行实践活动，以此来提高学生的解题能力和推理能力。

总的来说，培养学生对简易逻辑概念的理解和掌握是非常重要的，以有效提高学生的数学解题能力和推理能力。

因此，教师应该为学生提供正确的指导，把联系到实际生活的概念、循序渐进的讲解和实践活动等融入到教学中，以便让学生更好地理解、掌握和运用简易逻辑中所涉及的概念。

1今天我们研究双曲线的定义(第一定义)，平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.先看例题：例：设12()()0022F F －，，，，动点M 满足214,MF MF -＝则动点M 的轨迹是（ ） A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支 解析：因为MF MF F F -2112＝，所以动点M 的轨迹是射线．答案：C注意：双曲线定义中的差值，是有取值范围的，不满足范围则不能构成双曲线。

整理：双曲线定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2再看一个例题，加深印象例：平面内有两个定点F 1、F 2及动点P ，设命题甲是“｜PF 1｜－｜PF 2｜是非零常数”,命 题乙是“动点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线”，那么，甲是乙的 ( )。

A ．充分而不必要条件．B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若“动点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线”，显然有“｜PF 1｜－｜PF 2｜是非零常数”, 因此甲是乙的必要条件；反之，若“｜PF 1｜－｜PF 2｜是非零常数”，当非零常数小于|F 1F 2|时，“动点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线”， 因此甲是乙非充分条件。

答案：B 例：在平面直角坐标系中，设12(),5,0,0(5)F F －，动点M 满足128MF MF -＝，则动点M 的轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线左支C.椭圆D.双曲线右支3解析：因为10=>-1212＝8F F MF MF ，所以动点M 的轨迹是双曲线右支． 答案：D练习：1.已知F 1(-3,0)、F 2(3,0),且|PF 1|-|PF 2|=6,则动点P 的轨迹是 ( )(A)双曲线. (B)双曲线的左支(C)双曲线的右支. (D)一条射线2.已知动圆M 与圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49和圆C 2：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心M 的轨迹是 ( )(A)双曲线. (B)双曲线的左支(C)双曲线的右支. (D)一条射线3.已知平面内两定点A (3,0),B (0,4),动点M 满足|MA |-|MB |=6,则点M 的轨迹是 ( )(A)双曲线. (B)双曲线的左支(C)双曲线的右支. (D)不存在答案1. 解：因为|PF1|-|PF2|=6,且|F1F2|=6,所以动点P的轨迹是以F2为端点的一条射线,即选D.3. 解：|MA|-|MB|=6＞|AB|=5时，动点轨迹不存在.即选D.4。

