山东省青岛市胶州市届中考数学一模试卷含解析含答案

中考一模数学试题及答案(1)一．选择题（共12小题）1．在实数﹣1，1，0，﹣3中，最小的数是（）A．﹣1B．1C．0D．﹣32．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）A．对全国中学生睡眠时间的调查B．对玉兔二号月球车零部件的调查C．对重庆冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查D．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查4．估计的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间5．若a＝﹣，b＝3，代数式4a﹣2b+5的值是（）A．3B．﹣3C．9D．﹣96．下列命题是假命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．对顶角相等C．邻补角一定互补D．三角形中至少有一个角大于或等于60°7．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比为9：4，△ABC的最短边为4.5cm，则△DEF的最短边为（）A．6cm B．2cm C．3cm D．4cm8．如图，已知P A与⊙O相切于点A，连接OA，AB是⊙O的弦，且AB⊥OP，垂足为点C．若AP＝3，OP＝3，则OC的长为（）A．B．C．2D．9．下列图形都是由大小相同的黑点按一定规律组成的，第①个图形中有3个黑点第②个图形中有11个黑点，第③个图形中有27个黑点，…，按此规律排列，则第⑦个图形中黑点的个数为（）A．123B．171C．172D．18010．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE ＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（）A．2436.8米B．2249.6米C．1036.8米D．1136.8米11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，则下列四个结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③﹣1＜x＜3时，y＜0；④4a+c＜0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④12．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（）A．4B．5C．6D．7二．填空题（共6小题）13．计算：＝．14．如图，在正方形ABCD中，已知正方形的边长为2，以AD、BC的中点为圆心，边长的一半为半径画弧，图中阴影部分的面积是（结果保留π）．15．现有两组卡片，它们除标号外其他均相同，第一组卡片上分别写有数字“1，2，3”，第二组卡片上分别写有数字“﹣3，﹣1，1，2”，把卡片背面朝上洗匀，先从第一组卡片中随机抽出一张，将其标记为一个点坐标的横坐标，再从第二组卡片中随机抽出一张，将其标记为一个点坐标的纵坐标，则组成的这个点在一次函数y＝﹣2x+3上的概率是．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则BF的长为．17．甲、乙两人驾车分别从A、B两地相向而行，乙出发半小时后甲出发，甲出发1.5小时后汽车出现故障，于是甲停下修车，半小时后甲修好后继续沿原路按原速与乙相遇，相遇后甲随即调头以原速返回A地，乙也继续向A地行驶，甲、乙两车之间的距离（y/千米）与甲驾车时间x（小时）之间的关系如图所示，当乙到达A地时，甲距离B地千米．18．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到次第二名．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）（m+n）2﹣2m（m+n）（2）20．重庆市教委为了让广大青少年学生走向操场走进自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，启动了“重庆学生阳光体育运动”，其中有一项是短跑运动短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此张明和李亮在课外活动中，报名参加了百米训练小组在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了如下统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：成绩统计分析表平均数中位数方差张明13.30.004李亮13.30.02（1）张明第2次的成绩为；（2）请补充完整上面的成绩统计分析表；（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛若你是他们的教练，应该选择谁？并说明理由．21．弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件，用弹性材料制成的零件在外力作用下发生形变，除去外力后又恢复原状．某班同学在探究弹簧的长度与所受外力的变化关系时，通过实验记录得到的数据如下表：砝码的质量x（克）050100150200250300400500指针的位置y（cm）2345677.57.57.5小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小腾的探究过程，请补充完整．（1）根据上述表格在平面直角坐标系中补全该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①当x＝0时，y＝，它的实际意义是；②当指针的位置y不变时，砝码的质量x的取值范围为．22．我们将（）、（）称为一对“对偶式”，因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将（+）和（﹣）中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）比较大小（用“＞”、“＜”或“＝”填空）；（2）已知x＝，y＝，求x2+y2的值；（3）计算：23．我市支持“互联网+农工贸”新业态发展，做大做强“农村电商”，鼓励各类新型经营主体开展网上经营服务和产品销售．某水果批发商尝试在线上和线下销售黄桃（1）今年7月该批发商线上、线下共售出黄桃800千克，其中线下销售的黄桃重量不超过线上销售重量的3倍，那么线下销售黄桃的重量最多为多少千克？（2）7月份结束时该商户销售黄桃的总收入为7500元，线下销售的黄桃重量恰好是计划的最大值，且线上、线下黄桃的售价之比为3：4，8月份正值黄桃产销旺季，黄桃的售价有所上涨8月份收入在7月份的基础上增加6.3a%，且8月份线上、线下黄桃售价在7月份基础上分别增加a%，2a%，销售重量在7月份基础上分别增加3a%，4a%，求a的值．24．如图，在▱ABCD中，过B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BD分别与BD、BE交于点G、F，连接GE，已知AB＝BD，CF＝AB．（1）若∠ABE＝30°，AB＝6，求△ABE的面积；（2）求证：GE＝BG．25．一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）26．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为Q，连接BC．（1）求直线BC的解析式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PD⊥BC于点D，在直线BC上有一动点M，当线段PD最大时，求PM+MB最小值；（3）如图②，直线AQ交y轴于G，取线段BC的中点K，连接OK，将△GOK沿直线AQ平移得△G′O'K′，将抛物线y＝﹣x2+x+2沿直线AQ平移，记平移后的抛物线为y′，当抛物线y′经过点Q时，记顶点为Q′，是否存在以G'、K'、Q'为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点G′的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在实数﹣1，1，0，﹣3中，最小的数是（）A．﹣1B．1C．0D．﹣3【分析】本题考查了实数的大小比较，可借助数轴，亦可通过法则进行比较．【解答】解：因为正数大于0，0大于负数，所以最小的数看：﹣1，﹣3．因为|﹣1|＝1．|﹣3|＝3，又因为1＜3，所以﹣1＞﹣3所以最小的数是﹣3．故选：D．2．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进而得出答案．【解答】解：A、不是轴对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，故B正确；C、不是轴对称图形，故C错误；D、不是轴对称图形，故D错误．故选：B．3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）A．对全国中学生睡眠时间的调查B．对玉兔二号月球车零部件的调查C．对重庆冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查D．对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似作答．【解答】解：A、对全国中学生睡眠时间的调查用抽样调查，错误；B、对玉兔二号月球车零部件的调查用全面调查，正确；C、对重庆冷饮市场上冰淇淋质量情况的调查用抽样调查，错误；D、对重庆新闻频道“天天630”栏目收视率的调查用抽样调查，错误；故选：B．4．估计的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】首先确定的值，进而可得答案．【解答】解：∵≈2.2∴2≈4.4∴2+3≈7.4∴7＜2+3＜8，故选：D．5．若a＝﹣，b＝3，代数式4a﹣2b+5的值是（）A．3B．﹣3C．9D．﹣9【分析】将a、b的值代入所求的式子中，即可解答本题．【解答】解：∵a＝﹣，b＝3，∴4a﹣2b+5＝4×（﹣）﹣2×3+5＝（﹣2）﹣6+5＝﹣3，故选：B．6．下列命题是假命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等B．对顶角相等C．邻补角一定互补D．三角形中至少有一个角大于或等于60°【分析】分别利用对顶角、平行线的性质和邻补角以及三角形的内角分析得出即可．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；B、对顶角相等，是真命题；C、邻补角一定互补是真命题；D、三角形中至少有一个角大于或等于60°，是真命题；故选：A．7．已知△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积比为9：4，△ABC的最短边为4.5cm，则△DEF的最短边为（）A．6cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：设△DEF的最短边边长是xcm，∵△ABC∽△DEF，面积比为9：4，∴△ABC与△DEF的对应边之比3：2．∴4.5：x＝3：2．则x＝3．故选：C．8．如图，已知P A与⊙O相切于点A，连接OA，AB是⊙O的弦，且AB⊥OP，垂足为点C．若AP＝3，OP＝3，则OC的长为（）A．B．C．2D．【分析】由勾股定理可知OA＝3，从而可知∠AOC＝45°，所以△OAC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长度【解答】解：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵AP＝3，OP＝3，∴由勾股定理可知：OA＝3，∴∠AOC＝45°，∵AB⊥OP，∴∠OCA＝90°，∴OC＝OA＝，故选：A．9．下列图形都是由大小相同的黑点按一定规律组成的，第①个图形中有3个黑点第②个图形中有11个黑点，第③个图形中有27个黑点，…，按此规律排列，则第⑦个图形中黑点的个数为（）A．123B．171C．172D．180【分析】设第n个图形中黑点的个数为a n个（n为正整数），根据给定几个图形中黑点数量的变化可找出变化规律“a n＝（2n﹣1）2+2（n为正整数）”，代入n＝7即可求出结论．【解答】解：设第n个图形中黑点的个数为a n个（n为正整数）．观察图形，可知：a1＝3＝12+2，a2＝11＝32+2，a3＝27＝52+2，a4＝51＝72+2，…，∴a n＝（2n﹣1）2+2（n为正整数），∴a7＝132+2＝171．故选：B．10．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE ＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（）A．2436.8米B．2249.6米C．1036.8米D．1136.8米【分析】在Rt△BCF中，根据BC的坡度i＝1：，求得∠CBF＝30°，根据三角函数的定义得到CF＝1300，BF＝1300，根据矩形的性质得到DE＝BF＝1300，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：，∴∠CBF＝30°，∵BC＝2600，∴CF＝1300，BF＝1300，∵CD⊥AD于点D，BF⊥CD，BE⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴DE＝BF＝1300，∵AE＝1000米，∴AD＝AE+DE＝1000+1300，∵∠CAD＝37°，∴CD＝AD•tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75，∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米，答：BE的高度为1136.8米．故选：D．11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，则下列四个结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③﹣1＜x＜3时，y＜0；④4a+c＜0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④【分析】开口向下，a＜0，抛物线与y轴交于负半轴，c＞0，ac＜0，判断判断①；根据对称轴为x＝1，即﹣＝1，判断②；根据函数图象可以判断③；x＝﹣1时y＝a﹣b+c ＝0，由b＝﹣2a，得到3a+c＝0，由于a＜0，得出4a+c＜0可以判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴相交于正半轴，∴c＞0，则ac＜0，即①正确，该二次函数的对称轴为：x＝﹣＝1，整理得：2a+b＝0，即②正确，∵抛物线对称轴为x＝1，点B的坐标为：（﹣1，0），则点A的坐标为：（3，0），由图象可知：当1＜x＜3时，y＞0，即③错误，由图象可知，当x＝﹣1时，函数值为0，把x＝﹣1代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∵a＜0，∴4a+c＜0即④正确，正确结论的序号是①②④，故选：A．12．若数a使关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，且使关于y的分式方的解为负数，则符合条件的所有整数a的个数为（）A．4B．5C．6D．7【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组的解集为x＜﹣2确定出a的范围，再由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出符合条件的a的个数．【解答】解：解不等式组，得：，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，解得：a≥﹣3；分式方程去分母得：1﹣y﹣a＝﹣3（y+1），解得：y＝，由分式方程的解为负数以及分式有意义的条件，得，解得：a＜4且a≠2；∴﹣3≤a＜4且a≠2，∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，∴符合条件的所有整数a的个数为6个；故选：C．二．填空题（共6小题）13．计算：＝3．【分析】（﹣1）2019表示（﹣1）的2019次方，由有理数的乘方的计算法则可以求出结果为﹣1，是16的算术平方根，结果为4，因此最后的答案为﹣1+4＝3．【解答】解：＝﹣1+4＝3，故答案为：3．14．如图，在正方形ABCD中，已知正方形的边长为2，以AD、BC的中点为圆心，边长的一半为半径画弧，图中阴影部分的面积是4﹣π（结果保留π）．【分析】求出正方形的面积和一个圆的面积，即可求出答案．【解答】解：∵正方形的边长为2，∴两个半圆的半径为1，∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD﹣2×S半圆＝2×2﹣π×12＝4﹣π，故答案为：4﹣π．15．现有两组卡片，它们除标号外其他均相同，第一组卡片上分别写有数字“1，2，3”，第二组卡片上分别写有数字“﹣3，﹣1，1，2”，把卡片背面朝上洗匀，先从第一组卡片中随机抽出一张，将其标记为一个点坐标的横坐标，再从第二组卡片中随机抽出一张，将其标记为一个点坐标的纵坐标，则组成的这个点在一次函数y＝﹣2x+3上的概率是．【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出组成的这个点在一次函数y＝﹣2x+3上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中组成的这个点在一次函数y＝﹣2x+3上的结果有（1，1），（2，﹣1），（3，﹣3），所以组成的这个点在一次函数y＝﹣2x+3上的概率＝＝．故答案为．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则BF的长为．【分析】根据折叠的性质可得出DC＝DE、CP＝EP，证明△OEF≌△OBP，得出OE＝OB，EF＝BP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝3﹣x，BP＝﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF ＝2+x，在Rt△ADF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝，CD＝AB＝3，∠A＝∠B＝∠C＝90°，根据折叠可知：△DCP≌△DEP，∴DC＝DE＝3，CP＝EP．∠E＝∠C＝90°，在△OEF和△OBP中，，∴△OEF≌△OBP（AAS），∴OE＝OB，EF＝BP，∴BF＝EP＝CP，设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝3﹣x，BP＝﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝3﹣（﹣x）＝2+x，∵∠A＝90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，即（3﹣x）2+（）2＝（2+x）2，解得：x＝，∴BF＝，故答案为：．17．甲、乙两人驾车分别从A、B两地相向而行，乙出发半小时后甲出发，甲出发1.5小时后汽车出现故障，于是甲停下修车，半小时后甲修好后继续沿原路按原速与乙相遇，相遇后甲随即调头以原速返回A地，乙也继续向A地行驶，甲、乙两车之间的距离（y/千米）与甲驾车时间x（小时）之间的关系如图所示，当乙到达A地时，甲距离B地756千米．【分析】利用速度＝路程÷时间可求出乙的速度及甲、乙的速度和，二者做差后可得出甲的速度，由甲出发的时间结合修车所需时间，可求出两人相遇后乙行驶到A地所需时间，根据“路程、速度与时间的关系”可求出结论．【解答】解：乙的速度为（500﹣450）÷＝100（千米/时），甲、乙的速度和为450÷（﹣2）＝180（千米/时），甲的速度为：180﹣100＝80（千米/时），两人相遇后，甲返回A地所需时间为：（小时），故相遇地点距离A地为：80×4＝320（千米），乙从相遇地点到达A地需要行驶的时间为：320÷100＝3.2（小时），当乙到达A地时，甲距离B地：5×100+80×3.2＝756（千米）．故答案为：75618．重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心．某公司为了调动员工积极性，将公司员工分成了三个小组进行集分制考核：每月销售业绩第一名集x分，销售业绩第二名集y分，销售业绩第三名集0分（x＞y，且均为正整数），经过若干个月（超过4个月）考核后，第一小组集分为23分，第二小组集分为20分，第三小组集分为9分，则第一小组最多得到8次第二名．【分析】根据题意，可得一共经过了：（个）月，超过4个月，即x+y＜13，故x+y可以为：1，2，4，又因为x＞y，所以可得x＝3，y＝1，进而可以设第一小组有a 个月得第一名，b个月得第二名，根据题意可以列方程组即可得解．【解答】解：根据题意，得一共经过了：（个）月，23+20+9＝52，x＞y，∵＞4，∴x+y＜13，故x+y可以为：1，2，4，又∵x＞y，故x＝3，y＝1，∴一共有13个月，设第一小组有a个月得第一名，b个月得第二名，根据题意，得由①得：3a+3b≤39③由②得，3a＝23﹣b④将④代入③，解得b≤8，当b＝8时，a＝5，答：第一小组最多得到8次第二名．故答案为：8．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）（m+n）2﹣2m（m+n）（2）【分析】（1）先利用完全平方公式与单项式乘多项式的法则计算乘法，再合并同类项即可；（2）先将括号内的项通分，利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，然后约分即可．【解答】解：（1）（m+n）2﹣2m（m+n）＝m2+2mn+n2﹣2m2﹣2mn＝﹣m2+n2；（2）＝•＝•＝．20．重庆市教委为了让广大青少年学生走向操场走进自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，启动了“重庆学生阳光体育运动”，其中有一项是短跑运动短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此张明和李亮在课外活动中，报名参加了百米训练小组在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了如下统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：成绩统计分析表平均数中位数方差张明13.313.30.004李亮13.313.30.02（1）张明第2次的成绩为13.4；（2）请补充完整上面的成绩统计分析表；（3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛若你是他们的教练，应该选择谁？并说明理由．【分析】（1）根据统计表给出的数据可直接得出答案；（2）根据中位数和平均数的计算公式分别进行解答即可；（3）在平均数、中位数相同的情况下，再根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【解答】解：（1）张明第2次的成绩为13.4秒；故答案为：13.4；（2）张明的成绩是：13.3，13.4，13.3，13.2，13.3，把这些数从小到大排列为：13.2，13.3，13.3，13.3，13.4，则张明的中位数是：13.3；李亮的平均成绩是：＝13.3（秒），故答案为：13.3，13.3；（3）因为张明和李亮的平均数、中位数都相同，但张明的方差小于李亮的方差，所以应该选张明参加比赛．21．弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件，用弹性材料制成的零件在外力作用下发生形变，除去外力后又恢复原状．某班同学在探究弹簧的长度与所受外力的变化关系时，通过实验记录得到的数据如下表：砝码的质量x（克）050100150200250300400500指针的位置y（cm）2345677.57.57.5小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究，下面是小腾的探究过程，请补充完整．（1）根据上述表格在平面直角坐标系中补全该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①当x＝0时，y＝2，它的实际意义是在没有砝码时指针的位置；②当指针的位置y不变时，砝码的质量x的取值范围为x≥275．【分析】（1）结合表格画图，需要求出一次函数部分与平行于x轴部分的交点坐标；（2）由图象及问题的实际意义可解．【解答】解：（1）设函数图象上一次函数部分解析式为y＝kx+2，将点（50，3）代入，解得k＝，故其解析式为：y＝x+2，令y＝7.5，代入上式得：x＝275，故该函数图象如图所示：（2）①由函数图象可得，当x＝0时，y＝2，它的实际意义是：在没有砝码时指针的位置．故答案为：2；在没有砝码时指针的位置．②结合函数图象知，当指针位置不变时，砝码的质量x的取值范围为：x≥275．故答案为：x≥275．22．我们将（）、（）称为一对“对偶式”，因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将（+）和（﹣）中的“”去掉于是二次根式除法可以这样解：如，．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）比较大小（用“＞”、“＜”或“＝”填空）；（2）已知x＝，y＝，求x2+y2的值；（3）计算：【分析】（1）先利用分母有理化的方法化简，再比较分子即可；（2）利用x2+y2＝（x+y）2﹣2xy变形计算较为简单；（3）先把各个式子进行分母有理化，再裂项相消即可．【解答】解：（1）∵＝＝，＝＝；比较与∵＞，2＞，∴+2＞+，∴＞．故答案为：＞．（2）∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝﹣2＝182﹣2＝324﹣2＝322答：x2+y2的值为322．（3）＝+++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝＝1﹣答：的值为1﹣．23．我市支持“互联网+农工贸”新业态发展，做大做强“农村电商”，鼓励各类新型经营主体开展网上经营服务和产品销售．某水果批发商尝试在线上和线下销售黄桃（1）今年7月该批发商线上、线下共售出黄桃800千克，其中线下销售的黄桃重量不超过线上销售重量的3倍，那么线下销售黄桃的重量最多为多少千克？（2）7月份结束时该商户销售黄桃的总收入为7500元，线下销售的黄桃重量恰好是计划的最大值，且线上、线下黄桃的售价之比为3：4，8月份正值黄桃产销旺季，黄桃的售价有所上涨8月份收入在7月份的基础上增加6.3a%，且8月份线上、线下黄桃售价在7月份基础上分别增加a%，2a%，销售重量在7月份基础上分别增加3a%，4a%，求a的值．【分析】（1）设线下销售黄桃的重量为x千克，则线上销售黄桃的重量为（800﹣x）千克，根据线下销售的黄桃重量不超过线上销售重量的3倍，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的最大值即可得出结论；（2）由（1）可知：7月份线上销售黄桃200千克．设7月份线上黄桃的售价为3m元/千克，则7月份线下黄桃的售价为4m元/千克，根据总收入＝单价×销售数量结合8月份收入在7月份的基础上增加6.3a%，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）设线下销售黄桃的重量为x千克，则线上销售黄桃的重量为（800﹣x）千克，依题意，得：x≤3（800﹣x），解得：x≤600．答：线下销售黄桃的重量最多为600千克．（2）由（1）可知：7月份线上销售黄桃200千克．设7月份线上黄桃的售价为3m元/千克，则7月份线下黄桃的售价为4m元/千克，依题意，得：200（1+3a%）×3m（1+a%）+600×（1+4a%）×4m（1+2a%）＝（200×3m+600×4m）（1+6.3a%），整理，得：a2﹣10a＝0，解得：a1＝0（舍去），a2＝10．答：a的值为10．24．如图，在▱ABCD中，过B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BD分别与BD、BE交于点G、F，连接GE，已知AB＝BD，CF＝AB．（1）若∠ABE＝30°，AB＝6，求△ABE的面积；（2）求证：GE＝BG．【分析】（1）由含30°角直角三角形性质得出AE＝AB＝3，由勾股定理得出BE＝＝3，由三角形面积公式即可得出结果；（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，则∠ADB＝∠CBD，证出∠BFC＝∠BDE，得出∠CBG＝∠BFG，由AAS证明△DEB≌△FBC得出BF＝DE，BE＝BC＝2DE，设DE＝x，则BE＝BC＝AD＝2x，CF＝BD＝AB＝x，S△BCF＝CF•BG＝BF•BC，求得BG＝x，DG＝x，过G作GH⊥AD于H，由sin∠EDG＝＝，求得GH＝x，由cos∠EDG＝＝，求得DH＝x，EH＝DE﹣DH＝x，由勾股定理求出EG＝＝，即可得出结论．【解答】（1）解：∵BE⊥AD，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝3，BE＝＝＝3，∴S△ABE＝AE•BE＝×3×3＝；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠FGB＝∠BED＝90°，∠FBG＝∠DBE∴∠BFC＝∠BDE，∴∠CBG＝∠BFG，∵∠CGB＝∠BGF＝90°，∴∠BCF＝∠DBE，∴∠CBF＝∠BCG+∠CBG＝90°，∵BE⊥AD，AB＝BD，∴AE＝DE，∵AB＝BD，CF＝AB，∴CF＝BD，在△DEB和△FBC中，，∴△DEB≌△FBC（AAS），∴BF＝DE，BE＝BC＝2DE，设DE＝x，则BE＝BC＝AD＝2x，CF＝BD＝AB＝x，S△BCF＝CF•BG＝BF•BC，即：x•BG＝x•2x，∴BG＝x，∴DG＝x﹣x＝x，过G作GH⊥AD于H，如图所示：sin∠EDG＝＝，即：＝，∴GH＝x，cos∠EDG＝＝，即：＝，∴DH＝x，EH＝DE﹣DH＝x﹣x＝x，∴EG＝＝＝，∴＝＝，∴EG＝BG．25．一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）【分析】（1）由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF＝∠BFD＝60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；（2）解直角三角形求出AD即可解决问题．（3）只要证明∠BAD＝90°，利用勾股定理求出AD，再证明△ADE是等边三角形即可解决问题．【解答】（1）证明：如图①中，过点D作DF∥AC，交AB于点F．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60°，。

