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第一章 线性规划§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。
自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。
特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。
生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。
若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134max x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。
在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。
而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
1.2 线性规划的Matlab 标准形式线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。
数模练习一某手机运营商准备在一个目前尚未覆盖的区域开展业务，计划投资5000万元来建设中继站。
该区域由15个社区组成，有7个位置可以建设中继站，每个中继站只能覆盖有限个社区。
图1.1.1是该区域的示意图，每个社区简化为一个多边形，每个可以建设中继站的位置已用黑点标出。
由于地理位置等各种条件的不同，每个位置建设中继站的费用也不同，且覆盖范围也不同。
表1.1.2中列出了每个位置建设中继站的费用以及能够覆盖的社区，表1.1.3列出了每个社区的人口数。
表1.1.2 每个位置建设中继站的费用及所能覆盖的社区位置 1 2 3 4 5 6 7 费用（百万元）9 6.5 20 14.51913 10.5 覆盖社区1,2,42,3,54,7,8,15,6,8,98,9,127,10,11,12,1512,13,14,15表1.1.3 每个社区的人口数量社区 1 2 3 4 5 6 7 8910 11 12 13 14 15人口（千人）2413694812 10 11614936问题一：在不超过5000万建设费用的情况下，在何处建设中继站，能够覆盖尽可能多的人口；问题二：考虑到中继站出现故障维修的时候可能会出现所覆盖的社区信号中断等问题，为此对通讯资费进行了调整，规定，仅有一个中继站信号覆盖的小区通讯资费按正常资费的70%收取，有两个或两个以上中继站信号覆盖的小区的通讯资费按正常收取，针对于5000万元的预算，应该如何建设中继站，才能够使得资费的收入达到最大。
问题分析： 问题一，图1.1.11234567891011121314151234567决策变量：为整数）（处建设中继站，位置处不建设中继站，位置i i i i X i ,7110≤≤⎩⎨⎧= 目标函数：},max{··},,max{·},max{·},max{},max{·.},max{··},max{},max{761571471376512611631054954867464253423212311X X y X y X y X X X y X y X X y X X y X X y X y X y X X y X y X y X X y X X y MAX +++++++⋅++++++⋅+⋅=约束条件：5071≤⋅∑=i i i f X用LINGO 软件编程求解，程序如下：sets :positi o n/1..7/:x,f; societ y /1..15/:r;endset s data :r=2 4 13 6 9 4 8 12 10 11 6 14 9 3 6; f=9 6.5 20 14.5 19 13 10.5; enddat amax =r(1)*@smax (x(1),x(3))+r(2)*@smax (x(1),x(2))+r(3)*x(2)+r(4)*x(3)+r(5)*@smax (x(2),x(4))+r(6)*x(4)+r(7)*x(6)+r(8)*@smax (x(4),x(5))+r(9)*@smax (x(4),x(5))+r (10)*@smax (x(3),x(6))+r(11)*x(6)+r(12)*@smax (x(5),x(6),x(7))+ r(13)*x(7)+r(14)*x(7)+r(15)*@smax (x(6),x(7)); @for (positi o n(i):@bin (x));@sum (positi o n(i):x(i)*f(i))<=50; !@max 和@smax 是不同的。
一、线性规划1.简介1.1适用情况用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。