（ ｔ Ｄ ｐ ｒ ｎ ｆ ｕ ｙ Ｎ ． Ｈ ｇ ｃ ｏｌＺ ｎｉ ６ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｍａ ｅ ａｔ ｔ ｎｉ ｏ ｉ Ｓｈｏ， ｕｙ ３ ０ ， ｈｎ） ｈ ｍｅ ｏ Ｚ ４ ｈ ５
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｈ ｅ ｏ ａｉｎ ｏ ｔ ｕ ｒ ｕ ｕ ｉ ｉｈ ｓ ｈ ｏ ａ ｅ ｎ ｉ ｕｌｓ ｎ ，ａ ｄ ｔ ｅ ｍａ ｅ ｔ ｏ ｋ ａ ｅ ｅ ｐ ｆ ｓｒ ｃ ：Ｔ ｅ ｒｎ ｖ ｔ ｆｍａ ｈ ｃ ｒｉ ｌ ｍ ｎ ｈ ｇ ｃ ｏ ｌｈ ｓｂ ｅ ｎ ｆｌ ｗｉ ｇ ｎ ｔ ｔｘ ｂ ｏ ｓ ｈ ｖ ｘ ｅ － ｏ ｃ ｈ ｈ ｉ ｅ ｃ ｄ ｓ ｖ ｒ ｌｒ ｖ ｓｏ ｓ ｈ ｗ ｖ ｒ ｈ ｕ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｅ ｅａ ｒ ｂ ｅ ｎ ｍａ ｅ ｔｏ ｋ ｎ ｅｅ ｅ ｃ ｏ ｋ ｒ ｔ ｌ ｎ ｅ ｅ ｅ ａ ｅ ｉｉｎ ； ｏ ｅ ｅ ，ｔ ｅ ａ ｔ ｒ ｆ ｄ ｔｓ ｖ ｒｌ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｉ ｔ ｔｘ ｏ ｓ ａ ｄ ｒｆ ｒ ｎ ｅ ｂ ｏ ｓ ａ ｓ ｌ ｈ ｉ ｈ ｈ ｂ ｅ ｉ ｗ ｒ ｏ ｄ ｒ ｇ ｏ ｅ ．Ｉ ｒ ｅ ｏ ｌｔ ｔａ ｈ ｒ ａ ａ ｔｔ ｅ ｅ ｖ ｓｗｅｌｔ ｈ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｅ ｃ ｉ ｇ ａ ｑ ｉ ｄ ｉ ｈ ｅ ｏ ｔ ｐ ｎ ｅｉ ｖ ｒ ｎ ｏｄ ｒ ｔ ｅ ｅ ｃ ｅ ｄ ｐ ｈ ｍｓ ｌ ｅ ｌ ｏ ｔｅ ｎ ｗ ｏ ｃ ｐ ｆｔ ａ ｈ ｎ ｃ ｕ ｒ ｎ ｔ ｅ ｎ ｗ ｈ ｎ ｅ ｃ ｒｉ ｕｕ ａ ｄ ｔ ｋ ｔ ｄ ｎ ｓ ｍａ ｅ ｕ ｅ ｏ ｅ ｎ ｗ ｎ ｌ ｅ ｔｏ ｋ ｅｌ ｔ ｅ ａ ｔ ｏ ｎ ｅ ｖ ｒ ｏｍａ ｅ ａ ｂ ｅ ｎ ｙ ｕ ｒ ｌｍ， ｎ ｏ ｍａ ｅ ｓ ｅ ｔ ｃ ｕ ｋ ｓ ｆ ｈ ｅ ａ ｄ ｏ ｄ ｔｘ ｂ ｏ ｓｗ ｌ， ｈ ｕ ｒｅ ｄ ａ ｏ ｓｔ ｋ ｒ ｆａ ａ － ｔ ｈ ｉ ｌ ｓｓｏ ｅ ｅ ｐ ｏ ｌ ｍｓｉ ｉ ａ ｅ ． ｉ ｆｔ ｓ ｒ ｂ ｅ ｎ ｔ ｓｐ ｐ ｒ ｈ ｈ Ｋｅ ｒ ｓ ｉ ｈ ｓ ｈ ｏ ｔ ｅ ｔ ｏ ｋ ｉｓ ｅ ； ｎ ｌ ｓｓ ｃ ｒｅ ｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ：ｈ ｇ ｃ ｏ ｌ ｈ ｔｘ ｏ ； ｓ ｕ ｓ ａ ａｙ ｉ； ｏ ｒ ｃｉ ｍａ ｂ ｏ

常抓不懈 ．学 生良好的思维学 习习惯可 从这样几个 方 面 加强培 养 ：
④常 比．比较是理解的起点、判断的精华、分 析 的前 提 、推理 的基础 ．要让 学 生会 “ 中思异 ，异 同 中寻同，同异分化” ，尤其是在相似的问题中发现不
同点或在不 同的问题中指 出共同点 ，是比的习惯的 精髓 ．⑤深辨 ．即清晰地辨别各 知识点 ，尤应从各 变式背景 中窥视知识的本质属性 ，而不被表面现象 所迷 惑 ． 总 之 ， 师应 树立 “ 教 以学为 中心 ” 把 学 习的主 动 ， 权 交 给 学 生 ，充 分 挖 掘学 生学 习的创造 潜 能 ，以学
概率是高中数学新增内容 ，也是近几年高考 中 热 点 之 一 ．不 少 学 生对 这 部 分 内容 较 陌 生 ，笔者 在 复 习教学 中就利 用“ 变式教学” 对概率 中的一些容易
２ ６
福建中学数学
２ １ 年第 ３ ０２ 期
分 析 因为抽取 卡片 的结 果为 有限个 ，且每 个基
且其 在 绳子 上 的任 意 一点 的可 能 性相 等 ，所 以这 是 属于 几 何概 型 ．又 因为这 是 一 维 问题 ，故 其尺 度 为
线段 长 ．
本事件 出现的可能性相等 ，所以此问题也属于古典 概 型，但它是有放 回的抽取 ，也可用列举法解决 ． 点评 例题和变式都是古典概型 ，初看没什 么不 同 ，实实 际两 题 的抽 取方 式 不 同 ，例题 为 不放 回的 抽取 ，而变 式为 有放 回 的抽 取 ． ２古典概型与几何概型
形 成 的过程 ，从 而理 解 知识 的来 龙 去脉 ，形 成 知识 网络 ，使 学生抓 住 问题 的本质 ，加 深对 问题 的理 解 ．
混淆问题进行辨析 ，希望对读者有帮助． １放回与不放回 例 １一个盒子中装有标号为 １ ，３ ，５的 ，２ ，４ 五张卡片 ，现不放 回的从盒中随机抽取两张，求抽 取的数字之和大于 ５ 的概率 ． 分析 因为抽取卡片的结果为有限个，且每个基 本事件 出现的可能性相等 ，所以此问题属于 古典概 型 ，且是 不放 回的抽取 ，可 用列 举法解 决 ． 变式 一个盒子中装有标号为 ｌ ，３ ，５ ，２ ，４ 的 五 张卡 片 ，现 有 放 回的从 盒 中 随机抽 取 两 张 ，求抽 取 的数字 之和 大于 ５的概率 ．