2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷2一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−117的绝对值是()A. −117B. 711C. 117D. −7112.根据中国卫生健康委员会报道，截止到2020年4月10日24时，新型冠状病毒肺炎疫情据31个省(自治区、直辖市)和新疆生产建设兵团报告，累计治愈出院病例77525例，将77525用科学记数法表示为()A. 77.525×103B. 7.7525×104C. 0.77525×105D. 7.7525×1053.下列图案中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有()A. B.C. D.4.下列运算正确的是()A. a3+a2=a5B. 12a−1=12aC. a6÷a3=a2D. (a−1)(a+2)=a2−25.如图，点A，B，C在⊙O上，BO的延长线交AC于点D，∠A=40°，∠C=25°，则∠ADB的度数为()A. 110°B. 115°C. 120°D. 125°6.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点都在格点上，如果先将线段AB向右平移两个单位，得到线段A′B′，其中点A、B的对应点分别为点A′、B′，然后将线段A′B′绕点P顺时针旋转得到线段A′′B′′，其中点A′、B′的对应点分别为点A′′、B′′，则旋转中心点P的坐标为()A. (1,0)B. (0,2)C. (3,1)D. (4,−1)7.如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB，DC，过点D作EF//BC分别交AB、AC于点E、F，若BE+CF=8，则EF的长度为()A. 4B. 5C. 8D. 168.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则一次函数y=ax+bc与反比例函数y=abc在平面直角坐标系中的图象可能是()xA.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：√24−√12=______．√310.某射击运动员最近6次训练的成绩分别为6环，9环，4环，10环，9环，10环，则该运动员这6次成绩的方差为______．11.如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD=______°.12. 如图，一次函数y 1=kx +b 的图象与反比例函数y 2=4x 的图象交于A(1,m)，B(4,n)两点．则不等式kx +b −4x ≥0的解集为______．13. 如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 边上，AD =6，AB =8，将△CBE 沿CE 翻折，使B 点的对应点B′刚好落在对角线AC 上，将△ADF沿AF 翻折，使D 点的对应点D′也恰好落在对角线AC 上，连接EF ，则EF 的长为______．14. 如图所示是一种棱长分别是2cm ，3cm ，4cm 的长方体积木，现要用若干块这样的积木来搭建大长方体，如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体的表面积最小是______cm 2．三、解答题（本大题共9小题，共78.0分）15. 已知：∠α，线段c ．求作：Rt △ABC ，使∠A =∠α，AB =c ，∠C =90°．16. (1)a−3a 2−4a+4÷(1−1a−2)．(2)解不等式组{x −3(x −3)≥51+2x 3<x +12．17.小明和小亮进行摸牌游戏，如图，他们有四张除牌面数字不同外、其他地方完全相同的纸牌，牌面数字分别为4，5，6，7，他们把纸牌背面朝上，充分洗匀后，从这四张纸牌中摸出一张，记下数字放回后，再次重新洗匀，然后再摸出一张，再次记下数字，将两次数字之和做为对比结果．若两次数字之和大于11，则小明胜；若两次数字之和小于11，则小亮胜．(1)请你用列表法或树状图列出这个摸牌游戏中所有可能出现的结果．(2)这个游戏公平吗？请说明理由．18.“停课不停学，学习不延期”，某市通过教育资源公共服务平台和有线电视为全市中小学开设在线“空中课堂”，为了解学生每天的学习时间情况，在全市随机抽取了部分初中学生进行问组别学习时间x(ℎ)人数(人)A 2.5<x≤340B3<x≤3.5170C 3.5<x≤4350D4<x≤4.5E 4.5<x≤590F5小时以上50(2)补全条形统计图．(3)若此市有初中学生2.8万人，求每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时(不包括3.5小时)的初中学生有多少人？19.为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i=1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC=26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为多少米？(参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)20.某市地铁1号线全长约60km，市政府通过招标，甲、乙两家地铁工程公司承担了施工任务，根据招标合同可知，甲公司每月计划施工效率是乙公司的1.2倍，则乙公司单独施工比甲公司单独施工多用10个月，且市政府需要支付给甲公司的施工费用为6亿元/km，乙公司的施工费用为5亿元/km．(1)甲、乙两家地铁工程公司每月计划施工各为多少km？(2)由于设备和施工现场只能供一家地铁工程公司单独施工的原因，现计划甲、乙两家公司共用55个月恰好完成施工任务(每家公司施工时间不足一个月按照一个整月计算)，且甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，应如何安排才能使市政府支付给两家地铁工程公司的总费用最少？21.如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF//BD，且CF=DE，连接AE、BF、EF．(1)求证：△ADE≌△BCF；(2)若∠BFC−∠ABE=90°，判断四边形ABFE的形状，并证明你的结论．22.某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出5个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．(1)确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w(元)与售价x(元/个)之间的函数关系式．(2)当售价x(元/个)定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w(元)最大？最大利润是多少？23.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF//BC，交OC于点F.当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF(0<t<5).解答下列问题：(1)当t为何值时，PE//AB？(2)设四边形EFDP的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式．(3)是否存在某一时刻t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD=21：48？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：−117的绝对值是：117．故选：C．直接利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．2.答案：B解析：解：将“77525”用科学记数法表示为7.7525×104．故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：A解析：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.答案：B解析：解：∵a3与a2不是同类项，不能加减，故A错误；1 2a−1=12×1a=12a，故选项B正确；a6÷a3=a3≠a2，故选项C错误；(a−1)(a+2)=a2+a−2，故选项D错误．故选：B．利用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、多项式乘以多项式法则及负整数指数幂的意义，计算判断即可．本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、多项式乘以多项式法则及负整数指数幂的意义，掌握整式的相关性质和法则是解决本题的关键．5.答案：D解析：解：∵∠BOC=2∠A，∠A=40°，∴∠BOC=80°，∵∠BOC=∠C+∠CDO，∠C=25°，∴∠CDO=55°，∴∠ADB=180°−55°=125°，故选：D．首先求出∠BOC，利用三角形的外角求出∠CDO即可解决问题．本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.答案：B解析：解：如图所示，分别作A′′A′和B′′B′的垂直平分线，两线交于一点P，则点P即为所求，且P(0,2)．故选：B．根据线段垂直平分线的性质作图即可得到结论．本题考查了坐标与图形变化−旋转，坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．7.答案：C解析：解：∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∵EF//BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，∴ED=EB，FD=FC，∴EF=ED+FD=BE+CF=8．答：EF的长度为8．故选：C．根据点D是△ABC的内心，可得BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，再根据EF//BC，可得∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，得ED=EB，FD=FC，根据BE+CF=8进而得EF的长度．本题考查了三角形的内切圆与内心、平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心．8.答案：C解析：解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，∴a>0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b<0．∵与y轴交于正半轴，∴c>0，∴一次函数y=ax+bc的图象经过第一、三、四象限，的图象分布在第二、四象限，反比例函数y=abcx故选：C．直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．9.答案：2√2−2解析：解：原式=√243−√123=2√2−2．故答案为2√2−2．利用二次根式的除法法则运算．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10.答案：5解析：解：6次成绩的平均数为：16(6+9+4+10+9+10)=8(环)，则该运动员这6次成绩的方差为：16[(6−8)2+(9−8)2+(4−8)2+(10−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=5．故答案为：5．先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为x−，则方差S2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2].11.答案：35解析：解：连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°−55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°，故答案为35°．连接AD.首先证明∠ADB=90°，求出∠A即可解决问题．本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12.答案：x<0和1≤x≤4解析：解：从函数图象看，当x<0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，故不等式kx+b−4x≥0的解集为x<0和1≤x≤4，故答案为：x<0和1≤x≤4．从函数图象看，当x<0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，从而求解．本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．13.答案：2√10解析：解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，∵AD=6=BC，AB=8，∴AC=√AB2+BC2=√36+64=10，∵将△CBE沿CE翻折，∴BE=B′E，BC=B′C=6，∠EB′C=∠B=90°，∴AB′=4，∵∠EAB′=∠BAC，∠B=∠AB′E=90°，∴△AB′E∽△ABC，∴AB′AB =AEAC=B′EBC=12，∴B′E=12BC=3=BE，AE=12AC=5，同理可求DF=3，∵FM⊥AB，∠ADC=∠DAB=90°，∴四边形ADFM是矩形，∴AM=DF=3，AD=MF=6，∴EM=2，∴EF=√MF2+EM2=√4+36=2√10，故答案为：2√10．过点F作FM⊥AB于点M，由勾股定理可求AC的长，由折叠的性质可得BE=B′E，BC=B′C=6，∠EB′C=∠B=90°，通过证明△AB′E∽△ABC，可求B′E=12BC=3=BE，AE=12AC=5，通过证明四边形ADFM是矩形，可得AM=DF=3，AD=MF=6，可得EM=2，由勾股定理可求解．本题考查了翻折变换，也考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出EM与FM是解题的关键．14.答案：168解析：解：长4cm，宽3×2=6(cm)，高2×3=6(cm)，(4×6+4×6+6×6)×2=(24+24+36)×2=84×2=168(cm2)答：如果用6块积木来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是168cm2．故答案为：168．如果用6块来搭，那么搭成的大长方体表面积最小是长4cm，宽3×2=6cm，高2×3=6cm的长方体的表面积，根据长方体的表面积公式即可求解．考查了几何体的表面积，关键是熟练掌握长方体的表面积公式，难点是得到搭成的大长方体的长宽高．15.答案：解：如图，△ABC即为所求．解析：作∠A=∠α.在∠A一边上作线段AB=c，过B点作∠A另一边的垂线，交于点C.△ABC即为所求．本题考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练五种基本作图，属于中考常考题型．16.答案：解：(1)a−3a2−4a+4÷(1−1a−2)=a−3a2−4a+4÷a−2−1a−2=a−3(a−2)2×a−2a−3=1a−2；(2)解不等式①，得x≤2，解不等式②，得x>−12，因此，原不等式组的解集为−12<x≤2．解析：(1)根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得；(2)分别求出每个不等式的解集，再根据口诀确定其公共部分即可得不等式组的解集．本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．17.小亮小明和4567489101159101112610111213711121314(2)这个游戏是公平的；总共有16种结果，每种结果出现的可能性是相同的，两次数字之和大于11的结果有6种，所以，P(小明获胜)=616=38，两次数字之和小于11的结果有6种，所以，P(小亮获胜)=616=38，因为，P(小明获胜)=P(小亮获胜)，所以，这个游戏是公平的．解析：(1)根据题意列出图表，得出所有等情况数；(2)根据概率公式先分别求出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后进行比较即可得出答案．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.答案：1000 C解析：解：(1)这次参与问卷调查的初中学生有：350÷35%=1000(人)，把这些数从小到大排列，处于中间位置是第250、260个数的平均数，则中位数落在C组；故答案为：1000 C；(2)D组的人数有：1000−40−170−350−90−50=300(人)，补全条形统计图：(3)根据题意得：28000×350+3001000=18200(人)，答：每天参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时(不包括3.5小时)的初中学生有18200人．(1)根据C组的人数和所占的百分比求出这次参与问卷调查的初中学生总人数；根据中位数的定义直接求解即可；(2)用总人数减去其它组别的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；(3)用总人数乘以参与“空中课堂”学习时间3.5到4.5小时(不包括3.5小时)的初中学生所占的百分比即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.答案：解：延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i=1：2.4，∴令CF=k，则AF=2.4k，在Rt△ACF中，由勾股定理得，CF2+AF2=AC2，∴k2+(2.4k)2=262，解得k=10，∴AF=24，CF=10，∴EF=30，在Rt△DEF中，tanE=DFEF，∴DF=EF⋅tanE=30×tan48°=30×1.11=33.3，∴CD=DF−CF=23.3，因此，古树CD的高度约为23.3m．解析：如图，根据已知条件得到CFAF =1：2.4=512，设CF=5k，AF=12k，根据勾股定理得到AC=√CF2+AF2=13k=26，求得AF=24，CF=10，得到EF=6+24=30，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20.答案：解：(1)设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，根据题意，得60x −601.2x=10，解得，x=1，经检验，x=1是原方程的根，∴1.2x=1.2×1=1.2km，答：甲公司每月计划施工1.2km，乙公司每月施工1km；(2)设甲公司施工了m个月，则乙公司施工(55−m)个月，共支付的总费用为w亿元，由题意可得：w=1.2×6⋅m+1×5⋅(55−m)=7.2m+275−5m=2.2m+275，∵k=2.2>0，w随着m的增大而增大，∵甲公司施工时间不得少于乙公司的两倍，∴m≥2(55−m)，∴m≥1103，∴当m=37时，w有最小值，∴55−37=18，答：甲公司施工37个月，乙公司施工18个月，总费用最少．解析：(1)设乙公司每月计划施工xkm，则甲公司每月施工1.2xkm，根据题意列分式方程解答即可；(2)设甲公司施工了m个月，则乙公司施工(55−m)个月，共支付的总费用为w亿元，由题意可得w 与m的函数关系式以及关于m的不等式，由一次函数的性质可求解．本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是从实际问题中整理出数量关系并利用该数量关系求解．21.答案：解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵CF//DB，∴∠DBC=∠BCF，∴∠ADB=∠BCF，又∵DE=CF，在△ADE和△BCF中，{AD=BC∠ADE=∠BCF DE=CF，∴△ADE≌△BCF(SAS)；(2)▱ABFE是矩形，理由如下：∵CF//DE，CF=DE∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF//CD，EF=CD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD∴AB//EF，AB=EF∴四边形ABFE是平行四边形，∵△ADE≌△BCF，∴∠AED=∠BFC，又∵∠BFC−∠ABE=90°，∴∠AED−∠ABE=90°，∵∠AED−∠ABE=∠BAE，∴∠BAE=90°，∴▱ABFE是矩形．解析：(1)根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；(2))▱ABFE是矩形，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及矩形的判定解答即可．此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及矩形的判定解答．22.答案：解：(1)根据题意，得w=(x−40)[100−5(x−50)]=(x−40)(350−5x)=−5x2+ 550x−14000，因此，利润与售价之间的函数关系式为w=−5x2+550x−14000，(2)∵销售量不得少于80个，∴100−5(x−50)≥80，∴x≤54，∵x≥50，∴50≤x≤54，∵w=−5x2+550x−14000=−5(x−55)2+1125，∵a=−5<0，开口向下，对称轴为直线x=55，∴当50≤x≤54时，w随着x的增大而增大，∴当x=54时，w最大值=−5(54−55)2+1125=1120，因此，当售价定为54元时，每周获得的利润最大，最大利润为1120元．解析：(1)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/个，且商场每周完成不少于80个的销售任务可以确定x的取值范围；(2)根据第(1)问中的函数解析式和x的取值范围，根据二次函数的性质可得答案．本题考查了二次函数的应用，明确题意、写出相应的函数解析式并确定自变量的取值范围是解题的关键．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO=12AC=12×12=6(cm)，BO=DO=12BD=12×16=8(cm)，AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴在Rt△AOD中，由勾股定理，得AO2+DO2=AD2，∴AD=√AO2+DO2=√62+82=10(cm)．∵PE//AB，∴DEDB =DPDA，即16−t16=2t10，∴t=8021，因此，当t为8021s时，PE//AB．(2)如图1，过点P作PQ⊥OD于Q，∴∠DQP=∠DOA=90°，又∵∠QDP=∠ODA，∴△DQP∽△DOA，∴PQAO =DPDA，即PQ6=2t10，∴PQ=6t5，∵EF//BC，∴OEOB =OFOC，即8−t8=OF6，∴OF=6−34t，∴y=S四边形EFDP =S△EFD+S△EDP=12⋅DE⋅OF+12⋅DE⋅PQ=12×(16−t)⋅(6−34t)+12×(16−t)⋅65t=−940t2+35t+48．因此，y与t之间的函数关系式为y=−940t2+35t+48．(3)假设存在t，使得S四边形EFDP：S菱形ABCD=21：48，∴S四边形EFDP =2148S菱形ABCD，即−940t2+35t+48=2148×(12×16×6×2)，∴3t2−8t−80=0，解得，t1=−4，t2=203，均不符合题意，因此，不存在t，使S四边形EFDP：S菱形ABCD=21：48．(4)假设存在t，使得FP⊥AD．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD=90°，∴∠AOD=90°，∵FP⊥AD，∴∠APF=90°，∴∠AOD=∠APF，∵∠OAD=∠PAF，∴△AOD∽△APF，∴APAO =AFAD，∵OF=6−34t，DP=2t，∴AF=12−34t，AP=10−2t，∴10−2t6=12−34t10，∴t=5631，因此，当t=5631时，FP⊥AD．解析：(1)由菱形的性质得出OA=6cm，OB=8cm，求出AD的长，得出DEDB =DPDA，则可求出t的值；(2)过点P作PQ⊥OD于Q，证明△DQP∽△DOA，得出PQAO =DPDA，求出PQ，由比例线段OEOB=OFOC可得出8−t8=OF6，求出OF，则可得出答案；(3)由面积关系可得出t的方程，解方程即可得出t值；(3)证明△AOD∽△APF，得出APAO =AFAD，得出t的方程，解方程即可得解．本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，多边形的面积，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．。

