2023年成都市中考数学试卷及答案

2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）在﹣1.5，﹣3，﹣1，﹣5四个数中，最大的数是（）A．﹣1.5B．﹣3C．﹣1D．﹣52．（4分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成，其主视图大致是（）A．B．C．D．3．（4分）2022年，成都新改扩建幼儿园、中小学80所，新增学位82000个，新建人才公寓10000套、保障性租赁住房61000套，一批医疗卫生、公共服务等重大项目超额完成目标任务．将数据82000用科学记数法表示为（）A．8.2×103B．8.2×104C．8.2×105D．0.82×105 4．（4分）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．（4ab3）2＝4a2b6C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a﹣1）2＝a2﹣15．（4分）如图，OB是∠AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF，添加下列条件，能判定△DOE ≌△FOE的是（）A．∠DOE＝∠EOF，∠ODE＝∠OEF B．OD＝OF，ED⊥OA，EF⊥OC C．DE＝EF，∠ODE＝∠OFE D．OD＝OF，∠ODE＝∠OFE6．（4分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OA、AC，则∠OAC的大小是（）A．18°B．24°C．30°D．36°8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣5，0），下列说法正确的是（）A．b2﹣4ac＜0B．x＞0时，y的值随x值增大而减小C．对称轴是直线x＝﹣3D．9a﹣3b+c＜0二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）在一个不透明的箱子中有黄球和红球共6个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则这个箱子中红球的个数为个．10．（4分）不等式组的解集是11．（4分）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为．12．（4分）方程x2+x＝2（x+1）的解是．13．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交AC于点E，再分别以点A、E为圆心，大于AE长为半径作弧，两弧交点为M，作射线BM与AC交点为F，若∠ACB＝35°，则∠FBD＝°．三、解答题（共48分）14．（12分）（1）计算：﹣（）﹣2+cos30°+（+1）0；（2）先化简，再求值：（﹣）÷（1+），其中x＝+1．15．（8分）成都市近年大力推进老旧院落改造，将过去那些陈旧的、不便的设备设施进行更换和整改，为广大市民打造了宜居的环境．如图，某小区原有一段1.2米长的坡道AC，已知坡道AC与水平地面的夹角（∠ACE）等于30°，为满足无障碍通道的设计要求，改造后的坡道AD与同一水平地面的夹角（∠ADE）等于17°，求改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD．（结果精确到0.01）（参考数据：≈1.73，sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30）16．（8分）为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展2022﹣2023年度学生信息素养提升实践活动．某校九年级460名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”和“10分”5个成绩．为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图：（1）本次抽样调查的学生人数是；本次抽样调查的测试成绩众数是；（2）若测试成绩为8分、9分和10分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数；（3）在本次抽样调查中，有2名男生和2名女生的测试成绩都为10分，现从他们中随机选取2人代表学校参加比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．17．（10分）AB为⊙O直径，AB＝8，点C为的一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，CD＝3，点E是上一点，连结BE、CE，过点C作AB的垂线，交⊙O 于点F，垂足为点H．（1）求AD和FH的长；（2）延长FC、BE交于点G，若，求CG的长．18．（10分）一次函数y＝﹣2x+6与反比例函数（k＞0，k为常数）的图象交点为A（a，4）和点B，点C是反比例函数（k＞0，k为常数）在第三象限内的图象上一点．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；（2）若点C为直线OB与反比例函数的另一个交点，求△ACB的面积；（3）我们将对角线相等且互相垂直的四边形称为“等直四边形”．如图2，在平面内一点D，AB∥CD，且四边形ABCD为“等直四边形”，求点C的坐标．19．（4分）已知x+y＝1，xy＝﹣3，则x2+y2＝．20．（4分）关于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个不同的实数根，则m的取值范围是．21．（4分）正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD各边上，且AE＝2ED，沿正方形EFGH各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到四边形A′B′C′D′，现可在正方形ABCD区域随机取点，则点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为．22．（4分）在平面直角坐标系中，点P（m，y1）和点Q（m+1，y2）在抛物线y＝x2﹣4mx+1上，若y1＝y2，则m＝；若y1＜y2＜1，则m的取值范围是．23．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P是对角线BD上一动点，点Q是AD边上一动点，DP与AQ始终相等，连结AP、BQ，交点为E，连结CE，则tan∠DCE的最小值是．二、解答题（共30分）24．（8分）《成都市“十四五”世界赛事名城建设规划》提出到2025年将每年举办国际和全国赛事达到50项以上，让体育运动深度融入人们日常生活．现需建造一处5100（m2）的多功能场馆，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队比乙队每天多建造2（m2），甲队建造900（m2）与乙队建造720（m2）所需天数相同，甲队施工每天费用为1000元，乙队施工每天费用为600元．（1）求甲、乙两队每天建造的面积；（2）该场馆先由乙队施工，然后由甲队完成剩余的施工，若甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，那么该场馆的建设费用至少需要多少元？25．（10分）如图，Rt△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接CP、PQ，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点G（0，4），设直线GE的解析式为y＝mx+4，直线GF的解析式为y＝nx+4，试探究：m+n是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．（1）点D在BC边上，DE⊥AB，垂足为E，如图1，已知CD＝DE，求BE的长；（2）将（1）中的Rt△BDE绕点B顺时针旋转，连结CE，交直线AB于点G，在CE上方作∠FCE＝∠ABC，∠FCE的边与AB交点为F．①如图2，当点D落在CE上时，求BG的长；②如图3，连结AD，延长CF交AD于点M，在Rt△BDE旋转的过程中，若点M落在BE的垂直平分线上，求此时AM的长．2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．【分析】根据负数比较大小的法则比较即可．【解答】解：∵|﹣1.5|＝1.5，|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，|﹣5|＝5，且5＞3＞1.5＞1，即|﹣5|＞|﹣3|＞|﹣1.5|＞|﹣1|，∴﹣5＜﹣3＜﹣1.5＜﹣1，即最大的数是﹣1．故选：C．【点评】本题考查有理数大小比较中的几个负数比较，解题的关键是掌握负数比较大小的方法，本题还可将所给的几个负数在数轴上表示出来，再确定答案．2．【分析】从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；据此可画出图形．【解答】解：如图所示的几何体的主视图是：故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：82000＝8.2×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：a6÷a3＝a3，故选项A错误，不符合题意；（4ab3）2＝16a2b6，故选项B错误，不符合题意；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选项C正确，符合题意；（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．【解答】解：A、由∠DOE＝∠EOF，∠ODE＝∠OFE，OE＝OE，能判定△DOE≌△FOE，故A不符合题意；B、由ED⊥OA，EF⊥OC得到△DOE和△FOE是直角三角形，又OD＝OF，OE＝OE，由“HL”判定△DOE≌△FOE，故B符合题意；C、由DE＝EF，∠ODE＝∠OF，OE＝OE，不能判定△DOE≌△FOE，故C不符合题意；D、OD＝OF，∠ODE＝∠OFE，OE＝OE，不能判定△DOE≌△FOE，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．6．【分析】根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．【解答】解：关于x的分式方程，去分母可化为x﹣1＝a﹣2（x+1），又因为关于x的分式方程，即有增根x＝﹣1，所以x＝﹣1是方程x﹣1＝a﹣2（x+1）的根，所以a＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．7．【分析】根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB＝∠BOC＝＝72°，∴∠AOC＝144°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝＝18°，故选：A．【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．8．【分析】二次函数图象与系数的关系，Δ＝b2﹣4ac决定与x轴交点情况，对称轴，取特殊值x＝﹣3，进一步确定y的范围．【解答】解：A选项，由题意可知，二次函数与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，故A选项不符合题意．B选项，x＞0是，y的值随x值增大而增大，故B选项不符合题意．C选项，根据对称轴方程得到，x＝﹣2，所以C选项不符合题意．D选项，当x＝﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0，则D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，涉及到二次函数的对称轴方程，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程解的情况．二、填空题（每小题4分，共20分）9．【分析】设这个箱子中红球的个数为x个，再根据概率公式求出x的值即可．【解答】解：设这个箱子中红球的个数为x个．根据题意，得，解得x＝4．答：这个箱子中红球的个数为4个．故答案为：4．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，则不等式组的解集为x＞1，故答案为：x＞1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的基本性质以准确求出每个不等式的解集是解答此题的关键．11．【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质得到＝＝，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵，∴OA：OA′＝2：7，∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'是位似图形，∴四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴＝＝，∴四边形ABCD的周长：四边形A'B'C′D'的周长＝2：7，∵四边形ABCD的周长是8，∴四边形A'B'C′D'的周长为28，故答案为：28．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．12．【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x2+x＝2（x+1），x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．【分析】利用基本作图得到由BM垂直平分AE，所以∠AFB＝90°，则利用互余可计算出∠FBC＝55°，设AC与BD相交于点O，如图，根据矩形的性质得到OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝35°，然后计算∠FBC﹣∠OBC即可．【解答】解：由作法得BM垂直平分AE，∴∠AFB＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣35°＝55°，设AC与BD相交于点O，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝35°，∴∠FBD＝∠FBC﹣∠OBC＝55°﹣35°＝20°．故答案为：20．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．三、解答题（共48分）14．【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）﹣（）﹣2+cos30°+（+1）0＝2﹣4++1＝﹣3；（2）（﹣）÷（1+）＝÷＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．15．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AM，CM的长，进而得出DM的长，即可得出答案．【解答】解：过点A作AM⊥EC于点M，∵∠ACM＝30°，AC＝1.2m，∴AM＝AC＝0.6m，CM＝AC•sin60°＝1.2×≈1.038（m），∵tan∠ADM＝，∴tan17°＝≈0.30，解得：DM＝2，故DC＝DM﹣CM＝2﹣1.038≈0.96（m），答：改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD为0.96米．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的应用，正确得出DM的长是解题关键．16．【分析】（1）由5分的学生人数除以所占百分比得出本次抽样调查的学生人数，即可解决问题；（2）由九年级学生人数乘以测试成绩为“优秀”的人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：（1）本次抽样调查的学生人数为：5÷25%＝20（人）；本次抽样调查中，6分的学生人数为：20×10%＝2（人），9分的学生人数为：20×35%＝7（人），即9分的学生人数最多，∴本次抽样调查的测试成绩众数是9分，故答案为：20人，9分；（2）460×＝368（人），答：估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数为368人；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，∴选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，再利用勾股定理计算出OD，则计算OD﹣OA得到AD的长，由于CF⊥AB，根据垂径定理得到CH＝FH，然后利用面积法求出CH，从而得到FH的长；（2）连接BF、EF，如图，先根据垂径定理得到＝，则利用圆周角定理得到∠BFC ＝∠BEF，再利用圆内接四边形的性质得到∠GEC＝∠BEF，∠GCE＝∠EBF，于是可判断△GCE∽△FBE，利用相似三角形的性质得到＝，接着利用勾股定理计算出OH，从而得到BH的长，然后计算出BF的长，从而可求出CG的长．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵AB＝8，∴OC＝OA＝4，在Rt△OCD中，OD＝＝＝5，∴AD＝OD﹣OA＝5﹣4＝1，∵CF⊥AB，∴CH＝FH，∵CH•OD＝OC•CD，∴CH＝＝，∴FH＝CH＝，即AD的长为1，FH的长为；（2）连接BF、EF，如图，∴＝，∴∠BFC＝∠BEF，∵∠GEC＝∠BFC，∴∠GEC＝∠BEF，∵∠GCE＝∠EBF，∴△GCE∽△FBE，在Rt△OCH中，∵OH＝＝＝，在Rt△BFH中，BF＝＝＝，【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．18．【分析】（1）用待定系数法即可求解；S△ATB＝AT•（x B﹣x C），即可求解；（2）由△ACB的面积＝S△ATC+（3）证明△HGA≌△BNH（AAS），得到GA＝HN，GH＝BN，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：4＝﹣2a+6，则a＝1，即点A （1，4），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×4＝4，联立，解得：，即点B（2，2）；（2）根据点的对称性，点C和点B关于原点对称，则点C（﹣2，﹣2），过点A作AT∥y轴于点T，则点T（1，•1），则AT＝4﹣1＝3，则△ACB的面积＝S△ATC+（3）设AC和BD交于点H，根据“等直四边形”的定义，AC⊥BD，则∠AHB＝90°，且AC＝BD，根据图象的对称性和平行线分线段成比例，△ABH为等腰直角三角形，且AH＝BH，如图，将左侧图部分放大，设点H（m，n），过点H作GN∥y轴，交过点A和x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点N，∵∠GHA+∠GAH＝90°，∠GHA+∠BHN＝90°，∴∠GAH＝∠BHN，∵∠HGA＝∠BNH＝90°，AH＝BH，∴△HGA≌△BNH（AAS），则GA＝HN，GH＝BN，即n﹣2＝1﹣m且4﹣n＝2﹣m，解得：，则点H（，），由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝3x+1②，联立①②得：＝3x+1，解得：x＝1（舍去）或﹣，即点C（﹣，﹣3）．【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到新定义、面积的计算、一次函数的性质等，正确理解新定义是本题解题的关键．一、填空题（每小题4分，共20分）19．【分析】把x+y＝5两边平方，利用完全平方公式展开后将xy的值代入即可求出所求式子的值．【解答】解：x+y＝1两边平方得：x2+2xy+y2＝1，将xy＝﹣3代入得：x2+y2＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．20．【分析】由Δ＞0列出不等式并求得m的值即可．【解答】解：根据题意知，Δ＝（﹣）2﹣4×（m﹣1）＞0且m≥0．解得0≤m＜，故答案为：0≤m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了二次根式有意义的条件．21．【分析】先证明△AEF≌△DHE（AAS），可得AF＝BG＝CH＝DE，根据折叠的性质得A′E＝2D′E，所以A′D′＝AD，同理，A′B′＝B′C′＝C′D′＝AD，根据概率公式即可求出答案．【解答】解：∵∠FEH＝90°，∴∠AEF+∠DEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵∠A＝∠D，EF＝HE，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE＝DH，∴DE＝CH，同理，AF＝BG＝CH＝DE，∵AE＝2ED，∴A′E＝2D′E，∴A′D′＝AD，同理，A′B′＝B′C′＝C′D′＝AD，∴在正方形ABCD区域随机取点，点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了几何概率，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解题的关键．22．【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，当y1＝y2时，点P，Q关于对称轴对称，当y1＜y2＜1时，先求出y＝1时x的值，再分类讨论对称轴的位置求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4mx+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，当y1＝y2时，点P，Q关于对称轴对称，∴＝2m，解得m＝，将x＝0代入y＝x2﹣4mx+1得y＝1，∴抛物线经过（0，1），由抛物线的对称性可得抛物线经过（4m，1），当4m＞0时，＞2m且m+1＜4m，解得＜m＜，当4m＜0时，＞2m，且m+1＜0，解得m＜﹣1，∴＜m＜或m＜﹣1．故答案为：；＜m＜或m＜﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．23．【分析】证明∠AEB＝180°﹣60°＝120°，作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F．当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE 的值最小．设OA＝a，则菱形边长为a，OD＝2a，OC＝a，想办法求出EF，可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥CB，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAQ＝∠ADP＝60°，∵AQ＝DP，∴△ABQ≌△DAP（SAS），∴∠ABQ＝∠DAP，∴∠AEQ＝∠EAB+∠ABE＝∠EAB+∠DAP＝60°，∴∠AEB＝180°﹣60°＝120°，作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F．当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE的值最小．设OA＝a，则菱形边长为a，OD＝2a，OC＝a，∵∠CDF＝∠OEF，∠CFD＝∠OFE，∴△CDF∽△OEF，∴＝＝，即＝＝，解法EF＝a，∴tan∠DCE＝tan∠EOF＝＝．故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．二、解答题（共30分）24．【分析】（1）设乙队每天建造xm2，根据甲队建造900（m2）与乙队建造720（m2）所需天数相同，列分式方程，求解即可；（2）设甲队建造am2，该场馆的建设费为w元，根据甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，列一元一次不等式，求出a的取值范围，再表示出w与a的一次函数，根据一次函数的性质即可确定该场馆的建设费用最小值．【解答】解：（1）设乙队每天建造xm2，根据题意，得，解得x＝8，经检验，x＝8是原分式方程的根，且符合题意，8+2＝10（m2），答：甲队每天建造10m2，乙队每天建造8m2；（2）设甲队建造am2，该场馆的建设费用为w元，根据题意，得a≥2（5100﹣a），解得a≥3400，w＝＝25a+382500，∵25＞0，∴w随着a的增大而增大，当a＝3400时，w取得最小值，最小值为25×3400+382500＝467500（元），答：该场馆的建设费用最少需要467500元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．25．【分析】（1）证明△AOC∽△COB，可得OC＝2，C（0，2），再用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过Q作QH⊥AB于H，由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为y＝﹣x+2，CB＝2，设运动时间为t s，证明△QBH∽△CBO，可得QH＝2﹣t，设△CPQ的面积为S，则S＝BP•OC﹣BP•QH＝BP•（OC﹣QH＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，根据二次函数性质即可得△CPQ的最大面积是，P的坐标为（，0）；（3）设直线EF解析式为y＝kx，由得：x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0，设E （p，kp），F（q，kq），则p，q是x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0的两个实数解，有p+q＝3﹣2k，pq＝﹣4，又kp＝mp+4，kq＝nq+4，可得p＝，q＝，故＝3﹣2k①，•＝﹣4②，化简整理得m+n＝3，即可得到答案．【解答】解：（1）如图：∵A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠CBO，∵∠AOC＝90°＝∠BOC，∴△AOC∽△COB，∴＝，即＝，∴OC＝2，∴C（0，2），把A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过Q作QH⊥AB于H，如图：由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为y＝﹣x+2，CB＝2，设运动时间为t s，则AP＝2t，CQ＝t，∴BP＝5﹣2t，BQ＝2﹣t，∵∠QHB＝90°＝∠COB，∠QBH＝∠CBO，∴△QBH∽△CBO，∴＝，即＝，∴QH＝2﹣t，设△CPQ的面积为S，∴S＝BP•OC﹣BP•QH＝BP•（OC﹣QH）＝（5﹣2t）•t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当t＝时，S取最大值，最大值为，此时BP＝5﹣2t＝，∴OP＝OB﹣BP＝4﹣＝，∴P（，0）；∴△CPQ的最大面积是，P的坐标为（，0）；（3）m+n为定值，理由如下：设直线EF解析式为y＝kx，由得：x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0，设E（p，kp），F（q，kq），则p，q是x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0的两个实数解，∴p+q＝3﹣2k，pq＝﹣4，∵E（p，kp）在直线y＝mx+4上，F（q，kq）在直线y＝nx+4上，∴kp＝mp+4，kq＝nq+4，∴p＝，q＝，∴＝3﹣2k①，•＝﹣4②，由②得（k﹣m）（k﹣n）＝﹣4，由①得：4（k﹣n）+4（k﹣m）＝（3﹣2k）（k﹣m）（k﹣n），∴4（k﹣n）+4（k﹣m）＝（3﹣2k）×（﹣4），化简整理得m+n＝3，∴m+n的值是定值3．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．26．【分析】（1）证明△ABC∽△DBE，由相似三角形的性质得出，设CD＝x，则DE＝x，BD＝4﹣x，得出，解得x＝，则可得出答案；（2）①延长BD交CF于点H，证明△HBC∽△EBG，由相似三角形的性质得出，求出BH和BE的长，则可得出答案；②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，证明△CEN∽△BED，得出，当点B在ND延长线上时，当点B在ND上时，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴△ABC∽△DBE，∴，设CD＝x，则DE＝x，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝4，∴BD＝4﹣x，∴，解得x＝，∴BE＝2；（2）①延长BD交CF于点H，∵∠FCE＝∠ABC，∠DBE＝∠ABC，∴∠FCE＝∠DBE，∴∠BHC＝∠CEB＝90°，∵∠HBC＝∠EBG，∴△HBC∽△EBG，∴，在Rt△BEC中，BC＝4，BE＝2，∴CE＝＝2，∴CD＝CE﹣DE＝2﹣，在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，在Rt△CDH中，sin∠DCH＝，∴DH＝＝，∴BH＝BD+DH＝，∴，∴BG＝；②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，∵∠FCE＝∠DBE，∠CEN＝∠BED＝90°，∴△CEN∽△BED，∴，∵∠DEN＝∠CEB，∴△DEN∽△BEC，∴∠DNE＝∠BCE，，∵NE⊥CE，∴ND⊥BC，∵AC⊥BC，∴ND∥AC，又∵，∴，即ND＝AC，∵ND∥AC，ND＝AC，∴四边形ACDN是平行四边形，∴MC＝MN，在Rt△CEN中，EM是斜边CN的中线，∴ME＝MC＝MN，若点M在BE的垂直平分线上，则MB＝ME，∴MB＝MC＝MN，∴△CBN为直角三角形，即NB⊥BC，又ND⊥BC，∴若点M在BE的垂直平分线上时，N，D，B三点共线，当点B在ND延长线上时，AD＝＝，∴AM＝，当点B在ND上时，AD＝＝，∴AM＝综上所述，当点M在BE的垂直平分线上时，AM的长为或．【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用熟悉的模型，添加辅助线解决问题。