6.4反三角函数（2）——反余弦函数、反正切函数一、教学内容分析根据反函数的概念，余弦函数y=cosx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[0，π]，那么函数y=cosx ，x ∈[0，π]就存在反函数，为什么要选取[0，π]，教师要引导学生作必要的讨论和说明.类比反正弦函数的定义，我们把函数y=cosx ，x ∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arccosx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arccosx 是[0，π]上的一个角的弧度数，这个角的余弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y =cosx ，x ∈[0，π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反余弦函数的图像，根据其图像可以得到反余弦函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]既不是奇函数也不是偶函数，但是单调递减.类似地，把正切函数y=tanx ，x ∈（-2π，2π）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx ，x ∈（-∞，∞），根据互为反函数间的图像关系，函数y=arctanx ，x ∈（-∞，∞）的图像和函数y = tanx ，x ∈（-2π，2π）的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正切函数的图像，根据其图像可以得到反正切函数y= arctanx ，x ∈（-∞，∞）是奇函数，单调递增.二、教学目标设计1．理解函数y=cosx （x ∈R ），y=tanx （x ≠k π+2π，k ∈Z ）没有反函数；理解函数y=cosx ， x ∈[0，π]，y=tanx ，x ∈（-2π，2π）有反函数；理解反余弦函数y=arccosx ，反正切函数y=arctanx 的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是（-∞，∞），值域是（-2π，2π）.2．知道反余弦函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]和反正切函数y= arctanx ，x ∈（-∞，∞）的图像.3．掌握等式cos （arccosx ）=x ，x ∈[-1，1]，arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]和tan （arctanx ）=x ，x ∈（-∞，∞），arctan （-x ）=- arctanx ，x ∈（-∞，∞）.4．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.5．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.三、教学重点及难点教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式arccos （-x ）=π-arccosx 、arctan （-x ）=-arctanx 的证明及其使用.四、教学用具准备直尺、多媒体设备五、教学流程设计1 我们学习过反正弦函数，知道，对于函数y=sinx ，x ∈R ，不存在反函数；但在[ππ-,22]存在反函数. 2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一余弦值y 和正切值y 都有无数个角值x 与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得x y cos =或y=tanx 在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y cos =或y=tanx 存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y cos =和y=tanx 在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到x y cos =的一切函数值[]1,1-，y=tanx 一切函数值R. 可以选取闭区间[0，π]，使得x y cos =在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-2π，2π），使得y=tanx 在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、学习新课1．概念辨析（1）反余弦函数和反正切函数的定义：余弦函数y=cosx ， x ∈[0，π]的反函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx ，x ∈[-1，1]；正切函数y=tanx ， x ∈（-2π，2π）的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx ，x ∈（-∞，∞）；（2）反正弦函数的性质：①图像y=arccosx y= arctanx②定义域：函数y=arccosx 的定义域是[-1，1]；函数y= arctanx 的定义域是R.③值域：函数y=arccosx 的值域是[0，π]；函数y= arctanx的值域是（-2π，2π）.④奇偶性：函数y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数，但有arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]；函数y= arctanx 是奇函数，即arctan （-x ）=-arctanx.⑤单调性：函数y=arccosx 是减函数；函数y= arctanx 是增函数.[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=cosx ，x ∈[0，π]与函数y=arccosx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称；函数y=tanx ，x ∈（-2π，2π）与函数y=arctanx ，x ∈R 的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反三角函数的值：（1）arccos 21；（2）arccos （-23）；（3）arccos0；（4）arctan1；（5）arctan （-33） 解：（1）因为cos 3π=21，且3π∈[0，π]，所以arccos 21=3π.（2）因为cos 65π=-23，且65π∈[0，π]，所以arccos （-23）=65π.（3）因为cos 2π=0，且2π∈[0，π]，所以arccos0=2π.（4）因为tan 4π=1，且4π∈（-2π，2π），所以arctan1=4π.（5）因为tan （-6π）=-33，且-6π∈（-2π，2π），所以arctan（-33）=-6π. 例2．在△ABC 中，已知AB=5，BC=12，AC=13，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示∠A 、∠B 、∠C.解：因为AC2=AB2+BC2，所以∠B 是直角，于是有∠A= arcsin 1312= arccos 135=arctan 512；∠B=2π= arcsin1= arccos0；∠C= arcsin 135= arccos 1312=arctan 125.例3．化简下列各式：（1）arccos （cos 7π）；（2）sin[arccos )21(-]；（3）cos[arctan （-1）]解：（1）因为7π∈[0，π]，设cos 7π=α，所以arccos α=7π，即arccos （cos 7π）=7π.（2）因为arccos )21(-=32π，所以sin[arccos )21(-]=sin 32π=23.（3）因为arctan （-1）=-4π，所以cos[arctan （-1）]= cos(-4π)=22. 例4．求下列函数的反函数f-1（x ），并指出反函数的定义域和值域.(1) f （x ）=2π+arccos 2x ；（2）f （x ）=3π-arctan （2x-1）解：（1）设y=2π+arccos 2x ，则arccos 2x = y-2π，因为2x ∈[-1，1]，arccos 2x∈[0，π]，所以x ∈[-2，2]，y ∈[2π，23π]，根据反余弦函数的定义，得2x =cos （y-2π），即x=2cos （y-2π）.将x ，y 互换，得反函数f-1（x ）=2cos （x-2π），定义域是[2π，23π]，值域是[-2，2].（2）设y=3π-arctan （2x-1），即arctan （2x-1）=3π-y ，因为（2x-1）∈R ，arctan （2x-1）∈（-2π，2π），所以x ∈R ，y ∈（25π，27π），根据反正切函数的定义，得2x-1=tan （3π-y ）=-tany ，即x=21（1-tany ），将x ，y 互换，得反函数f-1（x ）=21（1-tanx ），定义域是（25π，27π），值域是R. 3．问题拓展例1．证明等式：arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴cos[arccos （-x ）]= -x ，cos （π-arccosx ）=-cos （arccosx ）=-x又因为arccosx ∈[0，π]，所以（π-arccosx ）∈[0，π]，又arccos （-x ）∈[0，π]，且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1].例2．证明等式：arctan （-x ）=-arctanx ，x R.证明：因为tan arctan （-x ）=-x ，tan （-arctanx ）=-tan arctanx ，又由arctanx （-2π，2π），得-arctanx （-2π，2π），再有arctan（-x ）（-2π，2π），且正切函数在（-2π，2π）上单调递增，所以arctan （-x ）=-arctanx ，x R.[说明]可以通过以上恒等式的证明形成学生严密的逻辑推理能力，但教师应根据学校学生的实际情形进行选择.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由.（1）cos （arccos 2π）=2π；（2）arctan 3π=3；（3）arcsin （-23）= arcos(-21)；（4）arccos 32+ arccos(-32)=0；（5）arctan 3π+ arctan(-3π)=0.解：（1）式不成立，因为2π[-1，1]，故arccos 2π无意义；（2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin （-23）=-3π，而arcos(-21)=32π，两者不等；（4）式不成立，因为把等式arccos （-x ）=π-arccosx 错记成arccos （-x ）=-arccosx ；（5）式成立，因为等式arctan （-x ）=-arctanx.四、课堂小结教师引导学生总结：（1）反余弦函数和反正切函数的定义；（2）反余弦函数和反正切函数的性质.五、作业布置书上练习6.4(2)中的1、2、3、4七、教学设计说明1．关于教学内容本节课是基于学习了反正弦函数之后，类比反正弦函数的概念，学生掌握反余弦函数和反正切函数的概念相对比较容易，所以这节课的主要力量要花在反余弦函数和反正切函数的应用上，特别要注意反正弦函数值和反余弦函数值所表示的角的范围的区别以及反正弦和反余弦恒等式的区别.2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反余弦函数及其反正切函数的性质.。