2020年山东省青岛市胶州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.−52的绝对值是()A. −25B. 52C. 25D. −522.据中新社2017年10月8日报道，2017年我国粮食总产量达到736 000 000吨，将736 000 000用科学记数法表示为()A. 736×106B. 73.6×107C. 7.36×108D. 0.736×1093.下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.下列运算正确的是()A. 3a−a=3B. a6÷a2=a3C. −a(1−a)=−a+a2D. (12)−2=−25.如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=70°，则∠ABC的度数为()A. 10°B. 20°C. 35°D. 55°6.如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺时针方向旋转90°，得到线段A′B′，则点B的对应点B′的坐标是()A. (−4,1)B. (−1,2)C. (4,−1)D. (1,−2)7.如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，直线MN//AB，则点O是△ABC的()A. 外心B. 内心C. 三条中线的交点D. 三条高的交点8.一次函数y=ax+b和反比例函数y=c在同一个平面直角坐标系中的图x象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算√6−3的结果是_____．√310.跳远运动员李刚对训练效果进行测试，6次跳远的成绩如下：(单位：m)7.6，7.8，7.7，7.8，8.0，7.9.这六次成绩的平均数为7.8，方差为1，如果李刚又跳了一次，成绩恰好为7.8.则李刚这七次60跳远成绩的方差会_________.(填“变大”不变”或“变小”)11.如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB=50°，则∠ADC=______．(k2≠0)的图象交于A，B两12.如图，一次函数y1=k1x+b(k1≠0)的图象与反比例函数y2=k2x点，观察图象，当y1>y2时，x的取值范围是______．13.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O为对角线BD的中点，点E为边AD上一点，连接OE，将△DOE沿OE翻折得到△OEF，若OF⊥AD于点G，则OE=______．14.如图，用棱长为a的小正方体拼成长方体，按照这样的拼法，第n个长方体表面积是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）15.(1)化简：(a−b2a )÷(1−ba)(2)解不等式组：{3x−12−2x+13≤62x+1<3(x−1)四、解答题（本大题共8小题，共68.0分）16.已知：如图，线段a，∠α．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a．17.小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．(1)请用画树形图或列表的方法(只选其中一种)，表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；(2)若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？18.黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学生时间为t(小时)，A：t<1，B：1≤t<1.5，C：1.5≤t<2，D：t≥2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；(2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？(3)表示B等级的扇形圆心角α的度数是多少？(4)在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．19.如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H的仰角∠HDE为45°，此时教学楼顶端G恰好在视线DH上，再向前走7米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角∠GEF为60°，点A、B、C三点在同一水平线上．(1)计算古树BH的高；(2)计算教学楼CG的高．(参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7)20.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?21.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE=OF．(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．22.进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．(1)试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式；(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；(3)当售价x(元/包)定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？23.把两个全等的矩形ABCD和EFGH如图1摆放(点D和点G重合，点C和点H重合)，点A、D(G)在同一条直线上，AB=6cm，BC=8cm.如图2，△ABC从图1位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，AC与GH交于点P；同时，点Q从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s.点Q停止运动时，△ABC也停止运动．设运动时间为t(s)(0<t<6)．(1)当t为何值时，CQ//FH；(2)过点Q作QM⊥FH于点N，交GF于点M，设五边形GBCQM的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，是否存在某一时刻，使点M在线段PC的中垂线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：−52的绝对值是52，故选：B．根据绝对值的性质求解可得．本题主要考查绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质．2.答案：C解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：将736 000 000用科学记数法表示为7.36×108，故选C．3.答案：B解析：解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．解析：解：A.3a−a=2a，故A错误；B.a6÷a2=a4，故B错误；C.−a(1−a)=−a+a2，故C正确；)−2=4，故D错误．D.(12故选：C．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．同底数幂(a≠0,p为正整数)．的除法法则：底数不变，指数相减．整数指数幂：a−p=1a p本题考查了合并同类项与幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键..5.答案：C解析：解：∵点A、B、C在⊙O上，∠AOC=70°，∠AOC=35°．∴∠ABC=12故选C．根据圆周角定理求解即可．本题考查了圆周角定理的运用．6.答案：D解析：本题考查了图形的平移与旋转，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键．在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度；图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解：将线段AB先向右平移5个单位，点B(2,1)，连接OB，顺时针旋转90°，则B′对应坐标为(1,−2)，故选：D．解析：本题主要考查了平行线间的距离处处相等、角平分线定理及三角形的内心，利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，然后可作出判断．解：如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵MN//AB，∴OD=OE=OF(夹在平行线间的距离处处相等)．如图2：过点O作OD′⊥BC于D′，作OE′⊥AC于E′，作OF′⊥AB于F′．由题意可知：OD=OD′，OE=OE′，OF=OF′，∴OD′=OE′=OF′∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点，∴点O是△ABC的内心．故选B．8.答案：A解析：本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a<0，b>0，c<0是解题的关键．根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a<0，b>0，c<0，由此即可得出：二次函数y=ax2+bx+c的图象开>0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．口向下，对称轴x=−b2a解：观察函数图象可知：a<0，b>0，c<0，>0，与y轴的交点在y轴负半轴．∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=−b2a9.答案：√2−√3解析：[分析]先分母有理化，然后进行二次根式的乘法运算后约分即可．[详解]解：原式=√6×√3−3√3√3×√3=3√2−3√33=√2−√3故答案为√2−√3．[点睛]本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．10.答案：变小解析：本题考查平均数和方差，属于基础题．先根据平均数的定义先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，然后进行比较即可求出答案．解：∵李刚6次成绩的平均数为7.8，再跳1次，成绩为7.8，∴7次成绩的平均数为7.8，∴7次成绩的方差为S2=17×[(7.6−7.8)2+(7.8−7.8)2+(7.7−7.8)2+(7.8−7.8)2+(8.0−7.8)2+(7.9−7.8)2+(7.8−7.8)2]=170，∵170<160，∴李刚这7次跳远成绩的方差变小，故答案为变小．11.答案：40°解析：本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据直径所对的圆周角为直角求出∠ACB=90°，得到∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到答案．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∠CAB=50°，∴∠ABC=40°，∴∠ADC=∠ABC=40°，故答案为：40°．12.答案：−1<x<0或x>2解析：当一次函数的值大于反比例函数的值时，直线在双曲线的上方，直接根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解．解：y1>y2时，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分是不等式的解，故答案为：−1<x<0或x>2．13.答案：3√52解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=8，∴AB ⊥AD ，BD =√AB 2+AD 2=10， ∵点O 为对角线BD 的中点， ∴OD =5，由折叠的性质得：∠F =∠ADB ，OF =OD =5， ∵OF ⊥AD ，∴OF//AB ，∠OGE =∠FGE =90°=∠A ， ∴OG 是△ABD 的中位线，△GEF∽△ABD ， ∴OG =12AB =3，GE AB=FG AD，∴FG =OF −OG =2，GE6=28， ∴GE =32，在Rt △OGE 中，由勾股定理得：OE =√OG 2+GE 2=√32+(32)2=3√52； 故答案为：3√52． 由矩形的性质和勾股定理得出BD =√AB 2+AD 2=10，得出OD =5，由折叠的性质得：∠F =∠ADB ，OF =OD =5，证出OG 是△ABD 的中位线，△GEF∽△ABD ，得出OG =12AB =3，GEAB =FGAD ，求出GE =32，在Rt △OGE 中，由勾股定理即可得出结果．本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．14.答案：(4n +6)a 2解析：解：根据题干分析可得：第n 个长方体的表面积是：4n +6个小正方体的面； 小正方体的一个面的面积为：a ×a =a 2，所以第n 个长方体的表面积为：[(n +1)×4+2]a 2=(4n +6)a 2． 故答案为：(4n +6)a 2．棱长为1厘米的正方体的一个面的面积是1平方厘米，且相邻的2个正方体拼组在一起减少了2个小正方体的面：第一个长方体的表面积是：10个小正方体的面，可以写成1×4+6； 第二个长方体的表面积是：14个小正方体的面，可以写成2×4+6；第三个长方体的表面积是：18个小正方体的面，可以写成3×4+6；… 则第n 个长方体的表面积是：4n +6个小正方体的面．主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．15.答案：解：(1)原式=a 2−b 2a÷a−b a=(a+b)(a−b)a⋅a a−b=a +b ；(2){3x−12−2x+13≤6①2x +1<3(x −1)②，由①得：x ≤5.5， 由②得：x >4，则不等式组的解集为4<x ≤5.5．解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．此题考查了分式的混合运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.答案：解：如图，△ABC 为所作．解析：先作∠MAN =α，再在AM 上截取AC =a ，然后过点C 作AM 的垂线交AN 于B ，则△ABC 满足条件．本题考查了作与−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．17.答案：解：(1)列表法如下：1231 (1,1) (1,2) (1,3)2 (2,1) (2,2) (2,3) 3(3,1)(3,2)(3,3)树形图如下：(2)不公平．理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况：1+1=2；2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6共9种情况，其中5个偶数，4个奇数．即小昆获胜的概率为49，而小明获胜的概率为59， ∴59>49， ∴此游戏不公平．解析：本题考查的是概率的求法及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．(1)根据题意直接列出树形图或列表即可；(2)游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．18.答案：解：(1)共调查的中学生数是：60÷30%=200(人)，C类的人数是：200−60−30−70=40(人)，如图1所示．(2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在C等级内；(3)根据题意得：α=30200×360°=54°，(4)设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3，一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，∴P(2人来自不同班级)=1220=35．解析：(1)根据A类的人数和所占的百分比即可求出总数然后求出C的人数从而补全统计图；(2)根据中位数定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，中位数就是位置处于最中间的一个数(或最中间的两个数的平均数)可得答案；(3)用B的人数除以总人数再乘以360°，即可得到圆心角α的度数；(4)先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.答案：解：(1)由题意：四边形ABED是矩形，可得DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，在Rt△DEH中，∵∠EDH=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=EH+BE=8.5米．(2)作HJ⊥CG于J.则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x．在Rt△EFG中，tan60°=GFEF，∴√3=7+xx，∴x=72(√3+1)，∴GF=√3x≈16.45∴CG=CF+FG=1.5+16.45≈18.0米．解析：(1)利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；(2)作HJ⊥CG于G.则△HJG是等腰三角形，四边形BCJH是矩形，设HJ=GJ=BC=x.构建方程即可解决问题；本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20.答案：解：(1)设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需(x+10)天，根据题意得45x+10=30x，解得x=20，经检验x=20是原方程的解．∴x+10=30．答：甲队单独完成此项任务需30天，乙队单独完成此项任务需20天．(2)设甲队再单独施工a天，由题意，得330+2a30≥2×320，解得a≥3，答：甲队至少再单独施工3天．解析：本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据所给条件列出相应的分式方程和不等式是解题的关键．(1)设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要(x+10)天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；(2)设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．21.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，在△BOE和△DOF中，{OE=OF∠BOE=∠DOF OB=OD，∴△BOE≌△DOF；(2)四边形EBFD是矩形，连接BE、DF，由(1)知△BOE≌△DOF，∴OB=OD，OE=OF，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵BD=EF，∴平行四边形BEDF是矩形解析：(1)由平行四边形的性质得出OB=OD，由SAS证明△BOE≌△DOF即可；(2)先证明四边形EBFD是平行四边形，再由对角线相等即可得出四边形EBFD是矩形．本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、矩形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．22.答案：解：(1)由题意可得，y=200−(x−30)×5=−5x+350即周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式是：y=−5x+350；(2)由题意可得，w=(x−20)×(−5x+350)=−5x2+450x−7000(30≤x≤40)，即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式是：w=−5x2+450x−7000(30≤x≤40)；=45，(3)∵w=−5x2+450x−7000的二次项系数−5<0，顶点的横坐标为：x=−4502×(−5)∴当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，∴x=40时，w取得最大值，w=−5×402+450×40−7000=3000，即当售价x(元/包)定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大，最大利润是3000元．解析：(1)根据题意可以直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据题意可以直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x的取值范围；(3)根据第(2)问中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题．本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是明确题意，可以写出相应的函数解析式，并确定自变量的取值范围以及可以求出函数的最值．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD和四边形EFGH是两个全等的矩形，∴BC=EH=GF=8cm，AB=EF=6cm，∠1B=∠E=∠EFG=90°，∴AC=FH=√62+82=10(cm)，当CQ//FH时，△CEQ∽△HEF，∴CEEH =EQEF，即8−t8=t6，解得：t=247，即t=247时，CQ//FH；(2)∵QM⊥FH，∴∠FNQ=90°=∠EFG，∴∠QMF+∠MFN=∠MFN+∠EFH=90°，∴∠QMF=∠EFH，∴△FMQ∽△EFH，∴MFEF =FQEH，即MF6=6−t88，解得：MF=34(6−t)，当0<t<6时，五边形GBCQM的面积为y=梯形GBEF的面积−△CEQ的面积−△MFQ的面积=12(8+8+8−t)×6−12×(8−t)×t−12(6−t)×34(6−t)=18t2−52t+1172，即y与t之间的函数关系式为：y=18t2−52t+1172；(3)存在，理由如下：∵AB//GH，∴△PCH∽△ACB，∴PHAB =CHBC，即PH6=t8，∴PH=34t，∴PG=6−34t，连接PM、CM，作MK⊥BC于K点，如图2所示：则四边形GHKM为矩形，∴MK=GH=6，EK=MF=34(6−t)，∴CK=8−t−34(6−t)，若M在PC的垂直平分线上，则PM=CM，由勾股定理得：PM2=PG2+MG2，CM2=CK2+MK2，∴PG2+MG2=CK2+MK2，即(6−34t)2+[8−34(6−t)]2=62+[8−t−34(6−t)]2，整理得：1716t2−2t=0，解得：t=3217，或t=0(不合题意舍去)，∴t=3217；即存在某一时刻，使点M在线段PC的中垂线上，t的值为3217s.解析：(1)由矩形的性质得出BC=EH=GF=8cm，AB=EF=6cm，∠1B=∠E=∠EFG=90°，由勾股定理得出AC=FH=√62+82=10(cm)，由平行线得出△CEQ∽△HEF，得出CEEH =EQEF，即可得出结果；(2)证明△FMQ∽△EFH，得出MFEF =FQEH，求出MF=34(6−t)，当0<t<6时，五边形GBCQM的面积为y=梯形GBEF的面积−△CEQ的面积−△MFQ的面积，代入面积公式进行计算即可；(3)由平行线得出△PCH∽△ACB，得出PHAB =CHBC，求出PH=34t，得出PG=6−34t，连接PM、CM，作MK⊥BC于K点，则四边形GHKM为矩形，得出MK=GH=6，EK=MF=34(6−t)，则CK=8−t−34(6−t)，由垂直平分线的性质得出PM=CM，由勾股定理得出方程，解方程即可．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形和梯形面积公式等知识；本题综合性强，证明三角形相似和由勾股定理得出方程是解题的关键．。

2024学年山东省青岛市四区联考中考数学最后一模试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（）A．4.995×1011B．49.95×1010C．0.4995×1011D．4.995×10102．若函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣2 B．m＜﹣2C．m＞2 D．m＜23．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：某同学分析上表后得出如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大．上述结论中，正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③4．下列计算，正确的是（）A2=-B2=C．3=D=5．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．如果m 的倒数是﹣1，那么m 2018等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．2018D ．﹣20187．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．16的算术平方根是（ ） A ．4B ．±4C ．2D ．±29．许昌市2017年国内生产总值完成1915.5亿元，同比增长9.3%，增速居全省第一位，用科学记数法表示1915.5亿应为（ ） A ．1915.15×108 B ．19.155×1010 C ．1.9155×1011D ．1.9155×101210．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ） A ．14B ．12C ．34D ．56二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，直线y=x ，点A 1坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2，再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，……按此作法进行去，点B n 的纵坐标为 (n 为正整数)．12．如图，已知直线////a b c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 和B 、D 、F ，如果3AC =，5CE =，4DF =，那么BD =______．13．不等式组36{12x x x -≥-->的最大整数解为_____．14．若代数式5xx +有意义，则实数x 的取值范围是____. 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．16．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，点E 在AD 边上，以E 为圆心，EA 长为半径的⊙E 与BC 相切，交CD 于点F ，连接EF ．若扇形EAF 的面积为，则BC 的长是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解不等式组22(4)113x x x x -≤+⎧⎪-⎨+⎪⎩＜，并写出该不等式组的最大整数解． 18．（8分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，点O 在BC 边上，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，连接BD 、CD ，过点D 作BC 的平行线与AC 的延长线相交于点P ．求证：PD 是⊙O 的切线；求证：△ABD ∽△DCP ；当AB=5cm ，AC=12cm 时，求线段PC 的长．19．（8分）如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，若22OA OB OC OD ====AB ，求证：四边形ABCD 是正方形20．（8分）如图，已知三角形ABC的边AB是0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E,(1)求证：CB平分∠ACE；(2)若BE=3，CE=4，求O的半径.21．（8分）已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE，过点A作∠AFD，使∠AFD=2∠EAB，AF交CD于点F，如图①，易证：AF=CD+CF．（1）如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；（2）如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．图①图②图③22．（10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=22，则BC=．23．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．24．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、D【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1．故选D．【题目点拨】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2、B【解题分析】根据反比例函数的性质，可得m+1＜0，从而得出m的取值范围．【题目详解】∵函数2myx+=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴m+1＜0，解得m＜-1．故选B．3、D【解题分析】分析：根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；详解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大．故①②③正确，故选D．点睛：本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4、B【解题分析】根据二次根式的加减法则，以及二次根式的性质逐项判断即可．【题目详解】，∴选项A不正确；，∴选项B正确；∵，∴选项C不正确；D不正确．故选B．【题目点拨】本题主要考查了二次根式的加减法，以及二次根式的性质和化简，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．5、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、A【解题分析】因为两个数相乘之积为1,则这两个数互为倒数, 如果m的倒数是﹣1,则m=-1,然后再代入m2018计算即可.【题目详解】因为m的倒数是﹣1,所以m=-1,所以m2018=（-1）2018=1,故选A.【题目点拨】本题主要考查倒数的概念和乘方运算,解决本题的关键是要熟练掌握倒数的概念和乘方运算法则.7、A【解题分析】由三视图的定义可知，A是该几何体的三视图，B、C、D不是该几何体的三视图.故选A.点睛:从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.本题从左面看有两列，左侧一列有两层，右侧一列有一层.8、C【解题分析】【题目详解】4，4的算术平方根是2，2，故选C．【题目点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．9、C 【解题分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数． 【题目详解】用科学记数法表示1915.5亿应为1.9155×1011， 故选C ． 【题目点拨】考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键. 10、C 【解题分析】【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【题目详解】画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12， 所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率=123164=， 故选C ．【题目点拨】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、n 12-．【解题分析】寻找规律： 由直线y=x 的性质可知，∵B 2，B 3，…，B n 是直线y=x 上的点， ∴△OA 1B 1，△OA 2B 2，…△OA n B n 都是等腰直角三角形，且 A 2B 2=OA 2=OB 12OA 1； A 3B 3=OA 3=OB 22OA 2=22OA 1；A4B4=OA4=OB3OA3=3OA1；……n1n n n n1n11A B OA OB OA---====．