关于PN空间线性算子概率范数的讨论

第２３卷第５期　２００８年ｌ０月　成都信息工程学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＣＨＥＮＧＤＵ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｖ０１．２３　Ｎ０．５　【）ｃｔ．２００８　

文章编号：１６７１．１７４２（２００８）０５．０５４７—０５　

１　引言　关于ＰＮ空间线性算子概率范数的讨论　

迟　杰，　闫常丽　

（成都信息工程学院计算科学系，四川成都６１０２２５）　

摘要：利用单位圆Ｎ（Ｏ，１）讨论ＰＮ空间中线性算子的概率范数的几个性质。　关键词：ＰＮ空间；线性算子；概率范数　中图分类号：０１７７．９１　文献标识码：Ａ　

设Ｒ＝［一ｏ。，＋。。］和Ａ　＝｛Ｆ：Ｒ一［０，１］；Ｆ是不增的左连续函数，且满足Ｖ（０）＝０，Ｆ（＋∞）＝１｝，则Ａ　

是分布函数构成的集合。设Ｄ　△　满足Ｄ　＝｛ＦＥ　Ａ　；ｅ—Ｆ（＋∞）＝１｝，这里ｅ—ｆ（　）记做函数厂在ｚ点的　左极限。分布函数空间△　是一个被通常的点态序函数引起的偏序集，即Ｆ　Ｇ当且仅当对所有实数　都有Ｆ　

（　）　Ｇ（ｚ）。对任何实数ａ，　是满足　

１０，．３７≤ａ，　ｅ口　１　１．　＞口．　

的分布函数。易验证ｅ　是上述偏序集△　中的最大元。　

若分布函数空间△　上的二元算子ｒ：Ａ　×Ａ　一△　满足：对Ｆ，Ｇ，Ｈ∈△　

ｒ（Ｆ，Ｇ），Ｈ）＝ｒ（Ｆ，ｒ（Ｇ，Ｈ））；　ｒ（Ｆ，Ｇ）＝ｒ（Ｇ，Ｆ）；　ｒ（Ｆ，Ｈ）：ｒ（Ｇ，Ｈ）当Ｆ三三三Ｇ时；　ｒ（Ｆ，ｅｎ）＝Ｆ。　

称ｒ是三角函数，典型的连续三角函数是算子ｒＴ和ｒＴ，满足：　

ｒＴ（Ｆ，Ｇ）（ｚ）＝ｓｕｐ｛丁（Ｆ（Ｓ），Ｇ（ｔ））：Ｓ＋ｔ＝　｝　

ｒＴ　（Ｆ，Ｇ）（ｚ）＝ｉｎｆ｛Ｔ　（Ｆ（Ｓ），Ｇ（ｔ））：Ｓ＋ｔ：　｝　

这里Ｆ，Ｇ∈△　，ｚ∈Ｒ，Ｔ和Ｔ　分别是连续的￡一模和ｆ一余模，有如下关系：　Ｔ　（　，Ｙ）＝１一Ｔ（１一ＬＴ，ｌ—　）　定义１　Ｃ１】ＰＮ空间是一个四元组（　，　，ｒ，ｒ　），这里　是向量空间，ｒ和ｒ　分别是连续三角函数，ｒ　ｒ　，　