如： （1）资源的合理利用（2）投资的风险与利用问题 （3）合理下料问题 （4）合理配料问题 （5）运 输 问 题 （6）作物布局问题（7）多周期生产平滑模型 （8）公交车调度安排 1.2建立线性规划的条件（1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； （2）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。
1.3线性规划模型的构成决策变量、目标函数、约束条件。
2、一般线性规划问题数学标准形式：目标函数：1max ==∑ njjj z cx约束条件：1,1,2,...,,..0,1,2,...,.=⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑nij j i j ja xb i m s t x j nmatlab 标准形式：3、可以转化为线性规划的问题例：求解下列数学规划问题解：作変量変换1||||,,1,2,3,4,22+-===i i i ii x x x x u v i 并把新变量重新排序成一维变量[]1414,,,,,⎡⎤==⎢⎥⎣⎦L L Tu y u u v v v ，则可把模型转化为线性规划模型其中：[]1,2,3,4,1,2,3,4;=T c 12,1,;2⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦Tb 111111131 - - ⎡⎤⎢⎥= - -⎢⎥⎢⎥ -1 -1 3⎣⎦A 。
利用matlab 计算得最优解：12342,0,=-===x x x x 最优值z=2。
程序如下：略二、整数规划1.简介数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时称为整数规划。
目前流行求解整数规划的方法一般适用于整数线性规划。
1.1整数规划特点1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，出现的情况有①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
③有可行解（存在最优解），但最优解值变差。
数学建模线性规划论文1线性规划（Linear Programming, LP）是一种用于寻求最优解的数学模型，其可以广泛应用于决策支持系统、资源配置、生产计划、货运调度、供应链管理等领域。
本文通过研究一家食品加工企业的原料采购问题，探讨了如何利用线性规划模型优化资源配置，提高企业利润的方法。
在本研究中，通过构建数学模型，确定相关变量以及约束条件，最终得出最优决策方案。
第一章：绪论此章节给出研究的背景和意义，介绍线性规划思想以及研究思路和方法。
第二章：相关理论知识此章节主要介绍最优化理论和线性规划的数学方法，阐述如何基于线性规划模型进行决策分析。
第三章：研究问题的分析此章节详细分析了一家食品加工企业的原料采购问题，包括业务背景、必要假设、变量定义和约束条件，为后续模型构建和求解提供了理论基础。
第四章：模型的构建和求解此章节针对第三章中得出的问题模型，进行数学建模，确定决策变量和目标函数，建立优化线性规划模型。
同时，结合Gauss-Jordan消元法和单纯形法对模型进行求解，计算出模型最优解。
第五章：模型的检验和应用此章节通过对模型的检验、灵敏度分析和场景模拟，检验和验证模型的有效性，并通过实际案例进行应用。
第六章：结论与展望此章节总结本文的研究成果，得出结论和展望未来的研究方向。
总结：本文针对食品加工企业原料采购问题，以线性规划为理论基础，建立了相应的模型，利用线性规划的求解方法，求得了最优的采购方案。
同时，对模型进行灵敏度分析和场景模拟，检验和验证了模型的有效性。
该研究在实际生产中具有重要的应用价值，为企业优化资源配置提供了有力支持。
未来的研究可以进一步拓展线性规划模型的应用范围，并优化模型算法和求解方法，提高模型的精度和效率。
一、课程概述1. 课程名称：数学建模2. 课程性质：专业选修课，面向理工科学生开设3. 课程目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的创新思维和团队协作能力。
4. 课程内容：数学建模的基本理论、方法与应用，包括线性规划、非线性规划、整数规划、图论网络优化、概率与智能优化算法等。
5. 学时安排：32学时，其中理论课24学时，实践课8学时。
二、课程教学计划1. 第一阶段（1-4周）：基础知识与理论（1）数学建模基本概念、方法与应用（2）线性规划的基本理论、模型与求解方法（3）非线性规划的基本理论、模型与求解方法（4）整数规划的基本理论、模型与求解方法2. 第二阶段（5-8周）：图论网络优化与概率优化（1）图论基本概念与网络优化模型（2）概率优化基本理论、模型与求解方法（3）智能优化算法的基本原理与应用3. 第三阶段（9-12周）：实践与案例分析（1）学生分组，完成实际数学建模项目（2）指导教师点评与指导（3）优秀项目展示与交流4. 第四阶段（13-16周）：课程总结与考试（1）课程总结，回顾所学内容（2）布置课后作业，巩固所学知识（3）进行课程考试，检验学习成果三、教学方法与手段1. 讲授法：系统讲解数学建模的基本理论、方法与应用。
2. 案例分析法：通过实际案例，让学生了解数学建模在实际问题中的应用。