又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1．∴n1n n nA B OA-==，即点B n的纵坐标为n1-．12、125【解题分析】由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得AC BDCE DF=,又由AC＝3，CE＝5，DF＝4，即可求得BD的长. 【题目详解】解：由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得AC BDCE DF=,又由AC＝3，CE＝5，DF＝4可得：354BD=解得：BD=125.故答案为125.【题目点拨】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用.13、﹣1．【解题分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出其最大整数解．【题目详解】3612xxx-≥-⎧⎪⎨-⎪⎩①＞②,解不等式①得:x≤1,解不等式②得x-1＞1x，x-1x＞1，-x＞1，x＜-1，∴不等式组的解集为x＜-1，∴不等式组的最大整数解为-1.故答案为-1.【题目点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式组的整数解.14、x≠﹣5.【解题分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案.【题目详解】由题意，得x+5≠0，解得x≠﹣5，故答案是：x≠﹣5.【题目点拨】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键.15、115°【解题分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【题目详解】解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．【题目点拨】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16、1【解题分析】分析：设∠AEF=n°，由题意，解得n=120，推出∠AEF=120°，在Rt △EFD 中，求出DE 即可解决问题．详解：设∠AEF=n°， 由题意，解得n=120， ∴∠AEF=120°，∴∠FED=60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC=AD ，∠D=90°，∴∠EFD=10°，∴DE=EF=1，∴BC=AD=2+1=1，故答案为1．点睛：本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形10度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共8题，共72分）17、﹣2，﹣1，0【解题分析】分析：先解不等式①，去括号，移项，系数化为1，再解不等式②，取分母，移项，然后找出不等式组的解集． 本题解析：()224113x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<+⎪⎩①②， 解不等式①得，x≥−2，解不等式②得，x<1，∴不等式组的解集为−2≤x<1.∴不等式组的最大整数解为x=0，18、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CP=16.9cm．【解题分析】【分析】（1）先判断出∠BAC=2∠BAD，进而判断出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论；（2）先判断出∠ADB=∠P，再判断出∠DCP=∠ABD，即可得出结论；（3）先求出BC，再判断出BD=CD，利用勾股定理求出BC=BD=，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即2可得出结论．【题目详解】（1）如图，连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=∠BAC=90°，∵DP∥BC，∴∠ODP=∠BOD=90°，∴PD⊥OD，∵OD是⊙O半径，∴PD是⊙O的切线；（2）∵PD∥BC，∴∠ACB=∠P，∵∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠P，∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCP=180°，∴∠DCP=∠ABD，∴△ABD∽△DCP；（3）∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠BAC=90°，在Rt△ABC中，BC=22AB AC+=13cm，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，∴BD=CD=22BC=1322，∵△ABD∽△DCP，∴AB BD CD CP=，∴132 52 1322CP=，∴CP=16.9cm．【题目点拨】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键.19、详见解析.【解题分析】四边形ABCD是正方形，利用已知条件先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明四边形ABCD是矩形，再根据对角线垂直的矩形是正方形即可证明四边形ABCD是正方形．【题目详解】证明：在四边形ABCD中，OA=OC,OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA=OB=OC=OD，又∵AC=AO+OC,BD=OB+DO，∴AC=BD，∴平行四边形是矩形，在△AOB 中，22AO AB =，22BO AB = 222221122AO BO AB AB AB +=+= ∴△AOB 是直角三角形，即AC ⊥BD ，∴矩形ABCD 是正方形.【题目点拨】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及勾股定理的运用和勾股定理的逆定理的运用，题目的综合性很强．20、（1）证明见解析；（2）258. 【解题分析】试题分析：（1）证明：如图1，连接OB ，由AB 是⊙0的切线，得到OB ⊥AB ，由于CE 丄AB ，的OB ∥CE ，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．（2）如图2，连接BD 通过△DBC ∽△CBE ，得到比例式，列方程可得结果． （1）证明：如图1，连接OB ，∵AB 是⊙0的切线，∴OB ⊥AB ，∵CE 丄AB ，∴OB ∥CE ，∴∠1=∠3，∵OB=OC ，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB 平分∠ACE ；（2）如图2，连接BD ，∵CE 丄AB ，∴∠E=90°，∴BC===5，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC ，∴△DBC ∽△CBE ， ∴，∴BC 2=CD•CE ，∴CD==， ∴OC==，∴⊙O 的半径=． 考点：切线的性质．21、（1）图②结论：AF=CD+CF. （2）图③结论：AF=CD+CF.【解题分析】试题分析：（1）作DC ，AE 的延长线交于点G .证三角形全等，进而通过全等三角形的对应边相等验证AF CF CD ，，之间的关系；（2）延长FE 交AB 的延长线于点,H 由全等三角形的对应边相等验证AF CF CD ，，关系.试题解析：（1）图②结论：.AF CD CF =+证明：作DC ，AE 的延长线交于点G .∵四边形ABCD 是矩形，.G EAB ∴∠=∠22AFD EAB G FAG G ∠=∠=∠=∠+∠，.G FAG ∴∠=∠.AF FG CF CG ∴==+由E 是BC 中点，可证CGE ≌BAE ，.CG AB CD ∴==.AF CF CD ∴=+（2）图③结论：.AF CD CF =+延长FE 交AB 的延长线于点,H 如图所示因为四边形ABCD 是平行四边形所以AB //CD 且AB CD =,因为E 为BC 的中点，所以E 也是FH 的中点，所以FE HF BH CF ==，，又因为2,AFD EAB ∠=∠,BAF EAB FAE ∠=∠+∠所以,EAB EAF ∠=∠又因为,AE AE =所以EAH △≌,EAF所以,AF AH =因为,AH AB BH CD CF =+=+.AF CF CD ∴=+22、（1）①四边形CEGF ；（2）线段AG 与BE 之间的数量关系为BE ；（3）【解题分析】（1）①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形，再由ECG 45∠=即可得证；②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=，据此可得CG CE =、GE //AB ，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG ，只需证ACG ∽△BCE 即可得；（3）证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH ==，设BC CD AD a ===，知AC =，由AG GH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、CH =，由AG AH AC CH =可得a 的值． 【题目详解】（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC ，∴四边形CEGF 是正方形；②由①知四边形CEGF 是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴CG CE=，GE ∥AB ，∴AG CG BE CE ==；（2）连接CG ，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG 2CB CA 2， ∴CG CE =2CA CB= ∴△ACG ∽△BCE ， ∴2AG CA BE CB == ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为2BE ；（3）∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==， 设BC=CD=AD=a ，则AC=2a ， 则由AG GH AC AH =222AHa =， ∴AH=23a ， 则DH=AD ﹣AH=13a ，22CD DH +10a ，∴由AG AHAC CH=得2632103aaa=，解得：a=35，即BC=35，故答案为35．【题目点拨】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.23、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）图见解析，点P坐标为（2，0）．【解题分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；(2))找出点A、B、C关于原点O的对称点的位置，然后顺次连接即可；(3)找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P．【题目详解】(1)如图1所示，△A1B1C1，即为所求：(2)如图2所示，△A2B2C2，即为所求：(3)找出A的对称点A′(1，﹣1)，连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示，点P即为所求，点P坐标为(2，0)．【题目点拨】本题考查作图-旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，得出对应点位置是解题关键．24、电视塔OC高为1003米，点P的铅直高度为) 100313-（米）．【解题分析】过点P作PF⊥OC，垂足为F,在Rt△OAC中利用三角函数求出3根据山坡坡度＝1：2表示出PB＝x，AB ＝2x, 在Rt△PCF中利用三角函数即可求解.【题目详解】过点P作PF⊥OC，垂足为F．在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝3，过点P作PB⊥OA，垂足为B．由i＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．∴PF＝OB＝100+2x，CF＝1003﹣x．在Rt△PCF中，由∠CPF＝45°，∴PF＝CF，即100+2x＝1003﹣x，∴x＝10031003-，即PB＝10031003-米．【题目点拨】本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键.。

中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列四个数中，其倒数是正整数的数是（ ）A. 2B.C.D.−212−1 22.下列美丽的图案，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：次数12345678910黑棋数1302342113根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ）A. 60枚B. 50枚C. 40枚D. 30枚4.在显微镜下，一种细菌的形状可以近似地看成圆，它的半径约为0.00000063m，这个数据用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D.0.63×10−6m 6.3×10−7m 6.3×10−8m63×10−8m5.如图，▱ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE等于（ ）A. 3B. 23C. 2D. 2.56.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OC 交⊙O 于D ，作DE ∥AB 交⊙O 于E ，连接AE ，若∠C =40°，则∠E 等于（ ）A. B. C. D. 40∘50∘20∘25∘7.点P 是图①中三角形上一点，坐标为（a ，b ），图①经过变化形成图②，则点P 在图②中的对应点P ′的坐标为（ ）A. B. C. D. (12a,b)(a−1,b)(a−2,b)(12a,12b)8.一次函数y =ax +b （a ≠0）与二次函数ax 2+2x +b （a ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.计算：=______．x 2x−y +y 2y−x 10.某运动对要从甲乙丙丁四名跳高运动员中选拔一人参加比赛，教练组统计了最近几次队内选拔赛的成绩并进行了分析，得到如下表：甲乙丙丁平均数（cm）175173174175方差（cm2） 3.5 3.512.513根据表中数据，教练组应该选择______参加比赛（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）11.如图，右边的扇形是由左边的正方形变形得到的，两图形周长相等，且扇形的半径等于正方形的边长，则扇形的面积为______cm2．12.某市为治理污水，需要铺设一段全长为3000m的污水排放管道．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成这一任务．则实际每天铺设污水排放管道的长度为______m．13.如图，四边形ABCD是正方形，CF∥BD，DF∥BE，若BE=BD，则∠CDF=______．14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在Rt△ABC内部作正方形D1E1F1G1，其中点D1，E1分别在AC，BC边上，边F1G1在BC上，它的面积记作S1；按同样的方法在△CD1E1内部作正方形D2E2F2G2，它的面积记作S2，S2=______，…，照此规律作下去，正方形D n E n F n G n的面积S n=______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）15.小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏．游戏规则如下：在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个．游戏者先从纸箱里随机摸出一个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再随机摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则游戏者可获得一份纪念品．请你利用树状图或列表法求游戏者获得纪念品的概率．四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）16.已知：如图，线段a，∠α求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=AC，且BC边上的高AD=a．17.（1）解方程组：{3x−2y=4 x−2y=2（2）已知关于x的一元二次方程x2+2x-m=1有实数根，求m的取值范围．18.如图，斜坡AB的坡度为1：2.4，长度为26m，在坡顶B所在的平台上有一座电视塔CD，已知在A处测得塔顶D的仰角为45°，在B处测得塔顶D的仰角为73°，求电视塔CD的高度．（参考数值：sin73°≈，cos73°≈0.，tan73°≈）19202910010319.某市从参加九年级数学学业水平考试的8000名学生中，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，为了节省时间，先将样本分成甲、乙两组，分别进行分析，得到表一；随后汇总整个样本数据，得到表二．表一：人数平均分甲组10094乙组8090表二：分数段频数等级0≤x ＜60360≤x ＜726C72≤x ＜843684≤x ＜96B 96≤x ＜10850108≤x ＜12013A请根据表一、表二所示信息，回答下列问题：（1）样本中，数学成绩在84≤x ＜96分数段的频数为______，等级为A 的人数占抽样学生总人数的百分比为______，中位数所在的分数段为______（2）估计这8000名学生的数学成绩的平均分约为多少分（结果精确到0.1）20.如图①，在地面上有两根等长的立柱AB ，CD ，它们之间悬挂了一根抛物线形状的绳子，按照图中的直角坐标系，这条绳子可以用y =x 2-x +3表示11045（1）求这条绳子最低点离地面的距离；（2）现由于实际需要，要在两根立柱之间再加一根立柱EF 对绳子进行支撑（如图②），已知立柱EF 到AB 距离为3m ，两旁的绳子也是抛物线形状，且立柱EF 左侧绳子的最低点到EF 的距离为1m ，到地面的距离为1.8m ，求立柱EF 的长．21.如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于F ，分别连接AC ，DF ，解答下列问题：（1）求证：△ADE ≌△FCE ；（2）若DC 平分∠ADF ，试确定四边形ACFD 是什么特殊四边形？请说明理由．22.为适应日益激烈的市场竞争要求，某工厂从2016年1月且开始限产，并对生产线进行为期5个月的升降改造，改造期间的月利润与时间成反比例；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月的利润都比前一个月增加10万元．设2016年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元，其图象如图所示，试解决下列问题：（1）分别求该工厂对生产线进行升级改造前后，y与x之间的函数关系式；（2）到第几个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元？（3）当月利润少于50万元时，为该工厂的资金紧张期，问该工厂资金紧张期共有几个月？23.问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或　a2+2ab+b2∴（a+b）2 =a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23而A 、B 、C 、D 恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23=（1+2）2=32尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33=______．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n 3=______．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）24.如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =8cm ，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1cm /s ；同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2cm /s ，过点P 作PE ∥AC 交DC 于点E ，连接PQ 、QE ，PQ 交AC 于F ．设运动时间为t （s ）（0＜t ＜8），解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；（2）设△PQE 的面积为s （cm 2），求s 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得△PQE 的面积为矩形ABCD 面积的；932（4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．答案和解析1.【答案】C【解析】解：的倒数是2，2是正整数，故选：C．根据倒数的定义，可得答案．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.【答案】B【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．3.【答案】C【解析】解：根据试验提供的数据得出：黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100=20%，所以白棋子比例为：1-20%=80%，设白棋子有x枚，由题意，得=80%，x=0.8（x+10），x=0.8x+8，0.2x=8，所以x=40，经检验，x=40是原方程的解，即袋中的白棋子数量约40颗．故选：C．利用已知提供的数据求出黑棋子的比例，进而假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数．此题主要考查了利用频率估计概率，根据试验次数得出黑棋子的比例，从而得出白棋子个数是解决问题的关键．4.【答案】B【解析】解：0.00000063m=6.3×10-7m，故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.【答案】A【解析】解：作CF⊥AD于F，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，∴∠DCF=30°，∴DF=CD=2，∴CF=DF=2，∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，∵OA=OC，∴OE是△ACF的中位线，∴OE=CF=；故选：A．作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF=CD=2，求出CF=DF=2，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可．本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．解：∵AC与圆O相切，∴AC⊥AB，在Rt△AOC中，∠C=40°，∴∠AOC=50°，∵∠AOC与∠AED都对，∴∠E=∠AOC=25°，故选D由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到AC与AB垂直，在直角三角形AOC中，由∠C的度数求出∠AOC的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出所求即可．此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．7.【答案】A【解析】解：根据题意得：（2，0）变化后的坐标为（1，0），（4，0）变化后的坐标为（2，0），则P坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标（a，b），故选：A．根据已知点坐标变化规律确定出P′坐标即可．此题考查了坐标与图形性质，弄清图中坐标变化是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，且交y轴同一点，故本选项正确．故选D．本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+2x+b的图象相比较看是否一致．本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．解：原式===x+y．故答案为x+y．首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算．本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．10.【答案】甲【解析】解：∵=＞＞，∴从甲和丁中选择一人参加，∵S甲2=S乙2＜S丙2＜S丁2，∴教练组应该选择甲参加比赛；故答案为：甲．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题的关键．11.【答案】4【解析】解：正方形的周长是4×2=8，则扇形的弧长是8-2-4=8，则扇形的面积是×4×2=4．故答案是：4．根据两图形周长相等求得扇形的弧长，然后利用扇形的面积公式即可求解．本题考查了扇形的面积的计算，理解扇形的面积公式是关键．12.【答案】50【解析】解：设实际每天铺设污水排放管道的长度为xm，则计划每天铺设污水排放管道的长度为xm，根据题意得：-=15，解得：x=50，经检验，x=50是原分式方程的解．故答案为：50．设实际每天铺设污水排放管道的长度为xm，则计划每天铺设污水排放管道的长度为xm，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前15天完成，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前15天完成列出关于x 的分式方程是解题的关键．13.【答案】105°【解析】解：连接AC ，过D 作DG ⊥CF 于G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD=OC=BD ，∵BD ∥CF ，∴DG ⊥BD ，∴四边形ODGC 是正方形，∴DG=OD=BD ，∵CF ∥BD ，DF ∥BE ，BE=BD ，∴四边形BEFD 是菱形，∵∴DF=BD=DG ，∴∠F=30°，∴BDF=150°，∴∠CDF=150°-45°=105°，故答案为：105°．连接AC ，过D 作DG ⊥CF 于G ，根据正方形的性质得到AC ⊥BD ，OD=OC=BD ，推出四边形ODGC 是正方形，于是得到DG=OD=BD ，根据已知条件得到四边形BEFD 是菱形，于是得到DF=BD=DG ，求得∠F=30°，即可得到结论．本题考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14.【答案】；834832n【解析】解：∵CA=CB ，∴∠C=90°，∴∠A=∠B=45°，∵正方形D 1E 1F 1G 1，易知AB=3G 1F 1，G 1F 1=3G 2F 2，∴正方形D 1E 1F 1G 1的边长为，面积为=，正方形D 2E 2F 2G 2，的边长为，面积为，…，正方形D n E n F n G n 的面积S n =，故答案分别为，．易知AB=3G 1F 1，G 1F 1=3G 2F 2，求出第一个、第二个正方形的面积，探究规律后即可解决问题．本题考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律、利用规律解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色相同的结果数为6，所以游戏者获得纪念品的概率==．61638【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．16.【答案】解：如图，△ABC 即为所求作三角形，其中∠CAB =∠α，AD =a ，AB =AC【解析】作∠CAB=∠α，再作∠CAB 的平分线，在角平分线上截取AD=a ，可得点D ，过点D 作AD 的垂线，从而得出△ABC ．本题主要考查作图-复杂作图，掌握做一个角等于已知角、作角平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的基本作图和等腰三角形的性质是解题的关键．17.【答案】解：（1），①-②，得2x =2，解得x =1．把x =1代入②，得1-2y =2，解得y =-．12所以原方程组的解是；{x =1y =−12（2）∵关于x 的一元二次方程x 2+2x -m =1即x 2+2x -m -1=0有实数根，∴△≥0，即4-4（-m -1）≥0，∴m ≥-2．