是从、／，到△　的映射，对任何Ｐ，ｑ∈Ｖ，下面４个条件成立：　

（ＰＮ１）　＝￡口当且仅当Ｐ＝０，０是、／，中的零元；　

（ＰＮ２）　一　＝　Ｄ；　（ＰＮ３）　ｐ＋ｑ　ｒ（　ｐ，　）；　

（ＰＮ４）ＺＪｐ　ｒ　（Ｖａｐ，　（１－　）ｐ），ａ∈［０，１］．　

在定义１中，如果取ｒ＝ｒＴ和ｒ　：ｒ７、，则ＰＮ空间（Ｖ，　，　Ｔ，　丁　）为Ｍｅｎｇｅｒ　ＰＮ空间，并记做（Ｖ，　，Ｔ）。　

若条件（ＰＮ２）和（ＰＮ４）被更强的Ｓｅｒｓｔｎｅｖ条件（Ｓ）：　（　）＝　（ｘ／Ｉ　Ｉ），　≠０取代，则ＰＮ空间（Ｖ，＂１０，ｒ，ｒ　）　即为Ｓｅｒｓｔｎｅｖ　ＰＮ空间。事实上这是容易做到的，只须将（ＰＮ４）条件用Ｖｐ＝ｒＭ（　，　（卜。）　）取代即可，这里Ｍ　

满足Ｍ（口，６）＝ｍｉｎ｛口，ｂ｝。　定义２［　】　设（　，ｌｌ・【１）是经典的赋范空间，Ｇ∈△　并且Ｇ≠ｅ０，￡。。，如果　：　一△　满足，　口＝￡０和　

（　）＝Ｇ（ｚ／ｌｌ　Ｐ　Ｉｌ“）Ｐ≠０，　＞０，ａ三三三０　那么（Ｖ，　）是由（　，ｌＩ・ｌ１）和Ｇ生成的ａ—ｓｉｍｐｌｅ空问。　定义３［０］设（Ｖ，　，ｒ，ｒ　）是ＰＮ空间，对每一个Ｐ∈Ｖ和　＞０，Ｐ的　一邻域为　

（　）：＝｛ｑ∈Ｖ：　ｐ—ｑ（　）＞１一　｝，　

收稿Ｅｔ期：２００７—

０４，１５　５４８　成都信　息　工程　学　院　学报　第２３卷　

Ｖ中的强邻域系为Ｕ　ｐ∈、　ｐ，这里Ｎｐ：＝｛Ｎｐ（　）：　＞０｝。在强拓扑中，Ｎ　（　）的闭包Ｎｐ（　）被定义为Ｎｐ（　）＝　

『＼『　（　）ＵＮ　（　）　，这里Ｎ　（Ａ）　是Ｎ　（　）中所有收敛序列极限点的集合。　

ｖ的强邻域决定了一个Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ拓扑，因此是丁．空间　Ｊ。　

定义４［　］　设（Ｖ，　，ｒ，ｒ　）为ＰＮ空间，我们称、／，中的序列｛　｝　强收敛于　中的点　，如果对每一个　

＞０，都存在自然数使Ｎ得，当”＞Ｎ，Ｐ　Ｅ　Ｎ　（　），称　中的序列｛　｝　强Ｃａｕｃｈｙ收敛于　中的点　，如果对　

每一个　＞０，都存在自然数Ｎ使得，当”，，，ｚ＞Ｎ，７．／　一　（　）＞１一　．　

定义５ｔ５］ＰＮ空间（、／，，　，ｒ，ｒ　）被称为分布紧的（简称Ｄ一紧），如果Ｖ中的每个无穷序列都存在强Ｃａｕｃｈｙ　

收敛子序列。、／，的子集Ａ称为分布紧的（简称Ｄ一紧），如果集合Ａ中的每个无穷序列都存在强Ｃａｕｃｈｙ收敛子序　

列。　定义６［　］　如果对每个实数　＞０，ＰＮ空间（Ｖ，Ｖ，ｆ，ｆ　）中的概率范数Ｖ满足：ｌｉｍ　一＋　Ｖｐ（ａＴ）＝０，或等价　

地ｌｉｒａ　。。　（　）＝￡。。成立，我们称概率范数７２满足Ｌａｆｕｅｒｚａ　Ｇｕｉｌｌｅｎ性质（简记做ＬＧ－性质）。　

定义７［６］　拓扑向量空间Ｅ中的子集Ａ被称做是拓扑有界的，如果对每个收敛到０的实数序列｛ａ　｝　和　

集Ａ中的无穷序列｛　｝　，都有序列｛ａ．ｐ　｝　收敛于拓扑向量空间Ｅ的零元　。　

２线性算子的概率范数　

定义８设Ｈ丁（ｔ）、Ｈ０Ｔ（ｔ）是ＰＮ空间（Ｖ，　，ｒ，ｒ　）到（Ｎ，　，　，／１　）的线性算子，定义　

Ｈ丁（￡）：　。　ｉＮ“ｎｆＩ口）ｖＴ　ｓ’　

