1．某公司打算向它的三个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设1个。
各营业区每年增加的利润与增设的销售店个数有关，具体关系如表1所示。
试规划各营业区应增设销售店的个数，以使公司总利润增加额最大。
：个销售店，C 区增设1个销售店.最大利润为490万元。
贝尔曼（Bellman ）最优化原理：在最优策略的任意一阶段上，无论过去的状态和决策如何，对过去决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优子策略。
2.某公司拟将500万元的资本投入所属的甲、乙、丙三个工厂进行技术改造，各工厂获得投资后年利润将有相应的增长，增长额如表所示。
试确定500万元资解：将问题按工厂分为三个阶段3,2,1=k ，设状态变量k （3,2,1=k ）代表从第k 个工厂到第3个工厂的投资额，决策变量k x 代表第k 个工厂的投资额。
于是有状态转移率k k k x S S -=+1、允许决策集合}0|{)(k k k k k S x x S D ≤≤=和递推关系式：)}()({max )(10k k k k k S x k k x S f x g S f k k -+=+≤≤ )1,2,3(=k0)(44=S f当3=k 时：)}({max }0)({max )(330330333333x g x g S f S x S x ≤≤≤≤=+=于是有表2-1，表中*3x 表示第三个阶段的最优决策。
当2=k 时：)}()({max )(2232202222x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表7-3。
当1=k 时：)}()({max )(1121101111x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表2-3。
然后按计算表格的顺序反推算，可知最优分配方案有两个：（1）甲工厂投资200万元，乙工厂投资200万元，丙工厂投资100万元；（2）甲工厂没有投资，乙工厂投资200万元，丙工厂投资300万元。
按最优分配方案分配投资（资源），年利润将增长210万元。
在现代数学建模中，动态规划和贪心算法是两种常用的方法。
它们具有重要的理论和实际意义，可以在很多实际问题中得到应用。
动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并反复求解子问题来求解整个问题的方法。
它的核心思想是将原问题分解为若干个规模较小的子问题，并将子问题的最优解合并得到原问题的最优解。
动态规划的求解过程通常包括问题的建模、状态的定义、状态转移方程的确定、初始条件的设置和最优解的确定等步骤。
通过动态规划方法，可以大大减少问题的求解时间，提高求解效率。
举个例子，假设我们有一组物品，每个物品有重量和价值两个属性。
我们希望从中选出一些物品放入背包中，使得在背包容量限定的条件下，背包中的物品的总价值最大化。
这个问题可以使用动态规划来解决。
首先，我们定义一个状态变量，表示当前的背包容量和可选择的物品。
然后，我们根据背包容量和可选择的物品进行状态转移，将问题分解为子问题，求解子问题的最优解。
最后，根据最优解的状态，确定原问题的最优解。
与动态规划相比，贪心算法更加简单直接。
贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来达到全局最优解的方法。
贪心算法的核心思想是每一步都做出当前看来最好的选择，并在此基础上构造整个问题的最优解。
贪心算法一般包括问题的建模、贪心策略的确定和解的构造等步骤。
尽管贪心算法不能保证在所有情况下得到最优解，但在一些特定情况下，它可以得到最优解。
举个例子，假设我们要找零钱，现有的零钱包括若干2元、5元和10元的硬币。
我们希望找出一种最少的方案来凑出某个金额。
这个问题可以使用贪心算法来解决。
首先，我们确定贪心策略，即每次选择最大面额的硬币。
然后，我们根据贪心策略进行解的构造，直到凑够目标金额。
动态规划和贪心算法在数学建模中的应用广泛，在实际问题中也有很多的成功应用。
例如，动态规划可以用于求解最短路径、最小生成树等问题；贪心算法可以用于求解调度、路径规划等问题。
同时，动态规划和贪心算法也相互补充和影响。
有一些问题既可以使用动态规划求解，也可以使用贪心算法求解。