3. 实践法：引导学生分组完成实际数学建模项目，提高学生的实际操作能力。
4. 讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的创新思维和团队协作能力。
5. 多媒体教学：利用PPT、视频等多媒体手段，丰富教学内容，提高教学效果。
四、考核方式1. 平时成绩（30%）：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 实践成绩（40%）：包括实际数学建模项目完成情况、指导教师点评等。
3. 期末考试（30%）：书面考试，检验学生对课程知识的掌握程度。
五、教学资源1. 教材：《数学建模与数学实验》、《数学模型》等。
2. 在线资源：中国大学MOOC、网易云课堂等在线课程。
数学建模方法引言数学建模是一种应用数学工具解决实际问题的方法。
它通过建立数学模型来描述和分析现实世界中的各种现象，从而为决策提供科学依据。
本文将介绍几种常见的数学建模方法，帮助初学者了解如何运用数学知识解决实际问题。
确定问题与收集数据在进行数学建模之前，首先需要明确要解决的问题，并收集相关的数据。
这一步骤是建模过程中至关重要的一环，因为数据的质量和完整性直接影响到模型的准确性和可靠性。
问题定义清晰地界定问题的范围和目标是成功建模的第一步。
这包括理解问题的背景、目的以及期望通过建模达到的效果。
数据收集根据问题的需求，收集必要的数据。
这些数据可能来自于实验测量、历史记录、统计报告等。
在收集数据时，要注意数据的有效性和代表性。
建立模型建立数学模型是将现实问题转化为数学问题的过程。
根据问题的性质，可以选择不同的建模方法。
确定变量和参数在模型中，需要区分哪些是变量，哪些是参数。
变量通常是我们想要预测或解释的量，而参数则是模型中的固定值，用于描述系统的特性。
选择数学工具根据问题的特点选择合适的数学工具。
例如，对于连续变化的问题可以使用微分方程；对于优化问题可以使用线性规划或非线性规划等。
求解模型模型建立后，下一步是通过数学方法求解模型，得到问题的解答。
解析解法如果模型简单，可以尝试找到解析解，即用公式直接表示的解。
数值解法对于复杂的模型，通常需要使用数值方法求解，如有限差分法、有限元法等。
模型验证与改进求解完成后，需要对模型进行验证，确保其准确性和适用性。
模型验证通过与实际数据对比，检验模型的预测能力。
如果模型的预测结果与实际数据吻合良好，说明模型是有效的。
模型改进如果模型的预测结果与实际数据有较大偏差，需要对模型进行调整和改进，以提高其准确性。
结论数学建模是一个迭代的过程，涉及到问题定义、数据收集、模型建立、求解以及验证和改进等多个步骤。
通过不断优化模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。
希望本文能为初学者提供一个数学建模的基本框架和方法指导。
数学建模：常见的线性规划问题求解方法1. 引言在数学建模中，线性规划是一种常见的数学模型。
它通常用于求解优化问题，在多个约束条件下找到使目标函数最大或最小的变量值。
本文将介绍几种常见的线性规划问题求解方法。
2. 单纯形法单纯形法是一种经典且高效的线性规划问题求解方法。
它通过不断移动基变量和非基变量来搜索可行解集，并在每次移动后更新目标函数值，直到达到最优解。
该方法适用于标准形式和松弛法形式的线性规划问题。
2.1 算法步骤1.初始化：确定基变量和非基变量，并计算初始相应坐标。
2.计算检验数：根据当前基变量计算检验数，选取检验数最小的非基变量作为入基变量。
3.计算转角系数：根据入基变量计算转角系数，并选择合适的出基变量。
4.更新表格：进行行列交换操作，更新表格中的各项值。
5.结束条件：重复2-4步骤，直至满足结束条件。
2.2 优缺点优点： - 单纯形法的时间复杂度较低，适用于小规模线性规划问题。
- 可以处理带等式约束和不等式约束的线性规划问题。
缺点： - 在某些情况下，单纯形法会陷入梯度消失或梯度爆炸的情况，导致无法找到最优解。
- 处理大规模问题时，计算量较大且可能需要较长时间。
3. 内点法内点法是另一种常见的线性规划求解方法。
与单纯形法不同，内点法通过在可行域内搜索目标函数的最优解。
它使用迭代过程逼近最优解，直到满足停止条件。
3.1 算法步骤1.初始化：选取一个可行解作为初始点，并选择适当的中心路径参数。
2.计算对偶变量：根据当前迭代点计算对偶变量，并更新目标函数值。
3.迭代过程：根据指定的迭代更新方程，在可行域内搜索目标函数的最优解。
4.结束条件：重复2-3步骤，直至满足结束条件。
3.2 优缺点优点： - 内点法相对于单纯形法可以更快地收敛到最优解。
- 在处理大规模问题时，内点法的计算效率更高。
缺点： - 内点法需要选择适当的中心路径参数，不当的选择可能导致迭代过程较慢。
- 对于某些复杂的线性规划问题，内点法可能无法找到最优解。
数学建模中的线性规划方法随着科技和经济的发展，线性规划在多个领域中得到广泛应用，特别是在数学建模中，它是一种非常重要的工具。
在本文中，我们将探讨线性规划的基本概念、求解方法以及在数学建模中的实际应用。
一、基本概念线性规划是一种最优化的数学模型，通常用于寻找最大或最小值的解决方案。