成都市2023年中考数学试卷在成都市2023年的中考数学试卷中，考查了学生们对数学知识和解题能力的综合运用。

试卷设计的题目既有基础知识的考察，也有思维能力和创新思维的发挥，体现了数学学科的综合性和发展性。

试卷的第一部分是选择题，包括了基本的数学运算、代数方程、几何图形等知识点。

这部分题目考查学生们对数学基础知识的掌握和运用能力。

例如，有一道关于代数方程的题目，要求学生解出方程的根，考查了学生们对代数方程的理解和解题方法的熟练程度。

另外，还有一道几何图形的题目，要求学生计算图形的面积和周长，考查了学生们对几何知识的掌握和运用能力。

第二部分是填空题，题目涉及了数学中的实际问题，要求学生们灵活运用数学知识解决问题。

例如，有一道关于比例的填空题，要求学生计算比例中的未知数，考查了学生们对比例概念的理解和应用能力。

另外，还有一道关于利息计算的填空题，要求学生计算存款利息，考查了学生们对利息计算公式的掌握和运用能力。

第三部分是解答题，要求学生们通过推理和思考解决复杂的数学问题。

这部分题目考查了学生们的思维能力和创新思维的发挥。

例如，有一道关于概率的解答题，要求学生计算一个事件发生的概率，考查了学生们对概率概念的理解和概率计算方法的掌握程度。

另外，还有一道关于函数的解答题，要求学生画出函数的图像并分析函数的性质，考查了学生们对函数概念的理解和函数性质的分析能力。

整个试卷的设计体现了数学学科的综合性和发展性，既考查了学生们对数学基础知识的掌握和运用能力，也考查了学生们的思维能力和创新思维的发挥。

通过这样的综合性考查，可以更全面地了解学生们的数学学习情况，并为他们的数学学习提供有益的指导和帮助。

在未来的数学学习中，我们希望学生们能够不断提升数学基础知识的掌握和运用能力，培养自己的思维能力和创新思维，更好地应对复杂的数学问题和挑战。

相信通过努力学习和不断实践，学生们一定能够取得更好的成绩，为自己的未来发展打下坚实的数学基础。

2023年四川省成都市温江区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）中国新能源汽车发展迅速，下列各图是国产新能源汽车图标，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．成都东安湖体育公园主体育场将承担大运会开幕式，该场馆为建筑面积约320000平方米的大型甲级体育场，将320000用科学记数法表示为（）A．3.2×104B．3.2×106C．3.2×105D．32×106 3．（4分）下列计算正确的是（）A．2m﹣m＝1B．（m3）2＝m5C．（a+b）2＝a2＝b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b24．（4分）如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，∠2的度数为（）A．43°B．57°C．33°D．123°5．（4分）若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点P的坐标是（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣3，1）6．（4分）在学校的体育训练中，李明投掷实心球的7次成绩如下表所示，则这7次成绩的中位数是（）次数1234567成绩/米9.79.69.8109.89.910.1 A．9.6米B．9.7米C．9.8米D．9.9米7．（4分）随着退林复耕的全面推进，成都天府绕城生态公园也在向十万亩良田公园变身．其中有两块面积相同的良田公园作为小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦12000kg和14000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg．如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，请列出关于的x分式方程（）A．＝B．＝C．＝D．＝8．（4分）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（）A．13米B．14米C．15米D．16米二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）若a，b互为相反数，则（a+b）2＝．10．（4分）分解因式：3x+x3＝．11．（4分）已知一次函数y＝kx+3的图象如图所示，则k＝．12．（4分）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝140°，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，若P为⊙O上一点，连接AP、DP，则∠APD的度数是．13．（4分）如图，在△ABC中，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，若∠B＝43°，∠C＝50°，则∠EAF＝°．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：（）﹣1+2sin60°﹣+|1﹣|；（2）解不等式组：．15．（8分）随着人们对新能源汽车的认可，新能源汽车公共充电桩的需求量逐渐增大．根据某情报网信息：截止2022年12月，“特来电”“星星充电”“云快充”“国家电网”等企业在全国投放公共充电桩的数量如图所示，其中“星星充电”市场份额为20%．请根据图中信息，解答下列问题：（1）截止2022年12月全国主要公共充电基础设施运营商充电桩总数约为万台．（2）“云快充”的公共充电桩数量为万台，“云快充”的公共充电桩的市场份额为%，请将统计图中“云快充”的公共充电桩数量补充完整并在图中标注出该企业充电桩数量；（3）王鹏收集到下列四个企业的图标，并将其制成编号分别为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余部分完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀，放在桌面上，从中任意抽取一张，不放回，再抽取一张．请你用列表或画树状图的方法，求抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率．16．（8分）（改角度和图形）如图1是一个新款水杯，水杯不盛水时按如图2所示的位置放置，这样可以快速晾干杯底，干净透气，将图2的主体部分的抽象成图3，此时杯口与水平直线的夹角35°，四边形ABCD可以看作矩形，测得AB＝10cm，BC＝8cm，过点A 作AF⊥CE，交CE于点F．求点A到水平直线CE的距离AF的长．（结果精确到1cm，sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）17．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD．（1）求证：AD＝BD；（2）若AB＝4，AC＝1，求的值．18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（0，2），一次函数y＝k+b的图象经过点B，C，反比例函数y＝图象也经过点B．（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出当x＜0时，kx+b﹣＜0的解集．（3）若P是y轴正半轴一点，当△ACP是等腰三角形时，求出点P的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）若m+n＝2，那么代数式的值为．20．（4分）一个三角形的两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程x2﹣14x+48＝0的一个根，则这个三角形的周长为．21．（4分）学习电学知识后，小婷同学用四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于．22．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形BOGC 的面积＝．23．（4分）二次函数f（x）的图象开口向上，D为顶点，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若三角形ABC外接圆与y轴相切，且∠DAC＝150°，则x≠0时，的最小值是．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）经过一年多的精准帮扶，王二家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国．王二家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如表：商品红枣小米规格1kg/袋2kg/袋成本（元/袋）4544售价（元/袋）6054根据如表提供的信息，解答下列问题：（1）已知今年前五个月，王二家网店销售表中规格的红枣和小米共4000kg，获得利润4.2万元，求这前五个月王二家网店销售这种规格的红枣多少袋；（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这后五个月，小明家网店还能销售表中规格的红枣和小米共3000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg．假设这后五个月，销售这种规格的红枣为x（kg），销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M 以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．2023年四川省成都市温江区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：320000＝3.2×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．3．【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方法则，完全平方公式，平方差公式逐项判断即可．【解答】解：2m﹣m＝m，故A错误，不符合题意；（m3）2＝m6，故B错误，不符合题意；（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C错误，不符合题意；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．4．【分析】由“两直线平行，同位角相等”得到∠3＝∠1＝57°，由垂直定义得到∠3+∠2＝90°，由此即可得解．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∠1＝57°，∴∠3＝∠1＝57°，∵EF⊥AB，∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣57°＝33°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等．5．【分析】根据到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．【解答】解：∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，∴点P的横坐标的绝对值为1，纵坐标的绝对值为3，又∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣1，3）．故选：B．【点评】本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键．6．【分析】根据中位数的定义进行计算即可．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：这7次成绩从小到大排列为：9.6、9.7、9.8、9.8、9.9、10、10.1，故中位数为9.8米．故选：C．【点评】本题考查中位数，掌握中位数的定义是正确解答的关键．7．【分析】根据两块试验田每公顷的产量间的关系，可得出第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg，利用种植面积＝，结合两块小麦试验田的面积相等，可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少1500kg，且第一块试验田每公顷的产量为xkg，∴第二块试验田每公顷的产量为（x+1500）kg．根据题意得：＝．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y＝ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝5时y的值即可．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y＝ax2+16，由题意可知，B的坐标为（20，0），∴400a+16＝0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+16，∴当x＝5时，y＝15．∴与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．【分析】互为相反数的两数的和是0，由此即可计算．【解答】解：∵a，b互为相反数，∴a+b＝0，∴（a+b）2＝0．故答案为：0．【点评】本题考查相反数，平方的概念，关键是掌握相反数的定义．10．【分析】用提取公因式的方法因式分解即可．【解答】解：3x+x3＝x（3+x2），故答案为：x（3+x2）．【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．11．【分析】通过一次函数的解析式和60°的角，可以确定OB，OA的长度，再把点A的坐标代入解析式求出k的值．【解答】解：由解析式y＝kx+3可知点B坐标为（0，3），即OB＝3，∵∠BAO＝60°，∴＝，∴＝，OA＝，∴点A的坐标为（﹣，0），把点A（﹣，0）代入解析式y＝kx+3得，0＝﹣k+3，k＝．故答案为：．【点评】本题考查了一次函数的解析式，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值和待定系数法求函数的解析式．12．【分析】根据垂径定理得出∠AOD＝∠BOD，进而求出∠AOD＝70°，再根据圆周角定理可得．【解答】解：∵OC⊥AB，OD为半径，∴，∴∠AOD＝∠BOD，∵∠AOB＝140°，∴∠AOD＝70°，∴∠APD＝∠AOD＝35°．故答案为：35°．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．13．【分析】由题意可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，则AE＝BE，∠EAF＝，即可得∠B＝∠BAE＝43°，∠BAC＝180°﹣50°﹣43°＝87°，根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE求出∠EAC，由∠EAF＝可得答案．【解答】解：由题意可知，DE为线段AB的垂直平分线，AF为∠EAC的平分线，∴AE＝BE，∠EAF＝，∴∠B＝∠BAE＝43°，∵∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣43°＝87°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝44°，∴∠EAF＝＝22°．故答案为：22．【点评】本题考查作图﹣基本作图、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线与角平分线的作图方法及性质、三角形内角和定理是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及绝对值的性质计算即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝3+2×﹣2+﹣1＝3+﹣2+﹣1＝2；（2），解不等式①，得x≤5，解不等式②，得x＞2，故原不等式组的解集为2＜x≤5．【点评】本题考查实数的运算以及解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．【分析】（1）样本中“星星充电”充电桩总数是40万台，占市场份额的20%．根据频率＝进行计算，即可求出答案；（2）根据“各组频数之和等于样本容量200”，即可求出答案，再根据率＝进行计算即可；（3）用列表法表示所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：（1）40÷20%＝200（万台），故答案为：200；（2）200﹣40﹣40﹣25﹣25﹣8﹣8﹣6﹣6﹣4＝30（万台），30÷200×100%＝15%，故答案为：30，15；（3）A，B，C，D的四张卡片不放回抽取2张，所有可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中抽到“A”和“D”的有2种，所以抽取到的两张卡片恰好是“A”和“D”的概率为＝．【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．16．【分析】∠D＝∠BCD＝90°，求出∠DAF＝∠DCE＝55°，即可得出∠BAF的结果，作BM⊥AF于M，BN⊥EF于N，由三角函数得出MF＝BN＝BC•sin35°≈4.59（cm），AM＝AB•cos35°≈8.20（cm），即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠DAF＝∠DCE＝90°﹣35°＝55°，∴∠BAF＝90°﹣55°＝35°；作BM⊥AF于M，BN⊥EF于N，如图所示：则MF＝BN＝BC•sin35°＝0.5736×8≈4.59（cm），AM＝AB•cos35°＝10×0.8192≈8.20（cm），∴AF＝AM+MF＝8.20+4.59≈13（cm）；即A到水平直线CE的距离AF的长为13cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用；通过作辅助线运用三角函数求出AM和BN 是解决问题的关键．17．【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，再根据圆周角定理得到∠ABD ＝∠BAD，从而得到AD＝BD；（2）过C点作CH⊥AB于H，连接OD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝8，利用面积法可计算出CH＝，接着根据等腰直角三角形的性质得到OD⊥AB，OD＝5，然后证明△CEH∽△DOE，则利用相似比得到的值．【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB，∵∠ACD＝∠ABD，∠BCD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD；（2）解：如图所示，连接OD，过点C作CH⊥AB于H，∵AB是⊙O的直径，AB＝4，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝DO＝2，∵AC＝1，∴BC＝＝，∵CH⊥AB，∴S△ABC＝AC⋅BC＝＝AB•CH，∴CH＝，∵AD＝BD，CH⊥AB，∴OD垂直平分AB，∠EHC＝90°，∴∠EOD＝90°，∴∠EHC＝∠EOD，∵∠CEH＝∠DEO，∴△CEH∽△DEO，∴＝＝＝．【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．18．【分析】（1）过点B作BF⊥x轴于点F，利用AAS证明△BFC≌△COA，得CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，可知点B的坐标，代入反比例函数解析式即可；（2）根据图象直接可得答案；（3）分AP＝AC、PA＝PC、CA＝CP三种情形，分别画出图形，从而解决问题．【解答】解：（1）过点B作BF⊥x轴于点F，∵∠BCA＝90°，∴∠BCF+∠ACO＝90°．又∵∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠BCF＝∠CAO，∵∠BFC＝∠COA＝90°，BC＝AC．∴△BFC≌△COA（AAS），∴CF＝OA＝2，BF＝OC＝1，∴点B的坐标为（﹣3，1），将点B的坐标代入反比例函数解析式可得：，解得：k＝﹣3，故可得反比例函数解析式为：；（2）结合点B的坐标及图象，可知：当x＜0时，的解集为：﹣3＜x＜0；（3）分三种情况求解：如图，①当AP＝AC时，∵点P在y轴正半轴，∴P1符合要求，P2不符合要求，∵A（0，2），C（﹣1，0），∴，∴，∴，∴；②当AC＝CP时，P3在y轴负半轴，不符合题意，在正半轴上点P与点A重合，不符合题意，故AC＝CP时，不存在；③当AP＝CP时，设P4（0，m），∴P4C＝P4A＝2﹣m，在Rt△OCP4中，由勾股定理，得12+m2＝（2﹣m）2，解得，，∴，综上所述，点P坐标为或．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，函数与不等式的关系等知识，构造全等三角形求出点B的坐标是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．【分析】m+n＝2，则n＝2﹣m，根据分式混合运算，将已知代入进而化简即可求解．【解答】解：∵m+n＝2，则n＝2﹣m，∴＝＝＝＝＝＝3×2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了分式的化简求值，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．20．【分析】因式分解法解方程求出x的值，再根据三角形三边之间的关系求出符合条件的x的值，最后求出周长即可．【解答】解：∵x2﹣14x+48＝0，即（x﹣6）（x﹣8）＝0，∴x﹣6＝0或x﹣8＝0，解得：x＝6或x＝8，当x＝6时，三角形的三边3+6＝9，构不成三角形，舍去；当x＝8时，这个三角形的周长为3+8+9＝20，故答案为：20．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．21．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，∴小灯泡发光的概率＝＝，故答案为：．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．【分析】由点D、E分别是边AB、AC的中点，可得DE∥BC，DE＝BC，即可得△ADE ∽△ABC与△ODE∽△OFB，又由EC的中点是G，则可得△DEG≌△FCG，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案．【解答】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵△ADE的面积为S，＝4S，∴S△ABC∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∠EDG＝∠F，∠DEG＝∠GCF，∴，又EG＝CG，∴△DEG≌△FCG（AAS），∴DE＝CF，∴BF＝3DE，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OFB，∴，∵AD＝BD，＝S△ADE＝S，∴S△BDE∵AE＝CE＝2EG，＝S△ADE＝S，∴S△DEG∵，＝S△BDE＝S，∴S△ODE＝S△DEG﹣S△ODE＝S，∴S△OEG＝S△ABC﹣S△ADE＝3S，∵S四边形DBCE＝S四边形DBCE﹣S△BDE﹣S△OEG＝3S﹣S﹣S＝S．∴S四边形OBCG故答案为：S．【点评】此题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质以及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比．23．【分析】求出点P、点D的坐标，可得：AH2＝PH•HD；证明△PAC为等边三角形，可得：a2x12＝，则＝＝a（x+）2﹣4ax1，即可求解．【解答】解：设点A、B的坐标分别为：（x1，0），（x2，0），设抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则点D的坐标为：[（x1+x2），﹣a（）2]，点C（0，ax1x2），设△ABC外接圆的圆心为P，圆P与y轴相切，连接CP，则CP⊥y轴，则点P的横坐标和点D的横坐标相同，其纵坐标和点C的纵坐标相同，故点P的坐标为：[（x1+x2），ax1x2]，∵PA＝PC，∴（）2＝（）2+（ax1x2）2，∴a2x1x2＝1，设函数对称轴交x轴于点H，连接AD，AH2＝（﹣x1）2＝（）2；PH•HD＝ax1x2•a（）2＝AH2，即AH2＝PH•HD，而∠PHA＝∠DHA＝90°，故△AHP∽△DHA，∴∠APH＝∠HAD，∴∠PAD＝∠PAH+∠DAH＝∠APH+∠PAH＝90°，故∠PAC＝∠CAD﹣∠PAD＝150°﹣90°＝60°，而PC＝PA，故△PAC为等边三角形，则∠OCA＝∠OCP﹣∠ACP＝90°﹣60°＝30°，在Rt△OCA中，OA＝AC＝PC，即（x1+x2）＝2x1，即x2＝3x1，而a2x1x2＝1，则a2x12＝，则抛物线的表达式为：y＝f（x）＝a（x﹣x1）（x﹣3x1），故＝＝a（x+）2﹣4ax1，设：m、n为非负实数，由完全平方公式得：（）2＝m+n﹣2≥0（当且仅当m＝n时等号成立），即m+n≥2，故＝＝a（x+）2﹣4ax1≥2a﹣4ax1＝2ax1﹣4ax1＝2﹣，故的最小值为2﹣，故答案为：2﹣．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆切线的性质、三角形相似、等边三角形的性质等，综合性强，数据处理难度很大．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．【分析】（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋．根据总利润为42000，构建方程即可；（2）构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）设这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣m袋，则小米共获得利润（60﹣45）m元．则小米获利×10元．由题意：15m+×10＝42000，解得m＝2200，答：这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣2200袋．（2）由题意：y＝15x+×10＝10x+15000，∵600≤x＜3000，当x＝600时，y有最小值，最小值为21000元．答：这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润21000元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．25．【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．【解答】解：（1）由题意得，，∴，∴y＝x2+2x﹣3，当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0）；（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x﹣3，设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，PQ＝；最大（3）如图1，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，作PD⊥y轴于D，∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝＝t，当BM＝PM时，∴∠MPB＝∠OBC＝45°，∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，∴四边形OMPD是矩形，∴OM＝PD＝t，由BM+OM＝OB得，∴2t＝3，∴t＝，∴P（﹣，﹣），∴N（﹣3，﹣），如图2，当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，∴BM＝2BE，可得四边形PDOE是矩形，∴OE＝PD＝t，∴BE＝3﹣t，∴t＝2（3﹣t），∴t＝2，∴P（﹣2，﹣1），∴N（﹣2，1），如图3，当PB＝MB时，3﹣＝t，∴t＝6﹣3，∴P（3，3﹣3），∴N（0，3﹣3），综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．26．【分析】（1）先证明四边形AFCE为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得AF的长；（2）①分情况讨论可知，当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；②分三种情况讨论可知a与b满足的数量关系式．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE，∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形，②设菱形的边长AF＝CF＝xcm，则BF＝（8﹣x）cm，在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5cm．（2）①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上或P在BF，Q在CD时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC＝QA，∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，∴PC＝5t，QA＝CD+AD﹣4t＝12﹣4t，即QA＝12﹣4t，∴5t＝12﹣4t，解得，∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．②由题意得，四边形APCQ是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．分三种情况：i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP＝CQ，即a＝12﹣b，得a+b＝12；ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ＝CP，即12﹣b＝a，得a+b＝12；iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP＝CQ，即12﹣a＝b，得a+b＝12．综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b＝12（ab≠0）．【点评】本题综合性较强，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用。