在数学建模中常用的方法数学建模是一种利用数学模型来描述和解决实际问题的方法。
它在科学研究、工程技术和经济管理等领域具有广泛的应用。
在数学建模中，常用的方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、离散事件模拟、蒙特卡洛方法等。
下面将对这些方法进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化线性目标函数的方法。
它适用于有着线性关系的问题，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
线性规划的主要方法是使用线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过线性规划算法求解最优解。
2.非线性规划：非线性规划是一种在给定的约束条件下最大化或最小化非线性目标函数的方法。
它适用于有着非线性关系的问题，包括优化设计、模式识别、经济决策等。
非线性规划的主要方法是使用非线性规划模型将问题转化为数学形式，并通过非线性规划算法求解最优解。
3.动态规划：动态规划是一种通过将复杂问题分解为子问题，并利用最优子结构的性质求解问题的方法。
它适用于有着重叠子问题的问题，包括最短路径问题、背包问题、机器调度问题等。
动态规划的主要方法是建立递推关系，通过填表或递归的方式求解最优解。
4.离散事件模拟：离散事件模拟是一种通过模拟系统状态的变化，以评估系统性能的方法。
它适用于有着离散事件发生和连续状态变化的问题，包括排队论、制造过程优化、金融风险评估等。
离散事件模拟的主要方法是建立事件驱动的模拟模型，并通过统计分析得到系统性能的估计。
5.蒙特卡洛方法：蒙特卡洛方法是一种基于概率统计的模拟方法，通过生成随机样本来估计问题的解。
它适用于有着随机性质的问题，包括随机优化、风险分析、可靠性评估等。
蒙特卡洛方法的主要思想是基于大数定律，通过大量的随机模拟次数来逼近问题的解。
除了上述方法外，在数学建模中还可以使用图论、拟合分析、概率论和统计方法等。
图论可用于描述网络结构和路径问题；拟合分析可用于对实际数据进行曲线或曲面拟合；概率论和统计方法可用于建立概率模型和对数据进行统计分析。
常见数学建模模型一、线性规划模型线性规划是一种常用的数学建模方法，它通过建立线性函数和约束条件，寻找最优解。
线性规划可以应用于各种实际问题，如生产调度、资源分配、运输问题等。
通过确定决策变量、目标函数和约束条件，可以建立数学模型，并利用线性规划算法求解最优解。
二、整数规划模型整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量为整数。
整数规划模型常用于一些离散决策问题，如旅行商问题、装箱问题等。
通过引入整数变量和相应的约束条件，可以将问题转化为整数规划模型，并利用整数规划算法求解最优解。
三、非线性规划模型非线性规划是一类目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
非线性规划模型常见于工程设计、经济优化等领域。
通过建立非线性函数和约束条件，可以将问题转化为非线性规划模型，并利用非线性规划算法求解最优解。
四、动态规划模型动态规划是一种通过将问题分解为子问题并以递归方式求解的数学建模方法。
动态规划常用于求解具有最优子结构性质的问题，如背包问题、最短路径问题等。
通过定义状态变量、状态转移方程和边界条件，可以建立动态规划模型，并利用动态规划算法求解最优解。
五、排队论模型排队论是一种研究队列系统的数学理论，可以用于描述和优化各种排队系统，如交通流、生产线、客户服务等。
排队论模型通常包括到达过程、服务过程、队列长度等要素，并通过概率和统计方法分析系统性能，如平均等待时间、系统利用率等。
六、图论模型图论是一种研究图结构和图算法的数学理论，可以用于描述和优化各种实际问题，如网络优化、路径规划、社交网络等。
图论模型通过定义节点、边和权重，以及相应的约束条件，可以建立图论模型，并利用图算法求解最优解。
七、随机模型随机模型是一种考虑不确定性因素的数学建模方法，常用于风险评估、金融建模等领域。
随机模型通过引入随机变量和概率分布，描述不确定性因素，并利用概率和统计方法分析系统行为和性能。
八、模糊模型模糊模型是一种用于处理模糊信息的数学建模方法，常用于模糊推理、模糊控制等领域。