【０　ｆ　０　为Ｔ的概率范数。又若　取值Ｄ０，还可定义　

册（ｆ）：　）　‘ｓ　

【０￡　０　为Ｔ的概率范数。　

显然ＨＴ（ｔ）、册（ｔ）非负、单调增、左连续。　

引理１　设（Ｖ，７２，ｒ，ｒ　）是ＰＮ空间，　Ｅ［０，１］，ｔ　Ｅ（０，＋∞），且设　ｐ＝ｒ（Ｖａｐ，　（卜　）户）定义Ｎ（ｔ，　）＝｛Ｐ　∈Ｖ，　（ｔ）＞１一　｝，其中　＝０限于取值于Ｄ０的情形，且约定Ｎ（ｔ，０）＝｛Ｐ　Ｅ　Ｖ：　ｐ（ｔ）＝１｝。　

易知Ｎ（ｔ，　）有下述性质：　对　∈［０，１］，ｔ　Ｅ（０，＋Ｏ０）有　

（１）ｔＮ（１，　）＝Ｎ（ｔ，　）　

（２）ｆ１　ｔ２＝＞Ｎ（ｔｌ，　）　Ｎ（ｔ２，　）　（３）ａｌ　２　Ｎ（ｔ，　１）　』＼，（ｔ，２２）　

证明：　（１）对任意Ｆｆｆ　Ａ　，令Ｆ　代表Ｆ的左连续的伪逆（ｑｕａｓｉ—ｉｎｖｅｒ￣），ｉ．ｅ．，Ｆ　（ｔ）：ｓｕｐ｛　Ｉ　Ｆ（　）＜ｔ｝，ｔ　Ｅ［０，　

１］。由文献［７］可知，对任意Ｆ，Ｇ，ＨＥ△　，Ｈ＝ＶＭ（Ｆ，Ｇ）当且仅当Ｈ　＝Ｆ　＋Ｇ　。　

因此，得到　＝　＋　ｌ一　）　，对所有ＰＥ　Ｖ，口∈［０，１］。　

令　：　—Ｒ　，固定的ｔ∈［０，１］，　（Ｐ）＝　（ｔ），由Ｈ　＝Ｆ　＋Ｇ‘知道　满足：　ｆ（一Ｐ）＝ｆ（Ｐ）且ｆ（户）＝ｆ（ａｐ）＋　（（１一Ｏ１）Ｐ）　因此对任意　∈Ｒ，ｔＥ［０，１］　

