人教版中考数学压轴题24道:二次函数专题
1.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当=时,求t的值;
(3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值.
2.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;
(3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
3.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位
置时,PC+PA 的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.
4.已知函数y =(n 为常数)
(1)当n =5,
①点P (4,b )在此函数图象上,求b 的值;
②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为A (2,2)、B (4,2),当此函数的图象与线段
AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.
(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于
4,求n 的取值范围.
5.在平面直角坐标系
xOy 中(如图),已知抛物线
y =x 2
﹣2x ,其顶点为A .
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标,并说明它的变化情况;
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”
.
①试求抛物线y =x 2
﹣2x 的“不动点”的坐标;
②平移抛物线y =x
2﹣2x ,使所得新抛物线的顶点
B 是该抛物线的“不动点”,其对称轴
与x 轴交于点C ,且四边形OABC 是梯形,求新抛物线的表达式.
6.如图,抛物线C1:y=x2﹣2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,它们相交于O,C两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点A,OA=2OB.
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;
(3)M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MO,MC,M运动到什么位置时,△MOC面积最大?并求出最大面积.
7.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(﹣3,0),C(1,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
8.如图,抛物线y=ax2+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y=﹣x与该抛物线交于E,F两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值.(3)以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点M,使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形?若存在,直接写出M点坐标;若不存在,说明理由.
9.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,﹣3).点P、Q是抛物线y=ax2+bx+c上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P在直线OD下方时,求△POD面积的最大值.
(3)直线OQ与线段BC相交于点E,当△OBE与△ABC相似时,求点Q的坐标.
10.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?
(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C 为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.
11.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象过点(2,﹣1),点P(P与O不重合)是图象上的一点,直线l过点(0,1)且平行于x轴.PM⊥l于点M,点F(0,﹣1).
(1)求二次函数的解析式;
(2)求证:点P在线段MF的中垂线上;
(3)设直线PF交二次函数的图象于另一点Q,QN⊥l于点N,线段MF的中垂线交l 于点R,求的值;
(4)试判断点R与以线段PQ为直径的圆的位置关系.
12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线经过点D(﹣2,﹣3)和点E(3,2),点P 是第一象限抛物线上的一个动点.
(1)求直线DE和抛物线的表达式;
(2)在y轴上取点F(0,1),连接PF,PB,当四边形OBPF的面积是7时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴的右侧时,直线DE上存在两点M,N (点M在点N的上方),且MN=2,动点Q从点P出发,沿P→M→N→A的路线运动到终点A,当点Q的运动路程最短时,请直接写出此时点N的坐标.
13.如图,抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,抛物线与x轴交于点A和点B,与y 轴交于点C,且点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=x2+bx+c图象x轴下方部分沿x轴向上翻折,保留抛物线在x轴上的点和x轴上方图象,得到的新图象与直线y=t恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D,E,F,G.当以EF为直径的圆过点Q(2,1)时,求t的值;
(3)在抛物线y=x2+bx+c上,当m≤x≤n时,y的取值范围是m≤y≤7,请直接写出x 的取值范围.
14.把函数C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点P(m,0)旋转180°,得到新函数C2的图象,我们称C2是C1关于点P的相关函数.C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为(t,0).
(1)填空:t的值为(用含m的代数式表示)
(2)若a=﹣1,当≤x≤t时,函数C1的最大值为y1,最小值为y2,且y1﹣y2=1,求C2的解析式;
(3)当m=0时,C2的图象与x轴相交于A,B两点(点A在点B的右侧).与y轴相交于点D.把线段AD原点O逆时针旋转90°,得到它的对应线段A′D′,若线A′D′与C2的图象有公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
15.如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交直线AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式
(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标.
16.如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣1与x轴的交点为A(﹣1,0),B(2,0),且与y轴交于C点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点C关于x轴的对称点为C1,M是线段BC1上的一个动点(不与B、C1重合),ME⊥x轴,MF⊥y轴,垂足分别为E、F,当点M在什么位置时,矩形MFOE的面积最大?说明理由.