“ 变式教学” 可分为“ 概念性变式 ” 和“ 过 程性 变式 ” ．
一
馈 的信 息 ， 精心选编题 目， 构建变 式训 练题 组 ， 让 学 生 在 解
答、 变式 、 探 索中 ， 深化对概念的理锯 ， 促 进 认 知结 构 的 内 化 过程 ， 培养学生创造性思维． 案 例 ３ 探 究 抛 物 线 定 义 后 可 设 计 下 面 个 变 式 练 习 ， 检 查 对 抛 物 线 定 义 的 掌握 程 度．
能力． 二、 过 程 变式
（＿ Ｉ ） 概 念 辨析 变式
概念辨析变式主要 是在 引进概 念后 ， 针 对 概 念 的 内 涵 与外延设计辨析型问题 ， 通 过 对 这 些 问 题 的讨 论 ， 达 到 明 确 概念本质 ， 深 化 概 念 理 解 的 目的． 案 例 ２ 在 引入 奇 偶 函数 定 义后 ， 为 让 学 生 透彻 理 解 定 义， 掌握 定 义 的 内 涵 和 外 延 ， 特 别是搞 清楚 “ 定 义 域 关 于 原 点对称” 等有 关 问题 ， 可 利用 辨析 型 变 式 设 计 下 列 变 式 题 组
有 的 纸重 叠 放 置有 多少 层 ？８次 呢 ？ １ ６次 呢 ？
对 于变 式 １ 、 ２ ， 利用定义学生 很快解 出 ， 而对 于变式 ３ ， 应 该 会 部 分 同学 没 有 头 绪 ， 不知 从 何 下手 ． 其 实 点 到 ｚ轴 的 距离 相 当 于 点 到 定 直 线 的距 离 ， 这 里 的定 直 线 不 是 准
概 念 引 入 变 式 主 要将 概 念 还原 到 客 观 实 际 （ 如实例 、 模
变式 １ ： 抛物线 ｙ ＝ ２ ｐ ｘ上 有 一 点 Ｍ （ ２ ， ｍ） 到 焦 点 的 距
离 等 于 ４， 则 Ｐ＝ ， ｍ＝ ． 变式 ２ ： 动 点 到 直 线 ＋５＝０ 的 距 离 减 去 它 到 点 Ｐ（ ２ ， ０ ） 的距 离 所 得 的差 为 ３ ， 判 断点 的 轨 迹 ．

