正弦函数、余弦函数的性质
1．下列结论错误的是（ ）
A ．正弦函数与函数3cos 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是同一函数
B ．向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数
C ．直线32x π=-是正弦函数图象的一条对称轴
D ．点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭
是余弦函数图象的一个对称中心 2.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是( )
A.0
B.4π
C.2
π D.π 3.函数5sin()2
y x π=+的图象的一条对称轴方程是( ) A.2π
-=x B.2x π
= C .x π= D.32
x π= 4．函数2sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（x ∈R ）的最小值等于（ ）
A ．―3
B ．―2
C ．―1
D ．
5．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数，又是周期函数，若()f x 的最小正周期为π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时()sin f x x =，则53
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）
A ．12-
B ．12
C ．2-
D ．2 6． x x y sin sin -=的值域是( )
A.]0,1[-
B.]1,0[
C.]1,1[-
D.]0,2[-
7．已知函数()sin((0))f x x π=+>3
ωω的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）. A. 关于点(0)π3，对称 B. 关于直线x π=4
对称 C. 关于点(0)π4，对称 D. 关于直线x π=3
对称
8．函数ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是下图中的（ ）
9．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ⋅+=，若f （1）=2，则f （2011）=________ ．
10．若f （x ）具有性质：①()f x 为偶函数；②对于任意x ∈R ，都有44f x f x ππ⎛
⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；③24F π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
．则()f x 的解析式可以是________（写出一个即可）． 11.设0ω>，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-
上单调递增，则ω的取值范围是________. 12．函数()3sin(2)3
f x x π=-的图象为C ，以下结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号） ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭内是增函数； ④由y=3sin2x 的图象向右平移
3π个单位长度可以得到图象C ． 13．已知函数()2cos()32
x f x π=- (1)求)(x f 的单调递增区间；(2)若,x ππ⎡⎤⎣⎦∈-，求f(x)的最大值和最小值.
14．已知函数12
1sin ()log 1sin x f x x -=+． （1）求()f x 的定义域、值域；
（2）判断()f x 的奇偶性．
15． 12cos 23y x π⎛⎫=-+
⎪⎝⎭，28,5x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，若该函数是单调函数，求实数a 的最大值．
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数并不只有正弦函数．
2. 【答案】C
【解析】x y 2cos =为偶函数，使用诱导公式.
3. 【答案】C
【解析】(法一：数形结合；法二：特殊值代入检验).
4．【答案】C
【解析】 2sin cos 2sin sin 36326
y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∵x ∈R ，∴y min =－1．
5．【答案】D
【解析】552sin 333332f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 6．【答案】D 【解析】0,sin 0sin sin 202sin ,sin 0x y x x y x x ≥⎧=-=⇒-≤≤⎨<⎩
. 7．【答案】A
8．【答案】A 【解析】当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos x 递增，ln cos y x =也递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，cos x 递减，ln cos y x =也递减，又ln cos y x =为偶函数．
9．【答案】132
【解析】由1313()(2)13(2)(4)()()(2)
f x f x f x f x f x f x f x ⋅+=⇒+=⇒+==+，∴()f x 是以4为周期的周期函数，1313(2011)(50243)(3)(12)(1)2f f f f f =⨯+==+=
=． 10．【答案】()2cos 4f x x =
【解析】根据性质①②可知，()f x 关于直线x=0和4x π
=都对称，而余弦函数中相邻的两对轴之间的距离为半个周期，于是可令周期为2π，令24f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
是函数的最小值，于是可以写出满足条件的一个解析
式为()2cos 4f x x =，当然答案不止一个．
11. 【答案】3[,2]2
【解析】令,,2222x x ππππωωω-
≤≤-≤≤则[,]22ππωω-是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[,]34ππ-⊆[,]22ππ
ωω-， 则342223
2ππωωππ
ω⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪-≥-⎪⎩ 12．【答案】①②③
【解析】 ④y=3sin2x 的图象向右平移3π个单位得23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的图象，非图象C ．向右平移6
π个单位长度可得图象C ． 13．【解析】(1)单增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-
,324,344ππππ (2)()()2,3max min =-=x f x f .
14．【解析】（1）由已知1sin 01sin x x
->+，又有－1≤sin x ≤1，故－1＜sin x ＜1． 故()f x 的定义域为,2x x R x k k Z ππ⎧
⎫∈≠+
∈⎨⎬⎩⎭且． 又1sin (1sin )2211sin 1sin 1sin x x x x x
--++==-++++，因为－1＜sin x ＜1，所以01sin 2x <+<，111sin 2x >+，21211sin 2x >⨯=+，211101sin x
-+>-+=+．故()f x 的值域为（－∞，+∞）． （2）函数的定义域关于原点对称，且sin(―x)=―sin x ． 故1
1221sin()1sin ()log log 1sin()1sin x x f x x x --+-==+--112211sin log log ()1sin 1sin 1sin x f x x x x -==-=--++，故()f x 是奇函数．
15．【解析】由12223k x k ππππ≤+≤+，得244433
k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ）． ∴函数的单调递增区间是244,433k k ππππ⎡
⎤-
+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．