【解析】（1）先将两个方程相减，消去未知数y ，求出x 的值，再求出y 的值即可；（2）由条件原方程有实数根可以得出△≥0，建立不等式从而求出m 的取值范围．本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程两个不相等的实数根；当△=0，方程两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解二元一次方程组．18.【答案】解：延长DC 交AM 于F ，作BE ⊥AM 于E ．∵DF ⊥BC ，DF ⊥AM ，∴∠AEB =∠AFD =∠DCB =∠BCF =90°，∴四边形BCEF 是矩形，∴BC =EF ，BE =CF ，由题意BE ：AE =1：2.4，在Rt △ABE 中，∵AB =26，由勾股定理可得BE =10，AE =24，在Rt △BCD 中，∵∠DBC =73°，∴tan73°=，DC BC ∴=，103DC BC ∴DC =BC ，103在Rt △AFD 中，∵∠DAF =45°，∴AF =DF ，∴24+BC =10+BC ，103∴BC =6，DC =20，答：电视塔CD 的高度为20m ．【解析】延长DC 交AM 于F ，作BE ⊥AM 于E ．首先证明四边形BCEF 是矩形，由题意BE ：AE=1：2.4，在Rt △ABE 中，根据AB=26，由勾股定理可得BE=10，AE=24，在Rt △BCD 中，可知tan73°=，推出=，推出DC=BC ，在Rt △AFD 中，由∠DAF=45°，可知AF=DF ，可得24+BC=10+BC ，解方程求出BC 即可解决问题．本题考查解直角三角形-仰角、坡度问题、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】72；35%；84≤x ＜96【解析】解：（1）数学成绩在84-96分数段的频数为180-（3+6+36+50+13）=72， 等级为A 的人数占抽样学生总数的百分比为63÷180=35%，第90个数和第91个数都在（84，96）分数段，所以中位数所在的分数段为84≤x ＜96；表二： 分数段频数等级0≤x ＜60360≤x ＜726 C 72≤x ＜8436 84≤x ＜9672 B 96≤x ＜10850 108≤x ＜12013 A （2）学生的数学成绩的平均分数为：（100×94+80×90）÷（100+80）=92.2（分）． 故这8000名学生的数学成绩的平均分约为92.2分．故答案为：72，35%，84≤x ＜96．（1）用40%×180就可以得到数学成绩在84-96分数段的频数，等级为A 的人数为63，而总人数为180，所以等级为A 的人数占抽样学生总数的百分比可以用63÷180计算得到；（2）样本中，学生的数学成绩的平均分数可以用（100×94+80×90）÷（100+80）计算得到．此题考查了频数分布表、平均数、中位数、频率、频数的定义，关键是根据平均数、中位数、频率、频数的定义和频数分布表列出算式，求出答案．20.【答案】解：（1）∵y =x 2-x +3=（x -4）2+，1104511075∴抛物线的顶点坐标为（4，），75则这条绳子最低点离地面的距离为m ；75（2）对于y =x 2-x +3，当x =0时，y =3，即点A 坐标为（0，3），11045由题意，立柱EF 左侧绳子所在抛物线的顶点为（2，1.8），∴可设其解析式为y =a （x -2）2+1.8，把x =0、y =3代入，得：3=a （0-2）2+1.8，解得：a =，310∴y =（x -2）2+1.8，310当x =3时，y =（3-2）2+1.8=2.1，310∴立柱EF 的长为2.1m ．【解析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得出答案；（2）由原抛物线解析式求得点A 坐标，根据EF 左侧抛物线顶点坐标设出解析式，将A 点坐标代入求得其解析式，再求出x=3时y 的值即可．本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE =∠CFE ，∠EDA =∠ECF ，又∵E 是DC 的中点，∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，，{∠DAE =∠CFE∠EDA =∠ECF DE =CE∴△ADE ≌△FCE （AAS ）；（2）解：四边形ACFD 是菱形；理由如下：∵△ADE ≌△FCE ，∴AD =CF ，又∵AD ∥CF ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∵DC 平分∠ADF ，∴∠ADC =∠CDF ，∴∠FCD =∠CDF ，∴DF =CF ，∴四边形ACFD 是菱形．【解析】（1）由平行四边形的性质和中点的性质，易得∠DAE=∠CFE ，∠EDA=∠ECF ，DE=CE ，继而证得：△ADE ≌△FCE ．（2）由第（1）问中△ADE ≌△FCE ，易得AD=CF ，又由AD ∥CF ，即可证得四边形ACFD 是平行四边形，再证出DF=CF ，即可得出结论．此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22.【答案】解：（1）由题意得，设前5个月中y 与x 的还是关系式为y =，把x =1，y =3k x 代入得，k =100，∴y 与x 之间的函数关系式为y =，100x 把x =5代入得y ==20，1005由题意设5月份以后y 与x 的函数关系式为y =10x +b ，把x =5，y =20代入得，20=10×5+b ，∴b =-30，∴y 与x 之间的函数关系式为y =10x -30；（2）由题意得，把y =100代入y =10x -30得100=10x -30，解得：x =13，∴到第13个月时，该工厂月利润才能再次达到100万元；（3）对于y =，y =50时，x =2，100x ∵k =100＞0，y 随x 的增大而减小，∴x ＜2时，y ＜50，对于y =10x -30，当y =50时，x =8，∵k =10＞0，y 随x 的增大而增大，∴x ＜8时，y ＜50，∴2＜x ＜8时，月利润少于50万元，∴该工厂资金紧张期共有6个月．【解析】（1）根据题意列方程即可得到函数解析式；（2）把y=100代入y=10x-30即可得到结论；（3）对于y=，y=50时，得到x=2，得到x ＜2时，y ＜50，对于y=10x-30，当y=50时，得到x=8，于是得到结论．本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．23.【答案】62；[n （n +1）]212【解析】解：（1）∵如图，左图的阴影部分的面积是a 2-b 2，右图的阴影部分的面积是（a+b ）（a-b ），∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），这就验证了平方差公式；（2）如图，A 表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；B 表示1个2×2的正方形，C 与D 恰好可以拼成1个2×2的正方形， 因此：B 、C 、D 就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；G 与H ，E 与F 可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；故答案为：62；（3）由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n 3=（1+2+3+…+n ）2， 又∵1+2+3+…+n=n （n+1），∴13+23+33+…+n 3=[n （n+1）]2．故答案为：[n （n+1）]2．（1）尝试解决：如图：边长为a ，b 的两个正方形，边保持平行，从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成2个长方形并拼成一个大长方形．根据第一个图形的阴影部分的面积是a 2-b 2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b ）（a-b ），可以验证平方差公式；（2）尝试解决：如图，A 表示一个1×1的正方形，B 、C 、D 表示2个2×2的正方形，E 、F 、G 表示3个3×3的正方形，而A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 恰好可以拼成一个边长为（1+2+3）的大正方形，根据大正方形面积的两种表示方法，可以得出13+23+33=62；（3）问题拓广：由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n 3=（1+2+3+…+n ）2，进一步化简即可．此题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．24.【答案】解：（1）当PQ ∥CD 时，四边形PFCE 是平行四边形，此时，四边形PQCD 是平行四边形，则PD =CQ ，即8-t =2t ，解得，t =，83即当t =时，四边形PFCE 是平行四边形；83（2）∵PE ∥AC ，∴△DPE ∽△DAC ，∴==，即==，DP DA DE DC PE AC 8−t 8DE 6PE 10解得，DE =6-t ，PE =10-t ，3454则CE =t ，34∴y =S 四边形PQCD -S △PDE -S △ECQ=×（8-t +2t ）×6-×（8-t +2t ）×（6-t ）-×2t ×t1212341234=-t 2+9t ，98即s 与t 之间的函数关系式为：y =-t 2+9t ；98（3）矩形ABCD 面积为：6×8=48，由题意得，-t 2+9t =48×，98932解得，t =2或6；（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，EP =EQ ，由勾股定理得，（2t ）2+（t ）2=（8-t ）2+（6-t ）2，3434解得，t 1=（舍去），t 2=，−25−5736−25+5736答：t =时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上．−25+5736【解析】（1）根据平行四边形的性质列出方程，解方程即可；（2）证明△DPE ∽△DAC ，根据相似三角形的性质用t 表示出DE 、CE 、PE ，根据面积公式计算即可；（3）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；（4）根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列式计算．本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、矩形的性质定理是解题的关键．。

2023年山东省青岛市局属四区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．数据显示，电影《长津湖》在全国上应74天时，国内累计票房突破57.56亿．这一数字用科学记数法表示为（）A ．857.5610⨯B ．957.5610⨯C ．95.75610⨯D ．105.75610⨯2．剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．下列剪纸图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（）A ．235a a a +=B ．()235a a =C ．()2239a a +=+D ．2322a a a -⋅=-4．如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 平分∠ABC ，点A 是 BE的中点．若∠D ＝110°，则∠AEB 的度数是()A ．．．．7．如图，正方形ABCD 的顶点均在坐标轴上，且点B 的坐标为(1,0)，以AB 为边构造菱形ABEF ，将菱形与正方形ABCD 组成的图形绕点O 逆时针旋转，每次旋转90︒，则第2023次旋转结束时，点F 的对应点F 的坐标为（）A ．(2,1)--B ．(1,-8．已知二次函数2y ax bx c =++象与反比例函数a y x =的图象在同一坐标系中可能是（A ．B ．C ．D ．二、填空题12．小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A 的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B 的全程比路线A 的全程多7千米，但平均车速比走路线A 时能提高60%，若走路线B 的全程能比走路线A 少用15分钟，若设走路线A 时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，可列分式方程______．13．如图，在扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，3OB =，OC OB ^于点O ，交AB于点C ，连接AB ，则图中阴影部分的面积为________．14．如图，在ABC 中，方形BCDE ，过点D 作FC 于点M ．下列说法：①△③12CFM CDH S S =△△；④FM DM =正确的有________．(填序号三、解答题15．如图，在Rt ABC 中，ABC ∠一点E ，使BEC A ∠=∠（不写作法，保留作图痕迹）16．（1）化简：221a a a ⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭（2）解不等式组：()32215x x ⎧--⎪⎨-<⎪⎩17．已知关于x 的一元二次方程（1）c ＝2b ﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若O 的直径为10，OE 20．如图是小明洗漱时的侧面示意图，宽48AB cm =，小明身高80FGK ∠=︒，上半身前倾与水平面的夹角为（点D ，C ，G ，K 在同一直线上）正上方，他应向前或后退多少确到0.1）21．问题1：如图①，在△ABC 交AC 于点E ，连接CD ．设△（1）当AD=3时，'S S =；（2）设AD=m ，请你用含字母问题2：如图②，在四边形（不与A ，B 重合），EF 积为S ，△EFC 的面积为'S S．(1)请直接写出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式(1)求抛物线的解析式；(2)如图，动点D 从点O 开始沿从点O 开始沿OC 向终点C 以每秒于点F ，交抛物线2y ax bx =+其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．若四边形BDFG 为正方形，求(3)将（2）中的正方形BDFG 沿沿直线BC 方向向下平移，设在平移过程中正方形平移的距离为()032m m ≤≤参考答案：过点3F 作3F M y ⊥轴于点M ，连接由旋转得，3AO F M FO ≌△△．点()10B ,，1OB =∴．∵OC OB ^，∴90BOC ∠=︒，∵120AOB ∠=︒，OA OB =∴30OAB OBA AOR ∠=∠=∠=【点睛】本题考查了作图一复杂作图：是结合了几何图形的性质和基本作图方法，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，理．16．（1）12a a -+，（2）不等式组的解集是【分析】（1）根据分式的运算法则及运算顺序化简即可；（2）根据解一元一次不等式组的方法，分别解出各个不等式，再求解集即可．【详解】（1）解：21a a ⎛- -⎝()()(2122112a a a a a a a --⎛⎫=-⋅ ⎪--+-⎝⎭()()()212122a a a a a --=⋅-+-AC 平分BCD ∠，OCA DCA ∴∠=∠，OA OC = ，OAC OCA DCA ∴∠=∠=∠OA CD ∴∥，AD CD ⊥ ，OA AD ∴⊥，又OA 是O 的半径，AD ∴是O 的切线；（2）解：BC 是直径，90BAC ∴∠=︒，点E 是AB 的中点，点OE ∴是ABC 的中位线，26AC OE ∴==，90CDA CAB ∠=∠=︒Q ，CAB CDA ∴∽V V ，∴CD CA AC BC =，即610CD =【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．21．问题1：（1）316；（2）216m-【分析】问题1：（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：）C(0,3),(3,0)BOC为等腰直角三角形答案第23页，共23页。

2019年山东省青岛市平度市、胶州市、黄岛市、西海岸新区中考数学一模试卷一、选择题1.﹣15的绝对值是（）A. ﹣15B.15C. ﹣5D. 5【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的定义“数a的绝对值是指数轴上表示数a的点到原点的距离”进行求解即可.【详解】数轴上表示数﹣15的点到原点的距离是15﹣所以﹣15的绝对值是15﹣故选B.【点睛】本题考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．错因分析容易题.失分原因是绝对值和相反数的概念混淆.2.下列图案中是中心对称图形的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：第一个不是中心对称图形；第二个是中心对称图形；第三个不是中心对称图形；第四个是中心对称图形；故中心对称图形的有2个．故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．3.某几何体的三视图如图所示,这个几何体是( )A. 圆锥B. 圆柱C. 三棱柱D. 三棱锥【答案】A【解析】由主视图和左视图可得此几何体锥体，根据俯视图为圆，可得此几何体为圆锥﹣故选﹣A﹣【此处有视频，请去附件查看】4.计算x2•（x2）3﹣x8+x0（x≠0）的结果是（）A. 0B. 1C. ﹣xD. x7﹣x8【答案】B【解析】【分析】先算乘法，再算乘法，最后合并同类项即可．【详解】解：x2•（x2）3﹣x8+x0＝x2•x6﹣x8+1＝x8﹣x8+1＝1，故选B ．【点睛】本题考查了整式的混合运算、同底数幂的乘法，零指数幂等知识点，能正确根据运算法则进行计算是解此题的关键．5.为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲﹣乙两组数据﹣如下表：关于以上数据﹣说法正确的是（ ﹣A. 甲、乙众数相同B. 甲、乙的中位数相同C. 甲的平均数小于乙的平均数D. 甲的方差小于乙的方差 【答案】D【解析】【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7﹣排序后最中间的数是7，所以中位数是7﹣26778==65x ++++甲﹣ ()()()()()2222221S =26666767865⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦甲=4.4﹣ 乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8﹣排序后最中间的数是4，所以中位数是4﹣23488==55x 乙++++﹣ ()()()()()2222221S =25354585855乙⎡⎤⨯-+-+-+-+-⎣⎦=6.4﹣ 所以只有D 选项正确，故选D. 的【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.6.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B﹣AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ）A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°【答案】D【解析】【分析】 根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A ，根据圆周角定理计算即可．【详解】∵BC 是⊙O 的切线，∴∠ABC=90°，∴∠A=90°-∠ACB=40°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，故选D ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 7.如图，直线y 1＝﹣x +k 与抛物线22y ax （a ≠0）交于点A （﹣2，4）和点B ．若y 1＜y 2，则x 的取值范围是（ ）A. x ＜﹣2B. ﹣2＜x ＜1C. x ＜﹣2或x ＞1D. x ＜﹣2或x ＞32【答案】C【解析】【分析】 将交点A 分别代入两个表达式求出k 和a ，再求出B 的坐标，即可求不等式的解.【详解】解：将点A （﹣2，4）代入y 1＝﹣x+k ，∴k ＝2，再将点A （﹣2，4）代入22y ax ，∴a ＝1，∴y ＝﹣x+2与y ＝x 2交于两点，∴B （1，1），∴y 1＜y 2时，x ＜﹣2或x ＞1；故选C ．【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象和性质；熟练掌握解析式的求法，数形结合求不等式的取值是解题的关键．8.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为（ ）A. 152B. 203C. 3D. 125【答案】D【解析】【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】解：在AB 上取一点G ，使AG ＝AF∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝FG∴CE+EF＝CE+EG则最小值时CG垂直AB时，CG的长度CG＝12 5故选D．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题．二、填空题9._____．【答案】14【解析】【分析】，然后相加即可．＝12+2＝14．故答案为14．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式的远算法则是解答此题的关键．10.2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记数法表示应为_______________.【答案】4610⨯【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10﹣n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】60000小数点向左移动4位得到6﹣所以60000用科学记数法表示为：6×104﹣故答案为6×104﹣【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10﹣n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．11.关于x 的一元二次方程﹣x 2+3x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值为_____． 【答案】94-【解析】【分析】利用判别式的意义得到△=32+4m=0，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得△＝32+4m ＝0， 解得m ＝﹣94． 故答案为﹣94． 【点睛】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0），①当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，③当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．12.如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形（阴影部分），则此扇形的面积为_____m 2．【答案】2π 【解析】【分析】连接AC ，根据圆周角定理得出AC 为圆的直径，解直角三角形求出AB ，根据扇形面积公式求出即可．【详解】解：连接AC ，∵从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC ＝90°，∴AC 为直径，即AC ＝2m ，AB ＝BC （扇形的半径相等），∵AB 2+BC 2＝22，∴AB ＝BC m ， ∴阴影部分的面积是9023602ππ⨯=（m 2）， 故答案为2π．【点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．13.矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，AB=6，E 是边BC 上的点，以AE 为折痕折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为 ．【答案】3或6【解析】试题分析：由题意可知有两种情况，见图1与图2；图1：当点F在对角线AC上时，∠EFC=90°，∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，∴点A、F、C共线，∵矩形ABCD的边AD=8，∴BC=AD=8，在Rt△ABC中，AC==10，设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，即x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，即BE=3；图2：当点F落在AD边上时，∠CEF=90°，由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF=×90°=45°，∴四边形ABEF是正方形，∴BE=AB=6，综上所述，BE的长为3或6．故答案为3或6．考点：1、轴对称（翻折变换）；2、勾股定理【此处有视频，请去附件查看】14.如图，已知等边三角形OA1B1，顶点A1在双曲线y=x＞0）上，点B1的坐标为（4，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过点A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B5的坐标为_____．【答案】【解析】【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B5的坐标．【详解】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2C，OC＝OB1+B1C＝4+a，A2（4+a）．∵点A2在双曲线y=x＞0）上，∴（4+a）＝解得a＝﹣1，或a＝﹣﹣2（舍去），∴OB2＝OB1+2B1C＝﹣4＝，∴点B2的坐标为（，0）；作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3D，OD＝OB2+B2D＝+b，A3（+b b）．∵点A3在双曲线y x＞0）上，∴（+b）＝解得b＝﹣b＝﹣﹣（舍去），∴OB3＝OB2+2B2D＝﹣＝∴点B3的坐标为（0）；同理可得点B4的坐标为（，0）即（8，0）；以此类推…，∴点B n的坐标为（，0），∴点B5的坐标为（0）．故答案为（0）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点B n的规律是解题的关键．三、作图题15.如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心在∠AOB的平分线上．【答案】答案见解析 【解析】 【分析】首先作出∠AOB 的角平分线，再作出OC 的垂直平分线，两线的交点就是圆心P ，再以P 为圆心，PC 长为半径画圆即可． 详解】解：如图所示：．【点睛】本题考查基本作图,掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键.．16.（1）解不等式组：25031x x ->⎧⎨-<-⎩（2）化简：2224144a a a a ⎛⎫+-⎪-⎝⎭【答案】（1）x ＞4；（2）224a a -+【解析】 【分析】（1）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可；（2）首先把括号里的式子进行通分，然后进行因式分解，再约分化简即可求解．【【详解】解：（1）25031x x ->⎧⎨-<-⎩①②，解①得：x ＞2.5， 解②得：x ＞4，则原不等式组的解集是：x ＞4；（2）原式＝22a a 44a(a 2)(a 2)4a +-⋅+-22a (a 2)(a 2)(a 2)4a -=⋅+- a 22a 4-=+． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．同时考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．17.某校团委决定从4名学生会干部（小明、小华、小丽和小颖）中抽签确定2名同学去进行宣传活动，抽签规则：将4名同学姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，既然从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小明被抽中的概率． 【答案】12【解析】 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】解：记小明、小华、小丽和小颖这四位同学分别为A 、B 、C 、D ， 列表如下：由表可知，共有12种等可能结果，其中小明被抽中的有6种结果，所以小明被抽中的概率为：61 122．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．