高考数学一轮复习 题组层级快练26(含解析)

题组层级快练(二十六)

1．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2 C ．π D.π2

答案 A

解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x cos x ·cos x ＝2cos(x －π

3)，则T ＝2π.

2．下列函数中，周期为π，且在[π4，π

2]上为减函数的是( )

A ．y ＝sin(2x ＋π

2)

B ．y ＝cos(2x ＋π

2)

C ．y ＝sin(x ＋π

2)

D ．y ＝cos(x ＋π

2)

答案 A

解析 对于选项A ，注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π，且在[π4，π

2]上是减函数，故选A.

3．函数y ＝sin(π

4－x )的一个单调递增区间为( )

A ．(3π4，7π4)

B ．(－π4，3π4)

C ．(－π2，π2)

D ．(－3π4，π

4)

答案 A

解析 y ＝sin(π4－x )＝－sin(x －π

4)，

故由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π

2，

解得2k π＋34π≤x ≤2k π＋7

4

π(k ∈Z )．

因此，函数y ＝sin(π4－x )的单调增区间为[2k π＋34π，2k π＋7

4π](k ∈Z )．

4．(2015·湖南洛阳模拟)若函数y ＝sin x ＋φ

3

(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )

A.π

2

B.23π

C.32π

D.53

π 答案 C

解析 sin(－x 3＋φ3)＝sin(x 3＋φ3)观察选项．当φ＝3

2

π时，等式恒成立．

5．函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2

x 是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π

2的奇函数

D ．周期为π

2

的偶函数

答案 D

解析 f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 2

2x ＝1－cos4x 4，则T ＝2π4＝π2且为偶函数．

6．函数g (x )＝sin 2

2x 的单调递增区间是( ) A ．[

k π2，k π2

＋π

4

](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π

4](k ∈Z )

C ．[

k π2＋π4，k π2＋π

2

](k ∈Z )

D ．[k π＋π4，k π＋π

2](k ∈Z )

答案 A

7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π

3，0)成中心对称，那么|φ|的最小值为( )

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

答案 A

解析 依题意得3cos(8π3＋φ)＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－13

6π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值

是π

6

. 8．已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π

3]上是增函数，则实数ω的取值范围是( )

A ．[－3

2，0)

B ．[－3,0)

C ．(0，3

2]

D ．(0,3]

答案 C

解析 由于y ＝sin x 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π

3

]上是增函数，所以ω>0

且

π3·ω≤π2，则0<ω≤32

. 9．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝sin x cos x C ．f (x )＝cos x D ．f (x )＝cos 2

x －sin 2

x

答案 D

解析 因为对任意x ∈R 有f (x )＝f (－x )且f (x －π)＝f (x )，所以f (x )为偶函数且f (x )的最小正周

期为π.故A ，C 错．B 项中，f (x )＝sin x cos x ＝12sin2x 为奇函数，故B 错，D 项中，f (x )＝cos 2x －sin 2x

＝cos2x ，满足条件，故选D.

10．将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤π12，7π12上单调递减

B ．在区间⎣⎢

⎡⎦

⎥

⎤π12，7π12上单调递增

C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减

D ．在区间⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－π6，π3上单调递增 答案 B

解析 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π.

令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，得k π＋π12≤x ≤k π＋7

12π，k ∈Z .

则y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋712π，k ∈Z .

令k ＝0得其中一个增区间为⎣⎢

⎡⎦

⎥

⎤π12，712π，故B 正确．

画出y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的简图，如图，可知y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不具有单调性，故C ，D 错误．

11．(2015·南昌大学附中)设f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f (x )是偶函数的充要条件是( ) A ．f (0)＝1

B ．f (0)＝0