初中数学知识点精讲精析 视图

1.4 全等三角形学习目标1.通过实例，经历全等图形概念的发生过程，了解全等图形的概念。

2.会用全等图形的定义判定两个图形全等。

3.了解全等三角形的概念。

4.理解全等三角形的对应边相等、对应角相等。

知识详解1.能够重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

记作：全等的符号为“≌”。

注意：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

几何语言：如上图：∵△ABC≌△A′B′C′∴AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′【典型例题】例1：下列四个几何体中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是（）A．球B．圆柱C．三棱柱D．圆锥【答案】A【解析】A、球的三视图是相等圆形，符合题意；B、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，不符合题意；C、三棱柱三视图分别为长方形，长方形，三角形，不符合题意；D、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意．例2：下列各组图形中，是全等形的是（）A．一个钝角相等的两个等腰三角形B．两个含60°的直角三角形C．边长为3和5的两个等腰三角形D．腰对应相等的两个直角三角形【答案】D【解析】A、不能确定边长相等，故本选项错误；B、不能确定边长相等，故本选项错误；C、边长为3和5的两个等腰三角形不能确定那个边为腰，故本选项错误；D、腰对应相等的两个直角三角形一定是全等三角形，故本选项正确．例3：下列各组的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确．【误区警示】易错点1：全等图形1.下列四个图形是全等图形的是（）A．（1）和（3）B．（2）和（3）C．（2）和（4）D．（3）和（4）【答案】C【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．由图可得，（2）、（3）、（4）图中的圆形在中间的三角形上，（1）的圆在一边，所以，排除（1）；又（2）、（3）、（4）图中的圆，很明显（3）图中的圆小于（2）、（4）中的圆；所以，排除（3）；所以，能够完全重合的两个图形是（2）、（4）．易错点2：一致图案2.下列图中，与图中的图案完全一致的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．与A、C、D中的图案不一致，只有与B中的图案一致．故选B．【综合提升】针对训练1.下列各组图形中不是全等形的是（）A．B．C．D．2.用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④3.如果两个图形全等，则这个图形必定是（）A．形状相同，但大小不同B．形状大小均相同C．大小相同，但形状不同D．形状大小均不相同1.【答案】B【解析】观察发现，A、C、D选项的两个图形都可以完全重合，∴是全等图形，B选项中圆与椭圆不可能完全重合，∴不是全等形．2.【答案】D【解析】两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．3.【答案】B【解析】如果两个图形全等，则这个图形必定是形状大小完全相同．【中考链接】（2014年广州）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。

4·7 平面图形的密铺1. 密铺的定义用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．2. 密铺的特征（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．3. 能够密铺的多边形能够密铺的多边形有三种：三角形、四边形、正六边形.学习中不仅要了解能密铺的多边形有哪些，还要了解为什么这些图形能够密铺，除了通过实际操作探索外，还要明白内在的数学上的理由.因为三角形的内角和是180°，把相同三角形的顶点拼结在一起时能够容纳6个角（其中三组角两两相等，恰好是两个三角形的内角），可以无重叠无空隙地拼接在一起，四边形是同样的解释.正六边形是因为它的每个内角是120°，把三个正六边形拼接在一起，三个内角的和恰为360°，也能无重叠、无空隙地拼接在一起.难点：不理解密铺所具备的条件.密铺所具备的条件是：多边形的几个内角拼在一起，恰好是360°，即这几个内角的和为360°.易错点：误认为边数为偶数的正多边形都能够密铺.比如：认为正八边形、正十边形可以密铺；其实正八边形、正十边形不能密铺，理由是正八边形的每个内角为135°，两个内角拼在一起小于360°，三个内角拼在一起大于 360°.不能无重叠、无空隙地拼在一起；正十边形也是同样的道理. 例1. 由7个大小、形状完全相同的矩形不重复，无重叠地拼成如图所示的大矩形，大矩形的周长为68，则此大矩形的面积为多少？解：设小矩形的长为x ，宽为y ，由图可知：53452y x y y x ++==⎧⎨⎩即：63452y x y x +==⎧⎨⎩∴=∴=y x 410，∴小矩形的面积为4×10=40，大矩形的面积为7×40=280一变：如图所示，正方形是由K 个形状大小完全相同的矩形密铺而成，其中上下各横排2个，中间竖排若干个，求K 的值.一变解：∴中间有4个矩形，∴共有8个矩形，即：K=8.点拨：此种题要与代数知识、及密铺的一些知识结合起来考虑.设正方形的边长为，矩形的宽为，则矩形的长为a x a 2由图可知：，a x a x a 224+==。

第4节正方形的判定
要点精讲
1．正方形的性质
正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

正方形的对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。

2．正方形的判定方法
（1）先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形
（2）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形
典型例题
【例1】
如图，正方形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作A G⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE=OF
【答案】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO
又A G⊥EB，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3
∴∠1=∠2，∴△BOE △AOF，∴OE=0F
【解析】
利用三角形全等，证明边与边的相等。

【例2】
如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接
BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．
【答案】
因为DE BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以
又
所以∠HDG=∠GHD，
从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
【解析】
准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD。

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证． 【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与 的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。