18.每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．根据以上统计图，解答下列问题：﹣1）本次接受调查的市民共有人；﹣2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是﹣﹣3）请补全条形统计图；﹣4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数．【答案】﹣1﹣2000﹣﹣2﹣28.8°﹣﹣3）补图见解析；（4﹣36万人.【解析】分析：（1）将A选项人数除以总人数即可得；（2）用360°乘以E选项人数所占比例可得；（3）用总人数乘以D选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得；（4）用总人数乘以样本中C选项人数所占百分比可得．详解：（1）本次接受调查的市民人数为300÷15%=2000人，（2）扇形统计图中，扇形E的圆心角度数是360°×1602000=28.8°，（3）D选项的人数为2000×25%=500，补全条形图如下：（4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数为90×40%=36（万人）．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19.为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125）【答案】旗杆AB 的高度约为6米． 【解析】 【分析】作FG ⊥AB 于G ，设AB 为x 米，根据正切的定义求出DE 、BE ，根据图形列式计算，得到答案． 【详解】解：作FG ⊥AB 于G ， 设AB 为x 米，由题意得，四边形FDBG 为矩形， ∴BG ＝DF ＝2.4，FG ＝BD ， ∵FG ∥BD ，∴∠FED ＝∠GFE ＝67°， 在Rt △EDF 中，tan ∠FED ＝DFDE， DF 12DE 2.41tan FED 5∴=≈÷=∠，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝45°， ∴FG ＝AG ＝x ﹣2.4， 在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝ABBE，即AB 5BE x tan AEB 12=≈∠， 由题意得，x ﹣2.4＝1+512x 解得，x≈6，答：旗杆AB 的高度约为6米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.某幼儿园购买了A ，B 两种型号的玩具，A 型玩具的单价比B 型玩具的单价少9元，已知该幼儿园用了3120元购买A 型玩具的件数与用4200元购买B 型玩具的件数相等． （1）该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是多少元？（2）若A ，B 两种型号的玩具共购买200件，且A 型玩具数量不多于B 型玩具数量的3倍，则购买这些玩具的总费用最少需要多少元？【答案】（1）该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是26元，35元；（2）购买这些玩具的总费用最少需要5650元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以求得该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是多少元； （2）根据题意可以得到费用与购买A 型和B 型玩具之间的关系，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）设购买A 型玩具的单价是x 元，则购买B 型玩具的单价是（x+9）元，312042009x x =+， 解得，x ＝26，经检验，x ＝26是原分式方程的解， ∴x+9＝35，答：该幼儿园购买的A ，B 型玩具的单价各是26元，35元；（2）设购买A 型玩具a 件，则购买B 型玩具（200﹣a ）件，所需费用为w 元， w ＝26a+35（200﹣a ）＝﹣9a+7000， ∵a≤3（200﹣a ），∴a≤150，∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝﹣9×150+7000＝5650，答：购买这些玩具的总费用最少需要5650元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答．21.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形？请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）当DE＝12BC时，四边形BECF是正方形.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BF=CE，DE=DF，推出四边形BECF是平行四边形，得到四边形BECF 是菱形，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）；（2）解：当DE＝12BC时，四边形BECF是正方形，理由：∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴四边形BECF是菱形，∵DE＝12BC，DE＝DF＝12EF，∴EF＝BC，∴四边形BECF是正方形【点睛】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．22.某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价x为多少元时，日销售利润w最大？最大利润是多少元？（3）当销售单价x为多少元时，日销售利润w在1500元以上？（请直接写出x的范围）【答案】（1）y＝﹣5x+600；（2）当销售单价x为100元时，日销售利润w最大，最大利润是2000元；（3）当销售单价x在90元和110元之间时，日销售利润w在1500元以上．【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；（3）根据题意列不等式即可得到结论．【详解】解:（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，8517595125k bk b+=⎧⎨+=⎩，得k5b600=-⎧⎨=⎩，即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，（2）设成本价为a元/个当x=85时，875=175⨯（85-a），得a=80，根据题意得，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，答：当销售单价x为100元时，日销售利润w最大，最大利润是2000元；（3）根据题意得，﹣5（x﹣100）2+2000＞1500，解得90＜x＜110，答：当销售单价x在90元和110元之间时，日销售利润w在1500元以上．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．23.【问题】用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（2×n矩形表示矩形的邻边是2和n）【探究】不妨假设有a n种不同的镶嵌方案．为探究a n的变化规律，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．探究一：用1个2×1矩形，镶嵌一个2×1矩形，有多少种不同的镶嵌方案？如图（1），显然只有1种镶嵌方案．所以，a1＝1．探究二：用2个2×1矩形，镶嵌一个2×2矩形，有多少种不同的镶嵌方案？如图（2），显然只有2种镶嵌方案．所以，a2＝2．探究三：用3个2×1矩形，镶嵌一个2×3矩形，有多少种不同的镶嵌方案？一类：在探究一每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有1种镶嵌方案；二类：在探究二每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有2种镶嵌方案；如图（3）．所以，a3＝1+2＝3．探究四：用4个2×1矩形，镶嵌一个2×4矩形，有多少种不同的镶嵌方案？一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有种镶嵌方案；二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有种镶嵌方案；所以，a4＝．探究五：用5个2×1矩形，镶嵌一个2×5矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（仿照上述方法，写出探究过程，不用画图）……【结论】用n个2×1矩形，镶嵌一个2×n矩形，有多少种不同的镶嵌方案？（直接写出a n与a n﹣1，a n﹣2的关系式，不写解答过程）．【应用】用10个2×1矩形，镶嵌一个2×10矩形，有种不同的镶嵌方案．【答案】（1）2，3，5；（2）a n＝a n﹣1+a n﹣2；（3）89.【解析】【分析】探究四：画图进行说明：a4=2+3=5；探究五：同理在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形和探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌个1个2×1矩形，相加可得结论；结论：根据探究四和五可得规律：a n=a n-1+a n-2；应用：利用结论依次化简，将右下小标志变为5和4，并将探究四和五的值代入可得结论．【详解】解：探究四：如图4所示：一类：在探究二每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有2种镶嵌方案；二类：在探究三每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有3种镶嵌方案；所以，a4＝2+3＝5．故答案为2，3，5；探究五：一类：在探究三每个镶嵌图的右侧再横着镶嵌2个2×1矩形，有3种镶嵌方案；二类：在探究四每个镶嵌图的右侧再竖着镶嵌1个2×1矩形，有5种镶嵌方案；所以，a5＝3+5＝8．……结论：a n＝a n﹣1+a n﹣2；应用：a10＝a9+a8＝a7+a8+a8＝2a8+a7＝2（a7+a6）+a7＝3a7+2a6＝3（a6+a5）+2a6＝5a6+3a5＝5（a5+a4）+3a5＝8a5+5a4＝8×8+5×5＝89．故答案为89．【点睛】本题是规律型问题和方案作图题，主要考查了计数方法，培养学生根据已知问题和图形关系，进行分析推断，得出规律的能力，并运用类比的方法解决问题．24.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为4cm/s．过点Q 作QE∥AB交BC于点E，连接PE，交AB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜2）．解答下列问题：（1）当t为何值时，BE＝2EC？（2）设五边形AFEQD的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）连接DE．是否存在某一时刻t，使点F在DE的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）t=43；（2）y＝﹣9t2+24t+24（0＜t＜2）；（3）存在，当t＝1617s时，点F在DE的垂直平分线上．【解析】【分析】（1）如图1，作辅助线，构建平行线，证明QE∥DG，得EC CQCG CD=，则EC4t68=，得EC=3t，由BE=2EC 的解方程可得t的值；（2）如图2，作辅助线，构建两个三角形的高线FM，FH，先证明四边形MHCD是矩形，得MH=CD=8，HM⊥AD，证明△APF∽△BEF，列比例式可得HF=8-2t，最后利用面积差可得：y=S四边形ABCD-S△EFB-S△ECQ，代入面积公式可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建直角三角形，表示各边的长，利用勾股定理计算PE=10，PN=6，由△APF∽△BEF，得PF FMEF FH=，表示PF和EF的长，利用勾股定理计算PM、MD的长，若点F在DE的垂直平分线上，则FE=FD，列方程可得t的值．【详解】解：（1）如图1，过D作DG∥AB，交BC于点G，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BG＝6，AB＝DG，∴CG＝BC﹣BG＝6，∵QE∥AB，∴QE∥DG，∴EC CQ CG CD=，∴EC4t 68=，∴EC＝3t，BE＝12﹣3t，∵BE＝2EC，∴12﹣3t＝2×3t，t＝43，∴当t 43s时，BE＝2EC；（2）如图2，过点F作HM⊥BC，交BC于点H，交AD为M，∴∠MHB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠MHB＝∠C，∴MH∥CD，∵AD∥BC，∴四边形MHCD是矩形，∴MH＝CD＝8，HM⊥AD，∵AD∥BC，∴∠PAF＝∠B，∠APF＝∠FEB，∴△APF∽△BEF，∴AP MF,BE HF=即3t8HF123t HF-=-，HF＝8﹣2t，∴y＝S五边形AFEQD＝S四边形ABCD﹣S△EFB﹣S△ECQ，111(612)8(123t)(82t)3t4t222=+⨯-⨯---⨯⨯，＝﹣9t2+24t+24，∴y与t的函数关系式是：y＝﹣9t2+24t+24（0＜t＜2）；（3）存在，如图3，过E作EN⊥AD，垂足为N，连接DF，则ND＝EC＝3t，EN＝CD＝8，∴PN ＝AD+AP ﹣DN ＝6+3t ﹣3t ＝6，∴PE ＝10，∵HF ＝8﹣2t ，∴FM ＝8﹣（8﹣2t ）＝2t ，∵∠C ＝90°，∴AB ＝DG =＝10，∵△APF ∽△BEF ， ∴PF FM EF FH=， PF 2t 5,PF t 10PF 82t 2∴==--， ∴EF ＝10﹣52t ， ∵PF ＝52t ，FM ＝2t ，∴PM 3t 2=， ∴MD ＝6+3t ﹣33t 6t 22=+， 222223FD MD FM 6t (2t)2⎛⎫∴=+=++ ⎪⎝⎭， 若点F 在DE 的垂直平分线上，则FE ＝FD 时，FE 2＝FD 2，222356t (2t)10t 22⎛⎫⎛⎫∴++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 16t 17=， ∴当t ＝1617s 时，点F 在DE 的垂直平分线上． 【点睛】本题是四边形的综合题，利用了平行线的性质，动点运动问题，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解，综合性较强，难度较大，属于中考压轴题．。

2024年青岛市名校联考中考一模考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：120分）说明：1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，90分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．3．本题由青岛市南区名校老师命制，青岛市南教研员审核．第Ⅰ卷（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m ，数0.000000102用科学记数法表示为（ ）A. 71.0210−×B. 81.0210−×C. 810.210−×D. 910210−× 【答案】A【解析】【分析】根据科学记数法的定义即可得．【详解】解：70.000000102 1.0210−=×，故选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．2. 下列各图中，四边形ABCD 是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可．【详解】解：由题意知，中阴影部分两个三角形成中心对称，故选：A．【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转180°后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称．3. 如图所示的几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【详解】解：从左面看易得左视图为：“”.故选：A．【点睛】本题考查三视图，解题的关键是注意能看到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线表示．4. 某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（）A. 平均数是9.5B. 中位数是9.5C. 众数是9D. 方差是1【答案】D【解析】【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】A 选项：平均数()179108981010910910x ×+++++++++，故本选项不符合题意； B 选项：该组成绩的中位数是9992+=，故本选项不符合题意； C 选项：∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意； D 选项：该组成绩数据的方差()()()()222221792893994109110S =−+×−+×−+×−= ，故本选项符合题意；故选：D【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义． 5. 如图，线段AB 放在边长为1个单位的小正方形网格中，点A 、B 均落在格点上，先将线段AB 绕点O 逆时针旋转90°得到线段11A B ，再将线段AB 向下平移3个单位得到线段22A B ，线段AB ，11A B ，22A B 的中点构成三角形面积为（ ）A. 152B. 15C. 3D. 32【答案】A【解析】【分析】本题主要考查旋转作图和平移作图，三角形的面积．首先作出线段11A B ，22A B ，确定线段AB ，11A B ，22A B 的中点，作出三角形，利用三角形的面积公式求解．【详解】如图，点E ，D ，F 分别是线段AB ，11A B ，22A B 的中点，A∴EDF 的面积是：1153522××=． 故选：A ． 6. 下列计算正确的是（ ） A. 1133a a −= B. 2322a a a +=C. ()326a a a ⋅−=−D. ()()32a a a −÷−=− 【答案】D【解析】 【分析】本题考查了负整指数幂，合并同类项，同底数幂的乘法与除法，正确的计算是解题的关键．【详解】解：A. 133a a−=，故该选项不正确，不符合题意； B. 2a 与2a 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；C. ()35322a a a a a ⋅⋅−=−−=，故该选项不正确，不符合题意；D. ()()()3232a a a a −−÷−=−=−，故该选项正确，符合题意． 故选：D ．7. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，若305A AD ∠=°=，，则BC 的长度为（ ）A. 52B.C. 53D. 【答案】D【解析】【分析】如图，连接OD BD 、，则30ADO A ∠=∠=°，由AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，可得90ADB ODC ∠=°=∠，则30C BDC ∠=°=∠，BC BD =，设BD x =，则2AB x =，由勾股定理得，AD =5=，计算求解，然后作答即可．【详解】解：如图，连接OD BD 、，∵30A ∠=°，OA OD =，∴30ADO A ∠=∠=°， ∵AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，∴90ADB ODC ∠=°=∠，∴60ODB ∠=°，30BDC ADO ∠=∠=°， ∵OB OD =，∴60OBD BDC C ∠=°=∠+∠，∴30C BDC ∠=°=∠，∴BC BD =，设BD x =，则2AB x =，由勾股定理得，AD，5=，解得，x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的性质，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，切线的性质，直径所对的圆周角为直角，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键．8. 如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ；把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM 、BM 与EF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，5BC =，1EN =，则BE 的长为（ ）A.B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由折叠得90BA M BAM ′∠=∠=°，EF 垂直平分AB ，BM 垂直平分AA ′，则AN BN =，AN A N =′，AM A M ′=，所以BN A N ′=，则NBA NA B ′′∠=∠，即可推导出A MN MA N ′′∠=∠，则MN A N ′=，所以BN MN =，由三角形的中位线定理得EN AM ∥，12EN AM =，则22AM EN ==，再证明A MN A NM ′′∠=∠，则2AN A M ′′==，所以2BN A N ′==，由勾股定理得BE ，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=°，连接AN ，AA ′，由折叠得90BA M BAM ′∠=∠=°，点B 与A 关于直线EF 对称，点A ′与点A 关于直线BM 对称， ∴EF 垂直平分AB ，BM 垂直平分AA ′，∴AN BN =，AN A N =′，AM A M ′=，∴BN A N ′=，∴NBA NA B ′′∠=∠，∵90A MN NBA ′′∠+∠=°，90MA N NA B ′′∠+∠=°， ∴A MN MA N ′′∠=∠， ∴MN A N ′=，∴BN MN =，∵BE AE =，∴EN AM ∥，12EN AM =， ∴2212AM EN ==×=，∴2A M ′=，∵AMN A MN ′∠=∠，AMN A NM ′∠=∠， ∴A MN A NM ′′∠=∠，∴2AN A M ′′==， ∴2BNA N ′==， ∵90BEN ∠=°，∴BE =故选：B ．【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9. 如图，二次函数2y ax bx c ++（0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()1,0−，对称轴为直线2x =．则下列结论中正确的有（ ）①0abc >； ②2a c b +<−；③30c a −=； ④若直线y m =与2y ax bx c =++相交，其交点个数为2或4个；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系是解题关键．根据抛物线的开口方向得0a >，抛物线的对称轴可得40b a =−<，抛物线与y 轴交点位置得 0c <，以此可判断①；由抛物线过点()1,0−得 ,a c b +=则20,0a c b c b +=+−， 以此可判断②；由抛物线过点()1,0−得0a b c −+=，将4b a =−代入得5c a =−，以此可判断③；根据二次函数()²0y ax bx c a =++≠的图象画出 ²y ax bx c ++的图象，即可判断④，即可求解．【详解】∵抛物线的开口方向向上，∴0a >， ∵抛物线的对称轴为直线22b x a=−=， ∴40b a =−<，∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴0c <，∴0abc >，故①正确； ∵二次函数()²0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点为()10−，， ∴0a b c −+=，∴a c b +=，∴2a c b c +=+，∵0,0b c <<， ∴0,0b c b +−，∴2a c b +<−，故②正确；∵二次函数()²0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点为()1,0−，0a b c ∴−+=，4b a =− ，40a a c ∴++=，5c a =− ，35380c a a a a ∴−=−−=−≠，故③错误； 函数²y ax bx c ++的图象如图，∴直线y m =可能与²y ax bx c ++有2个，3个或4个交点，故④错误；综上，正确说法有①②，共2个．故选: B ．10. 如图，用24块棱长分别为3cm ，4cm ，5cm 的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（ ）A. 2748cmB. 2768cmC. 2788cmD. 2808cm【答案】B【解析】 【分析】本题考查长方体的表面积计算，熟知搭建过程中大面重叠，可是搭成的长方体表面积最小是解决问题的关键．【详解】根据搭成长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：将三块长方体按4cm ，5cm 面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为4cm ，5cm ，9cm ，再用两个大长方体(即6个小长方体) 按5cm , 9cm 面重叠, 可得棱长为5cm,?8cm,9cm 的大长方体. 再用两个大长方体(即12个小长方体) 按8cm,?9cm 面重叠, 可得棱长为8cm,?9cm,10cm 的大长方体. 再用两个大长方体(即24个小长方体) 按9cm,1?0cm 面重叠, 可得棱长为9cm,1?0cm,16c m 的大长方体. 此时大长方体的表面积为：()29109161016788cm?××+×+×=将两块块长方体按4cm 5cm ，面重叠得出一个大长方体, 此时三条棱长为4cm,?5cm,6cm . 再用三个大长方体(即6个小长方体) 按5cm,?6cm 面重叠, 可得棱长为5cm,?6cm,12cm 的大长方体. 再用两个大长方体(即12个小长方体) 按6cm,1?2cm 面重叠, 可得棱长为6cm,1?2cm,10cm 的大长方体. 再用两个大长方体 (即24个小长方体) 按10cm,1?2cm 面重叠, 可得棱长为10cm,12cm,1?2cm 的大长方体.的的此时大长方体的表面积为：()2121012101212768cm?××+×+×=因为 768788,<所以搭成大长方体表面积最小值为768cm?，故选: B .第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11.计算：212− +＝_____． 【答案】7【解析】【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的乘除运算法则化简得出答案．【详解】原式＝＝=4+3＝7．故答案为7．【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．12. 关于x 的一元二次方程()21230k x x −−+=有实数根，则k 的取值范围是______． 【答案】43k ≤且1k ≠ 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式0∆≥，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：根据题意得10k −≠且()2444130b ac k −=−−×≥， 解得：43k ≤且1k ≠． ∴k 的取值范围为43k ≤且1k ≠． 的故答案为：43k ≤且1k ≠． 13. 如图，AB CD ∥，直线MN 交AB ，CD 于点M 和N ，MH 平分AMN ∠，NH MH ⊥于点H ，若64MND ∠=°，则CNH ∠=______．【答案】58°【解析】【分析】依据平行线的性质，即可得到∠MND=∠AMN=64°，再根据MH 平分∠AMN ，NH ⊥MH ，即可得出∠MNH=58°，进而得到∠CNH=180°-∠HNM-∠MND=58°．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠MND=∠AMN=64°，∵MH 平分∠AMN ，∴∠HMN=12∠AMN=32°， 又∵NH ⊥MH ，∴∠MNH=58°，∴∠CNH=180°-∠HNM-∠MND=58°，故答案为：58．【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 14. 甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到20分钟．若设乙救援队的平均速度为x 千米/小时，则方程可列为____________． 【答案】505012x x+= 【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出速度，以时间差作为等量关系列方程．设乙救援队的平均速度为x 千米/小时，则甲救援队的平均速度为2x 千米/小时，根据乙救援队比甲救援队多用了1小时的等量关系列出方程即可．【详解】解：设乙救援队的平均速度为x 千米/小时，则甲救援队的平均速度为2x 千米/小时，∵乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到20分钟．