这种模型通常由多个线性约束条件组成，并有一个或多个变量需要优化。
线性规划的目标是通过最小化或最大化目标函数，找到最优解。
一个典型的线性规划问题可以用如下的形式表示：\begin{aligned} & \min/\max\ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ &\text{subject to:} \\ & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n\leq b_1 \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\ & \vdots \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \leqb_m \\ & x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, \ldots, x_n \geq 0 \end{aligned}其中，$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$是待优化的目标函数，$a_{ij}$和$b_i$是已知的线性不等式限制条件。
二、求解方法线性规划有多种求解方法，包括单纯形法、内点法、网络流方法等。
其中，单纯形法是最常用的方法之一。
单纯形法是一种迭代的算法，它从一个起始基（基向量组成的矩阵）开始，不断交替地找出进入基的变量和离开基的变量，从而求出最优解。
具体步骤如下：1. 将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数为最小化，并且所有约束条件都是等式形式。
2. 构造初始基。
3. 计算基的费用向量，即基所对应的目标函数系数。
A题:期末考试监考安排每学期期末,各院系教务人员都要针对学校教务处下达的考试任务进行监考教师安排,传统的手工安排方式效率低且容易出错。
我们想从数学方面分析该问题，以期能给各院系教务人员有所帮助，假设某学院期末考试现有的监考教师、考试课程、各专业及人数、教室情况如下：1、考试时间一天分三个时间段：上午 8：00——11:45下午 14:20——17:30晚上 19:45——21:20一个教室前后2门课程的考试时间间隔不能少于20分钟。
周一——周日都可以安排考试。
期末考试开始时间为2012年7月1日。
2、监考教师共有80为监考教师，分别是A1，A2，A3 …… A80，监考教师分为3种情况。
情况1：A1——A10是教授，学校规定教授监考不能超过2场；情况2：A11——A20是有特殊情况的教师，其监考不能超过3场；情况3：A21——A80教师的监考场数没有限制。
每个考场需要2位监考教师。
在安排监考的时候要保证各种情况下的教师监考场数尽量平均。
3、考试课程共有100门考试课程，分别是B1，B2，…… B100，考试课程分为3种情况。
情况1：B1——B20，考试时间需要60分钟；情况2：B21——B80，考试时间需要90分钟；情况3：B81——B100，考试时间需要120分钟。
4、参加考试各专业，人数，所学课程共有50个专业，分别是C1，C2， (50)各专业的人数，参加考试的课程见附件1的excel表格。
假设每个专业内的学生所选的课程一致。
5、能够作为考场的教室情况共有50个教室可供选择，分别是D1，D2，D3 …… D50，教室分为3种情况。
情况1：D1——D15，可以容纳30人考试；情况2：D16——D40，可以容纳45人考试；情况3：D41——D50，可以容纳60人考试。
问题：1、假设不能出现合考的情况，即不能把2门不同的课程放在同一考场一起考试。
学校想要在最短的时间内考完所有课程，求出期末考试的最短时间。
实验一：数学规划模型AMPL求解专业年级：2014级信息与计算科学1班姓名：黄志锐学号：201430120110一、实验目的1. 熟悉启动AMPL的方法。
2. 熟悉SCITE编辑软件的运行。
3. 熟悉AMPL基本编程。
4. 熟悉AMPL求解数学规划模型的过程。
二、实验内容1. 用AMPL求解下列问题并作灵敏度分析:一奶制品加工厂用牛奶生产A1和A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤A2，且都能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
先加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制，试为该厂制定一个计划，使每天的获利最大。
基本模型：根据题意，设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2，每天获利为z元，则可建立线性规划模型如下：max z=72x1+64x2s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1≥0,x2≥0模型求解：使用AMPL编程求解上述线性规划模型（并作敏感性分析）代码如下：结果分析：使用AMPL编程求解上述线性规划模型（并作敏感性分析）结果如下：通过分析上述结果可知，该线性规划模型的全局最优解为x1=20,x2=30，则最优值为3360（即最大利润为3360元）。