2023年四川省成都市高新区中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有1．（4分）﹣5的倒数是（）A．B．﹣C．﹣5D．52．（4分）2023年春节期间，我省文化和旅游经济呈现“总体回暖，强势复苏”的可喜局面，其中体现巴蜀文化风韵的2023川渝春晚网络话题反响热烈，累计阅读量超4亿人次．将数据4亿用科学记数法表示为（）A．40×107B．4×108C．0.4×109D．4×1093．（4分）下列计算正确的是（）A．3ab﹣3a＝b B．a2•a3＝a6C．2a2b÷a＝2b D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣44．（4分）已知直线m∥n，将含有30°的直角三角尺ABC按如图方式放置（∠CAB＝30°），其中A，C两点分别落在直线m，n上，若∠1＝35°．则∠2的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°5．（4分）若△ABC∽△DEF，且，若△ABC的周长为2，则△DEF的周长为（）A．B．C．6D．186．（4分）校运会100米项目预赛，15名运动员的成绩各不相同，取前8名参加决赛，其中运动员小明已经知道自己的成绩，他想确定自己是否进入决赛，只需要知道这15名运动员成绩的（）A．平均数B．中位数C．极差D．方差7．（4分）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．B．C．D．8．（4分）关于二次函数y＝x2+4x+5，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴右侧B．y的最小值为5C．图象与x轴有两个交点D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而增大二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）计算：＝．10．（4分）已知直线y＝﹣2x+1过点（1，a）和（2，b），则a b（填“＞”“＜“或“＝”）．11．（4分）如图，小正方形的边长为1，则△ABC的面积为．12．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不等实数根，则k的取值范围为．13．（4分）如图，▱ABCD的周长为16，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交边AD于点E，连接CE，则△CDE 的周长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：﹣2cos30°++（3﹣π）0；（2）解不等式组：．15．（8分）幸福成都，美在文明！为助力成都争创全国文明典范城市，某校采用四种宣传形式：A．宣传单宣传、B．电子屏宣传、C．黑板报宣传、D．志愿者宣传．每名学生从中选择一种最喜欢的宣传形式，学校就最喜欢的宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为；（3）本次调查中，在最喜欢“志愿者宣传”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，若从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的志愿者活动，请用列表或画树状图的方法，求选出两人恰好是甲和乙的概率．16．（8分）成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，在观测点C测得建筑物底部B 的俯角为14°，观测点C与建筑物的水平距离CD为120米，且AB垂直于CD（点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长．（结果精确到1米；参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC 交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若AE＝3，EF＝1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+6与反比例函数的图象交于点A （1，a）和点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图1，若点C为线段AB上一点，过点C作CD∥x轴交双曲线于点D，连接OC，OD，若△OCD的面积为，求点C的坐标；（3）如图2，连接AO，并延长AO至点E，使EO＝AO，作∠OAB的平分线AF交x轴于点F，过点E作EH⊥AF于点H，求点H的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为．20．（4分）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是．21．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC＝30°，D为直径AB上一点，且AD ＝AC ，连接CD 并延长交⊙O 于点E ，现假设可以随意在圆中取点，则这个点取在阴影部分的概率是．22．（4分）如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，抛物线上点C 的横坐标为5，D 点坐标为（3，0），连接AC ，CD ，点M 为平面内任意一点，将△ACD 绕点M 旋转180°得到对应的△A ′C ′D ′（点A ，C ，D 的对应点分别为点A ′，C ′，D ′），若△A ′C ′D ′中恰有两个点落在抛物线上，则此时点C '的坐标为（点C '不与点A 重合）．23．（4分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 为边CD 上一动点，连接AP 交对角线BD 于点E ，过点E 作EF ⊥AP ，EF 交BC 于点F ，连接AF 交BD 于点G ，在点P 的运动过程中，△AEG 面积的最小值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如表：进货批次甲种笔记本数量（单位：本）乙种笔记本数量（单位：本）购买总费用（单位：元）第一次1520640第二次3025980（1）求甲、乙两种笔记本的购买单价；（2）若第三次计划用不超过920元购买甲、乙两种笔记本共50本，求至少购买甲种笔记本多少本？25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y＝ax+1与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，连接BD，点E在抛物线上，若∠DAE＝∠ADB，求出点E的坐标；（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线L1，抛物线L1的顶点为P，直线y＝ax+1与抛物线L1交于M，N两点，连接MP，NP，若∠MPN＝90°，求a的值．26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M为边AD上一点，连接CM．（1）将△CDM沿直线CM翻折，得到对应的△CD′M．（i）如图1，延长CD′交边AD于点E，若点E恰为边AD中点，求线段MD的长；（ii）如图2，连接BD′，若BD′＝BC，求线段MD的长；（2）如图3，若DM＝DC，点P为边BC上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P 作PF⊥PA交线段CM于点F，在点P的运动过程中，线段CF的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．2023年四川省成都市高新区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有1．【分析】根据倒数的意义进行解答即可．【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，∴﹣5的倒数是﹣．故选：B．【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：4亿＝400000000＝4×108，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】A、根据合并同类项法则判断；B、根据同底数的幂相乘法则计算；C、根据单项式相除法则计算；D、根据平方差公式计算．【解答】解：A、原式＝3ab﹣3a，不符合题意；B、原式＝a5，不符合题意；C、原式＝2ab，不符合题意；D、原式＝a2﹣4，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式运算法则是解题关键．4．【分析】由题意可得∠ACB＝90°，则可求得∠ACD＝125°，再由平行线的性质可求得∠CAE＝55°，即可求∠2的度数．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∵∠1＝35°，∴∠ACD＝∠ACB+∠1＝125°，∵m∥n，∴∠CAE+∠ACD＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠ACD＝55°，∴∠2＝∠CAE﹣∠CAB＝25°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．5．【分析】直接利用相似三角形的性质，结合相似三角形的周长比等于相比，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且，∴△DEF与△ABC的相似比为：3：1，∵△ABC的周长为2，∴△DEF的周长为：2×3＝6．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的周长比等于相比是解题关键．6．【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可．【解答】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有8个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．故选：B．【点评】本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．7．【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2＝快马速度，根据等量关系，可得方程．【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得：．故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．8．【分析】将二次函数表达式化为顶点式或交点式，即可进行解答．【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴x＝﹣2，顶点为（﹣2，1），∴函数有最小值1，当x＞﹣2时，y的值随x的值的增大而增大，故A、B、D不正确，不符合题意；∵y＝x2+4x+5＝（x+5）（x+1），∴图象与x轴的交点坐标为（﹣5，0）和（﹣1，0），故C正确，符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质，解题的关键是掌握将二次函数表达式化为顶点式的方法．y＝（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）；a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．【分析】根据同分母分式的加减法法则计算，注意结果要化简．【解答】解：＝＝x+2．故答案为x+2．【点评】本题主要考查了同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．10．【分析】由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，结合1＜2，即可得出a＞b．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵直线y＝﹣2x+1过点（1，a）和（2，b），且1＜2，∴a＞b．故答案为：＞．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x 的增大而减小”是解题的关键．11．【分析】用长方形面积减去三个直角三角形面积即可．【解答】解：△ABC的面积为3×4﹣×2×4﹣×3×1﹣×3×1＝5，故答案为：5．【点评】本题考查三角形面积，解题的关键是掌握三角形面积公式．12．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不等实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＞0，解得：k＜1，∴k的取值范围为k＜1．故答案为：k＜1．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．13．【分析】求出AD+DC＝8，再利用线段的垂直平分线的性质解决问题．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为16，∴AD+DC＝8，由作图可知MN垂直平分线段AC，∴EA＝EC，∴△CDE的周长＝CE+ED+CD＝EA+ED+CD＝AD+DC＝8．故答案为：8．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【分析】（1）根据负整数指数幂的定义，特殊角的三角函数值，二次根式的性质以及零指数幂的定义计算即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝4﹣2×++1＝4﹣+1＝5﹣；（2），解不等式①，得x≥﹣2，解不等式②，得，故不等式组的解集为．【点评】本题考查了实数的运算以及解不等式组，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．15．【分析】（1）根据C的人数和所占的百分比求出总人数即可，用总人数减去其它组的人数即可求出B的人数，进而补全统计图；（2）求出D所占是百分比，然后乘以360°即可；（3）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）本次调查的学生共有：10÷20%＝50（人），∴B组的人数为：50﹣20﹣10﹣15＝5（人），补全统计图如图：故答案为：50；（2）“D．志愿者宣传”对应的扇形圆心角度数为：360°×＝108°，故答案为：108°；（3）根据题意画树形图：共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是．【点评】本题考查了列表法与树状图法以及统计图，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B的概率．16．【分析】根据正切的定义求出AD、BD，进而即可求得AB．【解答】解：∵AB垂直于CD，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，CD＝120米，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝，∴AD＝CD•tan∠ACD＝120×＝40（米），在Rt△BDC中，CD＝120米，∠BCD＝14°，tan∠BCD＝，∴DB＝CD•tan∠BCD≈120×0.25＝30（米），∴AB＝AD+DB＝30+40≈99（米），答：环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长约为99米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．17．【分析】（1）由AB＝AC，得∠B＝∠C，即可得∠C＝∠ODB，故OD∥AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；（2）连接DE，AD，由∠DEF＝∠ABC，可得∠DEC＝∠C，DE＝DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF＝FC＝1，AF＝4，AC＝AF+CF＝5，即得AB＝5，⊙O的半径为2.5；证明△ADF∽△DCF，可得DF2＝AF•CF＝4，DF＝2，在Rt△ADF中，AD＝＝2，得sin C＝＝，从而sin∠ABC＝．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线；（2）解：连接DE，AD，∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠ABC+AED＝180°，∵∠DEF+∠AED＝180°，∴∠DEF＝∠ABC，∵∠ABC＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形，又∵DF⊥EF，∴DF是△DEC的中线，∴EF＝FC＝1，AF＝4，∴AC＝AF+CF＝5，∴AB＝5，∴⊙O的半径为2.5；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠ADC，∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝∠FDC，∴△ADF∽△DCF，∴＝，∴DF2＝AF•CF＝4×1＝4，∴DF＝2，在Rt△ADF中，AD＝＝2，∴sin C＝＝，∴sin∠ABC＝．答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．18．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）由△OCD的面积＝CD×y C＝（6﹣t﹣）×t＝，即可求解；（3）证明OH是△EAG的中位线，得到OA＝OH，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：a＝﹣1+6＝5，即点A（1，5），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×5＝5，即反比例函数的表达式为：y＝；（2）设点C（6﹣t，t），则点D（，t），则△OCD的面积＝CD×y C＝（6﹣t﹣）×t＝，解得：t＝2或4，即点C的坐标为：（4，2）或（2，4）；（3）延长EH交AB于点G，∵AF是∠EAG的角平分线且AH⊥EH，∴△AEG为等腰三角形，则点H是EG的中点，∵EO＝AO，即点O是AE的中点，则OH是△EAG的中位线，则OH∥AG，则∠OHA＝∠HAG，又∵AF是∠EAG的角平分线，则∠EAH＝∠GAH，∴∠EAH＝∠OFH，即OA＝OH，∵OH∥AB，故直线OH的表达式为：y＝﹣x，设点H（m，﹣m），∵OA＝OH，即12+52＝m2+m2，解得：m＝（负值已舍去），即点H（，﹣）．【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到图形面积的计算、平行线的性质、等腰三角形的性质、一次函数的性质等，综合性强，难度适中．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．【分析】把前两项分解因式，然后把a+b＝3代入，化简，然后再利用a+b表示，代入求值即可．【解答】解：a2﹣b2+6b＝（a+b）（a﹣b）+6b＝3（a﹣b）+6b＝3a+3b＝3（a+b）＝9．故答案是：9．【点评】本题考查了平方差公式，正确对所求的式子进行变形是关键．20．【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解这个分式方程得x＝，再根据分式方程的解的定义得≥0且≠1，从而解决此题．【解答】解：，去分母，得x＝a﹣2（x﹣1）．去括号，得x＝a﹣2x+2．移项，得x+2x＝a+2．合并同类项，得3x＝a+2．x的系数化为1，得x＝．∵关于x的分式方程的解为非负数，∴≥0且≠1．∴a≥﹣2且a≠1．故答案为：a≥﹣2且a≠1．【点评】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解决本题的关键．21．【分析】连接OE，设圆的半径为r，用r表示出阴影的面积和圆的面积，用概率公式计算即可．【解答】解：如图，连接OE，∵∠BAC＝30°，OA＝OC，∴∠ACO＝30°，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝75°，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，设圆的半径为r，∴圆的面积为πr2，阴影的面积为＝，∴点取在阴影部分的概率是：．故答案为：．【点评】本题考查几何概率，解题的关键是用含r的代数式表示阴影部分的面积．22．【分析】（1）当点A′、D′在抛物线上时，求出点D′的坐标（﹣，﹣），再由中点坐标公式得到C′的坐标为：（﹣，﹣）；（2）当C′D′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2﹣m﹣2），得到点D′（m+2，m2﹣m﹣2+3），进而求解；（3）当A′、C′在抛物线上时，同理可解．【解答】解：令＝0，解得：x＝﹣1或4，则函数的对称轴为x＝，当x＝5时，则＝3，即点C（5，3）；（1）当点A′、D′在抛物线上时，如图，由A′D′＝AD＝4，抛物线的对称轴为x＝，则点D′的横坐标为﹣2＝﹣，当x＝﹣时，＝﹣，则点D′（﹣，﹣），设点C′为（x，y），由中点坐标公式得：﹣＝5+x且﹣＝3+y，解得：x＝﹣，y＝﹣，即点C′的坐标为：（﹣，﹣）；（2）当C′D′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2﹣m﹣2），由点D向右平移2个单位向上平移3个单位得到点C，则点D′（m+2，m2﹣m﹣2+3），将点D′的坐标代入抛物线的表达式得：m2﹣m﹣2+3＝，（m+2）2﹣（m+2）﹣2，解得：m＝2，则点C′的坐标为：（2，3）；（3）当A′、C′在抛物线上时，设点C′的坐标为：（m，m2﹣m﹣2），由点D向右平移6个单位向上平移3个单位得到点C，则点D′（m+6，m2﹣m﹣2+3），将点D′的坐标代入抛物线的表达式得：m2﹣m﹣2+3＝（m+6）2﹣（m+6）﹣2，解得：m＝﹣1，则点C′的坐标为：（﹣1，0），该点和点A重合，故舍去；综上，点C′的坐标为：（2，3）或（﹣，﹣），故答案为：（2，3）或（﹣，﹣）．【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图形及性质，中点坐标公式的运用，图象旋转的性质，其中，分类求解是本题解题的关键．23．【分析】设BF＝x．想办法用x表示出EG，根据一元二次方程，利用根的判别式，求出EG的最小值，可得结论．【解答】解：设BF＝x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABF＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，AD∥CB，∵AB＝3，∴AF＝＝，BD＝＝＝5，∵AD∥BF，∴＝＝＝，∴AG＝•，DG＝×5＝，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠ABF＝90°，∴A，B，F，E四点共圆，∴∠FAE＝∠FBE，∵∠ADB＝∠FBD，∴∠GAE＝∠ADG，∵∠AGE＝∠AGD，∴△AGE∽△DGA，∴＝，∴AG2＝GE•GD，∴EG＝＝，令EG＝y，则有5yx+20y＝4x2+36，∴4x2﹣5yx+36﹣20y＝0，由题意（5y）2﹣4×4×（36﹣20y）≥0，∴25y2+320y﹣16×36≥0，∴（5y﹣8）（5y+72）≥0，解得y≥或y≤﹣，∴EG的最小值为，过点A作AH⊥BD于点H．∵•BD•AH＝•AB•AD，∴AH＝＝，∴△AEG的面积的最小值为××＝．故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．【分析】（1）设甲种笔记本的购买单价为x元/本，乙种笔记本的购买单价为y元/本，利用购买总费用＝购买单价×购买数量，结合第一次及第二次购买数量及购买总费用，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种笔记本m本，则购买乙种笔记本（50﹣m）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过920元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种笔记本的购买单价为x元/本，乙种笔记本的购买单价为y元/本，根据题意得：，解得：．答：甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本；（2）设购买甲种笔记本m本，则购买乙种笔记本（50﹣m）本，根据题意得：16m+20（50﹣m）≤920，解得：m≥20，∴m的最小值为20．答：至少购买甲种笔记本20本．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．25．【分析】（1）将抛物线化为交点式，即得A，B的坐标，点C的坐标，代入直线解析式求出a，得到结果．（2）分类讨论：①当点E在AD下方时，E在AD的中垂线上，求出AD解析式，得到中垂线解析式与抛物线解析式联立即可求出结果．②当点E在AD上方时，AE∥BD，由BD解析式得到AE解析式联立方程即可求出结果．（3）由抛物线解析式求出L1得解析式，求得点PD的坐标，再联立方程求出M，N的坐标，由勾股定理MP2+NP2＝MN2代入计算即可．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），当C与A重合时，C（﹣1，0），代入直线y＝ax+1得，﹣a+1＝0，∴a＝1，∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．（2）在（1）的条件下，y＝x+1，①如图1，当点E在AD下方时，，，∴D（4，5），∵∠DAE＝∠ADB，∴AE＝AD，∴点E在AD的中垂线上，设AD的中点为F，则F（，），设直线EF：y＝﹣x+b，代入得，b＝4，∴EF：y＝﹣x+4，联立解得，x＝，∴E（，）．∴AE∥BD，∵（3，0），D（4，5），∴BD：y＝5x﹣15，设直线AE：y＝5x+m，代入A（﹣1，0），解得，m＝5，∴AE：y＝5x+5．联立解得，x1＝﹣1，x2＝8，∵x E＞0，∴E（8，45），总上，E（，）或E（8，45）．（3）如图3，抛物线L1：y＝a（x﹣1）2﹣4a+1，∴P（1，1﹣4a），联立得，x＝，∴M（，a+1），N（，a+1），∵∠MPN＝90°，∴由勾股定理得，MP2+NP2＝MN2，MP2＝（﹣1）2+（a+1﹣1+4a）2＝+a2，NP2＝（﹣1）2+（a+1﹣1+4a）2＝+a2，MN2＝（﹣）2+（a+1﹣a﹣1）2＝21+21a2，化简得，a2＝，∵a＞0，∴a＝．【点评】本题考查了二次函数与一次函数的解析式的求法，交点坐标的求法，勾股定理等知识点，是一道综合性较强的题目，注重数形结合，正确分类讨论，具有较强的数学运算能力是解决问题的关键．26．【分析】（1）（i）设DM＝MD′＝x，利用勾股定理构建方程解决问题；（ii）如图2中，过点B作BJ⊥CD′于点J，作∠CBJ的角平分线BH交CJ于点H，过点H作HK⊥BC于点K．解直角三角形求出BK，HK，再利用相似三角形的性质求出DM；（2）过点F作FT⊥BC于点T．设TF＝TC＝m，则CF＝m，设PB＝n．利用相似三角形的性质构建一元二次方程，利用根的判别式转化为二次不等式解决问题．【解答】解：（1）（i）∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝4，∵AE＝ED＝3，∴EC＝＝＝5，由翻折变换的性质可知CD＝CD′＝4，∴ED′＝CE﹣CD′＝5﹣4＝1，设DM＝MD′＝x，则有（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，∴DM＝；（ii）如图2中，过点B作BJ⊥CD′于点J，作∠CBJ的角平分线BH交CJ于点H，过点H作HK⊥BC于点K．∵BC＝BD′，BJ⊥CD′，∴CJ＝JD′＝2，∴BJ＝＝＝4，∵∠HBJ＝∠HBK，∠BJH＝∠BKH＝90°，BH＝BH，∴△BHJ≌△BHK（AAS），∴BK＝BJ＝4，JH＝HK，设HJ＝HK＝y，则有（2﹣y）2＝y2+（6﹣4）2，∴y＝9﹣，∴HK＝9﹣，∵∠JBC+∠JCB＝90°，∠DCD′+∠JCB＝90°，∴∠DCD′＝∠CBJ，∵∠DCM＝∠D′CM，∠CBH＝∠HBJ，∴∠CBH＝∠DCM，∵∠BKH＝∠D＝90°，∴△CDM∽△BKH，∴＝，∴＝，∴DM＝9﹣；（2）过点F作FT⊥BC于点T．∵DM＝DC，∠D＝90°，∴∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠DCB＝90°，∴∠FCT＝45°，∵FT⊥CB，∴∠CFT＝∠FCT＝45°，∴TF＝TC，设TF＝TC＝m，则CF＝m，设PB＝n．∵AP⊥PF，∴∠APF＝90°，∵∠B＝∠PTF＝90°，∴∠APB+∠FPT＝90°，∠FPT+∠PFT＝90°，∴∠APB＝∠PFT，∴△ABP∽△PTF，∴＝，∴＝，整理得n2+（m﹣6）n+4m＝0，∵Δ≥0，∴（m﹣6）2﹣16m≥0，∴m2﹣28m+36≥0，解得m≤14﹣4或m≥14+4（不符合题意舍去），∴y的最大值为14﹣4，∴CF的最大值为14﹣8．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题。