识 进 行 讲 解 的 时候 还 可 以让 学 生联 想
到 函 数 的 基 本 概 念 ， 同 时 还 可 以 给 学
中应 该 对 相 关结论 的推 导 过 程 进 行 详
细 地 展 示 以培 养 学 生 良好 的数 学思 维
能力。
生提 供 一 定的 思考机 会 。
最后 ， 高 中 数 学教 学 具 有 广 泛 的
因此 ， 高 中数 学教 师 可 以利 用数 学 辨 析 题 的形 式来提 高学 生对 高等 数 学 中
的相 关公 式 和 积 分 区间 的理 解 。 同时
ｆ （ ｘ ， ｙ ） －ｆ（ ０ ， ０ ）＝１ 的 点存 在 。 因此 ， 高 中数 学教 师在 对 相 关的 多 元 函数知
道一个函数在 点 ｆ 上 Ｘ和 ｙ的取 值 都 为 ０的 时候 ，那 么它们 在 点 （ ０ ， ０ ） 的 位 置处 是 否存在？并且 ｆ（ × ，ｙ ） 在
点 （ ０ ， ０ ） 处 是 否 具 有 连 续 性？ 通 过
的严 密性 。 因此 ， 它对 高 中数 学教 师
的教 学提 出 了一 定 的要 求 。在 对 高 中
内蒙古乌兰察布市集 宁一 中 樊 国英
高 中生 在 数 学 学 习过 程 中 ， 常常
会 遇 到 概 念 性 较 强 的 辨 析 问 题 。 教 师 应 该 通 过 对 相 关 定理 和 结 论 的 学 习 ，
分 为辨 别 分析 题 和 分 辨释 疑 题 。 高 中 数 学辨 析 题 的 设 置 能 够 大 大地提 高学
在对高中数学领域中涉及到的不同理论和定理要以一种严谨的态度来进行分析和判定我们都知道高中数学中的许多问题都不能直接地通过观察或者实验来得出结论相反只有在严密逻辑思维的引导下才能够更好地验证结论的正确性

