《高等数学》课程教学改革情况

《高等数学》课程教学改革情况

《高等数学》课程作为非数学专业数学基础课程，历来受到重视，并由理工科向文科不断推进。我校己在理工科专业物理、化学、计算机、生物、生化、信管和文科专业：工商管理、行政管理、旅游管理等开设《高等数学》课程。

1、基本情况

从1999年来，我们承担和主持校级以上《高等数学》教学研究课题３项：《师专物理、化学专业高等数学课程教学内容和体系的研究与实践》（陕西省教育厅教学研究项目984037）、《大学数学课程改革研究》（安康师专系部重点研究项目2003AZXZ001）和《数学实验与高等数学教学》（安康师专科研项目2004AZX003）；获得市级以上学会组织奖励４项：《师专物理、化学专业高等数学课程建设的调查分析》（2003年全国高等师范专科教学研究会优秀论文二等奖）、《高等数学极限理论教学改革的研究与实践》（2004年陕西省教育学会优秀论文一等奖）、《利用Ｄirichlt 函数描述连续和导数概念的局部性》和《一致连续函数的判断》（2004年安康市第七次自然科学优秀论文一等奖和二等奖）。21世纪以来，出版高等数学教学用书两部：《高等教学》（上、下册）（杨开春、张富林、赵临龙，陕西人民出版社，2003.7）教材一部和《高等数学自学必读》（谢克藻、张少华，西安地图出版社，2004.1）教学参考书一部，并出版高等教学辅助教学参考书《常微分方程研究新论》（赵临龙，西安地图出版社，2000.1）和《数学模型方法及应用》（熊启才、曹吉利、张东生、赵临龙，重庆大学出版社，2003.7）两部；发表教学与科研论文15篇（见参考文献），其中被《ＥＩ》收录论文１篇。

2、教学改革

2.1理论研究。《高等数学》课程作为一门传统课程，其理论体系基本达到完善的程度，但它不等于没有研究的问题。当前教学改革的核心问题，还是针对大学扩招后的学生，提供一套切实可行的教材，这就要求对传统的《高等数学》教材从理

论上作适当处理，自然需要我们对某些理论作进一步讨论，以形成反映现代科技最新成果的教材。

我们在《高等数学》理论研究中，取得以下主要结果：

(1)在函数概念中，给出分段函数的统一表达式。

结论：对于分段函数

f （x ）=12()

()()()f x x a f x x a ≥⎧⎨⎩

若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）= f 2（a ），则 f （x ）= f 1[1

2（

]+ f 1[1

2（

]- f 1（a ）

(2)在极限理论中，给出两个重要极限的简化证明。

Ⅰ 极限0

lim x →[sinx/x] =1 该极限的证明，关键是证不等式:sinx

如图.设单位圆⊙O 的渐开线为

AB .若记∠TOA ＝x ，并过Ｔ作ＴＨ ⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC 切⊙Ｏ且交 AB 及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则

Sinx =TH

=（x ）=TB

因扇形面积ＯAT ＝1

2x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△

A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A 0,T=A n )，则

∑△A i OA i-1=∑

12Sin （x/n ）=12n Sin （x/n ） 此时，扇形面积ＯA T=lim

n →∞∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=12x lim n →∞

[Sin （x/n ）/（x/n ）] 显然当lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）]=1时，扇形面积ＯAT ＝12x ，但令t= x / n ，则该极限为要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。

Ⅱ极限lim

n→∞

（1+1/n）n = e

设A n=（1+1/n）n，利用算术和几何不等式关系，得：

A n=（1+1/n）（1+1/n）……（1+1/n）･1≦[（n（1+1/n）+1）/（n+1）] n+1

即数列{A n}单增。

另外，设Ｂn＝n/（n+1），利用算术和几何不等式关系，得：

Ｂn＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n]≥[（1/2）2･1n-2]=（1/4）1/n

则4≥[（n+1）/ n]= （1+1/n）n

即数列{A n}有上界。

于是，极限Ⅱ存在，并记为数e。

（3）在函数连续中，给出一致连续函数的充要条件。

结论：函数f(x)在区间Ｉ上一致收敛的充要条件是对区间Ｉ上任意两个数到{x n}

与{y n}，当lim

n→∞（x n-y n）=0时，则lim

n→∞

（f(x n)- f(y n)）=0。

(4)在微积分中，给出牛顿——菜布尼兹积分公式的推广形式。

结论：设在[a，b]上f(x)可积，F(X)连续且在（a，b）内除有限个点外均有F′(X)= f(x)，则

a

b

⎰f(x)dx = F(a)- F(b)

(5)在微分方程中，给出二阶线性微分方程不变量解法。

结论：对于方程y〞+p（x）y′+q（x）y=f（x），若存在函数ϕ（x）满足I=p′（x）+2 p（x）- 4 q（x）=ϕ′（x）+2ϕ 2（x），则有方程z〞+ϕ（x）z′+ = f（x）e1/2∫（ϕ- p）dx，其中y=z（x）e1/2∫（p-ϕ）dx。

此结果将二

了f(x)的形式。因此，它自然被《EI》收录。

2.2教材建设.1999-2001年我们在承担陕西省教育厅《高等数学课程体系改革研究与实践》教学项目中，通过调查研究于2001年8月，编写出试用教材《高等数学》