2024年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）．1．（4分）在π，﹣2，0，﹣1这四个实数中，最小的数是（）A．πB．﹣2C．0D．﹣12．（4分）由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）经国家统计局初步核算，2023年我国国内生产总值1260582亿元，按不变价格计算，比上年增长5.2%．其中数据“1260582亿”用科学记数法表示为（）A．1260582×108B．1.260582×1013C．1.260582×1014D．1.260582×10154．（4分）下列运算中，计算正确的是（）A．（a2b）3＝a6b3B．5a﹣3a＝2C．（a+b）2＝a2+b2D．a6÷a3＝a25．（4分）为了解学生参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为：65，60，75，60，80．则这组数据的众数是（）A．60B．65C．75D．806．（4分）如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝140°，则∠2的度数是（）A．110°B．105°C．100°D．95°7．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，若∠DCA＝38°，则∠ABC＝（）A．56°B．52°C．48°D．38°8．（4分）如图，二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象过点A（2，0），下列结论错误的是（）A．b＞0B．a+b＞0C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a＜0）的一个根D．若点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图象上，且x1＞x2＞2，则y2＜y1＜0二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）分解因式：ab2﹣2ab+a＝．10．（4分）如图，以正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在BC的延长线上，则正五边ABCDE旋转的最小度数为．11．（4分）若直线y＝x向上平移3个单位长度后经过点（2，m），则m的值为．12．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是．13．（4分）如图，在▱ABCD中，AB＝12，BC＝8，AC交BD于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线BG交CD于点P．若BP的中点为点M，则OM的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（12分）（1）计算：|1﹣|﹣4sin30°+（）﹣1+（2024﹣π）0．（2）解不等式组：．15．（8分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与.9.1班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：（1）9.1班学生共有人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人；（2）9.1班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．16．（8分）图1是一款手机支架，由托板、支撑板和底座构成，图2是手机放置在托板上后侧面的截面图．量得托板BC长为40mm，支撑板CD长为80mm，手机AB长为120mm，∠DCB＝50°，∠CDE＝75°，求手机顶端A到底座DE的距离AH的长（结果精确到1mm）．参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732，sin35°＝cos55°≈0.574，cos35°＝sin55°≈0.819，tan35°≈0.7，tan55°≈1.428．17．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是下半圆弧的中点，D为半径OA（除端点外）上一点，CD的延长线交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BA的延长线于点F．（1）求证：FD＝FE；（2）若BD＝7，，求⊙O的半径及tan F的值．18．（10分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y 轴交于点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）若C为反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足AD＝2AC，求点C的坐标．（3）若点P在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）若m、n满足3m﹣n﹣4＝0，则8m÷2n＝．20．（4分）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为4的正方形ABCD的中心O为位似中心，作它的位似图形A′B′C′D′，若A′B′：AB＝2：1，则四边形A′B′CD′的外接圆的面积为．21．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上一动点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长的最小值为．22．（4分）数学综合与实践活动小组用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成如图所示的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF，EG，BH分别相交于点P，O，Q．若，则的值是．23．（4分）若点M（x，y）的坐标满足x2＝t﹣5y，y2＝t﹣5x，其中x≠y，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的1.25倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．（1）问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？（2）该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax+2a（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线y＝ax2（a＞0）交于点B，C（点B在点C的左边）．（1）求点A的坐标；（2）作点B关于x轴的对称点B′，若以点A，B′，C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；（3）我们把平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（0，2），（1，1）等均为格点．若直线y＝ax+2a（a＞0）与抛物线y＝ax2（a＞0）所围成的封闭图形内部（不包含边界）的格点数有且只有6个，请直接写出a的取值范围．26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，点A，D 关于直线BE的对称点分别为点A′，D′，连接A′D′，BA′，ED′．（1）【初步感知】如图1，当点D′落在BC的延长线上时，求DE的长；（2）【深入探究】当点E运动到AD中点时，连接A′D，求A′D的长；（3）【拓展运用】当直线A′D′恰好经过点C时，求DE的长．2024年四川省成都市成华区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）．1．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜π，∴在π，﹣2，0，﹣1这四个实数中，最小的数是﹣2．故选：B．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆．故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解；1260582亿＝126058200000000＝1.21×1014．故选：C．【点评】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式为a×10n（1≤a＜10，a为整数）的形式，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．4．【分析】分别根据完全平方公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则计算即可．【解答】解：A、（a2b）3＝a6b3，符合题意；B、5a﹣3a＝2a，不合题意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，不合题意；D、a6÷a3＝a3，不合题意；故选：A．【点评】此题考查的是完全平方公式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，掌握其运算法则是解决此题的关键．5．【分析】根据众数的定义即可得出结论．【解答】解：∵从该班学生中随机抽取5名同学进行调查，他们的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为：65，60，75，60，80，其中60出现的次数最多，∴这组数据的众数是60，故选：A．【点评】本题考查了众数，熟记众数的定义是解题的关键．6．【分析】根据等边三角形性质得∠A＝60°，再根据三角形外角定理得∠AEF＝∠1﹣∠A＝80°，则∠DEB＝∠AEF＝80°，然后根据平行线的性质得∠DEB+∠2＝180°，据此可得∠2的度数．【解答】解：如下图所示：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠1是△AEF的一个外角，∠1＝140°，∴∠1＝∠A+∠AEF，∴∠AEF＝∠1﹣∠A＝140°﹣∠A＝140°﹣60°＝80°，∴∠DEB＝∠AEF＝80°，∵直线m∥n，∴∠DEB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠DEB＝180°﹣80°＝100°．故选：C．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质是解决问题的关键．7．【分析】连接AD，由CD是⊙O的直径，∠DCA＝38°，得∠DAC＝90°，∠ADC＝52°，得∠ABC ＝∠ADC＝52°．【解答】解：连接AD，由CD是⊙O的直径，∠DCA＝38°，得∠DAC＝90°，∠ADC＝52°，得∠ABC＝∠ADC＝52°，故选：B．【点评】本题主要考查了圆中角的计算，解题关键是圆周角定理的应用．8．【分析】依据题意，由抛物线开口向下，可得a＜0，又抛物线过（2，0），（0，0），从而可得抛物线的对称轴是直线x＝＝1＝﹣，故b＝﹣2a＞0，故可判断A；又a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，故可判断B；又二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象过点A（2，0），则x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a＜0）的一个根，故可判断C；又对称轴是直线x＝1，且开口向下，从而当x＞1时，y随x的增大而减小，再结合点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在二次函数的图象上，且x1＞x2＞2时，则y1＜y2＜0，故可判断D．【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，∴a＜0．又抛物线过（2，0），（0，0），∴抛物线的对称轴是直线x＝＝1＝﹣．∴b＝﹣2a＞0，故A正确，不合题意．∴a+b＝a﹣2a＝﹣a＞0，故B正确，不合题意．∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）的图象过点A（2，0），∴x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a＜0）的一个根，故C正确，不合题意．∵对称轴是直线x＝1，且开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．∴当点（x1，y1），（x2，y2），（2，0）在二次函数的图象上，且x1＞x2＞2时，y1＜y2＜0，故D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，＝a（b2﹣2b+1），＝a（b﹣1）2．故答案为：a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．10．【分析】根据旋转的性质，正多边形和圆的性质以及正多边形外角的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，正五边形ABCDE的外角∠DCM＝＝72°，即将正五边形ABCDE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形A′B′CD′E′的顶点D′落在BC的延长线上，则正五边ABCDE旋转的最小度数为72°，故答案为：72°．【点评】本题考查正多边形和圆，旋转的性质，掌握正五边形的性质，正五边形外角的计算方法以及旋转的性质是正确解答的关键．11．【分析】先根据平移规律求出直线y＝x向上平移3个单位的直线解析式，再把点（2，m）代入，即可求出m的值．【解答】解：将直线y＝x向上平移3个单位，得到直线y＝x+3，把点（2，m）代入，得m＝2+3＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．12．【分析】设良马x天追上劣马，根据良马追上劣马所走路程相同可得：240x＝150（x+12），即可解得良马20天追上劣马．【解答】解：设良马x天追上劣马，根据题意得：240x＝150（x+12），解得x＝20，答：良马20天追上劣马；故答案为：20．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．13．【分析】由作图知，BG平分∠ABC，得到∠ABG＝∠CBG，根据平行线的性质得到∠CPB＝∠ABP，求得∠CPB＝∠CBP，得到CP＝BC＝8，根据三角形中位线定理即可得到结论．【解答】解：由作图知，BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠CBG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝12，BO＝DO，∴∠CPB＝∠ABP，∴∠CPB＝∠CBP，∴CP＝BC＝8，∴PD＝CD﹣CP＝4，∵BP的中点为点M，∴BM＝PM，∴OM是△BPD的中位线，∴OM＝PD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的定义和平行四边形的性质以及三角形中位线定理．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．【分析】（1）按照去绝对值、零指数幂、负整数指数幂、三角函数的性质运算即可；（2）分别解出不等式①②的解集后再确定不等式组的解集即可．【解答】解：（1）|1﹣|﹣4sin30°+（）﹣1+（2024﹣π）0．＝﹣4×+2+1＝﹣1﹣2+2+1＝；（2）解不等式①得：x，解不等式②得：x，∴不等式组的解集为：．【点评】本题考查了实数的混合运算和不等式组的解，熟练掌握不等式组的解法是关键．15．【分析】（1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得9.1班的学生人数；用360°乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数；求出9.1班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用1500乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得出答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）9.1班学生共有20÷40%＝50（人）．扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°．9.1班参与“做饭”的人数为50﹣15﹣20﹣10＝5（人），∴估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有1500×＝150（人）．故答案为：50；108°；150．（2）列表如下：男女女女男（男，女）（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）（女，女）女（女，男）（女，女）（女，女）女（女，男）（女，女）（女，女）共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有：（男，女），（男，女），（男，女），（女，男），（女，男），（女，男），共6种，∴所选同学中有男生的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．16．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，求出FH、AF，即可求出点A 到直线DE的距离．【解答】解：如图，过点C作CF⊥AH，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，由题意可知，AC＝80mm，CD＝80mm，∠DCB＝50°，∠CDE＝75°，在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80×sin75°＝80×0.966≈77（mm），∴FH＝CN＝77mm，∵CF∥DN，∴∠CDN＝∠DCF＝75°，∴∠ACF＝180°﹣∠DCF﹣∠BCD＝55°，在Rt△AFC中，AF＝AC•sin55°＝80×0.819≈66（mm），AH＝AF+FH＝77+66＝143（mm），答：点A到直线DE的距离约为143mm．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．17．【分析】（1）连接OE、OC，如图，根据垂径定理得到OC⊥AB，根据切线的性质得到∠OEF＝90°，然后证明∠FED＝∠FDE得到FD＝FE；（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r，OD＝BD﹣OB＝7﹣r，先在Rt△OCD中利用勾股定理得到（7﹣r）2+r2＝（）2，解方程得到OD＝2，OE＝5，设FE＝FD＝x，则OF＝x+2，接着在RtOEF中利用勾股定理得到x2+52＝（x+2）2，解方程得x＝，然后根据正切的定义求解．【解答】（1）证明：连接OE、OC，如图，∵C是下半圆弧的中点，∴OC⊥AB，∴∠COA＝90°，∵EF为⊙O的切线，∴OE⊥EF，∴∠OEF＝90°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠OEC+∠FED＝90°，∠OCE+∠ODC＝90°，∴∠FED＝∠ODC，∵∠ODC＝∠FDE，∴∠FED＝∠FDE，∴FD＝FE；（2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OD＝BD﹣OB＝7﹣r，在Rt△OCD中，（7﹣r）2+r2＝（）2，解得r1＝2（舍去），r2＝5，∴OD＝2，OE＝5，设FE＝FD＝x，则OF＝x+2，在RtOEF中，x2+52＝（x+2）2，解得x＝，即FE＝，∴tan F＝＝＝．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和解直角三角形．18．【分析】（1）先求出a值，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）分两种情况进行解答，①如图1当点C在A点下方时，②如图2当C在A点上方时解出点C坐标即可；（3）分两种情况进行解答，①当AB为平行四边形的边时，ABQ′P′是平行四边形，②当AB为平行四边形的对角线时，ABQP是平行四边形，分别求出点P坐标即可．【解答】解：（1）∵点A（a，3）在直线y＝x+2的图象上，∴，解得a＝2，∴A（2，3），∵A（2，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）分两种情况，①如图1，当点C在A点下方时，∵AD＝2AC，A（2，3），∴点C为AD中点，∴点C纵坐标为，当y＝时，x＝6×＝4，∴C（4，），②如图2，当C在A点上方时，∵AD＝2AC，A（2，3），∴，即，解得y C＝，将yC代入反比例函数解析式得：x＝，∴C（，）．综上分析，点C坐标为（4，）或（，）．（3）∵直线AB解析式为y＝x+2，∴B（0，2），A（2，3），分两种情况讨论：如图3：①当AB为平行四边形的边时，ABQ′P′是平行四边形，y Q′﹣y B＝y P′﹣y A，即0﹣2＝y P′﹣3，解得y P′＝1，∵P′在反比例函数y＝图象上，∴当y＝1时，x＝6，∴P′（6，1），②当AB为平行四边形的对角线时，APBQ是平行四边形，∵B（0，2），A（2，3），又Q点纵坐标为0，∴y P＝2+3﹣0＝5，∵点P在反比例函数y＝图象上，当y＝5时，x＝，∴P（，5）．综上分析，P（，5）或P（6，1）．【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．【解答】解：∵3m﹣n﹣4＝0，∴3m﹣n＝4，∴8m÷2n＝23m÷2n＝23m﹣n＝24＝16．故答案为：16．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．20．【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的面积＝8π，故答案为：8π．【点评】本题考查位似变换，相似多边形的性质，圆的周长等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】设AC与PQ交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，先求出AC＝4，根据平行四边形性质得PQ＝2OP，OC＝AC＝2，证△ODC∽△BAC相似得OD＝，然后根据PQ＝2OP得当OP为最小时，PQ为最小，根据“垂线段最短”得OP≥OD＝，由此可得OP的最小值，进而可得PQ的最小值．【解答】解：设AC与PQ交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，如下图所示：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，∵四边形PAQC为平行四边形，∴点O为AC，PQ的中点，∴PQ＝2OP，OC＝AC＝2，∵OD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠ODC＝∠BAC＝90°，∠OCD＝∠BCA，∴△ODC∽△BAC，∴OD：AB＝OC：BC，即OD：3＝2：5，∴OD＝，∵PQ＝2OP，∴当OP为最小时，PQ为最小，根据“垂线段最短”得：OP≥OD，即OP≥，∴OP的最小值为，∴PQ的最小值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，线段的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解平行四边形的性质，线段的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质并利用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．22．【分析】设EC＝x（x＞0），EQ＝15a（a＞0），则BE＝14a，证明△AHQ∽△CEQ，利用相似三角形的性质求出EC＝BH＝35a，可得QH＝6a，EH＝21a，利用勾股定理求出BC和AQ，进而可得OQ的长，再证明△QEO≌△PGO，可得OP＝OQ＝a，然后根据正方形的性质求出OE，即可得出答案．【解答】解：设EC＝x（x＞0），BE＝14a（a＞0），则QE＝15a，∵∠AHQ＝∠CEQ＝90°，∠AQH＝∠CQE，∴△AHQ∽△CEQ，∴＝，∵Rt△AHB≌Rt△BEC，∴AH＝BE＝14a，BH＝EC＝x，∴QH＝BH﹣BE﹣EQ＝x﹣29a，∴＝，整理得：x2﹣29ax﹣210a2＝0，解得：x1＝35a，x2＝﹣6a（不合题意，舍去），即EC＝BH＝35a，∴QH＝EH﹣EQ＝35a﹣29a＝6a，EH＝BH﹣BE＝35a﹣14a＝21a，∴BC＝＝7a，AQ＝＝2a，∴AC＝BC＝7a，∴OA＝AC＝a，∴OQ＝OA﹣AQ＝a，∵四边形HEFG是正方形，∴∠QEO＝∠PGO，OE＝OG，又∵∠QOE＝∠POG，∴△QEO≌△PGO（SAS），∵OP＝OQ＝a，又∵EG＝EH＝21，∴OE＝EG＝，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明△AHQ∽△CEQ，求出EC的长是解题的关键．23．【分析】根据题意列出方程组，解方程组得到（x﹣）（x+﹣5）＝0，依据条件得到x+＝0，整理出k的代数式按照自变量取值范围确定k的范围即可．【解答】解：∵双曲线上存在“好点”，∴，①﹣②得：（x﹣）（x+）＝5（x﹣），∴（x﹣）（x+﹣5）＝0，∵x≠y，∴x+＝0，整理得：k＝5x﹣x2＝﹣x2+5x＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，∵，∴≤k＜．故答案为：≤k＜．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．【分析】（1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是1.25x元，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．列出分式方程，解方程即可；（2）求出租用45座客车9辆的租费和租用60座客车7辆的租费，再比较即可．【解答】解：（1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是1.25x元，由题意得：﹣＝2，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴1.25x＝1.25×400＝500，答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元；（2）∵400÷45＝8，400÷60＝6，∴租用45座客车9辆，租费为9×400＝3600（元），租用60座客车7辆，租费为7×500＝3500（元），∵3500＜3600，∴租用60座客车合算．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．25．【分析】（1）当y＝0时，求A点坐标即可；（2）分别求出B'、C坐标，可得AC2＝16+16a2，B'C2＝9+25a2，AB'2＝1+a2，再分三种情况，利用勾股定理建立方程求a的值即可；（3）画出图象，结合图象，当直线y＝ax+2a经过点（0，3）时，a＝，此时有5个格点；当直线y＝ax+2a经过点（1，5）时，a＝，此时有6个格点；当a＝2时，此时有6个格点；即可求＜a≤或a＝2时，有6个格点．【解答】解：（1）当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；（2）当ax+2a＝ax2时，解得x＝2或x＝﹣1，∴B（﹣1，a），C（2，4a），∵B'与B关于x轴对称，∴B'（﹣1，﹣a），∴AC2＝16+16a2，B'C2＝9+25a2，AB'2＝1+a2，①当AC为斜边时，16+16a2＝9+25a2+1+a2，解得a＝或a＝﹣（舍）；②当B'C为斜边时，9+25a2＝16+16a2+1+a2，解得a＝1或a＝﹣1（舍）；③当AB'为斜边时，1+a2＝16+16a2+9+25a2，此时a无解；综上所述：a的值为或1；（3）如图：当直线y＝ax+2a经过点（0，3）时，a＝，此时有5个格点；当直线y＝ax+2a经过点（1，5）时，a＝，此时有6个格点；当a＝2时，此时有6个格点；综上所述：＜a≤或a＝2时，有6个格点．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，数形结合是解题的关键．26．【分析】（1）连接BD，设DE＝x，则EC＝3﹣x，由对称性得ED'＝ED＝x，由勾股定理求出BD＝5，列出方程（3﹣x）2+12＝x2，可得出答案；（2）连接AA'，交BE于点F，由对称性得AA'⊥BE，证明△AEF∽△BEA，得出，求出EF的长，由三角形中位线定理可得出答案；（3）分两种情况，由矩形的性质，相似三角形的性质及勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）如图1，连接BD，设DE＝x，则EC＝3﹣x，由对称性得ED'＝ED＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∠A＝90°，∴在Rt△BAD中，，由对称性得BD'＝BD＝5，∴CD'＝5﹣4＝1，在△ECD'中，EC2+CD'2＝ED'2，∴（3﹣x）2+12＝x2，解得，即，（2）如图1，连接AA'，交BE于点F，由对称性得AA'⊥BE，∵点E是AD中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，，在△ABE中，∠EAB＝90°，AF⊥BE，∴∠AEF＝∠AEB，∠AFE＝∠EAB，∴△AEF∽△BEA，∴，∴，由对称性得A′E＝AE，∴A′E＝AE＝DE，∴∠AA'D＝90°，∴AA′⊥A′D，∴A′D∥FE，∵点E是AD的中点，∴点F是AA′的中点，∴FE是△AA'D的中位线，∴；（3）分以下两种情况讨论：①如图，当点E在边AD上时，A'D'恰好经过点C，∴由对称性得∠1＝∠A＝90°，BA'＝BA＝CD＝3，∴∠2＝∠1＝90°，∴在Rt△BCA′中，，∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∴∠3＝∠4，∠2＝∠D，在△BCA′和△CED中，，∴△BCA′≌△CED（AAS），∴；②如图3，当点E在边CD上时，A′D恰好经过点C，∴由对称性得∠A'＝∠A＝90°，∠D'＝∠D＝90°，BA'＝BA＝3，A'D'＝AD＝4，∴∠A'＝∠D'＝90°，在Rt△BCA′中，，∴，∵A'D'恰好经过点C，∴∠5+∠6+∠BCD＝180°，∵在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∵∠A'＝90°，∴∠7+∠6＝90°，∴∠5＝∠7，在△ECD'和△CBA′中，∠D'＝∠A'，∠5＝∠7，∴△ECD'∽△CBA'，∴，∴，解得，即，综上所述，DE的长为或．【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键。

2023年四川省成都市新都区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列各数中，比﹣2小的数是（）A．﹣1B．0C．﹣3D．12．（4分）某立体图形的三视图如图所示，则该立体图形的名称是（）A．正方体B．长方体C．圆柱体D．圆锥体3．（4分）点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P坐标为（）A．（0，﹣4）B．（4，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）4．（4分）代数式有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1且x≠0B．x≥﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣1且x≠0 5．（4分）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB，若AC＝8，BD＝6，则OE 的长是（）A．2.5B．5C．2.4D．不确定6．（4分）某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．B．C．D．7．（4分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．r＝R cos36°B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．R＝r sin36°8．（4分）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y ＝acx+b的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．10．（4分）已知点（﹣4，y1）（6，y2）在反比例函数的图象上，则y1y2．（填＞，＜，＝）11．（4分）素有“天府明珠”“香城宝地”美誉的新都区旅游景点众多，某班计划在“芳华微马公园”，“东湖公园”，“桂湖公园”，“丝绸博物馆”，“百花谷”，“漫花庄园”这6个景点中选取一个开展实践活动，现对班上同学的意向进行问卷调查，选择这6个景点人数依次为：10，6，9，8，10，7，则这组数据的众数为，中位数为．12．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若AC＝4，AB＝5，OD⊥BC 于点D，则CD的长为．13．（4分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，连接AC，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连接PQ分别交AD，BC于点E，F，则线段EF的长为．三、解答题（本大题共5小题，共48分）14．（12分）（1）2﹣1+﹣2cos30°+|﹣|；（2）解不等式组：．15．（8分）近期新都区某中学准备举行以“青春绽放•梦想起航”为主题的艺术节文艺汇演活动，某班组织部分同学以合唱的形式参加本次活动，为了达到更好的表演效果，需根据同学们的音色特征分为不同的声部，音乐教师黄老师随机抽取学生进行试唱，根据试唱情况把学生分成A，B，C，D四个不同的声部，并根据统计结果绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：（1）扇形统计图中D声部对应的圆心角的角度是（度），并补全条形统计图；（2）已知A声部中只有一位同学是男生，黄老师准备从这4位同学中随机选择两位同学作为领唱，请用列表法或画树状图的方法求出选中的两名同学恰好是一男一女的概率．16．（8分）有着中国食品行业“晴雨表”之称的全国糖酒商品交易会，始于1955年，是中国历史最为悠久的大型专业展会之一．2023年第108届全国糖酒会于4月12日至4月14日，在成都中国西部国际博览城和世纪城新国际会展中心举办．某中学数学小组去测量会场的旗杆高度，过程如下，已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°，两人相距5米且位于旗杆同侧．（点B，D，F在同一直线上，结果保留根号）．（1）求小敏到旗杆的距离DF；（2）求旗杆EF高度．17．（10分）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是中点，连接OB，OC，OC交AB于点D．过点B作⊙O的切线交OC的延长线于点M，延长BO交⊙O于点Q，连接MQ交⊙O于点P，连接BP．（1）求证：△MBP∽△MQB；（2）已知，求的值．18．（10分）如图，直线l经过点A（1，0）且与双曲线交于点B（2，1），经过直线l上一点P（p，p﹣1）（p＞1且p≠2）作x轴的平行线分别交曲线和于点M，N．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）求△AMN的面积；＝2S△APM？若（3）是否存在实数p，使得S△AMN存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）已知x1，x2是方程x2+mx﹣3＝0的两个实数根，且x1＝﹣1，则m﹣2x1x2＝．20．（4分）若整数a使关于x的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为．21．（4分）青朱出入图，是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂．开方除之，即弦也．”，若图中DF＝1，CF＝2，则AE的长为．22．（4分）一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”m′，并规定F（m）＝．若已知数m为“双胞蛋数”，设m的千位数字为a，百位数字为b，且a≠b，若是一个完全平方数，则a﹣b ＝，满足条件的m的最小值为．23．（4分）如图，在边长为6的等边△ABC中，动点D在AB边上（与点A，B均不重合），点E在边AC上，且AE＝BD，CD与BE相交于点G，连接AG．当点D在AB边上运动时，AG的最小值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）已知商家购进一批商品，每件的进价10元，拟采取线上和线下两种方式进行销售．在线下销售过程中发现：当12≤x≤20时，该商品的日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）之间存在一次函数关系，部分数值对应关系如下表：售价x（元/件）1520日销售量y（件）150120（1）当12≤x≤20时，请求出y与x之间的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的日销量固定为60件．设该商品线上和线下的日销售利润总和为w元，当该商品的售价x（元/件）为多少元时，日销售利润总和最大？最大利润是多少？25．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，点P 为线段BC上方的抛物线上的一点，过点P作垂直于x轴的直线l交线段BC于点F．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；（3）连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使∠CDE＝∠PCF？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．26．（12分）将下列三幅图中的△ABC的边AB绕其顶点A逆时针旋转α得到线段AD．（1）如图1，将边AC绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接DE，求证：△ABC≌△ADE；（2）如图2，连接BD，点F在BD上，且满足BC＝DF，连接AF，点G为AB上一点，连接DG交AF于点M，若∠ACB＝∠BDG，∠ADB+∠ABC＝180°，求证：AM＝FM．（3）如图3，连接CD，若∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，P，Q两点分别在AB，BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD，请探究线段DQ，BP，CD之间的数量关系，并证明你的结论．2023年四川省成都市新都区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除A、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．故选：C．【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．2．【分析】俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．【解答】解：俯视图是圆形，说明这个几何体的上下有两个面是圆形的，左视图、左视图都是长方形的，于是可以判断这个几何体是圆柱体．故选：C．【点评】考查简单几何体的三视图及其画法，简单几何体的主视图、左视图、俯视图就是从正面、左面、上面的正投影所得到的图形．3．【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，∴y＝0，∴m+1＝0，解得：m＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（2，0）．故选：D．【点评】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键．4．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意，得，解得：x≥﹣1且x≠0．故选：A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．本题应注意在求得取值后，应排除在取值范围内使分母为0的x的值．5．【分析】根据菱形的性质可得AC⊥DB，AO＝AC，BO＝BD，然后利用勾股定理计算＝×8×6＝24，进而得到△AOB的长，出AB长，再根据菱形的面积公式得到S菱形ABCD然后根据直角三角形的面积计算出EO长即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，AO＝AC，BO＝BD，∵AC＝8，BD＝6，＝×8×6＝24，∴AO＝4，BO＝3，S菱形ABCD＝6，∴AB＝＝5，S△AOB∵•AB•EO＝×AO×BO，∴5EO＝4×3，EO＝，故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质、面积，以及勾股定理，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．6．【分析】直接利用种植树木提前5天完成任务，表示出所有时间即可得出等式．【解答】解：设原计划每天植树x万棵，可列方程是：﹣＝5．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．7．【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，故B不符合题意；a＝2R sin36°，a＝r tan36°，a＝2r tan36°，故C不符合题意；cos36°＝，r＝R cos36°，故A不符合题意；故选：D．【点评】本题考查了圆内接五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角的度数是解题的关键．8．【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b 的图象相比较看是否一致．【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b ＞0，故本选项不合题意；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．10．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征计算出y1和y2的值，然后比较它们的大小．【解答】解：∵点（﹣4，y1），（6，y2）在反比例函数的图象上，∴y1＝﹣＝﹣，y2＝＝1，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．11．【分析】根据众数和中位数的定义解答即可．【解答】解：这组数据中，出现次数最多的是10，共出现2次，因此众数是10，将这组数据从小到大排列：6、7、8、9、10、10，处在中间位置的两个数是8和9，因此中位数是：＝8.5．故答案为：10，8.5．【点评】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．12．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可根据勾股定理计算出AC＝4，再根据垂径定理得到BD＝CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝3，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，而OB＝OC，∴OD为△OBC的中位线，∴CD＝AC＝×3＝1.5．故答案为：1.5．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．13．【分析】连接AF，由尺规作图过程可知，EF为线段AC的垂直平分线，根据矩形的性质以及线段垂直平分线的性质可证明△AOE≌△COF，则OE＝OF，设AF＝CF＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理可求得x的值，由已知条件及勾股定理可求得AC，即可得CO的值，再由勾股定理可求得OF，进而可得答案．【解答】解：连接AF，由尺规作图过程可知，EF为线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，EF⊥AC，AO＝CO，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，设AF＝CF＝x，则BF＝8﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得，x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴CF＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝10，∴CO＝5，在Rt△COF中，由勾股定理得，OF＝＝，∴EF＝2OF＝．故答案为：．【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分）14．【分析】（1）先计算开立方、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减；（2）分别求解两个不等式的解集，再求解此题．【解答】解：（1）2﹣1+﹣2cos30°+|﹣|；＝+2﹣2×+＝+2﹣+＝2；（2）解不等式①，得x≤1，解不等式②，得x＞﹣5，∴该不等式组的解集为﹣5＜x≤1．【点评】此题考查了实数的混合运算与不等式组的求解能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．15．【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它等级的人数，求出D等级的人数，再用360°乘以D等级所占的百分比，即可求出扇形统计图中D等对应的圆心角的度数；（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和其中选中的两名同学恰好是一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）班级的总人数为：10÷40%＝25（人），D等级的人数有：25﹣4﹣10﹣8＝3（人），则扇形统计图中D等对应的圆心角的度数是360°×＝43.2°，补图如下：故答案为：43.2；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是一男一女的有6种，则选中的两名同学恰好是一男一女的概率是．【点评】本题考查了统计图以及列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B的概率．16．【分析】（1）过点C作CG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，根据题意可得：AB＝HF＝1.7米，CD＝GF＝0.7米，BD＝5米，AH＝BF，CG＝DF，设CG＝DF＝x米，则AH＝BF＝（x+5）米，然后在Rt△ECG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而求出EF的长，再在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，从而求出EF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论和线段的和差关系，进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CG⊥EF，垂足为G，过点A作AH⊥EF，垂足为H，由题意得：AB＝HF＝1.7米，CD＝GF＝0.7米，BD＝5米，AH＝BF，CG＝DF，设CG＝DF＝x米，∴AH＝BF＝BD+DF＝（x+5）米，在Rt△ECG中，∠ECG＝45°，∴EG＝CG•tan45°＝x（米），∴EF＝EG+GF＝（x+0.7）米，在Rt△AEH中，∠EAH＝30°，∴EH＝AH•tan30°＝（x+5）米，∴EF＝EH+HF＝（x+5）+1.7＝（x++1.7）米，∴x++1.7＝x+0.7，解得：x＝（4+3）米，∴CG＝DF＝EG＝（4+3）米，∴小敏到旗杆的距离DF为（4+3）米；（2）由（1）得：EF＝EG+GF＝4+3+0.7＝（4.7+3）米，∴旗杆EF高度为（4.7+3）米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．17．【分析】（1）由切线的性质，圆周角定理得到∠MBQ＝∠BPM＝90°，又∠BMP＝∠BMQ，即可证明问题；（2）由△MBD∽△MOB，得到MB2＝MD•MO，由△MBP∽△MQB，得到MB2＝MP•MQ，因此MD•MO＝MP•MQ，于是得到＝＝．【解答】（1）证明：∵MB切⊙O于B，∴直径QB⊥MB，∴∠MBQ＝90°，∵BQ是圆的直径，∴∠BPQ＝90°，∴∠BPM＝90°，∴∠MBQ＝∠BPM，∵∠BMP＝∠BMQ，∴△MBP∽△MQB；（2）连接OA，∵C是中点，∴∠BOD＝∠AOD，∵OB＝OA，∴BD⊥OM，∴∠MDB＝90°，∴∠MDB＝∠MBO，∵∠BMD＝∠BMO，∴△MBD∽△MOB，∴MD：MB＝MB：MO，∴MB2＝MD•MO，由（1）知△MBP∽△MQB，∴MB：MQ＝MP：MB，∴MB2＝MP•MQ，∴MD•MO＝MP•MQ，∴＝＝．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由△MBP∽△MQB，△MBD∽△MOB，得到＝．18．【分析】（1）把B（2，1）代入y＝即可得到m的值；然后利用待定系数法求出直线l 的解析式；（2）由于P点坐标为（p，p﹣1）得到点P在直线l上，则点M、N的纵坐标都为p﹣1，＝••得到M（，p﹣1），N（﹣，p﹣1），可得MN＝，计算出S△AMN （p﹣1）＝2；＝2S△APM，得到2•（p2﹣p﹣2）＝2，然后解方程即可．（3）利用S△AMN【解答】解：（1）把点B（2，1）代入y＝得m＝2×1＝2，设直线l的解析式是y＝kx+b，把A（1，0），B（2，1）代入y＝kx+b中，得，解得，∴直线l的解析式是y＝x﹣1；（2）∵P点坐标为（p，p﹣1），∴点P在直线l上，而MN∥x轴，∴点M、N的纵坐标都为p﹣1，∴M（，p﹣1），N（﹣，p﹣1），∴MN＝，＝••（p﹣1）＝2，∴S△AMN（2）存在．理由如下：①当p＝2时，p﹣1＝1，此时P与B重合，△APM不存在；②当1＜p＜2时，S△APM＝（﹣p）（p﹣1）＝（﹣p2+p+1）．＝2S△APM，∵S△AMN∴2•（﹣p2+p+1）＝2，整理得，p2﹣p+1＝0，无解，当p＞2时，如图，S△APM＝＝（p2﹣p﹣1）．＝2S△APM，∵S△AMN∴2•（p2﹣p﹣1）＝2，整理得，p2﹣p﹣3＝0，解得p1＝（不合题意，舍去），p2＝．∴满足条件的p的值为．【点评】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会计算三角形的面积．一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣3，再利用x1＝﹣1可求出x2＝3，则可计算出m＝﹣2，然后计算代数式的值．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣3，∵x1＝﹣1，x1x2＝﹣3，∴x2＝3，∴﹣1+3＝﹣m，∴m＝﹣2，∴m﹣2x1x2＝﹣2﹣2×（﹣1）×3＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．20．【分析】先化分式方程为整式方程并求解，再进行讨论求得所有a的值，最后将所有符合条件a的值相加即可．【解答】解：两边都乘以x﹣3，得ax﹣2＝2（x﹣3）+1，解得x＝﹣，当a＝﹣1时，x＝﹣＝1；当a＝1时，x＝﹣＝3；当a＝3时，x＝﹣＝﹣3；当a＝5时，x＝﹣＝﹣1，∵当x＝3时，x﹣3＝0，∴x＝3不是原方程的解，∴a＝﹣1、3或5，∴a≠1，∴﹣1+3+5＝7，故答案为：7．【点评】此题考查了分式方程求解的能力，关键是能准确运用数形结合思想和数学讨论思想进行求解．21．【分析】由勾股定理求出AF的长，由△ADF∽△ECF，得到AF：FE＝DF：FC＝1：2，求出FE的长，即可求出AE的长．【解答】解∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠D＝90°，∵DF＝1，FC＝2，∴AD＝DC＝DF+FC＝3，∴AF＝＝＝，∵AD∥BE，∴△ADF∽△ECF，∴AF：FE＝DF：FC＝1：2，∴FE＝2AF＝2，∴AE＝AF+FE＝3．故答案为：3．【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．22．【分析】本题通过定义新运算“双胞蛋数”，用a、b来表示m和m'，并代入中，用a、b表示，然后代入中，用a、b表示，根据为完全平方数，且a﹣b≤8，来得出a﹣b的值，从而求出m值．【解答】解：m＝1000a+100b+10b+a＝1001a+110b，m'＝1000b+100a+10a+b＝110a+1001b，F（m）＝＝＝81a﹣81b＝81（a﹣b），＝＝9×，∵是一个完全平方数，∴是一个完全平方数，∵a≠b，且a、b均不为0，∴a﹣b＝5，∴a＝7，b＝1或a＝8，b＝2或a＝9，b＝3，∴m的最小值为7117．故答案为：7117．【点评】本题主要考查新定义的双胞蛋数，通过给出的关系式，运用整式的运算，得出对应的式子，通过平方数来得到对应的关系，从而判断出最小值．23．【分析】作辅助线，建立全等三角形，证明△ADF≌△BCE和△BAF≌△DAF（SAS），证明∠BGC＝120°，再作△BGC的外接圆O，即点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，计算AO和OG的长，计算其差可得结论．【解答】解：如图，过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，∵△ABC是等边三角形，∴四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，BC＝AD，∠DAC＝60°，∴∠DAF＝∠CBE，∵BE＝AF，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴DF＝CE，∠BCE＝∠ADF，∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠BCE，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣∠CBE＝120°，如图，作△BGC的外接圆O，即点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，连接AO，交⊙O于G，交BC于M，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，∴BM＝CM＝3，∴OM＝＝，∴OC＝2，∵OB＝OC，∠BOC＝120°，∴∠BCO＝30°，∴∠ACO＝90°，∴∠OAC＝30°，∵cos30°＝＝＝，∴AO＝4，∴AG的最小值为AO﹣OC＝4﹣2＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的全等的性质和判定，圆周角定理，垂径定理等知识，正确作辅助线证明∠BGC＝120°是解本题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据日销售利润总和＝线上和线下销售利润之和列出函数解析式，由函数的性质求出最值．【解答】解：（1）∵当12≤x≤20时，y与x满足一次函数的关系，∴设y＝kx+b（k≠0），将x＝15，y＝150；x＝20，y＝120代入得：，解得，∴y＝﹣6x+240，∴当12≤x≤20时，请求出y与x之间的函数关系式为y＝﹣6x+240；（2）根据题意得：w＝60（x﹣10﹣2）+（x﹣10）y＝60（x﹣12）+（x﹣10）（﹣6x+240）＝60x﹣720﹣6x2+300x﹣2400＝﹣6x2+360x﹣3120＝﹣6（x﹣30）2+2280，∵﹣6＜0，∴当x＝30时，w有最大值，最大值为2280，∴当该商品的售价x（元/件）为30元时，日销售利润总和最大，最大利润是2280元．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．25．【分析】（1）由题意得出方程组，即可求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）由待定系数法求出直线BC的解析式，证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP 即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则，得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B （4，0），与y轴交于点C（0，4），∴，解得，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，得，解得，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，），将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，∴点E的坐标为：（，），∴DE＝﹣＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴，∵C（0，4）、E（，），∴CE＝＝，由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CF＝＝t，∴，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为：（，）．【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键．26．【分析】（1）由旋转的性质证出∠BAC＝∠DAE，根据SAS可证明△ABC≌△ADE；（2）延长BD到N，使DN＝BC，连接AN，则∠ADB+∠ADN＝180°，证明△ABC≌△ADN（SAS），由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠N，证出，DF＝DN，则可得出结论；（3）过点C作∠QCK＝∠PCQ交AD于点K，过点B作BL∥CK交DA的延长线于点L，证明△ACP≌△DCK（ASA），由全等三角形的性质得出AP＝DK，证明△ABL≌△DCK （AAS），由全等三角形的性质得出∠DCK＝∠ABL，AL＝DK，证明△BDL∽△CDQ，由相似三角形的性质得出，证出DL＝DQ，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵边AB绕其顶点A逆时针旋转α得到线段AD，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∵将边AC绕点A逆时针旋转α得到线段AE，∴AC＝AE，∠CAE＝α，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）；（2）证明：延长BD到N，使DN＝BC，连接AN，则∠ADB+∠ADN＝180°，∵∠ADB+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠ADN，由旋转可知AB＝AD，在△ABC和△ADN中，，∴△ABC≌△ADN（SAS），∴∠ACB＝∠N，∵∠ACB＝∠BDG，∴∠N＝∠BDG，∴AN∥GD，∴，∵BC＝DF，BC＝DN，∴DF＝DN，∴，∴AM＝FM；（3）解：DQ+BP＝2CD．证明：过点C作∠QCK＝∠PCQ交AD于点K，过点B作BL∥CK交DA的延长线于点L，∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝120°，又△ACD是等边三角形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠PCQ＝∠QCK＝∠ABD＝30°，∴∠ACP+∠ACQ＝∠KCD+∠ACQ＝30°，∴∠ACP＝∠KCD，又∵AC＝CD，∠PAC＝∠KDC＝60°，∴△ACP≌△DCK（ASA），∴AP＝DK，∵BL∥CK，∴∠L＝∠CKD，∵∠BAD＝120°，∴∠BAL＝60°，∴∠BAL＝∠CDK＝60°，∵AB＝DC，∴△ABL≌△DCK（AAS），∴∠DCK＝∠ABL，AL＝DK，∴AL＝AP，∵∠ABD＝∠QCK＝30°，∴∠ABD+∠ABL＝∠QCK+∠DCK，即∠DBL＝∠DCQ，∵∠BDL＝∠CDQ＝30°，∴△BDL∽△CDQ，∴，∴DL＝DQ，∵DL＝AD+AL，∴DL＝CD+DK＝CD+AP＝CD+AB﹣BP＝2CD﹣BP，∴DQ＝2CD﹣BP，∴DQ+BP＝2CD．【点评】本题是几何变综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键。