正余弦图象和性质概念辨析1.函数的增减性质与图像的升降形态是一个事物的两种不同的表现形式，当函数单调递增时，反映到图像是上升的趋势，当函数单调递减时，反映到图像是下降趋势，“增”“减”用到函数上，“升”“降”用到图像上．2.函数的单调性可以看作函数的“局部”性质，它在定义域的某一个子区间上单调递增（减），因此正弦函数x y sin =的单调增区间有无数多个，可以简写为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k )(Z k ∈， 就是说，k 每取一个整数值，就得到一个单调递增区间，而不能写成：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππππ2,232,2 …， 这里并集符号“ ”用错了．3.周期通常指最小正周期．4.并不是所有周期函数都有最小正周期（如()x f ＝1）．5.不只三角函数才是周期函数，如2)2()(k x x f y -==，[)12,12+-∈k k x （Z k ∈）也是周期函数，它的周期2=T ，它的图像如下所示．6.要分析周期函数的性质，只需在它的一个周期内分析即可，这就是“解剖麻雀”的方法，麻雀虽小，五脏俱全．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮(4-8-3)志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

教学过程 识，既能激发学生的好奇心和求知欲，也能增强爱国主 义情感，为顺利实施本节课的教学目标打下了良好的基 础.接着教师提出 生活实例 1：抛一枚硬币，在落地前，你能确定那 个面朝上吗？ 生活实例 2：班级组织篮球赛，甲同学找到合适机
会，很漂亮地投出一个三分球，那么你能预先确定这个 三分球是否投进吗？
自主权交给学生，让同学们亲历抛掷硬币的随机过程。 唯有如此，才能建构起正确的随机观，才能辩证的理解 随机性中的规律性。
师：接下来，我们增加试验次数，看看有什么新的 发现，历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚 持不懈的做了成千上万次的掷硬币试验.
（引导学生关注数学家的严谨，据说还有一位数学 家，做了八万多次的试验。）
教材分析 第一节课它在人们的生活和生产建设中有着广泛的应
用，也是今后学习概率统计的预备知识，所以它在教材
中处于非常重要的位置。
重点：事件的分类；了解随机事件发生的不确定性
和概率的稳定性；正确理解概率的定义。
难点：随机事件的概率的统计定义。
知识与技能目标：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)了解随机事件,必然事件,不可能事件的概念，
提高.
(2)能利用概率知识正确理解一些现实生活中的随
机现象和实际问题。
情感态度与价值观目标：
(1)能通过亲身试验和感受来理解知识，体会数学
知识与现实世界的联系。
(2)通过发现随机事件的发生既有随机性，又存在
着统计规律性的过程，体会偶然性和必然性的对立统一
的辩证唯物主义思想。
由于大部分学生对于数学缺乏兴趣，学习数学缺少
课例研究综 间的立体信息交互网络，从多方面采取调控措施，保证
述
探究方向的正确性和探究过程的有效性,主要通过整合

教资高中数学科目三简答题论述题辨析题扣分简答和论述题整理1、请简述义务教育阶段数学课程性质。

义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。

（1）首先，义务教育阶段数学课程具有基础性。

数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，是学生全面发展的重要基础，能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础；（2）其次，义务教育阶段数学课程具有普及性。

即义务教育阶段的教育是国家统一实施的所有适龄儿童、少年必须接受的教育，是国家必须予以保障的，属于义务教育。

（3）最后，义务教育阶段数学课程具有发展性。

通过义务教育阶段的数学学习可以培养学生的抽象思维和推理能力，提升创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展，为即将结束义务教育阶段的初中学生的可持续发展而设置的。

2、请简述义务教育阶段数学课程内容的设置要注意哪些方面。

数学课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。

它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。

第一，课程内容的选择要反映社会的需要，即社会需要什么样的人才，学校就需要培养什么样的人才并设置对应的课程内容，比如，现在社会需要创新型和应用型人才，那么数学课程的设置也要考虑到提升学生的创新意识和应用意识；第二，课程内容的组织要符合数学的特点。