（ｔ）＝　（　）：Ｉ　ｌ　（Ｐ）＝Ｉ　Ｉ　（ｔ）　

则　＝ｆ　ｆ　。　

于是得到　（１，　）＝ｔ｛Ｐ　Ｅ　Ｖ：　（１）＞ｌ—　｝　

＝｛　∈Ｖ：　（ｔ）＞１一　｝　

＝｛　∈Ｖ：　（ｔ）＞ｌ—　ｆ　＝Ｎ（ｔ．　）。

　第５期　迟杰等：关于ＰＮ空间线性算子概率范数的讨论　５４９　

（２）令Ｐｌ　Ｅ『＼，（　ｌ，　），即ＰＩ　Ｅ｛　Ｅ　Ｖ：Ｖｐ（ｔ１）＞１一　｝。由于ｔｌ￣ｔ２及引理２得到Ｖｐ（ｔ２）＞ｖｐ（ｔＩ）＞１一　，　

即Ｎ（ｔｌ，　）　Ｎ（ｆ２，　）。　

（３）令Ｐ　Ｊ∈Ｎ（ｔ，　１），即ＰＩ∈｛Ｐ　Ｅ　：Ｖｐ（ｔ）＞１一　ｌ｝。由于　ｌ三三三　２得到７ｄ　ｌ（ｔ）＞１一　１＞ｌ—　２，即Ｐｌ　Ｅ　

｛ＰＥ　Ｖ：７．３　（ｔ）＞ｌ—　２｝。　

引理２令　（Ｐ）：＝ｉｎｆ｛ｔ；ｔ　（ｔ）＞１一　｝，所有　∈［０，１］，ｆ∈（０，＋ＯＯ），得到　（Ｐ）是半范数　，当　＝０　

时得到Ｐ（Ｐ）：＝ｉｎｆ｛ｔ；ｔ，　（ｔ）＝ｌ｝。从而　

（１）｛　∈Ｖ：Ｐａ（Ｐ）＜１｝　Ｎ（１，　）　｛Ｐ　Ｅ　Ｖ：　（Ｐ）＝三三ｌ｝　

（２）｛Ｐ　Ｅ　Ｖ：Ｐ（Ｐ）＜ｌ｝　『＼『（１，０）　｛Ｐ　Ｅ　Ｖ：Ｐ（　）　１｝　

事实上，Ｎ（１，　）是ＰＮ空间的单位球。　

证明：　令Ｕ（Ｐ，　，ｅ）＝｛Ｐ　Ｅ　Ｖ：Ｐａ（Ｐ）＜￡｝，首先，证明结果Ｎ（￡，　）＝Ｕ（Ｐ，　，ｅ）。事实上，对所有Ｐ　Ｅ　Ｎ（￡，　），　

有　

（ｅ）＞ｌ—　。　由分布函数的左连续性，存在￡　Ｅ（０，￡），使得　

（￡）＞Ｖｐ（￡　）＞１一　。　

进一步，有　

ｉｎｆ｛ｔ；Ｖｐ（ｔ）＞ｌ—　｝　￡　ｅ　

所以得到ＰＥ　Ｕ（Ｐ，　，ｅ）　

反过来，令ＰＥ　Ｕ（Ｐ，　，ｅ），得　

（Ｐ）：＝ｉｎｆ｛ｔ；Ｖｐ（ｔ）＞１一　｝＜ｅ　

所以　

ｐ（ｅ）＞ｌ—　。　

即　

ＰＥＮ（ｅ，　）　现在得到结果Ｎ（ｓ，　）＝Ｕ（Ｐ，　，￡），由此容易得到所证结果。　

定理ｌ设Ｔ是ＰＮ空间（Ｖ，　，ｒ，ｒ　）到（Ｎ，Ｆ／，　，　）的线性算子，若（Ｖ，　，ｒ，ｒ　）满足下列条件：　（ＰＮ５）　对所有Ｐ，ｑ　Ｅ　Ｖ，ｔｌ＞０，ｔ２＞０，如果Ｖｐ（ｔ１）＞１一　，　（ｔ２）＞ｌ—　，则有Ｕｐ＋ｑ（ｔｌ＋ｔ２）＞１一　。　

则Ｔ有界的充分必要条件是ｌｉｍ　ＨＴ（ｔ）＝１。　

证明：　首先证明充分性：因ｌｉｍ　ＨＴ（ｔ）＝１，任意　∈（０，１］，存在Ｍ０＞０，对任给￡三三＝Ｍ０，Ｈ丁（ｔ）三三＝Ｈ丁（Ｍ０）＞ｌ—　，　

ｉ洲ｎｆ　ｖｒ．￣（Ｍｏ）＞１一　故：　

存在ａｏＥ（０，１］，使　ｎｆ　ｎ（Ｍｏ）＞１一　。　．　～Ｉ．ａ　ｊ　设Ａ是（Ｖ，　，ｒ，ｚ－　）中任一概率有界集，由于（、，，，　，ｒ，ｒ　）满足下列条件：　对所有Ｐ，ｑ　Ｅ　Ｖ，ｔｌ＞０，ｔ２＞０，如果　（ｔ１）＞ｌ—　，ｔ，ｑ（ｔ２）＞１一　，则有＂Ｕｐ＋ｑ（　ｌ＋￡２）＞ｌ—　。　