2023年成都市九年级中考数学模拟试卷（一）A卷（共100分）第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如果|x﹣2|＝2﹣x，那么x的取值范围是（）A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞22．（3分）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（）A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×1034．（3分）在平面直角坐标系中，将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得图形与原图形的关系：将原图形（）A．向上平移3个单位长度B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度D．向右平移3个单位长度5．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+5b＝10ab B．（﹣ab）2＝a2b C．a2•a4＝a8D．2a6÷a3＝2a36．（3分）永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九（5）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.236.236.536.336.236.436.3A．36.3和36.2B．36.2和36.3C．36.2和36.2D．36.2和36.17．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°8．（3分）若关于x 的分式方程无解，则a 的值为（）A．1B．﹣1C．1或0D．1或﹣19．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB ＝90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．10．（3分）如图是二次函数y ＝x 2+bx +c 的部分图象，抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴交于点B ．给出下列结论：①b ＝c ；②点B 的坐标为（0，﹣3）；③抛物线与x 轴另一个交点的坐标为（3，0）；④抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；⑤函数最大值为﹣4．其中正确的个数为（）A．5B．4C．3D．2二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．（4分）分解因式：4a 3b 2﹣6a 2b 2＝．12．（4分）若一次函数y ＝（k ﹣2）x +3﹣k 的图象不经过第四象限，则k 的取值范围是．13．（4分）如图，AB 是半圆O 的直径，AC ＝AD ，OC ＝2，∠CAB ＝30°，则点O 到CD 的距离OE 为．14．（4分）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（﹣1）2021+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．（2）解不等式组．16．（6分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝．17．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，陈老师一共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是度；（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．18．（8分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）19．（10分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．（1）求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．20．（10分）已知：AB与⊙O相切于点B，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BC，BD．（1）如图1，求证：∠ABC＝∠ADB；（2）如图2，BE是⊙O的直径，EF是⊙O的弦，EF交OD于点G，并且∠A＝∠E，求证：＝；（3）如图3，在（2）的条件下，点H在上，连接EH，FH，DF，若DF＝，EH＝3，FH＝5，求AB的长．B卷（共50分）一．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（4分）若m﹣n＝3，mn＝5，则m+n的值为．22．（4分）一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为．23．（4分）如图，正六边形的边长为1cm，分别以它的所有顶点为圆心，1cm为半径作圆弧，则阴影部分图形的周长和为cm．（结果保留π）24．（4分）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为，a+b的值为．25．（4分）在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，交对角线AC于点E，点F为⊙A上一动点，连接CF，点G为CF中点，连接BG，取BG中点H，连接AH，则AH的最大值为．二．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y个．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？（3）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2BC．点E是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE ＝2CF，连接EF交AC于点G．（1）tan∠CAB＝；（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，①求证：EG＝FG；②求证：CG＝BE；（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H．①EG＝FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；②当CF＝1，BF＝2时，请直接写出GH的长．28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m 的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．A卷（共100分）第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如果|x﹣2|＝2﹣x，那么x的取值范围是（）A．x≤2B．x＜2C．x≥2D．x＞2【答案】A【解析】因为|x﹣2|＝2﹣x，由负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得，x﹣2≤0，即x≤2，故选：A．2．（3分）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】从左边看，是一列两个矩形．故选：C．3．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（）A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103【答案】A【解析】数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．故选：A．4．（3分）在平面直角坐标系中，将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，则所得图形与原图形的关系：将原图形（）A．向上平移3个单位长度B．向下平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度D．向右平移3个单位长度【答案】C【解析】将△ABC各点的纵坐标保持不变，横坐标都减去3，所得图形与原图形相比向左平移了3个单位．故选：C．5．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+5b＝10ab B．（﹣ab）2＝a2b C．a2•a4＝a8D．2a6÷a3＝2a3【答案】D【解析】2a+5b不能合并同类项，故A不符合题意；（﹣ab）2＝a2b2，故B不符合题意；a2•a4＝a6，故C不符合题意；2a6÷a3＝2a3，故D符合题意；故选：D．6．（3分）永宁县某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，九（5）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（）日期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期天体温（℃）36.236.236.536.336.236.436.3A．36.3和36.2B．36.2和36.3C．36.2和36.2D．36.2和36.1【答案】B【解析】将这组数据重新排列为36.2、36.2、36.2、36.3、36.3、36.4、36.5，所以这组数据的众数为36.2，中位数为36.3，故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A【解析】由作图可知：MN垂直平分线段AC，可得DA＝DC，则∠DAC＝∠C＝30°，故∠BAD＝70°﹣30°＝40°，故选：A．8．（3分）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．1B．﹣1C．1或0D．1或﹣1【答案】D【解析】去分母得：x﹣a＝ax+a，即（a﹣1）x＝﹣2a，当a﹣1＝0，即a＝1时，方程无解；当a ﹣1≠0，即a ≠1时，解得：x ＝，由分式方程无解，得到＝﹣1，即a ＝﹣1，综上，a 的值为1或﹣1，故选：D ．9．（3分）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，一等腰直角三角形ABC 的三个顶点A ，B ，C 分别在l 1，l 2，l 3上，∠ACB ＝90°，AC 交l 2于点D ，已知l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法1，如图，作BF ⊥l 3，AE ⊥l 3，∵∠ACB ＝90°，∴∠BCF +∠ACE ＝90°，∵∠BCF +∠CBF ＝90°，∴∠ACE ＝∠CBF ，在△ACE 和△CBF 中，，∴△ACE ≌△CBF ，∴CE ＝BF ＝3，CF ＝AE ＝4，∵l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，∴AG ＝1，BG ＝EF ＝CF +CE ＝7∴AB ＝＝5，∵l 2∥l 3，∴＝∴DG ＝CE ＝，∴BD ＝BG ﹣DG ＝7﹣＝，∴＝．方法2、过点A 作AE ⊥l 3于E ，交l 2于G ，∵l 1∥l 2∥l 3，∴＝，∴CD ＝3AD ，设AD ＝a ，则CD ＝3a ，AC ＝CD +AD ＝4a ，∵BC ＝AC ，∴BC ＝4a ，在Rt△BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝＝5a ，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝4a ，∴，故选：A ．10．（3分）如图是二次函数y ＝x 2+bx +c 的部分图象，抛物线的对称轴为直线x ＝1，与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴交于点B ．给出下列结论：①b ＝c ；②点B 的坐标为（0，﹣3）；③抛物线与x 轴另一个交点的坐标为（3，0）；④抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；⑤函数最大值为﹣4．其中正确的个数为（）A．5B．4C．3D．2【解析】∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），∴，抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），故③正确，符合题意；解得，∴b≠c，故①错误，不符合题意；函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点B的坐标为（0，﹣3），故②正确，符合题意；抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故④正确，符合题意；函数图象开口向上，当x＝1时，取得最小值﹣4，故⑤错误，不符合题意；故选：C．二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）11．（4分）分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝________．【答案】2a2b2（2a﹣3）．【解析】4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．12．（4分）若一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象不经过第四象限，则k的取值范围是________．【答案】2＜k≤3．【解析】当一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、三象限时，，∴k＝3；当一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限时，，∴2＜k＜3．综上，k的取值范围是2＜k≤3．13．（4分）如图，AB是半圆O的直径，AC＝AD，OC＝2，∠CAB＝30°，则点O到CD的距离OE为________．【答案】．【解析】∵AC＝AD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠OCD＝45°，即△OCE是等腰直角三角形，在等腰Rt△OCE中，OC＝2；因此OE＝．14．（4分）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？设有x辆车，y个人，根据题意，可列方程组为________．【答案】．【解析】依题意，得：．三．解答题（共6小题，满分54分）15．（12分）（1）计算：（﹣1）2021+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．（2）解不等式组．【答案】见解析【解析】（1）原式＝﹣1+2+﹣1﹣2×＝﹣＝0；（2），解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＞3，∴不等式组的解集是x＞3．16．（6分）先化简，再求值：÷（x+2﹣），其中x＝．【答案】见解析【解析】原式＝÷＝•＝，当x＝时，原式＝＝．17．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，陈老师一共调查了________名学生；（2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是________度；（3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．【答案】见解析【解析】（1）陈老师一共调查学生：（2+1）÷15%＝20（名）；故答案为：20．（2）C类学生人数：20×25%＝5（名），C类女生人数：5﹣2＝3（名），D类学生占的百分比：1﹣15%﹣50%﹣25%＝10%，D类学生人数：20×10%＝2（名），D类男生人数：2﹣1＝1（名），×360°＝36°，补充条形统计图如图，故答案为：36；（3）列表如下，A类学生中的两名女生分别记为A1和A2，女A1女A2男A男D女A1男D女A2男D男A男D女D女A1女D女A2女D男A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为＝．18．（8分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求显示屏顶端A与底座C的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，≈1.4，≈1.7）【答案】见解析【解析】（1）由已知得AP＝BP＝AB＝16cm，在Rt△APE中，∵sin∠AEP＝，∴AE＝＝≈≈53，答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为53cm；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，∵∠EAB+∠BAF＝90°，∠EAB+∠AEP＝90°，∴∠BAF＝∠AEP＝18°，在Rt△ABF中，AF＝AB•cos∠BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，BF＝AB•sin∠BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，∵BF∥CD，∴∠CBF＝∠BCD＝30°，∴CF＝BF•tan∠CBF＝9.6×tan30°＝9.6×≈5.44，∴AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为34cm．19．（10分）如图，在直角坐标平面中，点A（2，m）和点B（6，2）同在一个反比例函数的图象上．（1）求直线AB的表达式；（2）求△AOB的面积及点A到OB的距离AH．【答案】见解析【解析】（1）设反比例函数为y＝，∵点A（2，m）和点B（6，2）在y＝的图象上∴k＝2m＝6×2解得m＝6，，∴点A的坐标为（2，6），设直线AB的表达式为y＝ax+b，把A（2，6）和B（6，2）代入得，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；（2）设直线AB与x轴的交点为C，在直线AB 为y ＝﹣x +8中，令y ＝0，则x ＝8，∴C （8，0），∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC ＝﹣＝16，∵B （6，2），∴OB ＝＝2，∵S △AOB ＝OB •AH ＝16，∴AH ＝＝．20．（10分）已知：AB 与⊙O 相切于点B ，连接AO 交⊙O 于点C ，延长AO 交⊙O 于点D ，连接BC ，BD ．（1）如图1，求证：∠ABC ＝∠ADB ；（2）如图2，BE 是⊙O 的直径，EF 是⊙O 的弦，EF 交OD 于点G ，并且∠A ＝∠E ，求证：＝；（3）如图3，在（2）的条件下，点H 在上，连接EH ，FH ，DF ，若DF ＝，EH ＝3，FH ＝5，求AB 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：连接OB ，如图1所示：∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴AB ⊥OB ，∴∠OBA ＝90°，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠CBD ＝90°，∴∠CBD ＝∠OBA ，∴∠CBD﹣∠OBC＝∠OBA﹣∠OBC，即∠OBD＝∠ABC，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ADB；（2）证明：∵∠A+∠AOB＝90°，∠A＝∠E，∠EOG＝∠AOB，∴∠E+∠EOG＝90°，∴∠EGO＝90°，∴OD⊥EF，∴＝；（3）解：连接DH、DE，过点D作DM⊥FH于M，DN⊥HE交HE的延长线于N，如图3所示：∵＝，∴DE＝DF＝，∠DHE＝∠DHF，∴DN＝DM，∴Rt△DEN≌Rt△DFM（HL），∴EN＝FM，∵∠N＝∠DMH＝90°，∠DHE＝∠DHF，DH＝DH，∴△DHN≌△DHM（AAS），∴HN＝HM，设EN＝t，则FM＝t，∴3+t＝5﹣t，解得：t＝，∴EN＝，∴HN＝4，在Rt△DEN中，DN＝＝＝4，在Rt△DHN中，tan∠DHN＝＝＝，∴∠DHN＝30°，∴∠DBE＝30°，∴∠ADB＝∠ABC＝∠DBE＝30°，∴∠BCD＝90°﹣∠ADB＝60°，∴∠A＝∠BCD﹣∠ABC＝30°＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝，∴BD＝＝＝＝，∴AB＝BD＝．B卷（共50分）一．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）21．（4分）若m﹣n＝3，mn＝5，则m+n的值为________．【答案】．【解析】根据（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，把m﹣n＝3，mn＝1，得，（m+n）2＝9+20＝29；所以m+n＝．22．（4分）一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为________．【答案】b＞﹣．【解析】∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，∴Δ＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0，解得：b＞﹣，23．（4分）如图，正六边形的边长为1cm，分别以它的所有顶点为圆心，1cm为半径作圆弧，则阴影部分图形的周长和为________cm．（结果保留π）【答案】2π．【解析】正六边形的每一个内角为＝120°，由圆的对称性可得，阴影部分的周长正好是半径为1cm的圆的周长，半径为1cm的圆的周长为2π×1＝2πcm，24．（4分）如图，直线y＝kx与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，与函数y＝（0＜b＜a）在第一象限的图象交于点C，AC＝3BC，过点B分别作x轴，y轴的平行线交函数y＝在第一象限的图象于点E，D，连接AE交x轴于点G，连接AD交y轴于点F，连接FG，若△AFG的面积为1，则的值为________，a+b的值为________．【答案】，【解析】∵OA＝OB，AC＝3BC，故点C是OB的中点，设点B的坐标为（m，），则点A（﹣m，﹣），则点C的坐标为（m，），则b＝m•＝a，即，则点E、D坐标分别为（m，）、（m，），由点A、E的坐标得，直线AE的表达式为y＝+，设直线AE交y轴于点H，令y＝+＝0，解得x＝﹣m，令x＝0，则y＝，故点G 、H 的坐标分别为（﹣m ，0）、（0，），同理可得，点F 的坐标为（0，﹣），则△AFG 的面积＝S △HFA ﹣S △HFG ＝HF ×（x G ﹣x A ）＝×（+﹣）×（﹣m +m ）＝1，解得a ＝，而b ＝a ，∴a +b ＝；25．（4分）在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，CD ＝4，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，交对角线AC 于点E ，点F 为⊙A 上一动点，连接CF ，点G 为CF 中点，连接BG ，取BG 中点H ，连接AH ，则AH 的最大值为________．【答案】+．【解析】如图，连接BE ，AF ，EG ，取BE 的中点J ，连接HJ ，AJ ．∵AE ＝EC ，CG ＝GF ，∴EG ＝AF ＝1，∵BH ＝HG ，BJ ＝JE ，∴JH ＝EG ＝，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABC ＝∠D ＝60°，BC ＝BA ，∴△ABC 是等边三角形，∵CE ＝EA ，∴BE ⊥AC ，∴BE ＝AE ＝2，∴JE ＝BJ ＝，∴AJ ＝＝，∵AH ≤AJ +JH ，∴AH ≤+，∴AH 的最大值为+．二．解答题（共3小题，满分30分）26．（8分）“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心，每个人都在为抗击疫情而努力．某厂改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个．如果每增加一条生产线，每条生产线就会比原来少生产20个口罩．设增加x 条生产线后，每条生产线每天可生产口罩y 个．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若每天共生产口罩6000个，在投入人力物力尽可能少的情况下，应该增加几条生产线？（3）设该厂每天可以生产的口罩w 个，请求出w 与x 的函数关系式，并求出增加多少条生产线时，每天生产的口罩数量最多，最多为多少个？【答案】见解析【解析】（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y ＝500﹣20x ；∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝500﹣20x （0≤x ≤25，且x 为整数）；（2）由题意得：（10+x ）（500﹣20x ）＝6000，整理得：x 2﹣15x +50＝0，解得：x 1＝5，x 2＝10，∵尽可能投入少，∴x 2＝10舍去．答：应该增加5条生产线．（3）w ＝（10+x ）（500﹣20x ）＝﹣20x 2+300x +5000＝﹣20（x ﹣7.5）2+6125，∵a ＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝7.5时，w最大，又∵x为整数，∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120．答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个．27．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2BC．点E是直线AB上的一点，点F是直线BC上的一点，且满足AE ＝2CF，连接EF交AC于点G．（1）tan∠CAB＝；（2）如图1，当点E在AB上，点F在线段BC的延长线上时，①求证：EG＝FG；②求证：CG＝BE；（3）如图2，当点E在BA的延长线上，点F在线段BC上时，AC与DF相交于点H．①EG＝FG这个结论是否仍然成立？请直接写出你的结论；②当CF＝1，BF＝2时，请直接写出GH的长．【答案】见解析【解析】（1）∵矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，∴tan∠CAB＝＝，故答案为：；（2）①证明：过点E作EH⊥AB，交AC于点H，则∠AEH＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠AEH＝90°．∴EH∥BF，∴∠EHG＝∠FCG，∠HEG＝∠CFG，在Rt△ABC和Rt△AEH中，∵AB＝2BC，∴tan∠CAB＝＝＝，∴AE＝2EH，∵AE＝2CF，∴EH＝CF，∴△EHG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG．②证明：设EH＝x，则AE＝2x，Rt△AEH中，根据勾股定理得，AH＝＝x，∵EH∥BF，∴＝，∴＝，∴CH＝BE，∵△EHG≌△FCG，∴HG＝CG，∴CG＝BE．（3）①成立；过点F作FP∥AB交AC于P，如图3所示：则FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∴∠CPF＝∠CAB，在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝，∴PF＝2CF，∵AE＝2CF，∴AE＝PF，在△PFG和△AEG中，，∴△PFG≌△AEG（ASA），∴EG＝FG；②解：如图3，∵△AEG≌△PFG（AAS），∴AG＝PG，∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，∴AC＝＝＝3，∵FP∥AB，∴△CPF∽△CAB，∴，∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，∴AG＝PG＝PA＝，∵FP∥CD，∴△PFH∽△CDH，∴，∴PH＝PC＝，∴GH＝PG+PH＝+＝．28．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m 的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．【答案】见解析【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，∴点C的坐标为（0，6）．设直线BC的解析式为y＝kx+c，将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，∴S＝PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m﹣）2+，∴当m＝时，△PBC面积取最大值，最大值为．∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，∴0＜m＜3．综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值为．（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，∴△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当时，△COB∽△CDM∽△CMN，∴，解得，a＝1，∴M（1，8），此时ND＝DM＝，∴N（0，），当时，△COB∽△MDC∽△NMC，∴，解得a＝，∴M（，），此时N（0，）．如图3，当点M位于点C的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或＝2，△CMN与△OBC相似，解得a＝或a＝3，∴M（，）或M（3，0），此时N点坐标为（0，）或（0，﹣）．综合以上得，存在M（1，8），N（0，）或M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（3，0），N（0，﹣），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．。

