人教中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题及答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
【答案】（1）∠BME=15°；
（2BC=4；
（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，
当h≥2时，S=18﹣3h．
【解析】
试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；
（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；
（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．
试题解析：解：（1）如图2，
∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°， ∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；
如图3，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4；
（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，
∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，
∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，
∵△CMN∽△CED，
∴，
∴，
解得FM=4﹣，
∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，
②如图3，当h≥2时，
S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h． 考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形
2．（2013年四川攀枝花12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=22．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．
（1）点A的坐标为 ，直线l的解析式为 ；
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
【答案】解：（1）（﹣4，0）；y=x+4．
（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，如图1，
过点C作CF⊥x轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．
过点Q作QE⊥x轴于点E，则BE=BQ•cos∠CBF=5t•35=3t．
∴PE=PB﹣BE=（14﹣2t）﹣3t=14﹣5t，
S=12PM•PE=12×2t×（14﹣5t）=﹣5t2+14t．
②当1＜t≤2时，如图2，
过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t﹣5，PE=AF﹣AP﹣EF=11﹣2t﹣（5t﹣5）=16﹣7t．
S=12PM•PE=12×2t×（16﹣7t）=﹣7t2+16t．
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t﹣4）+（5t﹣5）=7，解得t=167．
当2＜t＜167时，如图3，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，
S=12PM•MQ=12×4×（16﹣7t）=﹣14t+32．
综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为225t14t0
（3）①当0＜t≤1时，22749S5t14t5t55，
∵a=﹣5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大．
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9．
②当1＜t≤2时，22864S7t16t7t77，
∵a=﹣7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87， ∴当t=87时，S有最大值，最大值为647．
③当2＜t＜167时，S=﹣14t+32
∵k=﹣14＜0，∴S随t的增大而减小．
又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．
综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．
（4）t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．
【解析】
（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sin∠DAB=22，利用特殊三角函数值，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式：
∵C（7，4），AB∥CD，∴D（0，4）．
∵sin∠DAB=22，∴∠DAB=45°．∴OA=OD=4．∴A（﹣4，0）．
设直线l的解析式为：y=kx+b，则有4kb0{b4，解得：k1{b4．∴y=x+4．
∴点A坐标为（﹣4，0），直线l的解析式为：y=x+4．
（2）弄清动点的运动过程分别求解：①当0＜t≤1时，如图1；②当1＜t≤2时，如图2；③当2＜t＜167时，如图3．
（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值．
（4）△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论：
①如图4，点M在线段CD上，
MQ=CD﹣DM﹣CQ=7﹣（2t﹣4）﹣（5t﹣5）=16﹣7t，MN=DM=2t﹣4， 由MN=MQ，得16﹣7t=2t﹣4，解得t=209．
②如图5，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，
此时△QMN为等腰三角形，t=125．
∴当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．
考点：一次函数综合题，双动点问题，梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，由实际问题列函数关系式，一次函数和二次函数的性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用．
3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线4ykx交x轴、y轴分别于点A、点B，且ABO的面积为8.
（1）求k的值；
（2）如图，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B作直线BMOP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的延长线上，连接PK，且0PKKBP，2PMBKPB，连接MC，求四边形BOCM的面积.
【答案】（1）1k；（2）4mt；（3）32BOCMS.
【解析】
【分析】
（1）先求出A的坐标，然后利用待定系数法求出k的值；
(2) 过点P作PDx轴，垂足为D，过点C作CEx轴，垂足为E，证PODOCE可得OEPD，进一步得出m与t的函数关系式；
（3）过点O作直线OTAB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，先证出QTBPTO；再证出KPBBPN；设KPBx，通过计算证出POPM；再过点P作PDx轴，垂足为点D，根据tantanOPDBMO得到ODBOPDMO，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM是平行四边形，最后可得其面积为32.
【详解】
解：（1）把0x代入4ykx，4y，
∴4BO，
又∵4ABOS，
∴142AOBO，4AO，
∴(4,0)A，
把4x，0y代入4ykx，
得044k，
解得1k.
故答案为1；
（2）解：把xt代入4yx，4yt， ∴(,4)Ptt
如图，过点P作PDx轴，垂足为D，过点C作CEx轴，垂足为E，
∴90PDOCEO， ∴90PODOPD，
∵线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，
∴90POC，OPOC，
∴90PODEOC，
∴OPDEOC，
∴PODOCE，
∴OEPD，
4mt.
故答案为4mt.
（3）解：如图，过点O作直线OTAB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，
由（1）知，4AOBO，90BOA，
∴ABO为等腰直角三角形，
∴45ABOBAO，9045BOTABOABO，
∴BTTO，
∵90BTO，
∴90TPOTOP，
∵POBM，
∴90BNO，
∴BQTTPO，
∴QTBPTO，
∴QTTP，POBQ，
∴PQTQPT，
∵POPKKB，
∴QBPKKB，QKKP，
∴KQPKPQ，
∴PQTKQPQPTKPQ，TQBTPK，
∴KPBBPN，