∴乙救援队比甲救援队多用了1小时 根据题意得：505012x x+= 故答案为：505012x x+= 15. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，1AC =，60A ∠=°，将Rt ABC △绕点C 顺时针旋转90°后得到Rt DCE ，点B 经过的路径为 BE，将线段AB 绕点A 顺时针旋转60°后，点B 恰好落在CE 上的点F 处，点B 经过的路径为 BF，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留π）12π 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含30°角的直角三角形特征，勾股定理，根据ACB CBE ABF S S S S +=−阴扇形扇形 计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：90ACB ∠=° ，1AC =，60A ∠=°，22AB AF AC ∴===，BC EC ∴===ACB CBE ABF S S S S ∴=+−阴扇形扇形2160212360π⋅×=×−12π+，12π+．16. 如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，连接,AC ACD ∠的平分线交AD 于点E ，过点D 做DF CE⊥于点G ，分别交AC AB 、于点H F 、，点P 是线段GC 上的任意一点，且PQ AC ⊥于点Q ，连接PH ，则下列结论正确的有____________．（填写序号）①2DH DG =； ②点G F B C 、、、在同一个圆上；③:3:1CDE DAF S S =△△； ④PH PQ +【答案】①②④【解析】【分析】本题考查矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，证明(ASA)CDG CHG ≌即可判断①，根据90HGC B ∠=∠°=即可判断②，证明∽CDE DAF △△，根据相似三角形的性质即可判断③，④过点H 作HT CD ⊥于T ，交CE 于K ，过K 作KR AC ⊥于R ，证明ABC CTH ∽结合(ASA)CDG CHG ≌利用勾股定理即可判断④．【详解】解： 四边形ABCD 4AB =，2AD =，2CB AD ∴==，4CDAB ==，90DAB B BCD CDA ∠=∠=∠=∠=°，AB CD ∥， CG 平分DCH ∠，DH CG ，DCG HCG ∴∠=∠，90DGC HGC ∠=∠=°，在CDG 和CHG △中，90DCG HCG CG CG DGC HGC ∠=∠ = ∠=∠=°， ∴(ASA)CDG CHG ≌，DG GH ∴=，2DH DG ∴=，故结论①正确；②∵90HGC B ∠=∠°=，∴180HGC B ∠+∠=°，∴点G F B C 、、、在同一个圆上；故②正确；③∵90DGC ∠=°，∴90DCE CDG ∠+∠=°，∵90ADF CDG ∠+∠=°∴ADF DCE ∠=∠，又CDE DAF ∠=∠，∴∽CDE DAF △△, ∴224:4:12CDE DAF CD S S AD ===故③不正确；④过点H 作HT CD ⊥于T ，交CE 于K ，过K 作KR AC ⊥于R ，CE 平分DCH ∠，KT CD ⊥，AC ⊥，KR KH KT KH HT ∴+=+=，∴当点P 与点K 重合时，PH PQ +为最小，最小值为线段HT 的长，∵AB CD ，TCH BAC ∴∠=∠，又90B ∠=︒，HT CD ⊥，90B GTC ∴∠=∠=°，∴ABC CTH ∽，BC ∴：HT AB =：CT ，2∴：4HT =：CT ，2CT HT ∴=，由①可知：(ASA)CDG CHG ≌，4CH CD ∴==，在Rt CHT 中，由勾股定理得：222CT HT CH +=，即：222(2)4HT HT +=，HT ∴PH PQ ∴+ 故结论④正确；综上所述：正确的结论是①②④，故答案为：①②④．三、作图题（本题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17. 已知：点P 和直线m求作：以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆O ．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了作图—复杂作图，解题关键是熟练掌握基本图形的性质，结合几何图形的特征把复杂作图分解为基本作图．【详解】解：先过点P 作直线m 的垂线，垂足为O 点，再在直线m 上截取OA OB OP ==，连接PA 、PB ， ∵要在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆O ，∴圆O 与PA 、PB 相切时，面积最大，即该半圆的半径为PB 边上的高，也是POB ∠的角平分线，则，接着作POB ∠的角平分线交PB 于点C ，然后以O 点为圆心，OC 为半径在PAB 内部作半圆即可．如图，PAB 和半圆O 为所作．四、解答题（本大题满分68分，共有9道小题）18. （1）计算：224211693x x x x x +− ÷− −+−； （2）解不等式组2417221132x x x x −>+ +−≤+①②． 【答案】（1）23x − （2）3x <− 【解析】【分析】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．（1）根据分式的混合计算法则求解即可；（2）先分别求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）224211693x x x x x +− ÷− −+− 22(2)3(3)2x x x x +−×−+ 23x =−； （2）2417221132x x x x −>+ +−≤+①② 解不等式①得3x <−，解不等式②得1x ≤−，∴原不等式组的解集为3x <−．19. 4张相同的卡片上分别写有数字0、1、2−、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为______；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）【答案】19. 3420. 公平，理由见解析【解析】【分析】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．（1）根据概率公式求解即可；（2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．【小问1详解】解：共有4种等可能的结果，其中数字是非负数情况占3种， 则，第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为34， 故答案为：34； 【小问2详解】公平，理由如下：画树状图如图，∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，两个数的差为负数的情况有6种，∴P （结果为非负数）61122==，P （结果为负数）61122==． ∴游戏规则公平． 20. 为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i =10AB =米，24AE =米，求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米， 1.41≈ 1.73≈，sin 5345°≈，cos5335°≈，tan 5343°≈）【答案】广告牌CD 的高约5.7米【解析】【分析】过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，根据坡度的意义，求出30BAM ∠=°，再利用直角三角形的边角关系求出BM ，进而求出AM ， ME ，即可得到BN ，再在Rt BCN △中得出CN BN =，在Rt ADE △中由边角关系求出DE ，最终求出CD ，取近似值得出答案．【详解】解：如图，过点B 作BM AE ⊥，BN CE ⊥，垂足分别为M 、N ，如下图．由题意可知，45CBN ∠=°，53DAE ∠=°， i =10AB =米，24AE =米，∵1:tan BM i BAM AM==∠， ∴30BAM ∠=°， ∴152BM AB ==（米）． 在Rt ABM 中，152NE BM AB ===（米），∴AM AB =（米），∴()ME AM AE =+=米． ∵45CBN ∠=°，∴()=24CN BN ME ==米，∴()=CECN NE =+米， 在Rt ADE △中，53DAE ∠=°，24AE =米， ∴4tan 5324=323DE AE =⋅°≈×（米），∴29323 5.7CD CE DE =−=+−=−≈（米）． 答：广告牌CD 的高约5.7米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．21. 体育中考将至，某校为了了解本校九年级女生体育测试项目“仰卧起坐”的训练情况，随机调查了50名九年级女生一分钟仰卧起坐的个数，将她们的成绩分为四组进行统计，绘制成如下不完整的统计表．请根据统计表中的信息，解答下列问题：（1）若要将统计表中的信息绘制为扇形统计图，则C 组对应圆心角度数为__________°．（2）本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐成绩的中位数落在__________组；（3）求本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐的平均个数；（4）若在该校体育考试中，一分钟仰卧起坐个数超过20个（含20个）才算通过考试，请你估计该校九年级700名女生中，能通过体育考试的女生人数．【答案】（1）115.2（2）B（3）30个 （4）588人【解析】【分析】（1）根据抽取人数50人，列出关于n 的方程，解方程求出n ，再用360度乘以C 组人数占样的比例即可求解；（2）根据中位数的定义知道中位数是第25和26个数的平均数，由此即可得出答案；（3）根据加权平均数公式计算即可；（4）根据算出抽取的50人中通过考试率再乘总人数即可得出该校九年级通过考试的女生人数．【小问1详解】解：由题意，得182850n n+++=解得：8n=，∴216n=，∴C组对应圆心角度数为16 360115.250°×=°，故答案为：115.2．【小问2详解】解： 调查人数为50，∴中位数是第25和26个数的平均数．1881826n+=+=，∴中位数在B组，故答案为：B．【小问3详解】30（个)，答：本次所抽取的50名女生一分钟仰卧起坐的平均个数为30个．【小问4详解】解：1816870058850++×=（人)，答：估计该校九年级700名女生中，能通过体育考试的女生人数为588人．【点睛】本题考查了统计表，扇形统计图，中位数，平均数，用样本估计总体，解题关键是明确中位数的求法和用样本估计总体．22. 在ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，BF与CE相交于点D．（1）若14AE AB =，14AF AC =， （ⅰ）ED EC=______； （ⅱ）3CDF S = ，则ABC S = ______；（2）若1AE AB n =，1AF AC n=，CDF S =△______ABC S ． 【答案】（1）（ⅰ）15；（ⅱ）20； （2）21n n n−+． 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先证明AEF ABC ∽，AEF ABC ∠=∠，14EF BC =，再证明EDF CDB ∽，可得14EF DE BC DC ==，即可求解； （ⅱ）通过相似三角形的性质可得14DF BD =，由面积关系即可求解； （2）先证明AEF ABC ∽，AEF ABC ∠=∠，1EF BC n =，再证明EDF CDB ∽，可得1EF DE BC DC n ==，由面积关系即可求解；本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【小问1详解】解：（ⅰ）如图，连接EF ，∵14AE AB =，14AF AC =， ∴14AEAFAB AC ==，∵A A ∠=∠，∴AEF ABC ∽，∴AEF ABC ∠=∠，14EFBC =，∴EF BC ，∴EDF CDB ∽， ∴14EF DEBC DC ==， ∴15ED EC =， 故答案为：15；（ⅱ）∵EDF CDB ∽， ∴14DFBD =，∵3CDF S = ，∴12BDC S =△，∴15BCF S = ， ∵14AFAC =， ∴34CFAC =， ∴154203ABC S × ，故答案为：20；【小问2详解】 ∵1AE AB n =，1AF AC n =， ∴1AE AF AB n AC==， ∵A A ∠=∠，∴AEF ABC ∽，∴AEF ABC ∠=∠，1EF BC n=， ∴EF BC ∥，∴EDF CDB ∽， ∴1EFDE DF BC DC BD n===， ∴()1BCFCDF S n S =+ ， ∴()11ABC CDF n n S S n +=− ， ∴21CDF ABC n S S n n−=+ 故答案为：21n n n−+． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数1y k x b =+（10k ≠）的图象与反比例函数2k y x=（20k ≠）的图象相交于()3,4A ，()4,B m −两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围； （2）若点D 在x 轴上，位于原点右侧，且OA OD =，求:ABO ABD S S △△．【答案】（1）一次函数的关系式为1y x =+；40x −<<或3x >（2）1:6 【解析】【分析】本题考查一次函数和反比例函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的关键．（1）把点(3,4)A 代入22(0)k y k x≠可求出2k 的值，确定反比例函数关系式；进而求出点B 的坐标，再把点(3,4)A ，点(4,3)B −−代入一次函数1y k x b =+，求出1k ，b 的值，进而确定一次函数关系式；然后根据两个函数的图象和交点坐标可直观得出一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围；（2）根据三角形的面积公式进行计算即可．【小问1详解】反比例函数22(0)k y k x≠的图象过(3,4)A ， 23412k ∴=×=，∴反比例函数的关系式为12y x=， 又(4,)B m − 也在反比例函数12y x =的图象上， 1234m ∴==−−， ∴点(4,3)B −−，一次函数11(0)y k x b k =+≠的图象过点(3,4)A ，点(4,3)B −−，∴113443k b k b += −+=− ， 解得111k b = = ， ∴一次函数的关系式为1y x =+；由两个函数图象和交点坐标可知，一次函数的值大于反比例函数的值时x 的取值范围为40x −<<或3x >；【小问2详解】设直线1y x =+与x 轴的交点为C ，连接,OB BD ，如图，(3,4)A ，5OA ∴=， OA OD = ，5OD ∴=，把0y =代入1y x =+得，10x +=，解得=1x −，(1,0)C ∴−，1OC ∴=，156CD =+=，ABO AOC BOC S S S ∆∆∆=+ ，ABDACD BCD S S S ∆∆∆=+， ::1:6ABO ABD S S OC CD ∆∆∴==． 24. 已知：如图，在四边形ABCD 中，90ABC AD BC DE AC ∠=°⊥ ，，于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．（1）求证：ABC AFE ≌；（2）若30ACB ∠=°，连接AG ，判断四边形AGCD 是什么特殊的四边形？并证明你的结论．【答案】（1）见解析 （2）四边形AGCD 是菱形．理由见解析【解析】【分析】（1）根据AAS 证出ABC AFE ≌即可；（2）求出AF CF =，证DAF GCF ≌，推出AD CG =，即可得出答案．【小问1详解】证明：90ABC ∠=° ，DE AC ⊥，90ABC AFE ∴∠=∠=°，在ABC 和AFE 中，BAC FAEABC AFE AC AE∠=∠ ∠=∠ = ，()AAS ABC AFE ∴ ≌，【小问2详解】解：四边形AGCD 是菱形．理由如下：证明：30ACB ∠=° ，90ABC ∠=°，2AB AC ∴=，∵ABC AFE ≌，AB AF ∴=，2AC AF AF FC ∴==+，AF CF ∴=，AD BC ∥，DAF FCG ∴∠=∠，在DAF 和GCF 中，DFA CFGAF FC DAF FCG∠=∠ = ∠=∠ ，()ASA DAF GCF ∴ ≌，AD CG ∴=，AD CG ，∴四边形AGCD 是平行四边形，DG AC ⊥ ，∴平行四边形AGCD 是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查运用定理进行推理的能力．25. 市南区精准扶贫工作进入攻坚阶段，其某村在工作组长期的技术资金支持下，成立了果农合作社，大力发展经济作物，其中樱桃和枇杷两种果树的种植已初具规模．已知相关信息如下：【信息①】该村李大爷今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍．【信息②】李大爷今年樱桃销量比去年减少了%m ，枇杷销量比去年增加了2%m ．若樱桃售价与去年相同，枇杷售价比去年减少了%m ，则今年两种水果销售总额与去年两种水果的销售总额相同．【信息③】该村果农合作社共收获樱桃2800千克，经市场调研，樱桃市场需求量y （千克）与售价x （元/千克）之间的关系为：1004800y x =−+（838x ≤≤），因保质期和储存条件方面的原因剩余水果将被无偿处理销毁．（1）求李大爷今年收获樱桃至少多少千克？（2）补全表格，并出求出m 的值． 年份/项目 樱桃销量（千克） 樱桃售价（元） 枇杷销量（千克） 枇杷售价（元）去年100 30 200 20 今年()1001%m −（3）若樱桃种植成本为8元/千克，不计其它费用．求今年该果农合作社出售樱桃所获得的最大利润？【答案】（1）小李今年收获樱桃至少50千克（2）填表见解析，m 的值为12.5（3）今年该果农合作社出售樱桃可以获得的最大利润为35200元【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．（1）设小李今年收获樱桃a 千克，根据题意，列出不等式即可；（2）根据信息2可填空上表的数据，注意到等量关系“今年两种水果销售总额与去年两种水果的销售总额相同”即可列出方程；（3）根据市场的需求进行分情况讨论，①当2800y ≥时；②当2800y <时，三种情况根据x 的取值范围，进行计算相应的w 值．【小问1详解】解：设小李今年收获樱桃a 千克，根据题意得：4007a a −≤，解得：50a ≥，答：小李今年收获樱桃至少50千克；【小问2详解】由题意可知， 年份/项目樱桃销量（千克）樱桃售价（元） 枇杷销量（千克） 枇杷售价（元） 去年100 30 200 20 今年 ()1001%m − 30 ()20012%m + ()201%m −则，()()()1001%3020012%201%1003020020m m m −×+×+×−=×+×令%m t =，原方程可化为：()()()3000140001217000t t t −++−=， 整理可得：280t t −=，解得10t =，20.125t =，∴10m =（舍去），212.5m =， ∴m 的值为12.5；【小问3详解】设利润为w 元，①当2800y ≥时，10048002800x −+≥，则20x ≤，此时，()28008280022400w x x =−=−； ∵28000>，∴w 随着x 的增大而增大，∴20x 时，w 的最大值为33600；②当2800y <时，10048002800x −+<，则20x >，∵838x ≤≤，∴2038x <≤，此时，()2100480028008100480022400w x x x x =−+−×=−+−， 整理得()21002435200w x =−−+，∵1000−<，2038x <≤，∴24x =时，w 的最大值为35200综上所述，今年该果农合作社出售樱桃可以获得的最大利润为35200元．26. 在ABC 中，10cm 8cm AC BC CD AB CD ==⊥=，，，动点P 以1cm /s 的速度从点B 向点A 运动；同时，动点Q 从点C 出发，以2cm /s 的速度向点B 运动，动点R 从点A 出发，以2cm /s 的速度向点C 运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为()()s 05t t <<．连接RQ PR PQ ，，．（1）t 为何值时，PR BC ∥？（2）当:1:4BQP CDPQ S S =四边形△时，求t 值；（3）如图1，沿CQ 折叠RCQ 得到MCQ ，是否存在某一时刻t ，使四边形RQMC 为菱形？若存在求出t 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t 为6017s 时，PR BC ∥； （2）当2t =或3时，:1:4BQP CDPQ S S =四边形△；（3）t 的值7039． 【解析】【分析】（1）利用勾股定理求得AB ，用t 的代数式表示出线段CR ，BQ ，AP 的长度，利用平行线的判定与性质得出比例式解答即可；（2）过点Q 作QE BD ⊥于点E ，:1:4BQP CDPQ S S =四边形△得到 :1:5BQP BCD S S =△△利用相似三角形判定与性质求得QE ，再利用三角形的面积公式得到关于t 的方程，解方程即可得出结论；（3）过点R 作RF BC ⊥于点F ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到12CF FQ CQ t ===，利用相似三角形的判定与性质得到关于t 的比例式，解方程即可得出结论； 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，添加三角形的高线构造相似三角形是解题的关键．【小问1详解】由题意得2AR t =，BP t =，2CQ t =，∵10cm AC BC ==，CD AB ⊥，8cm CD =，∴()6cm AD BD ==，∴12cm AB =，∴()102cm CRt =−，()102cm BQ t =−，()12cm AP t =−， 当AR AP AC AB=，PR BC ∥， ∴2121012t t −=， 解得：6017t =， ∴t 为6017s 时，PR BC ∥； 【小问2详解】由题意得：PB t =，2ARCQ t ==， ∴102BQ BC CQ t =−=−， 当:1:4BQP CDPQ S S =四边形△时， 则 :1:5BQP BCD S S =△△，过点Q 作QE BD ⊥于点E ，如图，∵CD AB ⊥，⊥QE AB ，的∴CE CD ∥，∴QEB CDB ∽， ∴QE BQ CD BC=， ∴102810QE t −=， ∴885QE t =−， ∴1188225BPQ S BP QE t t =×⋅=×−⋅， ∴181124825525t t BD CD ×−⋅=×⋅= ， 解得：2t =或3，∴当2t =或3时，:1:4BQP CDPQ S S =四边形△；【小问3详解】沿CQ 折叠，RCQ 得到MCQ ，存在某一时刻t ，使四边形RQMC 为菱形，t 值为7039理由： 过点R 作RF BC ⊥于点F ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，如图，由题意得：PB t =，2ARCQ t ==， ∴102RC AC CR t =−=−，∵沿CQ 折叠RCQ 得到MCQ ，∴RCQ MCQ ≌ ，若四边形RQMC 为菱形，只需RC RQ =， ∵RC RQ =，RF BC ⊥，。

2024年山东省青岛市九校联合体中考一模数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第III卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．第I卷（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列实数中是无理数的为（ ）A. B. 2 C. D. 0.9【答案】A【解析】【分析】根据无理数的定义解答即可．【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意；B、2是整数，属于有理数，，故本选项不合题意；C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；D、0.9是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．2. 近几年，青岛汽车产业已经崛起为青岛工业当中第一大产业，2024年全市预计整车产能约125万辆．如图是4种常见的汽车轮胎的样式，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.3π2273π2273πC. D.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C 、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：BC ．3. 某市去年第四季度财政收入为亿元，用科学记数法(结果保留两个有效数字)表示为（ ）元A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，由于41.76亿=4 176 000 000，整数位数有10位，所以可以确定n=10-1=9．即可得到答案．【详解】解：41.76亿元=4 176 000 000元=4.176×109元≈4.2×109元，故选：C ．【点睛】较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示．用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a ×10n 中a 的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．4. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）180︒41.7684110⨯94.110⨯94.210⨯841.710⨯A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．【详解】俯视图如图所示．故选：A．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．.注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．5. 一个含有30°的直角三角板和一长方形纸条如图摆放，若∠1=37°，则∠2的度数为（）A. 60°B. 53°C. 45°D. 37°【答案】B【解析】【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质列方程求解即可．【详解】解：如图所示：由题意可知，，且，，解得，故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，以及三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角和，熟练掌握这两个知识点是解决问题的关键．6. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂乘除法，熟知相关计算法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂乘除法运算法则，进行求解判断即可．【详解】解：A ．与不是同类项，不能合并，故A 错误；B ．，故B 错误；C ．，故C 正确；D ．，故D 错误．故选：C．30,60A D ∠=︒∠=︒1,2EBC A FCB D ∠=∠+∠∠=∠+∠ BE CF ∥180123037260EBC FCB A D ∴∠+∠=︒=∠+∠+∠+∠=︒+︒+∠+︒253∠=︒325a a a +=326a a a ⋅=()112222n n n n ---=≥()340a a a a ÷=≠3a 2a 325a a a ⋅=1111222222n n n n n -----==⨯-341-÷=a a a7. 如图，锐角△ABC 中，以BC 为直径的半圆O 分别交AB 、AC 于D 、E 两点，且S △ADE :S 四边形DBCE ＝1:2，则cos A 的值是(　)A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】要求∠BAC 的余弦值就要构建直角三角形找出相应的边的比例关系，那么可连接CD ，通过AD 和AC 的比例关系来求∠BAC 的余弦值．AD ，AC 的比例关系可通过△ADE ∽△ACB 三来求解，这样就不难求得其余弦值了．【详解】解：如图，连接CD∵∠ADE=∠ACB ，∠DAE=∠CAB （四点共圆，外角等于内对角），∴△ADE ∽△ACB ，∵，∴，∴，∴故选D ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及圆周角定理，根据三角形相似，用面积比求出相关的线段比是解题的关键，掌握四点共圆，外角等于内对角是解题的关键．8. 如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对1213:1:2ADE DBCE S S ∆四边形＝1:3AD E ACB S S ∆∆=：:AD AC cos A =ABC A B C ''' ，ABC ()a b ，应点 的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法；根据题意可知旋转中心坐标为，再根据中点坐标公式的计算方法求解即可．