2023年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的）1．（4分）﹣2023的倒数是（）A．2023B．﹣2023C．D．2．（4分）2023年春节假期全国国内旅游出游达308000000人次，同比增长23.1%．请你将308000000用科学记数法表示是（）A．0.308×109B．3.08×108C．3.08×109D．30.8×107 3．（4分）分别用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（4分）下面计算正确的是（）A．2x2+2x2＝4x4B．（x﹣y）2＝x2﹣y2C．﹣x2•（﹣x）2＝x4D．（﹣2x2）3＝﹣8x65．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）6．（4分）60°角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（4分）甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：甲乙丙丁平均数9.69.59.59.6方差0.250.250.270.27如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③9a+3b+c＜0；④对于任意的实数m，总有a+b≥am2+bm；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）因式分解：2x3﹣8x＝．10．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝．11．（4分）如图，若随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为．12．（4分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不等实数根，则实数m的取值范围是．13．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且OB＝2OA，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是．三、解答题（本大题共6小题，共48分）14．（6分）计算：2cos30°﹣|﹣2|+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1．15．（6分）先化简，再求值：（+）÷，且x为满足﹣3＜x＜2的整数．16．（8分）第31届世界大学生运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，某校开展了“爱成都，迎大运”系列活动，增设篮球，足球，柔道，射击共四个课外活动项目．为了解全校1500名同学对增设的四个活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人限选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题：（1）参加问卷调查的同学共名，补全条形统计图；（2）估计该校1500名同学中喜爱篮球运动的人数；（3）学校准备组建一支校篮球队，某班甲，乙，丙，丁四名同学平时都很喜欢篮球运动，现决定从这四人中任选两名同学加入球队，请你用树状图或列表法求恰好选中甲，乙两名同学的概率．17．（8分）如图，AB和CD是同一水平地面上的两座楼房，已知楼AB的高为20米，在楼AB的楼顶点A测得楼CD的楼顶C的仰角为37°，楼底D的俯角为30°，求楼CD的高．（结果保留根号，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）18．（10分）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础．某班数学兴趣小组利用《海岛算经》中第一个问题的方法进行如下测量：如图，要测量一栋建筑物的高度AH，立两根高3米的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝19米，D，B，H成一线，从B处退5米到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F三点成一线；从D处退6米到G，从G观察A点，A，E，G三点也成一线．请你帮助小组同学，试计算该建筑物的高度AH及HB的长．19．（10分）在平面直角坐标系中，点A坐标为（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于点E，F（点E，F不与点A重合），沿着EF将△AEF折叠，点A落在点D处．（1）如图1，当点E为AC中点时，求点F的坐标，并直接写出EF与对角线BC的关系；（2）如图2，当点E位置发生改变时，EF与BC是否存在（1）中的位置关系，请说明理由；（3）如图3，连接CD，当CD平分∠ACO时，求出此时反比例函数的表达式．B卷（共50分）一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）20．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则|x1﹣x2|的值是．21．（4分）如图，在正方形OABC中，OA＝1，二次函数y＝x2的图象过点O和点B，为了测算该二次函数的图象与边OA，AB围成的阴影部分面积，某同学在正方形OABC内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，据此估计阴影部分的面积为．22．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线y＝过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以AD，AE为邻边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为7，则k为．23．（4分）如图，点A的坐标为（，3），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（k，4），则k的值为．24．（4分）如图，在三角形△ABC中，∠BAC＝50°，AB＝AC，BD⊥AC于D，M，N分别是线段BD，BC上的动点，BM＝CN，当AM+AN最小时，∠MAD＝．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）25．（8分）某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车．得到相关数据如下：燃油车纯电新能源车油箱容积：48升电池容量：90千瓦时油价：8元/升电价：0.6元/千瓦时（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣6，0），OA＝3OB＝OC，D为线段AC 下方抛物线上一动点，过点D做DG⊥AC于G．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求△ACD面积的最大值；（3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．27．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，G是对角线BD的三等分点，且GD＝BD，连接GE．当GE ＝GD时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交线段AB于点F，连接CF，与BE交于点P．当BE平分∠ABC时，求PE的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将△EDH沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC 上的点D'处，过点D'作D'N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE＝2．求△MD'H的面积．2023年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的）1．【分析】根据倒数的定义解答即可．【解答】解：﹣2023的倒数是﹣．故选：D．【点评】此题考查的是倒数的定义，乘积是1的两数互为倒数．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将308000000用科学记数法表示为：3.08×108．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】利用正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特征解答即可．【解答】解：用一个平面去截正方体、圆柱、三棱柱，都可以得到截面是矩形，用一个平面去截圆锥、球体，不可以得到截面是矩形，所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是矩形的几何体共有3个．故选：C．【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球体的结构特是解题的关键．4．【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则分析判断即可．【解答】解：A、2x2+2x2＝4x2，原式计算错误，故选项不符合题意；B、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原式计算错误，故选项不符合题意；C、﹣x2•（﹣x）2＝﹣x2•x2＝﹣x4，原式计算错误，故选项不符合题意；D、（﹣2x2）3＝﹣8x6，原式计算正确，故选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则，熟记相关的运算法则是解题的关键．5．【分析】作PM⊥x轴于M，作QN⊥x轴于N，由等腰直角三角形的性质求出ON，QN的长，即可解决问题．【解答】解：如图，点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点是Q，连接PQ，交直线y ＝x于B，交x轴于A，则直线y＝x垂直平分PQ，作PM⊥x轴于M，作QN⊥x轴于N，∵直线y＝x与坐标轴的夹角是45°，∴∠AOB＝45°，∴∠OAB＝45°，∴△MAP是等腰直角三角形，∴AP＝PM，PM＝AM，∵P的坐标是（2，﹣3），∴PM＝3，OM＝2，∴PA＝3，AM＝3，∴OA＝AM﹣OM＝2﹣2＝1，∵△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝，∴QB＝PB＝PA﹣AB＝，∴AQ＝QB﹣AB＝2，∵△AON是等腰直角三角形，∴AN＝ON＝AQ＝2，∴ON＝AN+AO＝3，∴Q的坐标是（﹣3，2），∴点P（2，﹣3）关于直线y＝x对称的点的坐标是（﹣3，2）．故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变化—对称，关键是由轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，求出ON，QN的长．6．【分析】根据60°角的余弦值为解答即可．【解答】解：cos60°＝，即60°角的余弦值为，故选：D．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60°角的余弦值是解题的关键．7．【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【解答】解：∵甲的平均分最高，方差最小，最稳定，∴应选甲．故选：A．【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．8．【分析】由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置可判断结论①；把x＝1代入抛物线对称轴公式可判断结论②；由抛物线的对称性的值可判断结论③；由x＝1时，函数y取得最大值可判断结论④．【解答】解：∵抛物线开口向下、对称轴在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即2a+b＝0，故②正确；∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的交点在点（﹣1，0）右侧，∴抛物线与x轴的另一个交点在（3，0）左侧，∴当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，故③正确；∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝1时，y＝a+b+c，∵当x＝1时，函数值最大，∴am2+bm+c≤a+b+c，∴a+b≥am2+bm，故④正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与y轴交点，函数增减性并会综合运用是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．【分析】先提公因式2x，分解成2x（x2﹣4），而x2﹣4可利用平方差公式分解．【解答】解：2x3﹣8x＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）．故答案为：2x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底．10．【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理得出BC＝5a，AC＝12a，AB＝13a，进而得出答案．【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝＝，设BC＝5a，则AB＝13a，AC＝＝12a，∴tan B＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提，利用勾股定理求出AC是得出正确答案的关键．11．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：列表如下：S1S2S3S1（S2，S1）（S3，S1）S2（S1，S2）（S3，S2）S3（S1，S3）（S2，S3）由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，∴能让两灯泡同时发光的概率为．故答案为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．12．【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到Δ＝9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且m﹣2≠0，∴9﹣4（m﹣2）×（﹣1）＞0且m﹣2≠0，∴m＞﹣且m≠2．故答案为：m＞﹣且m≠2．【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的意义的知识，解答本题的关键是熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则根的判别式Δ＞0，此题难度不大．13．【分析】根据已知条件得到A（1，0），B（0，﹣k），因为OB＝2OA求得k＝2，所以一次函数的解析式为y＝2x﹣2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，求得F（3，﹣1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．【解答】解：∵一次函数y＝k（x﹣1）的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，∴B（0，﹣k），A（1，0），∵OB＝2OA，∴A（1，0），B（0，﹣2），∴OA＝1，OB＝2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AB＝AF，∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，∴∠ABO＝∠EAF，∴△ABO≌△FAE（AAS），∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，∴F（3，﹣1），∴∴∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣2，故答案为：y＝x﹣2．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共48分）14．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：2cos30°﹣|﹣2|+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1＝2×﹣（2﹣）+1﹣（﹣3）＝﹣2++1+3＝2+2．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．15．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝[+]÷＝（+）•x＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2所以x＝﹣1原式＝﹣2﹣3＝﹣5【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．16．【分析】（1）用喜爱足球的人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的同学的人数；用参加问卷调查的同学的人数分别减去喜爱篮球、足球、射击的人数，求出喜爱柔道的人数，补全条形统计图即可．（2）根据用样本估计总体，用1500乘以参加问卷调查的同学中喜爱篮球运动的人数的百分比，即可得出答案．（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中甲、乙两名同学的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）参加问卷调查的同学的人数为12÷20%＝60（名）．故答案为：60．喜爱柔道的人数为60﹣18﹣12﹣14＝16（名）．补全条形统计图如图所示．（2）1500×＝450（人）．∴该校1500名同学中喜爱篮球活动的人数大约450人．（3）画树状图如下：由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．17．【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．【解答】解：延长过点A的水平线交CD于点E，则有AE⊥CD，四边形ABDE是矩形，∵BD＝＝20（米），∴AE＝20米．∴CE＝AE•tan37°＝20×＝15（米）．∴CD＝CE+ED＝（15+20）米．答：楼CD的高是（15+20）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，涉及到特殊角的三角函数值及等腰三角形的判定，熟知以上知识是解答此题的关键．18．【分析】根据题意得出AHF∽△CBF，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．【解答】解：由题意，得：AH⊥HG，CB⊥HG．∴BC∥HA．∴△AHF∽△CBF．同理，△EDG∽△AHG，又∵BC＝DE＝3米，∵BF＝5米，BD＝19米，DG＝6米，∴HF＝HB+BF＝HB+5．∴HG＝HB+BD+DG＝HB+19+6＝HB+25．解得：HB＝95．解得：AH＝60．答：该建筑物的高度AH为60米，HB长为95米．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG是解题关键．19．【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，得到EF分别为AC、AB的中点，进而求解；（2）求出点F的坐标为（4，），得到AF＝3﹣＝，则＝＝＝，得到△AEF∽△ACB，即可求解；（3）求出AD表达式，又因为CD平分∠ACO，C（0，3），得到AD的中点M的坐标，进而求解EF的表达式，进而求解．【解答】解：（1）∵点E为AC中点，由中点坐标公式得：E（2，3），将点E的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得：k＝2×3＝6，当x＝4时，y＝＝，即点F的坐标为（4，），∴E、F分别为AC、AB的中点，∴EF∥BC，EF＝BC；（2）EF∥BC，理由如下：将y＝3代入y＝，得x＝，∴点E的坐标为（，3）∴AE＝4﹣＝，将x＝4代入y＝，得y＝，∴点F的坐标为（4，），∴AF＝3﹣＝，∴＝＝＝，又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴EF∥BC；（3）在矩形ABOC中，B（4，0），C（0，3），设直线BC的表达式为：y＝mx+n，则，解得：，故直线BC表达式为：y＝﹣x+3，∵△AEF沿着EF折叠至△DEF，∴AD⊥EF，∵EF∥BC，∴AD⊥BC，∴设直线AD表达式为：y＝x+b，将点A的坐标代入上式得4＝+b，解得：b＝﹣，∴AD表达式为：y＝x﹣，又∵CD平分∠ACO，C（0，3），∴CD表达式为：y＝﹣x+3联立，解得，∴D点坐标为（，）∴AD的中点M的坐标为（，），设直线EF表达式为：y＝﹣x+m，代入（，），∴EF的表达式为：y＝﹣x+，当x＝4时，y＝，∴点F坐标为（4，），∴k＝4×＝，∴此时反比例函数的表达式为y＝．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．B卷（共50分）一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）20．【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝4+12＝16，∴|x1﹣x2|＝＝4．故答案为：4．【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．21．【分析】根据正方形的面积公式得到正方形OABC的面积＝1，根据阴影部分的面积占正方形OABC的面积的即可得到结论．【解答】解：在正方形OABC中，OA＝1，∴正方形OABC的面积＝1，∵在正方形OABC内随机投掷900个点，已知恰有300个点落在阴影部分内，∴阴影部分的面积＝正方形OABC的面积×＝，故答案为：．【点评】本题考查了利用频率估计概率，正方形的面积的计算，正确地求得阴影部分的面积占正方形OABC的面积的是解题的关键．22．【分析】延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，根据题意得到△DHF≌△AGE≌△AEN，于是得到结论．【解答】解：延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，则△DHF≌△AGE≌△AEN，＝S四边形ADHE，∴S四边形ABOE＝S四边形AEFD＝7，∴S四边形ABOG∵双曲线y＝过点A，∴k＝7．故答案为：7．【点评】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23．【分析】过A点作AF⊥x轴于F，C作CD⊥x轴于点D，CE⊥AF于点E，则四边形DCEF 是矩形，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC，由点A的坐标为（，3），C（k，4），有AC＝＝，而BD＝＝，FB＝＝，根据OF+BF+BD＝OD＝k，可得++＝k，解方程可得答案．【解答】解：过A点作AF⊥x轴于F，C作CD⊥x轴于点D，CE⊥AF于点E，则四边形DCEF是矩形，如图：∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵点A的坐标为（，3），C（k，4），∴CE＝k﹣＝FD，CD＝4，AF＝3，∴AE＝EF﹣AF＝CD﹣AF＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，FB＝＝＝，∵OF+BF+BD＝OD＝k，∴++＝k，设k﹣＝x，则+＝x，化简变形得：3x4﹣46x2﹣49＝0，解得x2＝﹣1（舍去）或x2＝，∴x＝或x＝﹣（不符合题意，舍去），∴k﹣＝，∴k＝，故答案为：．【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含k 的代数式表示相关线段的长度．24．【分析】在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'，则AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上，推出∠A'AC＝∠A'＝＝37.5°，所以∠BAM＝37.5°，即可得到∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝50°﹣37.5°＝12.5°．【解答】解：在BC下方作△CNA'，使△CNA'≌△BMA，连接AA'．则∠NCA'＝∠MBA，AM＝A'N．∴AM+AN＝A'N+AN≥AA'，即AM+AN最小值为AA'，此时A、N、A'三点在同一直线上．∵∠BAC＝50°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠NVA'＝40°，∴∠ACA'＝65°+40°＝105°，∴∠A'AC＝∠A'＝＝37.5°，∴∠BAM＝37.5°，∴∠MAD＝∠BAC﹣∠BAM＝50°﹣37.5°＝12.5°，故答案为：12.5°．【点评】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）25．【分析】（1）根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.55元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；②设每年行驶里程为x千米时，由年费用＝年行驶费用+年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）燃油车每千米行驶费用为＝（元），纯电新能源车每千米行驶费用为＝（元），答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；（2）①由题意得：﹣＝0.55，解得：a＝600，经检验，a＝600是分式方程的解，且符合题意，∴＝0.64（元），＝0.09（元），答：燃油车每千米行驶费用为0.64元，纯电新能源车每千米行驶费用为0.09元；②设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低，由题意得：0.64x+4800＞0.09x+8100，解得：x＞6000，答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低．【点评】本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确列出代数式；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式．26．【分析】（1）用待定系数法即可求解；＝S△ADF+S△CDF，即可求解；（2）由S△ACD（3）①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，证明△QMA∽△AOC，得到＝＝，进而求解；②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，同理可解．【解答】解：（1）∵OA＝3OB＝OC＝6，故点B（2，0）、点C（0，﹣4），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），即﹣12a＝﹣4，解得：a＝，∴y＝x2+x﹣4；（2）过点D作DE⊥x轴于点E，交AC于点F．∵A（﹣6，0），C（0，﹣4），设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，则直线AC的表达式为：y AC＝﹣x﹣4，设D（x，x2+x﹣4），则F（x，﹣x﹣4），则DF＝（﹣x﹣4）﹣（x2+x﹣4）＝﹣x﹣2x，＝S△ADF+S△CDF＝DF•|x C﹣x A|＝6×（﹣x﹣2x）＝﹣（x+3）2+9≤9，则S△ACD∴当x＝﹣3时，△ACD面积的最大值为9；（3）过点A作AC垂线交CD延长线于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M．①当∠BCO＝∠DCG，即∠1＝∠2时，∵∠5+∠6＝∠6+∠4＝90°，∴∠5＝∠4，又∠QMA＝∠AOC＝90°，∴△QMA∽△AOC，∴＝＝，又tan∠2＝＝tan∠1＝＝，∴＝＝，∴QM＝3，MA＝2，∴Q（﹣8，﹣3）又C（0，﹣4），∴直线QC的表达式：y＝﹣x﹣4，联立得：，解得：x＝0或x＝﹣，∴x＝﹣；②当∠BCO＝∠CDG，即∠1＝∠3时，由①可知△QMA∽△AOC，∴＝＝，又∵DG⊥AC，QA⊥AC，∴DG∥AQ，∴∠3＝∠AQC，∴tan∠AQC＝＝tan∠3＝tan∠1＝＝，∴＝＝＝2，∴QM＝12，MA＝8，∴Q（﹣14，﹣12），又∵C（0，﹣4），∴直线QC的表达式：y＝x﹣4，联立得：，解得：x＝0或x＝﹣，∴x＝﹣，综上，存在，点D其横坐标为：﹣或﹣．【点评】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．27．【分析】（1）过点G作GF⊥AD于点F．求出DF，再利用等腰三角形是三线合一的性质求解；（2）证明Rt△EAF≌Rt△CDE（HL）．推出AE＝DC＝6，推出AF＝DE＝10﹣6＝4，推出FB＝AB﹣AF＝2，过点P作PM⊥BC于点M，设PM＝BM＝x则MC＝10﹣x由△PMC ∽△FBC得＝，构建方程求出x，可得结论；（3）设HD＝HD'＝x，在Rt△HD'C中，D'C2+HD’2＝HC2，可得22+x2＝（6﹣x）2解得x＝，再证明∠1＝∠3，∠2＝∠4，可得tan∠1＝tan∠3＝3，tan∠2＝tan∠4＝，过点H作KH⊥MD’于点K，设MK＝m，KH＝3m，KD'＝4m，得D’H＝5m，由HD'＝5m＝得m＝，可得结论．【解答】解：（1）过点G作GF⊥AD于点F．∵GD＝BD，∴＝，∵FG∥AB，∴＝＝，∴DF＝，∵GD＝GE，∴DE＝2DF＝，即AE＝10﹣；（2）如图2中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝45°，∴AB＝AE，又矩形ABCD中，DC＝AB，∴AE＝DC，∵EF⊥EC，∴∠1+∠3＝90°，又∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠2，∴Rt△EAF≌Rt△CDE（HL）．∴AE＝DC＝6，∴AF＝DE＝10﹣6＝4，∴FB＝AB﹣AF＝2，过点P作PM⊥BC于点M，∵∠PBM＝45°，△PMB是等腰直角三角形，设PM＝BM＝x则MC＝10﹣x由△PMC∽△FBC得＝，即＝，得x＝，在等腰Rt△PMB中，PB＝，又EB＝＝＝＝6，∴PE＝BE﹣BP＝．（3）如图3中，∵AE＝2，AD＝10，∴DE＝8，又DC＝6，∴EC＝＝＝＝10，由翻折得△EDH≌△ED'H，∴HD'＝HD，ED'＝ED＝＝8，△HD'C是直角三角形，∴D'C＝10﹣8＝2，设HD＝HD'＝x，在Rt△HD'C中，D'C2+HD’2＝HC2，∴22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴HD＝HD'＝，在Rt△EDH中，tan∠3＝＝＝3，在Rt△HD'C中，tan∠4＝＝＝，∵ND'∥DC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴tan∠1＝tan∠3＝3，tan∠2＝tan∠4＝，过点H作KH⊥MD’于点K，设MK＝m，KH＝3m，KD'＝4m，得D’H＝5m，由HD'＝5m＝，∴m＝，＝MD'•HK＝•5m•3m＝m2＝×（）2＝，∴S△MD’H＝．即S△MD’H【点评】此题是四边形和相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键。

