初一上数学-有理数-培优讲义
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有理数培优
能力提升1:有理数的运算
有理数范围内可以进行加、减、乘、除(除数不为0)四则运算,对于相同的有理数相乘,我们规定了简捷算法——有理数的乘方运算,除了要熟悉四则运算的法则之外,还应该注意到:
1、有理数对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算的结果是封闭的(仍是有理数)。
2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立,乘法对加法分配律也成立。
3、由于有了正、负数,加法与减法的界限消失,加、减可以互相转换,统一为代数和。如(-3)-7= (-3)+(-7)。在有理数范围内,除法可以转化为乘法,比如(-5)÷7=(-5)7
1⨯。 能力提升2:有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.
(一)括号的使用
在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.
1 计算:
(2)4
11)54()1()21(12)1()2(219983⨯-÷-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷---⨯- 2. 计算下式的值:
211×555+445×789+555×789+211×445.
3. 计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n .
4. 在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?
(二)用字母表示数
我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:
(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22.
这是一个对具体数的运算,若用字母a 代换100,用字母b 代换2,上述运算过程变为
(a+b)(a-b)=a 2-ab+ab-b 2=a 2-b 2.
于是我们得到了一个重要的计算公式:(a+b)(a-b)=a 2-b 2 ①
这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算. 5 计算 3001×2999的值.
6 计算 103×97×10 009的值.
7 计算:
8 计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).
9 计算:2222
1111(1)(1)(1)(1)23910-
---… 10. 计算: 1111111111()(1)(1)()2319992199821999231998++++++-++++++………… (三)观察算式找规律
11. 某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.
87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.
12. 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.
13.算 1+5+52+53+…+599+5100的值.
14.计算:1111++++12233419981999
⨯⨯⨯⨯… 能力提升3:绝对值
绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题. 下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析.
一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.
结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.
1.a ,b 为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?
(1)|a+b |=|a |+|b |;
(2)|ab |=|a ||b |;(3)|a-b |=|b-a |;
(4)若|a |=b ,则a=b ;
(5)若|a |<|b |,则a <b ;
(6)若a >b ,则|a |>|b |.
2. 设有理数a ,b ,c 在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a |+|a+c |+|c-b |.
3. 已知x <-3,化简:|3+|2-|1+x |||.
4.若0abc ≠,则||||||
a b c a b c ++的所有可能值是什么? 5. 若|x |=3,|y |=2,且|x-y |=y-x ,求x+y 的值.
6.若a ,b ,c 为整数,且|a-b |19+|c-a |99=1,试计算|c-a |+|a-b |+|b-c |的值.
7.若|3|x y -+与|1999|x y +-互为相反数,求2x y x y
+-的值。 8.化简:|3x+1|+|2x-1|
9.已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y 的最大值.
10.设a <b <c <d ,求|x-a |+|x-b |+|x-c |+|x-d |的最小值.
11.若2x+|4-5x |+|1-3x |+4的值恒为常数,求x 该满足的条件及此常数的值.
能力提升4:数轴有理数比较大小