数学知识的学习注重严谨性和科学性，因此在课程设时要重视知识的生成过程和推理论证的过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观教学，处理好直观与抽象的关系；要重视数学课程直接经验的获得，处理好直接经验与间接经验的关系；第三，课程内容的选择要要符合学生的认知规律，即贴近学生的生活实际、思维现实和认知经验，要有利于学生体验与理解、思考与探索，同时课程内容的呈现应注意层次性和多样性。

3、《义务教育数学课程标准(2022年版)》有两类行为动词，其中一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解”“理解”“掌握”“运用”，其中另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历”“体验”“探索”，请通过举例说明各含义。

１
两个孩子都是男孩的概率为÷；
厶
［１］小林道正．３天明白概率统计ＥＭ］．上海：上海科学技术 文献出版社，２０１１． Ｅ２］袁震东主编．高级中学课本・数学（高中三年级试用本） ［Ｍ］．上海：上海教育出版社，２００８．
如果男孩是具体的，记该男孩为男’，以与其他
男孩加以区别，这时的样本空间为： Ａ一｛已知有一个是男孩，且为老大｝一｛（男＋，
１
所以另一个小孩也是男孩的概率为÷．
ｏ
解法２的分类是按照老大是男孩，老二是男孩 进行分类的，两者的交集恰为两个都是男孩的情况． 所以，老大是男孩与老二是男孩这两个事件不是对 ｚ１＿万１． 显然，两个答案不一样，而且一时发现不了哪个 有错，问题出在何处？ 立事件，样本空间搞错了，不能利用这种方法求另外 一个孩子也是男孩的概率． 如果这个男孩是具体的，也就是这个男孩是一
１得两个孩子都是男孩的概率为÷，当已知的男孩
’）
为具体的某个确定的男孩时，利用解法２得两个孩
１
子都是男孩的概率为÷．对问题２来讲，“其中一个
厶
可能会导致完全不同的结果．在解决概率问题时，教
师应注意事先明确是怎样的随机试验，样本空间是 什么，基本事件总数和有利事件数的计算都要在同 一个样本空间中进行． 本题也提醒中学教师在讲授概率内容时，不能 一味强调公式的机械记忆与简单模仿应用，把概率 教学变成排列组合内容的简单重复，而是要加深学 生对概率概念本身的理解，培养学生科学、严谨的思 维习惯，这恰恰是现行中学概率教学所欠缺的． 参考文献
１
两个孩子都是男孩的概率为丢．
三、问题启示 问题２是大学《概率统计》教材的常用例题，以 解法１作为解答．之所以解法１、解法２的结果不 同，在于对“一个男孩”理解不同，不同的理解导致了 不同的随机试验及样本空间．如果把“一个男孩”改 为“两个孩子中有男孩子”或“两个孩子不都是女孩” 则不太容易产生误解．但这也是让学生加深对概率 概念理解的机会，可以使他们意识到，在概率问题 中，条件的微妙变化（有时表现为语句的表述差别）

辨析与不等式相关的概念一、“同向相加”与“同向相乘”两个不等式“相加”或“相乘”，要注意施行的前提条件，两个不等式“相加”，只要同向就可以，如b a >，d c >，则d b c a +>+。

而两个不等式“相乘”，不仅要求同向，而且两端还必须同号，如0b a >>，0d c >>，则0bd ac >>，若b a 0>>，d c 0>>，则bd ac 0<<。

切记：同向不等式可以相加，不能相减；同向正值（负值）不等式可以相乘，不能相除。

二、辨析不等式中的“分类讨论”与“分段讨论”解不等式时的讨论可分为两种类型：分类讨论和分段讨论。

当讨论的对象与求解的对象不一致时，称为分类讨论，它主要针对不等式中的参数讨论：当讨论的对象与求解的对象一致时，称为分段讨论，它主要针对不等式中的未知数讨论。

因此对这两种类型的讨论结果的处理也不一样，分类讨论的结果应分情况进行分别表达，而分段讨论则要求各分段内部先求交集（即讨论对象的范围与求解出的范围求交集），然后再对所有各段的结果求并集，即为所求解的结果。

例如，在解不等式1|3x 2||5x |<+--时，对x 分三段讨论，每段的结果是：（1）当23x -<时，7x -<；（2）当5x 23≤≤-时，5x 31≤<；（3）当5x >时，恒成立。