2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）在﹣1.5，﹣3，﹣1，﹣5四个数中，最大的数是（）A．﹣1.5B．﹣3C．﹣1D．﹣52．（4分）如图所示的几何体是由5个完全相同的小正方体搭成，其主视图大致是（）A．B．C．D．3．（4分）2022年，成都新改扩建幼儿园、中小学80所，新增学位82000个，新建人才公寓10000套、保障性租赁住房61000套，一批医疗卫生、公共服务等重大项目超额完成目标任务．将数据82000用科学记数法表示为（）A．8.2×103B．8.2×104C．8.2×105D．0.82×105 4．（4分）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．（4ab3）2＝4a2b6C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a﹣1）2＝a2﹣15．（4分）如图，OB是∠AOC内的一条射线，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F都不与O点重合，连接ED、EF，添加下列条件，能判定△DOE ≌△FOE的是（）A．∠DOE＝∠EOF，∠ODE＝∠OEF B．OD＝OF，ED⊥OA，EF⊥OC C．DE＝EF，∠ODE＝∠OFE D．OD＝OF，∠ODE＝∠OFE6．（4分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．17．（4分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OA、AC，则∠OAC的大小是（）A．18°B．24°C．30°D．36°8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣5，0），下列说法正确的是（）A．b2﹣4ac＜0B．x＞0时，y的值随x值增大而减小C．对称轴是直线x＝﹣3D．9a﹣3b+c＜0二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）在一个不透明的箱子中有黄球和红球共6个，它们除颜色外都相同，若任意摸出一个球，摸到红球的概率为，则这个箱子中红球的个数为个．10．（4分）不等式组的解集是11．（4分）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为．12．（4分）方程x2+x＝2（x+1）的解是．13．（4分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交AC于点E，再分别以点A、E为圆心，大于AE长为半径作弧，两弧交点为M，作射线BM与AC交点为F，若∠ACB＝35°，则∠FBD＝°．三、解答题（共48分）14．（12分）（1）计算：﹣（）﹣2+cos30°+（+1）0；（2）先化简，再求值：（﹣）÷（1+），其中x＝+1．15．（8分）成都市近年大力推进老旧院落改造，将过去那些陈旧的、不便的设备设施进行更换和整改，为广大市民打造了宜居的环境．如图，某小区原有一段1.2米长的坡道AC，已知坡道AC与水平地面的夹角（∠ACE）等于30°，为满足无障碍通道的设计要求，改造后的坡道AD与同一水平地面的夹角（∠ADE）等于17°，求改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD．（结果精确到0.01）（参考数据：≈1.73，sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30）16．（8分）为了落实国家教育数字化战略行动有关要求，提升师生数字素养，我区决定组织开展2022﹣2023年度学生信息素养提升实践活动．某校九年级460名学生在“信息素养提升”培训后参加了一次水平测试，按评比标准将测试成绩全部折算成“6分”、“7分”、“8分”、“9分”和“10分”5个成绩．为了解培训效果，学校用抽样调查的方式从中选取了部分学生的测试成绩，绘制成下面两幅不完整的统计图：（1）本次抽样调查的学生人数是；本次抽样调查的测试成绩众数是；（2）若测试成绩为8分、9分和10分是“优秀”，试估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数；（3）在本次抽样调查中，有2名男生和2名女生的测试成绩都为10分，现从他们中随机选取2人代表学校参加比赛，求选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．17．（10分）AB为⊙O直径，AB＝8，点C为的一点，过点C作⊙O的切线与BA的延长线交于点D，CD＝3，点E是上一点，连结BE、CE，过点C作AB的垂线，交⊙O 于点F，垂足为点H．（1）求AD和FH的长；（2）延长FC、BE交于点G，若，求CG的长．18．（10分）一次函数y＝﹣2x+6与反比例函数（k＞0，k为常数）的图象交点为A（a，4）和点B，点C是反比例函数（k＞0，k为常数）在第三象限内的图象上一点．（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；（2）若点C为直线OB与反比例函数的另一个交点，求△ACB的面积；（3）我们将对角线相等且互相垂直的四边形称为“等直四边形”．如图2，在平面内一点D，AB∥CD，且四边形ABCD为“等直四边形”，求点C的坐标．19．（4分）已知x+y＝1，xy＝﹣3，则x2+y2＝．20．（4分）关于x的方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个不同的实数根，则m的取值范围是．21．（4分）正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD各边上，且AE＝2ED，沿正方形EFGH各边将其周围的直角三角形向内翻折，得到四边形A′B′C′D′，现可在正方形ABCD区域随机取点，则点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为．22．（4分）在平面直角坐标系中，点P（m，y1）和点Q（m+1，y2）在抛物线y＝x2﹣4mx+1上，若y1＝y2，则m＝；若y1＜y2＜1，则m的取值范围是．23．（4分）在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点P是对角线BD上一动点，点Q是AD边上一动点，DP与AQ始终相等，连结AP、BQ，交点为E，连结CE，则tan∠DCE的最小值是．二、解答题（共30分）24．（8分）《成都市“十四五”世界赛事名城建设规划》提出到2025年将每年举办国际和全国赛事达到50项以上，让体育运动深度融入人们日常生活．现需建造一处5100（m2）的多功能场馆，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队比乙队每天多建造2（m2），甲队建造900（m2）与乙队建造720（m2）所需天数相同，甲队施工每天费用为1000元，乙队施工每天费用为600元．（1）求甲、乙两队每天建造的面积；（2）该场馆先由乙队施工，然后由甲队完成剩余的施工，若甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，那么该场馆的建设费用至少需要多少元？25．（10分）如图，Rt△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接CP、PQ，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积；（3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点G（0，4），设直线GE的解析式为y＝mx+4，直线GF的解析式为y＝nx+4，试探究：m+n是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3．（1）点D在BC边上，DE⊥AB，垂足为E，如图1，已知CD＝DE，求BE的长；（2）将（1）中的Rt△BDE绕点B顺时针旋转，连结CE，交直线AB于点G，在CE上方作∠FCE＝∠ABC，∠FCE的边与AB交点为F．①如图2，当点D落在CE上时，求BG的长；②如图3，连结AD，延长CF交AD于点M，在Rt△BDE旋转的过程中，若点M落在BE的垂直平分线上，求此时AM的长．2023年四川省成都市金牛区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．【分析】根据负数比较大小的法则比较即可．【解答】解：∵|﹣1.5|＝1.5，|﹣3|＝3，|﹣1|＝1，|﹣5|＝5，且5＞3＞1.5＞1，即|﹣5|＞|﹣3|＞|﹣1.5|＞|﹣1|，∴﹣5＜﹣3＜﹣1.5＜﹣1，即最大的数是﹣1．故选：C．【点评】本题考查有理数大小比较中的几个负数比较，解题的关键是掌握负数比较大小的方法，本题还可将所给的几个负数在数轴上表示出来，再确定答案．2．【分析】从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；据此可画出图形．【解答】解：如图所示的几何体的主视图是：故选：A．【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：82000＝8.2×104．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：a6÷a3＝a3，故选项A错误，不符合题意；（4ab3）2＝16a2b6，故选项B错误，不符合题意；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选项C正确，符合题意；（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．【解答】解：A、由∠DOE＝∠EOF，∠ODE＝∠OFE，OE＝OE，能判定△DOE≌△FOE，故A不符合题意；B、由ED⊥OA，EF⊥OC得到△DOE和△FOE是直角三角形，又OD＝OF，OE＝OE，由“HL”判定△DOE≌△FOE，故B符合题意；C、由DE＝EF，∠ODE＝∠OF，OE＝OE，不能判定△DOE≌△FOE，故C不符合题意；D、OD＝OF，∠ODE＝∠OFE，OE＝OE，不能判定△DOE≌△FOE，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．6．【分析】根据增根的定义，代入分式方程去分母后所得到的整式方程即可．【解答】解：关于x的分式方程，去分母可化为x﹣1＝a﹣2（x+1），又因为关于x的分式方程，即有增根x＝﹣1，所以x＝﹣1是方程x﹣1＝a﹣2（x+1）的根，所以a＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查分式方程的增根，理解增根的定义和产生过程是正确解答的关键．7．【分析】根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB＝∠BOC＝＝72°，∴∠AOC＝144°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝＝18°，故选：A．【点评】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．8．【分析】二次函数图象与系数的关系，Δ＝b2﹣4ac决定与x轴交点情况，对称轴，取特殊值x＝﹣3，进一步确定y的范围．【解答】解：A选项，由题意可知，二次函数与x轴有2个交点，所以Δ＝b2﹣4ac＞0，故A选项不符合题意．B选项，x＞0是，y的值随x值增大而增大，故B选项不符合题意．C选项，根据对称轴方程得到，x＝﹣2，所以C选项不符合题意．D选项，当x＝﹣3时，y＜0，即9a﹣3b+c＜0，则D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，涉及到二次函数的对称轴方程，二次函数的增减性，二次函数与一元二次方程解的情况．二、填空题（每小题4分，共20分）9．【分析】设这个箱子中红球的个数为x个，再根据概率公式求出x的值即可．【解答】解：设这个箱子中红球的个数为x个．根据题意，得，解得x＝4．答：这个箱子中红球的个数为4个．故答案为：4．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式﹣2x＜4，得：x＞﹣2，解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，则不等式组的解集为x＞1，故答案为：x＞1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的基本性质以准确求出每个不等式的解集是解答此题的关键．11．【分析】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质得到＝＝，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵，∴OA：OA′＝2：7，∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'是位似图形，∴四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴＝＝，∴四边形ABCD的周长：四边形A'B'C′D'的周长＝2：7，∵四边形ABCD的周长是8，∴四边形A'B'C′D'的周长为28，故答案为：28．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．12．【分析】先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：x2+x＝2（x+1），x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，所以x1＝2，x2＝﹣1．故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．【分析】利用基本作图得到由BM垂直平分AE，所以∠AFB＝90°，则利用互余可计算出∠FBC＝55°，设AC与BD相交于点O，如图，根据矩形的性质得到OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝35°，然后计算∠FBC﹣∠OBC即可．【解答】解：由作法得BM垂直平分AE，∴∠AFB＝90°，∴∠FBC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣35°＝55°，设AC与BD相交于点O，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝35°，∴∠FBD＝∠FBC﹣∠OBC＝55°﹣35°＝20°．故答案为：20．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．三、解答题（共48分）14．【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；（2）先将括号内的式子通分，然后计算括号外的除法，再将x的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（1）﹣（）﹣2+cos30°+（+1）0＝2﹣4++1＝﹣3；（2）（﹣）÷（1+）＝÷＝•＝，当x＝+1时，原式＝＝．【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．15．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出AM，CM的长，进而得出DM的长，即可得出答案．【解答】解：过点A作AM⊥EC于点M，∵∠ACM＝30°，AC＝1.2m，∴AM＝AC＝0.6m，CM＝AC•sin60°＝1.2×≈1.038（m），∵tan∠ADM＝，∴tan17°＝≈0.30，解得：DM＝2，故DC＝DM﹣CM＝2﹣1.038≈0.96（m），答：改造后的坡道在水平方向上延伸的距离CD为0.96米．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的应用，正确得出DM的长是解题关键．16．【分析】（1）由5分的学生人数除以所占百分比得出本次抽样调查的学生人数，即可解决问题；（2）由九年级学生人数乘以测试成绩为“优秀”的人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：（1）本次抽样调查的学生人数为：5÷25%＝20（人）；本次抽样调查中，6分的学生人数为：20×10%＝2（人），9分的学生人数为：20×35%＝7（人），即9分的学生人数最多，∴本次抽样调查的测试成绩众数是9分，故答案为：20人，9分；（2）460×＝368（人），答：估计本校九年级学生测试成绩为“优秀”的人数为368人；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选中的2人恰好是1名男生和1名女生的结果有8种，∴选中的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】（1）连接OC，如图，先根据切线的性质得到∠OCD＝90°，再利用勾股定理计算出OD，则计算OD﹣OA得到AD的长，由于CF⊥AB，根据垂径定理得到CH＝FH，然后利用面积法求出CH，从而得到FH的长；（2）连接BF、EF，如图，先根据垂径定理得到＝，则利用圆周角定理得到∠BFC ＝∠BEF，再利用圆内接四边形的性质得到∠GEC＝∠BEF，∠GCE＝∠EBF，于是可判断△GCE∽△FBE，利用相似三角形的性质得到＝，接着利用勾股定理计算出OH，从而得到BH的长，然后计算出BF的长，从而可求出CG的长．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵AB＝8，∴OC＝OA＝4，在Rt△OCD中，OD＝＝＝5，∴AD＝OD﹣OA＝5﹣4＝1，∵CF⊥AB，∴CH＝FH，∵CH•OD＝OC•CD，∴CH＝＝，∴FH＝CH＝，即AD的长为1，FH的长为；（2）连接BF、EF，如图，∴＝，∴∠BFC＝∠BEF，∵∠GEC＝∠BFC，∴∠GEC＝∠BEF，∵∠GCE＝∠EBF，∴△GCE∽△FBE，在Rt△OCH中，∵OH＝＝＝，在Rt△BFH中，BF＝＝＝，【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．18．【分析】（1）用待定系数法即可求解；S△ATB＝AT•（x B﹣x C），即可求解；（2）由△ACB的面积＝S△ATC+（3）证明△HGA≌△BNH（AAS），得到GA＝HN，GH＝BN，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：4＝﹣2a+6，则a＝1，即点A （1，4），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×4＝4，联立，解得：，即点B（2，2）；（2）根据点的对称性，点C和点B关于原点对称，则点C（﹣2，﹣2），过点A作AT∥y轴于点T，则点T（1，•1），则AT＝4﹣1＝3，则△ACB的面积＝S△ATC+（3）设AC和BD交于点H，根据“等直四边形”的定义，AC⊥BD，则∠AHB＝90°，且AC＝BD，根据图象的对称性和平行线分线段成比例，△ABH为等腰直角三角形，且AH＝BH，如图，将左侧图部分放大，设点H（m，n），过点H作GN∥y轴，交过点A和x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点N，∵∠GHA+∠GAH＝90°，∠GHA+∠BHN＝90°，∴∠GAH＝∠BHN，∵∠HGA＝∠BNH＝90°，AH＝BH，∴△HGA≌△BNH（AAS），则GA＝HN，GH＝BN，即n﹣2＝1﹣m且4﹣n＝2﹣m，解得：，则点H（，），由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝3x+1②，联立①②得：＝3x+1，解得：x＝1（舍去）或﹣，即点C（﹣，﹣3）．【点评】本题为反比例函数综合运用题，涉及到新定义、面积的计算、一次函数的性质等，正确理解新定义是本题解题的关键．一、填空题（每小题4分，共20分）19．【分析】把x+y＝5两边平方，利用完全平方公式展开后将xy的值代入即可求出所求式子的值．【解答】解：x+y＝1两边平方得：x2+2xy+y2＝1，将xy＝﹣3代入得：x2+y2＝1+6＝7．故答案为：7．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．20．【分析】由Δ＞0列出不等式并求得m的值即可．【解答】解：根据题意知，Δ＝（﹣）2﹣4×（m﹣1）＞0且m≥0．解得0≤m＜，故答案为：0≤m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了二次根式有意义的条件．21．【分析】先证明△AEF≌△DHE（AAS），可得AF＝BG＝CH＝DE，根据折叠的性质得A′E＝2D′E，所以A′D′＝AD，同理，A′B′＝B′C′＝C′D′＝AD，根据概率公式即可求出答案．【解答】解：∵∠FEH＝90°，∴∠AEF+∠DEH＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠DEH，∵∠A＝∠D，EF＝HE，∴△AEF≌△DHE（AAS），∴AE＝DH，∴DE＝CH，同理，AF＝BG＝CH＝DE，∵AE＝2ED，∴A′E＝2D′E，∴A′D′＝AD，同理，A′B′＝B′C′＝C′D′＝AD，∴在正方形ABCD区域随机取点，点落在正方形A′B′C′D′区域的概率为＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了几何概率，全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和折叠的性质是解题的关键．22．【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，当y1＝y2时，点P，Q关于对称轴对称，当y1＜y2＜1时，先求出y＝1时x的值，再分类讨论对称轴的位置求解．【解答】解：∵y＝x2﹣4mx+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2m，当y1＝y2时，点P，Q关于对称轴对称，∴＝2m，解得m＝，将x＝0代入y＝x2﹣4mx+1得y＝1，∴抛物线经过（0，1），由抛物线的对称性可得抛物线经过（4m，1），当4m＞0时，＞2m且m+1＜4m，解得＜m＜，当4m＜0时，＞2m，且m+1＜0，解得m＜﹣1，∴＜m＜或m＜﹣1．故答案为：；＜m＜或m＜﹣1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．23．【分析】证明∠AEB＝180°﹣60°＝120°，作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F．当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE 的值最小．设OA＝a，则菱形边长为a，OD＝2a，OC＝a，想办法求出EF，可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥CB，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAQ＝∠ADP＝60°，∵AQ＝DP，∴△ABQ≌△DAP（SAS），∴∠ABQ＝∠DAP，∴∠AEQ＝∠EAB+∠ABE＝∠EAB+∠DAP＝60°，∴∠AEB＝180°﹣60°＝120°，作△AEB的外接圆，圆心为O，连接OC，OD，OA，OB，OD交CE于点F．当CE与⊙O相切时，∠OCE的值最大，此时∠DCE的值最小．设OA＝a，则菱形边长为a，OD＝2a，OC＝a，∵∠CDF＝∠OEF，∠CFD＝∠OFE，∴△CDF∽△OEF，∴＝＝，即＝＝，解法EF＝a，∴tan∠DCE＝tan∠EOF＝＝．故答案为：．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．二、解答题（共30分）24．【分析】（1）设乙队每天建造xm2，根据甲队建造900（m2）与乙队建造720（m2）所需天数相同，列分式方程，求解即可；（2）设甲队建造am2，该场馆的建设费为w元，根据甲队建造的面积不少于乙队建造面积的2倍，列一元一次不等式，求出a的取值范围，再表示出w与a的一次函数，根据一次函数的性质即可确定该场馆的建设费用最小值．【解答】解：（1）设乙队每天建造xm2，根据题意，得，解得x＝8，经检验，x＝8是原分式方程的根，且符合题意，8+2＝10（m2），答：甲队每天建造10m2，乙队每天建造8m2；（2）设甲队建造am2，该场馆的建设费用为w元，根据题意，得a≥2（5100﹣a），解得a≥3400，w＝＝25a+382500，∵25＞0，∴w随着a的增大而增大，当a＝3400时，w取得最小值，最小值为25×3400+382500＝467500（元），答：该场馆的建设费用最少需要467500元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键．25．【分析】（1）证明△AOC∽△COB，可得OC＝2，C（0，2），再用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过Q作QH⊥AB于H，由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为y＝﹣x+2，CB＝2，设运动时间为t s，证明△QBH∽△CBO，可得QH＝2﹣t，设△CPQ的面积为S，则S＝BP•OC﹣BP•QH＝BP•（OC﹣QH＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，根据二次函数性质即可得△CPQ的最大面积是，P的坐标为（，0）；（3）设直线EF解析式为y＝kx，由得：x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0，设E （p，kp），F（q，kq），则p，q是x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0的两个实数解，有p+q＝3﹣2k，pq＝﹣4，又kp＝mp+4，kq＝nq+4，可得p＝，q＝，故＝3﹣2k①，•＝﹣4②，化简整理得m+n＝3，即可得到答案．【解答】解：（1）如图：∵A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠CBO，∵∠AOC＝90°＝∠BOC，∴△AOC∽△COB，∴＝，即＝，∴OC＝2，∴C（0，2），把A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）过Q作QH⊥AB于H，如图：由B（4，0），C（0，2）得直线BC解析式为y＝﹣x+2，CB＝2，设运动时间为t s，则AP＝2t，CQ＝t，∴BP＝5﹣2t，BQ＝2﹣t，∵∠QHB＝90°＝∠COB，∠QBH＝∠CBO，∴△QBH∽△CBO，∴＝，即＝，∴QH＝2﹣t，设△CPQ的面积为S，∴S＝BP•OC﹣BP•QH＝BP•（OC﹣QH）＝（5﹣2t）•t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当t＝时，S取最大值，最大值为，此时BP＝5﹣2t＝，∴OP＝OB﹣BP＝4﹣＝，∴P（，0）；∴△CPQ的最大面积是，P的坐标为（，0）；（3）m+n为定值，理由如下：设直线EF解析式为y＝kx，由得：x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0，设E（p，kp），F（q，kq），则p，q是x2﹣（3﹣2k）x﹣4＝0的两个实数解，∴p+q＝3﹣2k，pq＝﹣4，∵E（p，kp）在直线y＝mx+4上，F（q，kq）在直线y＝nx+4上，∴kp＝mp+4，kq＝nq+4，∴p＝，q＝，∴＝3﹣2k①，•＝﹣4②，由②得（k﹣m）（k﹣n）＝﹣4，由①得：4（k﹣n）+4（k﹣m）＝（3﹣2k）（k﹣m）（k﹣n），∴4（k﹣n）+4（k﹣m）＝（3﹣2k）×（﹣4），化简整理得m+n＝3，∴m+n的值是定值3．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．26．【分析】（1）证明△ABC∽△DBE，由相似三角形的性质得出，设CD＝x，则DE＝x，BD＝4﹣x，得出，解得x＝，则可得出答案；（2）①延长BD交CF于点H，证明△HBC∽△EBG，由相似三角形的性质得出，求出BH和BE的长，则可得出答案；②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，证明△CEN∽△BED，得出，当点B在ND延长线上时，当点B在ND上时，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴△ABC∽△DBE，∴，设CD＝x，则DE＝x，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，∴BC＝＝4，∴BD＝4﹣x，∴，解得x＝，∴BE＝2；（2）①延长BD交CF于点H，∵∠FCE＝∠ABC，∠DBE＝∠ABC，∴∠FCE＝∠DBE，∴∠BHC＝∠CEB＝90°，∵∠HBC＝∠EBG，∴△HBC∽△EBG，∴，在Rt△BEC中，BC＝4，BE＝2，∴CE＝＝2，∴CD＝CE﹣DE＝2﹣，在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，在Rt△CDH中，sin∠DCH＝，∴DH＝＝，∴BH＝BD+DH＝，∴，∴BG＝；②过点E作CE的垂线，与CM的延长线交于点N，连接ND，NB，∵∠FCE＝∠DBE，∠CEN＝∠BED＝90°，∴△CEN∽△BED，∴，∵∠DEN＝∠CEB，∴△DEN∽△BEC，∴∠DNE＝∠BCE，，∵NE⊥CE，∴ND⊥BC，∵AC⊥BC，∴ND∥AC，又∵，∴，即ND＝AC，∵ND∥AC，ND＝AC，∴四边形ACDN是平行四边形，∴MC＝MN，在Rt△CEN中，EM是斜边CN的中线，∴ME＝MC＝MN，若点M在BE的垂直平分线上，则MB＝ME，∴MB＝MC＝MN，∴△CBN为直角三角形，即NB⊥BC，又ND⊥BC，∴若点M在BE的垂直平分线上时，N，D，B三点共线，当点B在ND延长线上时，AD＝＝，∴AM＝，当点B在ND上时，AD＝＝，∴AM＝综上所述，当点M在BE的垂直平分线上时，AM的长为或．【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转变换、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用熟悉的模型，添加辅助线解决问题。