对上述ａ０，存在Ｍｌ＞０，使Ａ　Ｎ（Ｍｌ，ａｏ）。由引理１，　

Ａ　Ｎ（１，口ｏ）　

令Ｍ＝Ｍ０Ｍｌ，所有Ｖ　ＥＡ，有　

（Ｍ）　丁（　）（Ｍｏ）＞卜　即ＴＡＣ＿Ｎ（Ｍ，　）　

于是丁有界。　下面证明必要性（反证法）：若ｌｉｍ　Ｈ丁（ｔ）≠ｌ，则存在　０　Ｅ（０，１］，对任意ｔ＞０，Ｈ丁（ｔ）＜１一　，即对任意　

￡＞０．。　ｈ∈ｉＮｎ（ｆ１．。］　ｎ（ｆ）＜卜　。

　５５０　成部信息　工程学　院　学报　第２３卷　

任给自然数　洲ｉｎｆ．　．Ｖ－ｒ，．（”）＜ｌ—　。故存在ｘ　Ｅ　Ｎ（１，去），使　（”）＜ｌ—　，Ｎ　Ｉ　ｘ，　｝必为概率有界　

集。　

事实上，对Ｖ　ａ　Ｅ（ｏ，１］，３”。，”　１ｌ０，去＜ａ，．Ｔｎ∈Ｎ（１，　）　Ｎ（１，　）。当”　”。时，ｚ。，　（，『ｆ）＞Ｊ—　，令　

Ｍｏ＝ｍａｘ｛１，ｔｌ，ｔ２，…　ｔ．　｝，则　｝　Ｎ（Ｍｏ，ａ）。　

但丁有界，｛Ｔｘ，　｝为概率有界集，由引理２，存在Ｍ＝Ｍ（　０）＞０，使｛Ｔｘ　｝　』＼，（Ｍ，Ａ０），即　１＿ｒ（Ｍ）＞１～　

０，ｒ／＞Ｍ必有　ｈ＞１一　（），推出矛盾。　

定理证明完成。　

定理２设（Ｖ，　，ｒ，ｒ　），（Ｎ，，『，　，　）是ＰＮ空间，Ｔ是（Ｖ，　，ｒ，ｒ　）到（Ｎ，　，　，　）的线性算子，　ｔ＝　

ｒ（　ｐ，　（１一　）　）（ｔ），　取值于Ｄｏ，则丁将概率一致有界集映为概率一致有界集的充要条件是：存在Ｍ＞０，Ｈ　

（Ｍ）＝ｌ。　证明：　

先证充分性：如果　ｉ洲ｎｆ川　丁ｒ（Ｍ）＝ｌ，亦即对任意　∈Ｎ（１，０），　（Ｍ）＝ｌ，令Ａ为概率一致有界集，因此　

存在Ｍｌ＞０，　ＡＧＮ（１，０）；　ｆｙＪ　ｌ　令Ｍｏ　ＭＩＭ，任意　∈Ａ，由引理ｌ，ｙｒ．（Ｍ０）　Ｔ（蔬）（Ｍ）＝ｌ，即　

Ｎ（Ｍ０，０）。　再证必要性：Ｎ（１，０）为概率一致有界性，由已知条件，任给Ｍ０＞０，ＴＮ（１，０）ＧＮ（Ｍ０，０），即任给．２８∈Ｎ（１，