最后的结果应为其并集，即为}31x ,7x |x {>-<或。

又如在解关于x 的不等式)1x 2(log )5x (log a a +≥+时，对参数a 分两类讨论，分类的结果是：（1）1a >时，4x 21≤<-；（2）1a 0<<时，4x ≥。

三、辨析均值定理“证明不等式”与“求函数最值”利用均值定理)0b 0a (ab 2b a >>≥+，证明不等式时，只需满足一个条件，即0b ,0a >>。

基于核心素养的教学案例《用点差法解圆锥曲线问题》作者：杨竹青来源：《学校教育研究》2020年第09期涉及圆锥曲线的弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解，但高中人教版课本并没有直接出现“点差法”。

为此，在讲完数学选修2—1双曲线的性质后，我专门设计了一节点差法解决圆锥曲线问题的拓展课，现把 2019年12月中旬我上课的案例实录如下：一、创设情景，引发思维教师：解析几何是高中数学的一个重要内容，历来是高考的重点内容，在近几年的高考都是2小1大。

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。

前面，我们已经学习了椭圆、双曲线和直线的位置关系，知道了解决这类问题的主要方法。

下面我们先来看一道例题：例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

师：怎样求这条直线的方程？二、自主探索，暴露思维问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，开始了对问题的探索。

教师巡视后请学生说例1的解题思路。

学生1：将直线方程与圆锥曲线方程联立。

通过研究联立之后的方程的解来研究直线与圆锥曲线的问题。

学生2：老师，涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，可采用"点差法"来求解。

师：有的同学可能第一次听到点差法，不知道点差法解题方法，我们今天就通过这节课来解决。

下面请同学1和同学2板演解答。

两位同学用了二种方法，一种韦达定理，一种点差法。

解法1：当直线斜率不存在时，A点不可能为弦的中点，故可设直线方程为y-1=k（x-2），联立方程组，将直线方程代入椭圆方程，消去y得并整理得显然此方程的根的判别式大于0.又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是又因为M为AB的中点，所以，解得故所求直线方程为x+2y-4=0.师：以上两种解法就是求解以定点为中点的弦所在直线方程的常用方法，我们不妨称之为“点差法”和“联立法”（又叫韦达定理法）。

那么，使用“点差法”时要注意什么问题呢？请同学们按学习小组分组讨论上述解法的優劣。

高中数学函数极限证明的例题梳理作者：冯青来源：《成才》 2016年第6期江汉大学冯青函数是被广泛应用的数学概念，在自然科学、工程技术，甚至某些社会科学中都会认识到函数。

研究高中数学函数不等式证明的方法是极限。

无论是再中学数学还是在大学数学中，极限的概念和思想都非常重要，从量变中认识质变，都要用到极限。

我们还能够通过极限研究函数的连续性、可导性、收敛性等概念。

因此极限概念是研究函数的重要概念，具有一定的理论意义和现实意义。

本文梳理了极限概念，归纳总结了部分求极限的方法，在进行不等式极限求解的过程中，巧妙地运用了高中数学中相关的理论知识，达到巩固、复习，培养学生一题多解的思维能力，并希望能把极限的思想运用到更广泛的领域。

一、辨析概念，夯实基础极限思想作为研究函数最基本的方法，早在古代就有比较清楚的描述。

中国魏晋时期杰出的数学家刘薇于公元263年创立了“割圆术”，就是使用了极限的思想。

在近代数学许多分支中一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化。

在19世纪，柯西根据微积分研究的需要改进了极限方法。

近年许多专家学者对函数极限的计算方法作了研究，并取得了一定的突破。

房俊、李广民研究了用中值定理求函数极限的方法；曹学锋、孙幸荣讨论了利用无穷小量计算函数的极限。

极限思想在高中数学函数中的应用越来越大。

众所周知，常见的求极限的方法包含无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等。

但实际在求极限时并不是依靠单一方法，而是把多种方法加以综合运用。

前人在对求函数极限的方法大多是单一的，没有一个对求函数极限的方法进行全面的归纳总结。

对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点，本文通过一些典型例题来讨论求函数极限的解法并加以综合运用。

这就需要学生牢固地掌握求极限的方法并对函数极限的方法加以归纳、总结，希望对初学者有所帮助。

二、重点总结笔者通过查阅资料总结出各种求函数极限的计算技巧，然后结合具体的例子给出这些计算技巧的具体应用，最后对内容进行整合。