2023年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．（4分）下列数中，最小的是（）A．﹣1B．|﹣1|C．0D．22．（4分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．5a2﹣3a2＝2C．5a2b﹣3ab2＝2a2b D．2a﹣6a＝﹣4a3．（4分）龙泉驿区是成都经济技术开发区、高端制造产业功能区、中法生态园所在地、中德智能网联汽车示范基地，第31届世界大学生夏季运动会承办地，也是国务院正式命名的“中国水蜜桃之乡”.2022年，龙泉驿区实现地区生产总值1545.7亿元，数据“1545.7亿”用科学记数法表示为（）A．15.457×1010B．1.5457×1011C．0.15457×1012D．15457×1074．（4分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数是（）A．60°B．75°C．105°D．85°5．（4分）在一次体育考试中，六名男生引体向上的成绩如表，对于这组数据，下列说法不正确的是（）成绩（个次）1011131723人数21111A．极差是13B．众数是10C．中位数是15D．平均数是14 6．（4分）如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，⊙O的半径是R，它的外切正六边形的边长为（）A．B．R C．2R D．6R7．（4分）以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺．现设绳长x尺，井深y 尺，则可得方程组为（）A．B．C．D．8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A．abc＞0B．函数的最大值为a﹣b+cC．当x＝﹣3或1时，y＝0D．4a﹣2b+c＜0二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）计算：x8÷x2＝．10．（4分）若一次函数y＝kx+2﹣k不经过第二象限，则k的取值范围为．11．（4分）如图，l1∥l2∥l3，BC＝2cm，＝3，则AB的长为．12．（4分）如图所示，OA＝OB，数轴上点A表示的数是．13．（4分）如图，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（10分）（1）计算：2sin60°+（3.14﹣π）0﹣+（）﹣1；（2）解方程：．15．（8分）九年级某班班主任王老师为了解学生的体育锻炼情况，对本班部分学生进行了为一个月的跟踪调查，调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）王老师一共调查了多少名同学？（2）扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是度，将上面的条形统计图补充完整；（3）若该校九级有学生700名，估计该校学生有多少名学生体育锻炼情况是较好及以上的；（4）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．16．（10分）为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为1.2m．（参考数据：sin22°≈，tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）（1）求BT的长（不考虑其他因素）；（2）我们设定从发现危险（大灯照到）到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离．厂家测试中发现，一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，且该车以20km/h的速度做出刹车动作到电动车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离为0.2m）．并说明理由．17．（10分）如图，AB为⊙O直径，AC为弦，D为⊙O外的点，且DC为⊙O的切线，过D作DE⊥OA于点E，交AC于点F，延长DC交AB的延长线于点H．（1）求证：DC＝DF；（2）若E为OA的中点，DH＝10，，求此时圆的半径的长度．18．（10分）如图，已知一次函数y＝x+b分别与x轴和反比例函数交于点B （2，0），A（a，2）．（1）求b和k；（2）C为直线AB上一动点，过点C作x轴的平行线，与反比例函数交于点D，若四边形OBCD为平行四边形，求点C的坐标；（3）我们把两直角边比为1：2的直角三角形称为“黄金直角三角形”，点P为x轴上一动点，Q为反比例函数上一点，当三角形APQ是以AQ为斜边的“黄金直角三角形”时，求点P的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．（4分）不等式组的解集为．20．（4分）如图，半圆的直径AB＝10，正方形CDEF的顶点C，D在半圆上，一边EF在AB上，则这个正方形的边长等于．21．（4分）如图，向等腰直角三角形ABC形的游戏板随机发射一枚飞针，已知∠C＝90°，点D为AB的中点，扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则击中图中阴影部分区域的概率为．22．（4分）在某函数的给定自变量取值范围内，该函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值．当t≤x≤t+1时，一次函数y＝kx+1（k＞0）的界值大于3，则k的取值范围是；当t≤x≤t+2时，二次函数y＝x2+2tx﹣3的界值为2，则t＝．23．（4分）如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，D为BC中点，E边AC上的一点，AD与BE交于点F，若∠ADB＝∠CDE，则＝．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（8分）某网店销售一种儿童玩具，成本为每件30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用400元，当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C （0，3），点D为抛物线在第一象限内的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠ACO+∠BCD＝45°，求点D坐标；（3）如图，直线AD，BD分别与y交于点E，点F，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．26．（12分）如图，菱形ABCD边长为4，∠B＝60°，点M是边BC上一动点，点E为AM 延长线上一点，将AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AF，连接EF，且EF恰好过点C，其中．（1）若k＝1时，求EF；（2）求证：；（3）若，求k．2023年四川省成都市龙泉驿区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求)1．【分析】根据有理数的大小比较法则比较大小，得到答案．【解答】解：∵|﹣1|＝1，∴﹣1＜0＜|﹣1|＜2，即最小的数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．2．【分析】根据合并同类项法则逐个判断即可．【解答】解：A．2a和3b不能合并，故本选项不符合题意；B．5a2﹣3a2＝2a2，故本选项不符合题意；C．5a2b和﹣3ab2不能合并，故本选项不符合题意；D．2a﹣6a＝﹣4a，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，能熟记合并同类项法则是解此题的关键，把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：1545.7亿＝154570000000＝1.5457×1011．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．4．【分析】根据三角形外角的性质解答即可．【解答】解：由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，∴∠AEB＝30°+45°＝75°．故选：B．【点评】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．5．【分析】分别计算该组数据的众数、平均数、极差及中位数后找到正确答案即可．【解答】解：极差为23﹣10＝13，平均数＝＝14，众数是10，中位数是＝12，故选：C．【点评】本题考查了极差、平均数、中位数及众数，在解决此类题目的时候一定要细心，特别是求中位数的时候，首先排序，然后确定数据总个数．6．【分析】求出∠AOD＝30°，然后解直角三角形求出AD，再根据边长AB＝2AD计算即可得解．【解答】解：如图，∠AOD＝360°÷12＝30°，所以，AD＝OD•tan30°＝R，所以，外切六边形的边长AB＝2AD＝R．故选：A．【点评】本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键．7．【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多五尺；②将绳四折测之，绳多一尺．【解答】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意，可得：．故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．8．【分析】根据二次函数的图象可确定a，b，c的符号，从而确定abc的符号，由x＝﹣1的函数值可确定B选项，由图象与x轴的一个交点及对称轴可确定C选项，由x＝﹣2时的函数值可确定D选项．【解答】解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，∴A选项不合题意，由图象可知x＝﹣1时，y取最大值，∴a﹣b+c为最大值，∴B选项不合题意，∵由图象可知y＝0的一个根为x＝1，由∵对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个根为x＝﹣3，∴C选项不合题意，由图象可知x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴不正确的是D选项，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据图象得出各系数之间的关系．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，求解即可．【解答】解：原式＝x8﹣2＝x6．故答案为：x6．【点评】本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键是掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．10．【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．【解答】解：∵一次函数y＝kx+2﹣k的图象不经过第二象限，∴一次函数y＝kx+2﹣k的图象经过第一、二、四象限，∴k＞0且2﹣k≤0，解得k≥2．故答案为：k≥2．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．11．【分析】由平行线分线段成比例，可得比例式：，代入值，利用线段间的关系，直接求解．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵BC＝2cm，，∴，∴AB＝4cm，故答案为：4cm．【点评】本题主要是考查了平行线分线段成比例，正确找到对应边长的比例式，是求解这类问题的关键．12．【分析】利用勾股定理求得线段OB的长，结合数轴即可得出结论．【解答】解：OB＝＝．∵OA＝OB，∴OA＝．∴数轴上点A表示的数是：﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了数轴，勾股定理．利用勾股定理求得线段OB的长度是解题的关键．13．【分析】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【解答】解：解法一：连接EF．∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，∴AF＝AE；∴△AEF是等腰三角形；又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；∴AG是线段EF的垂直平分线，∴AG平分∠CAB，∵∠ABC＝40°∴∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝25°；在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，∴∠ADC＝65°（直角三角形中的两个锐角互余）；故答案是：65°．【点评】本题综合考查了作图﹣﹣复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG 是∠CAB平分线是解答此题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：（1）2sin60+（3.14﹣π）0﹣+（）﹣1＝2×+1﹣3+2＝+1﹣3+2＝；（2），4﹣x（x﹣2）＝x﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣2，检验：当x＝3时，x（x﹣2）≠0，∴x＝3是原方程的根，当x＝﹣2时，x（x﹣2）≠0，∴x＝﹣2是原方程的根，∴x1＝3，x2＝﹣2是原方程的根．【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．【分析】（1）用A类的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出C类人数，再确定其中的女生人数，接着计算出D类人数，从而得到D 类中的男生人数，然后用360°乘以D类人数所占的百分比得到扇形统计图中D类学生所对应的圆心角的度数，再补全条形统计图；（3）用700乘以A类和B类人数所占的百分比的和即可；（4）先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出一位男同学和一位女同学的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）（1+2）÷15%＝20（名），所以李老师一共调查了20名同学；（2）C类人数为25%×20＝5（人），所以C类的女生人数为5﹣2＝3（名），所以D类人数为20﹣3﹣10﹣5＝2（名），其中男生人数为2﹣1＝1（名），所以扇形统计图中D类学生所对应的圆心角为×360°＝36°，条形统计图补充为：故答案为：36；（3）700×（15%+50%）＝455（名），估计该校学生有455名学生体育锻炼情况是较好及以上的；（4）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中一位男同学和一位女同学的结果数为3，所以所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．16．【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出AT的值，再求出BT即可；（2）求出刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离即可．【解答】解：（1）在Rt△ACT中，∵tan∠ACT＝，∴CT＝，同理，BT＝，又∵∠ACT＝31°，∠ABT＝22°，BC＝1.2m＝BT﹣CT，∴﹣＝1.2，即AT﹣AT＝1.2，解得AT＝1.44，∴BT＝≈3.6（m），答：BT的长约为3.6m；（2）20km/h＝m/s，刹车停止后，车轮前沿到障碍物的距离为：3.6﹣0.2﹣×0.2﹣＝＞0，∴符合要求．【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．17．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得∠OCD＝90°再由DE⊥OA，OA＝OC，可得∠FCD＝∠DFC，即可证明结论；（2）设OE＝x，则OA＝2x，利用三角函数的定义求出HE，勾股定理得出DE的长，最后利用△HCO∽△HED，可得OC的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵DC为⊙O的切线，∴DC⊥OC，∴∠OCD＝90°，∴∠OCA+∠DCF＝90°，∵DE⊥OA，∴∠AED＝90°，∴∠OAC+∠AFE＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DCF＝∠AFE，∵∠AFE＝∠CFD，∴∠DCF＝∠CFD，∴DC＝DF；（2）解：设OE＝x，∵E为OA的中点，∴OA＝2OE＝2x，∵OA＝OC，∴OC＝2x，∵sin D＝＝，DH＝10，∴HE＝6，由勾股定理得，DE＝＝8，∵∠HCO＝∠DEH＝90°，∠H＝∠H，∴△HCO∽△HED，∴，∴，解得x＝，∴半径为2x＝．【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数的定义，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．18．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点C（m，m﹣2），四边形OBCD为平行四边形，则CD＝OB＝2，点C、D的纵坐标相同，则点D（m﹣2，m﹣2），进而求解；（3）证明△AMP∽△PNQ，得到，即＝2或且st＝8，即可求解．【解答】解：（1）将点B的坐标代入一次函数表达式得：0＝2+b，则b＝﹣2，则一次函数的表达式为：y＝x﹣2；将点A的坐标代入上式得：2＝a﹣2，则a＝1，即点A（4，2），将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×2＝8，即反比例函数的表达式为：y＝，即b＝﹣2，k＝8；（2）设点C（m，m﹣2），∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD＝OB＝2，点C、D的纵坐标相同，则点D（m﹣2，m﹣2），将点D的坐标代入反比例函数表达式得：（m﹣2）2＝8，解得：m＝2+2或2﹣2（舍去），故点C的坐标为：（2+2，2）；（3）设点Q（s，t），则st＝8，分别过点A、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，∵AQ是直角三角形的斜边，则∠APQ＝90°，∴∠APM+∠QPN＝90°，∵∠APM+∠MAP＝90°，∴∠QPN＝∠MAP，∵∠AMP＝∠PNQ＝90°，∴△AMP∽△PNQ，∵直角边比为1：2，则上述两个三角形的相似比为或2，即，即＝2或且st＝8，解得：x＝或2（舍去负值），即点P的坐标为：（，0）或（2，0）．【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到三角形相似、一次函数的基本性质、新定义、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x﹣1＜﹣x+2得：x＜1，解不等式＜得：x＞﹣5，则不等式组的解集为﹣5＜x＜1，故答案为：﹣5＜x＜1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．【分析】根据题意得OD＝5，设OE＝x，则EF＝2x，由勾股定理得x2＝5，从而求得正方形的面积．【解答】解：如图，找到半圆的圆心O，连接OD，根据题意得OD＝5，设OE＝x，则EF＝DE＝2x，由勾股定理得（2x）2+x2＝52，解得x2＝5．∴x＝2．故答案为：2．【点评】本题综合考查了正方形的性质，垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．21．【分析】用三角形ABC的面积减去扇形EAD和扇形FBD的面积，求出阴影部分的面积，再除以总面积即可得出答案．【解答】解：因为BC＝AC，∠C＝90°，AC＝2，所以AB＝2，因为点D为AB的中点，所以AD＝BD＝，所以阴影部分的面积＝三角形ABC的面积﹣扇形EAD的面积﹣扇形FBD的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣，则击中图中阴影部分区域的概率为：＝1﹣．故答案为：1﹣．【点评】本题考查了扇形面积的计算及等腰直角三角形的性质，熟记扇形的面积公式：S ＝是解答本题的关键．22．【分析】y＝kx+1：根据k＞0时，y随x的增大而增大，根据最大值﹣最小值＞3列不等式可解答；y＝x2+2tx﹣3：先求得二次函数的对称轴，得到函数的增减性，分情况讨论，根据二次函数y＝x2+2tx﹣3的界值为2列方程可解答．【解答】解：当t≤x≤t+1时，一次函数y＝kx+1（k＞0）的界值大于3，∴y最大值﹣y最小值＞3，∵k＞0，y随x的增大而增大，∴x＝t时，y最小值＝tk+1，x＝t+1时，y最大值＝k（t+1）+1，∴k（t+1）+1﹣（tk+1）＞3，∴k＞3；y＝x2+2tx﹣3＝（x+t）2﹣3﹣t2，当x＝﹣t时，y最小值＝﹣3﹣t2，当x＝t时，y＝3t2﹣3，当x＝t+2时，y＝3t2+8t+1，①当﹣t≤t≤t+2时，t≥0，此时，当x＝t时，y取最小值，当x＝a+2时，y取最大值，∴y最大值＝3t2+8t+1，y最小值＝3t2﹣3，∴3t2+8t+1﹣（3t2﹣3）＝2，解得t＝﹣（舍去）；②当t≤﹣t≤t+2时，﹣1≤t≤0，当﹣≤t≤0时，y最大值＝3t2+8t+1，y最小值＝﹣3﹣t2，∴3t2+8t+1﹣（﹣t2﹣3）＝2，解得t＝﹣1+或t＝﹣1﹣（舍）；当﹣1≤t≤﹣时，y最大值＝3t2﹣3，y最小值＝﹣3﹣t2，3t2﹣3﹣（﹣t2﹣3）＝2，解得t＝﹣或t＝（舍）；③当t≤t+2≤﹣t时，t≤﹣1，y最小值＝3t2+8t+1，y最大值＝3t2﹣3，∴3t2﹣3﹣（3t2+8t+1）＝2，解得t＝﹣（舍去）；综上所述，t的值为﹣1+或﹣．故答案为：k＞3；﹣1+或﹣．【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数的增减性，解题的关键是熟练利用函数的性质进行分类讨论．23．【分析】延长ED到G，使DG＝ED，连接BG，CG，延长AD交CG于M，过E作EH ⊥BC于H，由D为BC中点，ED＝DG，可得四边形BGCE是平行四边形，有BE∥CG，从而可得CM＝BF，证明△ABD∽△EHD，知＝，设BD＝m＝CD，HD＝n，证明△ECH∽△ACB，有＝＝，故＝，可得m＝3n，即得＝＝＝＝3，有＝，从而可得＝．【解答】解：延长ED到G，使DG＝ED，连接BG，CG，延长AD交CG于M，过E 作EH⊥BC于H，如图：∵D为BC中点，ED＝DG，∴BE∥CG，∴∠DCM＝∠DBF，∠CMD＝∠BFD，∵CD＝BD，∴△CDM≌△BDF（AAS），∴CM＝BF，∵∠ABD＝90°＝∠EHD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△EHD，设BD＝m＝CD，HD＝n，∵∠ECH＝∠ACB，∠EHC＝90°＝∠ABC，∴△ECH∽△ACB，∴＝＝，∴m＝3n，∴BD＝3n，∴＝＝＝＝3，∵EF∥CM，∴△EAF∽△CAM，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．【分析】（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b，把（30，140），（50，100）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；（2）设该公司日获利润为W元，W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣400＝﹣2x2+260x﹣6400＝﹣2（x﹣65）2+2050（或），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜65时，W随x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴当x＝60时，W有最大值，．答：当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大获利2000元．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．25．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）过点C作CM⊥y轴交抛物线于点M，过点M作MN⊥CM交CD于点N，证明△MNC∽△OAC，利用相似三角形的性质求出MN，可得点N的坐标，用待定系数法求出直线CN的解析式，联立抛物线的解析式求解即可；（3）设D（m，﹣m2+2m+3），利用待定系数法求出直线AD、BD的解析式，可得E、F 的坐标，进而求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）过点C作CM⊥y轴交抛物线于点M，过点M作MN⊥CM交CD于点N，∴∠OCM＝90°，∠CMN＝90°，∴∠MCN+∠OCD＝90°，∵点C（0，3），∴M（2，3），在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），∴OB＝OC＝3，∴△BOC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∵∠ACO+∠BCD＝45°，∴∠ACO+∠BCD+∠OCB＝90°，∴∠OCA+∠OCD＝90°，∴∠MCN＝∠OCA，∵∠CMN＝∠COA＝90°，∴△MNC∽△OAC，∴，即，∴MN＝，∴N（2，），设直线CN的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，联立y＝﹣x2+2x+3得，解得（舍去）或，∴点D坐标为（，）；（3）是为定值，这个定值为3．设D（m，﹣m2+2m+3），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣（m﹣3）x+3﹣m，∴E的坐标为（0，3﹣m），同理可得F的坐标为（0，3m+3），∴FC＝3m+3﹣3＝3m，EC＝3﹣3+m＝m，∴＝3．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等，掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质是解决问题的关键．26．【分析】（1）证明AC⊥EF，解直角三角形求出EC，可得结论；（2）如图2中，连接AC，在FA上取一点K，使得FC＝FK，连接CK．首先证明BM＝CN，再利用相似三角形的性质证明；（3）如图3中，连接AC，BE，过点A作AJ⊥EF于点J，过点M作MP⊥BE于点M，MQ⊥EF于点Q．证明＝，设AE＝AF＝EF＝m，AB＝AC＝2m，用n表示出CF，EC，可得结论．【解答】（1）解：如图1中，连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB＝4，∵k＝1，∴BM＝CM，∴∠BAE＝∠CAE＝30°，∵EA＝EF，∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵∠CAE＝∠CAF＝30°，∴AC⊥EC，EC＝CF，∴EC＝AC•tan30°＝，∴EF＝；（2）证明：如图2中，连接AC，在FA上取一点K，使得FC＝FK，连接CK．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵AB＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，∴△ABM≌△ACN（ASA），∴BM＝CN，∵FC＝FK，∠F＝60°，∴△FCK是等边三角形，∴CK＝CF，∠CKN＝∠E＝60°，∵AB∥CD，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°∵∠MAN＝60°，∴∠MAN+∠MCN＝180°，∴∠AMC+∠ANC＝180°，∵∠CME+∠AMC＝180°，∴∠CME＝∠CNK，∴∠CME∽△CNK，∴＝，∵CK＝CF，CN＝BM，∴＝；（3）解：如图3中，连接AC，BE，过点A作AJ⊥EF于点J，过点M作MP⊥BE于点M，MQ⊥EF于点Q．∵，∴＝，∴＝，设AE＝AF＝EF＝m，AB＝AC＝2m，∵AJ⊥EF，∴EJ＝JF＝m，AJ＝FJ＝m，∴JC＝＝＝m，∴CF＝m，EC＝m，∵AB＝AC，AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴BE＝CF＝m，∵AEC＝∠ABC＝60°，∴A，B，E，C四点共圆，∴∠AEB＝∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠AEC，∵MP⊥EB，MQ⊥EC，∴MP＝MQ，∴＝＝＝＝＝．∴k＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转全等三角形或相似三角形解决问题。