求解过程中迭代次数为2次。
对上述线性规划模型进行敏感度分析有：1.目标函数系数变化范围：x.rc x.down x.up :=x1 0 64 96x2 0 48 72;即x.rc为最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量; x.down,x.up为最优解不变时目标函数系数允许变化范围。
2.影子价格raw = 48 原料增加1单位, 利润增长48;time = 2 时间增加1单位, 利润增长2;capacity = 0 加工能力增长不影响利润即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，甲类设备的影子价格为0元。
01-线性规划(数学建模) 线性规划是一种数学建模技术，用于解决一类特定的优化问题。
这些问题通常涉及到在一组线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。
线性规划的应用广泛，包括诸如生产计划、货物运输、资源分配等问题。
线性规划的基本模型由以下三个要素组成：1.决策变量：这是我们希望优化的变量。
它们通常是连续的实数变量，可以在问题中自由设定其范围。
2.目标函数：这是我们希望最大化或最小化的函数。
目标函数通常是决策变量的线性函数。
3.约束条件：这些是限制决策变量选择的条件。
它们通常是由决策变量的线性不等式或等式表示。
线性规划问题的一般形式可以表示为：最大化（或最小化）目标函数: c^T x在满足以下条件的情况下：Ax = bx >= lbx <= ub其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右侧常数向量，lb和ub分别是决策变量的下界和上界。
线性规划问题的求解方法有很多种，其中最常用的方法是使用单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过在约束条件下不断迭代，寻找最优解。
在每次迭代中，我们根据目标函数的系数和约束条件，计算出每个约束条件的"优势"，然后选择具有最大优势的约束条件进行扩展，直到找到最优解或确定无解。
线性规划问题在现实世界中的应用非常广泛。
例如，我们可以使用线性规划来安排生产计划，使得总成本最低。
我们也可以使用线性规划来分配资源，使得某种资源的需求总和不超过供应总和。
下面是一个具体的例子：假设我们有一个公司，生产三种产品：A、B和C。
每种产品都有各自的生产成本（单位成本），以及各自的预期销售量（单位售价）。
我们希望确定每种产品的生产量，以使得总生产成本最低，同时总销售收入最高。
这个问题可以通过一个线性规划来解决。
我们可以将生产量作为决策变量，将总生产成本和总销售收入分别作为目标函数和约束条件。
通过求解这个线性规划问题，我们可以得到最优的生产计划。
常用数学建模方法及实例数学建模是将实际问题转化为数学模型，通过数学方法进行求解和分析的过程。
常用的数学建模方法包括线性规划、整数规划、非线性规划、图论、动态规划等。
一、线性规划线性规划是一种用于求解线性约束下目标函数的最优值的方法。
它常用于资源分配、生产计划、供应链管理等领域。
例1：公司有两个工厂生产产品A和产品B，两种产品的生产过程需要使用原材料X和Y。
产品A和产品B的利润分别为10和8、工厂1每小时生产产品A需要1个单位的X和2个单位的Y，每小时生产产品B需要2个单位的X和1个单位的Y。
工厂2每小时生产产品A需要2个单位的X和1个单位的Y，每小时生产产品B需要1个单位的X和3个单位的Y。
公司给定了每种原材料的供应量，求使公司利润最大化的生产计划。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展，要求变量的取值为整数。
整数规划常用于离散决策问题。
例2：公司有5个项目需要投资，每个项目的投资金额和预期回报率如下表所示。
公司有100万元的投资资金，为了最大化总回报率，应该选择哪几个项目进行投资？项目投资金额（万元）预期回报率1207%2306%3409%4104%5508%三、非线性规划非线性规划是一种求解非线性目标函数下约束条件的最优值的方法。
它广泛应用于经济、金融和工程等领域。
例3：公司通过降低售价和增加广告费用来提高销售额。
已知当售价为p时，销量为q=5000-20p，广告费用为a时，销售额为s=p*q-2000a。
已知售价的范围为0≤p≤100，广告费用的范围为0≤a≤200，公司希望最大化销售额，求最优的售价和广告费用。
四、图论图论是一种用于研究图（由节点和边组成）之间关系和性质的数学方法，常用于网络分析、路径优化、社交网络等领域。
例4：求解最短路径问题。
已知一个有向图，图中每个节点表示一个城市，每条边表示两个城市之间的道路，边上的权重表示两个城市之间的距离。
求从起始城市到目标城市的最短路径。
五、动态规划动态规划是一种通过将问题划分为子问题进行求解的方法，常用于求解最优化问题。