(3)已知点P是直线y=x+1上的动点,点Q为抛物线上的动点,当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时,求出相应的点P和点Q的坐标.
17.两条抛物线C1:y1=3x2﹣6x﹣1与C2:y2=x2﹣mx+n的顶点相同.
(1)求抛物线C2的解析式;
(2)点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点,过点A作AP⊥x轴,P为垂足,求AP+OP的最大值;
(3)设抛物线C2的顶点为点C,点B的坐标为(﹣1,﹣4),问在C2的对称轴上是否存在点Q,使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB′,且点B′恰好落在抛物线C2上?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
18.如图,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B、C,与x轴另一交点为A,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
19.已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点A (﹣3,﹣7)和B(3,m)的直线交抛物线的对称轴于点C.
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式.
(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点),是否存在点D,使得S△
DAC=2S△DCM?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点P的坐标.
20.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PCF的面积为5时,求点P的坐标;
(3)当△PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.
21.如图,抛物线y=(x﹣1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,﹣3).P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当点P位于x轴下方时,求△ABP面积的最大值;
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.
①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;
②当h=9时,直接写出△BCP的面积.
22.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线x=,交x轴于点A、B,交y轴于点C,且点A坐标为A(﹣2,0).直线y=﹣mx﹣n(m>0)与抛物线交于点P、Q(点P在点Q 的右边),交y轴于点H.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若n=﹣5,且△CPQ的面积为3,求m的值;
(3)当m≠1时,若n=﹣3m,直线AQ交y轴于点K.设△PQK的面积为S,求S与m 之间的函数解析式.
23.综合与探究
如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,点D的坐标为.(3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标;
(4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
24.如图,在直角坐标系中,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为x=1的抛物线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连接AC.
(1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;
(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案1.解:(1)直线y=﹣x+4中,当x=0时,y=4∴C(0,4)
当y=﹣x+4=0时,解得:x=4
∴B(4,0)
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点
∴解得:
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4
(2)∵B(4,0),C(0,4),∠BOC=90°
∴OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵ME⊥x轴于点E,PB=t
∴∠BEP=90°
∴Rt△BEP中,sin∠PBE=
∴BE=PE=PB=t
∴x M=x P=OE=OB﹣BE=4﹣t,y P=PE=t
∵点M在抛物线上
∴y M=﹣(4﹣t)2+3(4﹣t)+4=﹣t2+5t
∴MP=y M﹣y P=﹣t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON=PE=t
∴NC=OC﹣ON=4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得:t1=,t2=4(点P不与点C重合,故舍去)
∴t的值为
(3)∵∠PEB=90°,BE=PE
∴∠BPE=∠PBE=45°
∴∠MPD=∠BPE=45°
∴∠DMP=90°,即DM∥x轴,与题意矛盾
①若MD=MP,则∠MDP=∠MPD=45°
∵∠AEM90°
②若DM=DP,则∠DMP=∠MPD=45°
∴AE=ME
∵y=﹣x2+3x+4=0时,解得:x1=﹣1,x2=4
∴A(﹣1,0)
∵由(2)得,x M=4﹣t,ME=y M=﹣t2+5t
∴AE=4﹣t﹣(﹣1)=5﹣t
∴5﹣t=﹣t2+5t
解得:t1=1,t2=5(0<t<4,舍去)
如图,记AM与y轴交点为F,过点D作DG⊥y轴于点G
③若MP=DP,则∠PMD=∠PDM
∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF
∴CF=CD
∵A(﹣1,0),M(4﹣t,﹣t2+5t),设直线AM解析式为y=ax+m ∴解得:
∴直线AM:y=tx+t
∴F(0,t)
∴CF=OC﹣OF=4﹣t
∵tx+t=﹣x+4,解得:x=
∴DG=x D=
∵∠CGD=90°,∠DCG=45°
∴CD=DG=
∴4﹣t=
解得:t=﹣1
综上所述,当△PDM是等腰三角形时,t=1或t=﹣1.