【详解】解：由图可知，与关于成中心对称，设，，解得，．故选：C ．9. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，将纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分面积是（ ）A. 5B. 3C.D. 【答案】D【解析】P '()3,a b -()3,a b +()3a b --，()3a b --，3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC A B C ''' 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭(),P x y '3,0222a xb y ++∴==3,x a y b =-=-()3,P a b '∴--365185【详解】过点G 作GH ⊥AD 于点H ，由题意知，AF=FC ，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理知AB 2+BF 2=AF 2 ， 即42+（8﹣AF ）2=AF 2 ，解得AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG ，∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG ，∴△BAF ≌△GAE ，∴AE=AF=5，ED=GE=3，∵S △GAE=AG•GE=AE•GH∴GH=，∴S △GED =ED•GH= ×3×= ，故选D ．10. 二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有( )①；②；③；④；⑤若和是这条抛物线上的两点，则当时，．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】12121251212125185()20y ax bx c a =++≠12x =-0abc >240b ac -<420a b c -+<20b c +<()11,x y ()22,x y 121122x x +>+12y y <【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据所给函数图象，可得出的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题．【详解】解：由所给函数图象可知，，，，所以．故①错误．因为抛物线与轴有两个不同的交点，所以．故②错误．因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大，所以，所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小，则当时，函数值小于零，所以．故③正确．因为抛物线的对称轴为直线，所以，即又因为当时，函数值小于零，所以，所以．故④正确．因为抛物线开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小，又因为，所以．故⑤错误．故选：B ．,,a b c 0a >0b >0c <0abc <x 240b ac ->12x =-x 112122⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭x 2-2x =-420a b c -+<12x =-122b a -=-.a b =1x =0a bc ++<20b c +<121122x x +>+|12y y >第II 卷（共90分）二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11.__________．【解析】【分析】根据二次根式的计算和特殊角的三角函数值即可解答．=．．【点睛】本题考查二次根式的计算和特殊角的三角函数值，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．12. 若一组数据，， …，的平均数为4，方差为3，那么数据，，…，的平均数和方差分别是______，______．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本题考查方差和平均数的计算，掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键．本题可将平均数和方差公式中的a 换成，再化简进行计算．【详解】解：一组数据 ，， …，的平均数为，方差为，即 那么的平均数为； ，，…，的方差为；故答案为：；．2sin 45︒=2sin 45︒2-1a 2a n a 123a +223a +23n a +111232a -1a 2a n a 4324,3a s ==12323,23,2323n a a a a ++++ ，，()1231232323232323113n n a a a a n a a a a n +++++++++++++== 123a +223a +23n a +()()()()()()222222121214232323232323]4²12n n a a a a a a a a a a a a s n n ⎡⎡+--++--+++--=-+-++-=⨯=⎢⎢⎣⎣111213. 随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为_________．【答案】【解析】【分析】设乘公交车平均每小时走x 千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则乘公交车花的时间为小时，乘私家车所花的时间为小时，再利用乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，列方程即可.【详解】解：设乘公交车平均每小时走x 千米，则乘私家车平均速度是每小时千米，则故答案为：【点睛】本题考查的是分式方程的应用，设适当的未知数，表示需要的代数式，确定相等关系都是解本题的关键.14. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围_______【答案】且【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法．根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，然后解两个不等式即可求解．【详解】解：根据题意得且，解得且；故答案为：且．15. 数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出圆周率．如图，正六边形的边长为2，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为________．8812.54x x =+ 2.5x 8x 82.5x2.5x 8812.54x x =+8812.54x x =+()2204k kx k x +-+=1k <0k ≠20(0)ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<0k ≠2(2)44404k k k k ∆=--⨯=-+>0k ≠2(2)44404k k k k ∆=--⨯=-+>1k <0k ≠1k <0k ≠ABCDEF【答案】【解析】【分析】用阴影部分圆环的面积除以大⊙O 的面积即可．【详解】解：设大⊙O 的半径为2r ，则正六边形的边长为2r，即小⊙O ，．故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是设出大⊙O 的半径并表示出正六边形的边长及小⊙O 的半径，求出对应图形的面积．16. 如图，四边形是边长为的正方形，点E 在边上，，作，分别交，于点G 、F ，M ，N 分别是，的中点，则下列5个结论中：①点F 、N 、C 共线；②；③；④的面积为；⑤．正确的是______．（填写所有正确结论的序号）．【答案】①②④⑤【解析】【分析】连接，根据矩形及正方形的性质即可判断①；利用等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再由直角三角形斜边上的中线的性质即可证明②；利用正方形的性质即可证明③；根据等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质即可证明④；利用全等三角形的判定和性质及等腰三角形141414ABCD 4cm CD 1cm DE =EF BC ∥AC AB AG BE 5cm 2MN =AC BE ⊥MNC 7845MEB ∠=︒FM FC ，BE FC ==5的性质即可证明⑤．【详解】解：连接，∵四边形是正方形，，∴四边形是矩形，∵N 是中点，为矩形的对角线，∴点F 、N 、C 共线；故①正确；∴，∴为等腰直角三角形，∵M 是的中点，∴，∴，∴是直角三角形，∵N 是的中点，四边形是矩形，∴点N 在上，且是的中点，∴，∵，∴，∴，∴；故②正确；连接，∵四边形是正方形，∴，∴错误，故③错误；∵四边形是正方形，∴，∵，，∴，∴，的FM FC ，ABCD EF BC ∥BCEF BE FC BCEF 45BAC ∠=︒AFG AG AM MG =FM AG ⊥FMC BE BCEF CF CF 12MN FC =14DE BC DC ===，3CE=BE FC ===515cm 22MN FC ==BD ABCD AC BD ⊥AC BE ⊥ABCD 45BAC ∠=︒FM AG ⊥1AF DE ==45BAC AFM ∠∠==︒AM FM ==∴找的中点H ，连接，∴，，∴，∴，故④正确；连接，在与中，，∴，∴，由①得点N为矩形对角线的交点，∴点N 为等腰三角形底边的中点，∴，∵，∴，故⑤正确；综上可得：正确的有①②④⑤，故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理解三角形、等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．三、作图题（本题满分4分）CM AC AM =-==CM NH 12NH FM ==NH FM ∥NH AC ⊥117228CMN S CM NH =⋅== BM ABM FEM 45AB FE BAM EFM AM FM ∠∠=⎧⎪==︒⎨⎪=⎩(SAS)ABM FEM ≌ MB ME =FBCE MBE BE MN BE ⊥12MN CN BE NE ===45MEB ∠=︒用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹17. 已知：如图△ABC （AB ＞AC ）．求作：△PAB ，使得PA ＝PB ，且∠C ＝∠APB ．【答案】见解析【解析】【分析】分别作AB ，BC 的垂直平分线，交点为O ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，在AB 的同侧，AB 的垂直平分线与⊙O 的交点即为P ，连接PA 、PB ，则△PAB 满足条件；接着作P 点关于AB 的对称点P ′，△P ′AB 满足条件．【详解】解：如图，△PAB 和△P ′AB 为所作．【点睛】本题考查了尺规作图--复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．四、解答题（本大题共8小题，共68分）18. (1)化简：(2)求不等式组的整数解．【答案】（1）；（2）-3，-2，-1，0，1，2【解析】【分析】(1)根据分式的运算法则即可求出答案．244411--+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭a a a a a a 43(1)3252x x x x -⎧⎪⎨--<⎪⎩ (22)a a +-(2)根据一元一次不等式组即可求出答案．【详解】解：(1)原式＝．(2)，由①得：x ≥﹣3，由②得：，∴该不等式组的解集为：﹣∴该不等式组的整数解为：-3，-2，-1，0，1，2．【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及不等式组的解法，本题属于基础题型．19. 如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O 是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小红在E 处测得摩天轮顶端A 的仰角为，她沿水平方向向左行走到达点D ，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C ，然后再沿水平方向向左行走到达摩天轮最低点B 处（A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：）【答案】摩天轮的高度约68米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．延长交的延长线于点M ,过点C 作于点N ，在中，求得22411(2)a a a a --=-- 2(2)(2)11(2)a a a a a +--=-- 22a a +-()4313252x x x x ⎧-⎪⎨--<⎪⎩①② (73)x <733≤<x AB 24︒122m 0.75i =40m AB 240.4240.91240.45sin cos tan °»°»°»，，AB AB ED CN MD ⊥Rt CND △，在中，利用三角函数解出即可求出结论．【详解】解：延长交的延长线于点M ,过点C 作于点N ，由题意得，，∴四边形是矩形，，在中，设，由勾股定理得，，，，在中，，，，，，答：摩天轮的高度约68米．20. 青岛市胶州湾第二海底隧道工程建设正在加快推进，超大直径盾构机“海天号”正由青岛端向黄岛端稳步挺进，某工程队承接一隧道工程，在挖掘一条米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的倍，结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务．（1）求实际每天挖掘多少米？（2）由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？【答案】（1）实际每天挖掘米；（2）每天还应多挖掘米．12,16CN BM ND ===Rt AME △AM AB ED CN MD ⊥90AMD CNM CBM ∠=∠=∠=︒BMNC 40,BC MN BM CN ∴===Rt CND △3,4CN x ND x ==5,520CD x x ==4x ∴=12,16CN BM ND \===4016122178ME =++=Rt AME △24E ∠=︒tan 240.45︒≈ 0.45AM ME ∴≈0.4517880.1AM ≈⨯≈80.11268.168AB ∴=-=≈AB 5001.5253007064【解析】【分析】（）设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米，根据结果提前了天完成了其中米的隧道挖掘任务，列分式方程求解；（）设每天还应多挖掘米，根据完成该项工程的工期不超过天，列不等式即可求解；本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式．【小问1详解】解：设原计划每天挖掘米，则实际每天挖掘米，根据题意得：，解得，经检验是原方程解，∴实际每天挖掘，答：实际每天挖掘米；【小问2详解】设每天还应多挖掘米，由题意，得，解得，答：每天还应多挖掘米．21. 青岛市九校联合体（山东省青岛超银四校、山东省青岛市实验初级中学、山东省青岛第七中学、山东省青岛第二十六中学、山东省青岛第三十九中学、山东省青岛五十九中学、山东省青岛海信学校、山东省青岛第二实验初级中学、山东省青岛大学附属中）中某校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据以上信息，解答下列问题（1）这次被调查的学生共有多少名？（2）请将条形统计图补充完整；的1x 1.5x 253002y 70x 1.5x 300300251.5x x-=4x =4x = 1.546⨯=6y ()3007065003006y ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭4y ≥4（3）若该校有名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【答案】（1）这次被调查的学生共有名；（2）画图见解析； （3）全校学生中喜欢体育节目的约有名；（4）恰好选中甲、乙两位同学的概率为．【解析】【分析】（）用喜欢动画节目的人数除以其所占的百分比可得这次被调查的学生人数；（）求出喜欢体育节目的人数，补全条形统计图即可；（）根据用样本估计总体，用乘以本次调查中喜欢体育节目的人数所占的百分比，即可得出答案；（）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中甲、乙两位同学的结果数，再利用概率公式可得出答案；本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．【小问1详解】这次被调查的学生共有（名），答：这次被调查的学生共有名；【小问2详解】喜欢体育节目的人数为：（名），补全条形统计图如图所示，【小问3详解】（名），答：全校学生中喜欢体育节目的约有名；【小问4详解】画树状图如下：300025060021126=123300041530%50÷=505041518310----=10300060050⨯=600共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．22. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（1）求证： △ABE ≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABE=∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE=OB ，DF=OD ，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，12221126=2AC AB =1212AB CD ABE CDFBE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC=2OA ，AC=2AB ，∴AB=OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG=AE ，OA=OC ，∴OE 是△ACG 中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.23. 如图，已知是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标.【答案】（1）， 的(SAS)ABE CDF ∴≅ (3,2),(,3)A B n --y kx b =+m y x=AOB P AOP P 6y x =-1y x =--（2） （3）、、或【解析】【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．（1）先把点A 的坐标代入反比例函数求得m 的值，再把点B 的坐标为代入反比例函数的解析式求得n ，最后把A ，B 两点代入即可求解；（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；（3）存在，在x 轴和y 轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点P ，即可求解．【小问1详解】解：∵点A 的坐标为在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为，又∵点B 的坐标为也在上，∴，∵A 的坐标为，B 的坐标为都在一次函数的图象上，∴ ，解得 ，∴一次函数的解析式为；【小问2详解】解：∵直线与x 轴交于点，52()30-，1303⎛⎫- ⎪⎝⎭，()02，1302⎛⎫ ⎪⎝⎭，m y x=()3n -，y kx b =+C AOB AOC BOC S S S =+ 90OAP ∠=︒90APO ∠=︒A AP x ⊥()32-，326m =-⨯=-6y x=-()3n -，6y x =-2n =()32-，()23-，y kx b =+3223k b k b -+=⎧⎨+=-⎩11k b =-⎧⎨=-⎩1y x =--1y x =--C∴，∴，∵A 的坐标为，B 的坐标为，∴；【小问3详解】解：当点P 在x 轴上，设点，则，若时，如图所示，∵A 的坐标为，∴点P 的坐标为；当时，如图，∴，，()10C -，1OC =()32-，()23-，()()1111512322222AOB AOC BOC S S S OC yA OC yB OC yA yB =+=⋅+⋅=+=⨯⨯+= ()0P m ，OP m =-90OPA ∠=︒()32-，()30-，90OAP ∠=︒2223213OA =+=()()222302AP m =--+-∵是直角三角形，∴，即，解得，∴点的坐标为；当点在y 轴上时，设点，则，若时，如图所示，∵A 的坐标为，∴点P 的坐标为；当时，如图，∴，，∵是直角三角形，∴，即，解得，∴点的坐标为；AOP 222OA AP OP +=()()22213302m m +-+-=133m =-P 1303⎛⎫- ⎪⎝⎭P ()0P n ，OP n =90OPA ∠=︒()32-，()02，90OAP ∠=︒2223213OA =+=()()222203AP n =-++AOP 222OA AP OP +=()()22213203n n +-++=132n =P 1302⎛⎫⎪⎝⎭，综上可得点P 的坐标为、、或．24. 如图，点在四边形的边上．（1）如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：；（2）当四边形是矩形，，时，①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值；②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点，当时，请直接写出的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①；②．【解析】【分析】（1）由正方形的性质及可得，，，则≌，即可证明；（2）过作于点，于点，可证明∽，则，再证，得出即可；连接、，证明∽、∽，推得，再证明∽，然后由相似三角形的对应边成比例求出的长．【小问1详解】证明：四边形是正方形，，，于点，()30-，1303⎛⎫- ⎪⎝⎭，()02，1302⎛⎫ ⎪⎝⎭，F ABCD AB 1ABCD B BE CF ⊥O AD .E BE CF =ABCD 6AD =8AB =2P BC P PE CF ⊥O O BD OC OE 3P BC P PE CF ⊥O O BD EP AB G 2BG =DE 3483BE CF ⊥AB BC =A FBC ∠=∠∠=∠ABE BCF ABE BCF △BE CF =①O OM AD ⊥M ON CD ⊥N ONC OME OC ON OE OM =ON BC OM AB =34OC BC OE AB ==②CE CG BPG OPC OPB CPG △90ECG ∠=︒CBG CDE DE ABCD AB BC ∴=90A FBC ∠=∠=︒BE CF ⊥ O，，≌，．【小问2详解】解：如图，过作于点，于点，则，四边形是矩形，，，，四边形是矩形，，于点，，，，∽，，，，∽，，同理，，90BOC ∴∠=︒90ABE OBC BCF ∴∠=︒-∠=∠ABE ∴ ()BCF ASA BE CF ∴=①2O OM AD ⊥M ON CD ⊥N 90OMD OND ∠=∠=︒ ABCD 6BC AD ∴==8AB CD ==90MDN A BCD ∠=∠=∠=︒∴OMDN 90MON ∴∠=︒PE CF ⊥ O 90COE ∴∠=︒90CON EOM EON ∴∠=∠=︒-∠90ONC OME ∠=∠=︒ ONC ∴ OME OC ON OE OM∴=OND BCD ∠=∠ //ON BC ∴DON ∴ DBC △ON OD BC BD∴=OM OD AB BD=ON OM BC AB ∴=，；如图，连接、，，，，，∽，，，，∽，，，；，，∽，，，，，，∽，ON BC OM AB∴=6384OC BC OE AB ∴===②3CE CG 90ABC ∠=︒ 18090PBG ABC ∴∠=︒-∠=︒90PBG POC ∴∠=∠=︒BPG OPC ∠=∠ BPG ∴ OPC PB PG PO PC∴=PB PO PG PC ∴=OPB CPG ∠=∠ OPB ∴ CPG △CBD OGC ∴∠=∠34OC OE = 6384CB CD ==OC CB OE CD∴=90COE BOD ∠=∠=︒ COE ∴ BOD CDB OEC ∴∠=∠90OGC OEC CBD CDB ∴∠+∠=∠+∠=︒90ECG ∴∠=︒90BCG DCE BCE ∴∠=∠=︒-∠90CBG CDE ∠=∠=︒ CBG ∴△CDE，．【点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性较强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于考试压轴题．25. 如图1，已知二次函数的图象与y 轴交于点，与x 轴交于点B ，C ，点C 坐标为，连接、．（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）如图2，若点N 在线段上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作，交于点M ，当面积最大时，求此时点N 的坐标；（4）若点N 在x 轴上运动，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标．【答案】（1）； （2）是直角三角形．理由见解析；（3）当面积最大时，N 点坐标为；（4）点N的坐标分别为、、、．【解析】分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得，，，然后根据勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形；（3）设点N 的坐标为，则，过M 点作轴于点D ，根据三角形相似对应边成比【34BG CB DE CD ∴==4482333DE BG ∴==⨯=()2302y ax x c a =++≠()0,4A ()8,0AB AC ()2302y ax x c a =++≠ABC BC NM AC ∥AB AMN 213442y x x =-++ABC AMN ()3,0()8,0-()8-()8+()3,0220AB =280AC =10BC =ABC (),0n 2BN n =+MD x ⊥例求得，然后根据得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可；（4）分别以A 、C 两点为圆心，长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标．【小问1详解】二次函数的图象与y 轴交于点，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为，，解得，抛物线表达式：．【小问2详解】解：是直角三角形．令，则，解得，，点B 的坐标为，由已知可得，在中，在中，又，中；是直角三角形．【小问3详解】解：设点N 的坐标为，则，过M 点作轴于点D ，，，在()225MD n =+-AMN ABN BMN S S S = AC AC ()2302y ax x c a =++≠()0,4A ()8,0464120c a c =⎧∴⎨++=⎩144a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴213442y x x =-++ABC 0y =2134042x x -++=18x =22x =-∴()2,0-Rt ABO △222222420AB BO AO ==++=Rt AOC 222224880AC AO CO =+=+=2810BC OB OC =+=+= ∴ABC 2222208010AB AC BC +=+==ABC ∴ (),0n 2BN n =+MD x ⊥MD OA ∴∥BMD BAO ∴ ∽，，，，，，，，，当面积最大时，N 点坐标为．【小问4详解】解：，，，当以点A ，N ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：； ；； 当时，作图如下：BM MD BA OA∴=M N A C ∥BM BN BA BC∴=MD BN OA BC ∴=4= OA 10BC =2BN n =+()225MD n ∴=+()()()22-11··221122422251355AMN ABN BMNS S S BN OA BN MD n n n ==-=+⨯-⨯+=--+ ∴AMN ()3,0()0,4A ()8,0C AC ∴== ∴①AC AN =②AC CN =③AN CN =①AC AN =∵，，∴，∴此时点N 的坐标为；当时，作图如下：则，又∵，∴N 的坐标为或当时，作图如下：AC AN =AO CN ⊥8ON OC ==()80-，②AC CN=CN AC ==()8,0C ()8-()8+③AN CN =设，则，在中，，即，解得：，所以此时N 的坐标为综上，若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为、、、．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键．ON x =8AN CN x ==-Rt AON △²²²AO ON AN +=()22248x x +=-3x =()3,0()8,0-()8-()8+()3,0。