2.解:(1)把A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得,
解得,
所以抛物线的函数表达式为y=﹣x2﹣2x+3.
(2)如解(2)图1,过P点作PQ平行y轴,交AC于Q点,
∵A(﹣3,0),C(0,3),
∴直线AC解析式为y=x+3,
设P点坐标为(x,﹣x2﹣2x+3.),则Q点坐标为(x,x+3),
∴PQ=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x.
∴S△P AC=,
∴,
解得:x1=﹣1,x2=﹣2.
当x=﹣1时,P点坐标为(﹣1,4),
当x=﹣2时,P点坐标为(﹣2,3),
综上所述:若△PAC面积为3,点P的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3),
(3)如解(3)图1,过D点作DF垂直x轴于F点,过A点作AE垂直BC于E点,∵D为抛物线y=﹣x2﹣2x+3的顶点,
∴D点坐标为(﹣1,4),
又∵A(﹣3,0),
∴直线AD为y=2x+6,AF=2,DF=4,tan∠DAB=2,
∵B(1,0),C(0,3)
∴tan∠ABC=3,BC=,sin∠ABC=,直线BC解析式为y=﹣3x+3.
∵AB=4,
∴AE=AB?sin∠ABC==,BE=,
∴CE=,
∴tan∠ACB=,
∴tan∠ACB=tan∠PAB=2,
∴∠ACB=∠PAB,
∴使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似,则有两种情况,如解(3)图2Ⅰ.当∠AOM=∠CAB=45°时,△ABC∽△OMA,
即OM为y=﹣x,
设OM与AD的交点M(x,y)
依题意得:,
解得,
即M点为(﹣2,2).
Ⅱ.若∠AOM=∠CBA,即OM∥BC,
∵直线BC解析式为y=﹣3x+3.
∴直线OM为y=﹣3x,设直线OM与AD的交点M(x,y).则
依题意得:,
解得,
即M点为(,),
综上所述:存在使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似的点M,其坐标为(﹣2,2)或(,),
3.解:(1)直线y=﹣5x+5,x=0时,y=5
∴C(0,5)
y=﹣5x+5=0时,解得:x=1
∴A(1,0)
∵抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点
∴解得:
∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5
当y=x2﹣6x+5=0时,解得:x1=1,x2=5
∴B(5,0)
(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于点H
∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)
∴AB=5﹣1=4,OC=5
∴S△ABC=AB?OC=×4×5=10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m,m2﹣6m+5)(1<m<5)
∴MH=|m2﹣6m+5|=﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM=AB?MH=×4(﹣m2+6m﹣5)=﹣2m2+12m﹣10=﹣2(m﹣3)2+8∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[﹣2(m﹣3)2+8]=﹣2(m﹣3)2+18
∴当m=3,即M(3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18
(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD
∴BD=5﹣4=1
∵AB=4,BP=2
∴
∵∠PBD=∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD=AP
∴PC+PA=PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时,PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=
∴PC+PA的最小值为
4.解:(1)当n=5时,
y=,
①将P(4,b)代入y=﹣x 2+x+,
∴b=;
②当x≥5时,当x=5时有最大值为5;
当x<5时,当x=时有最大值为;
∴函数的最大值为;
(2)将点(4,2)代入y=﹣x2+nx+n中,
∴n=,
∴<n<4时,图象与线段AB只有一个交点;
将点(2,2)代入y=﹣x2+nx+n中,
∴n=2,
将点(2,2)代入y=﹣x2+x+中,
∴n=,
∴2≤n<时图象与线段AB只有一个交点;
综上所述:<n<4,2≤n<时,图象与线段AB只有一个交点;(3)n>0时,n>,函数图象如图实线所示.
①如图1中,当点A的纵坐标为4时,