实数

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。

简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数包括整数和分数，例如－3、0、5 、1/2 等等；无理数则是无限不循环小数，比如π（圆周率）、√2（根号 2）等。

实数可以直观地看作是数轴上的点，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点；反过来，数轴上的每一个点也都对应着唯一的一个实数。

二、实数的分类实数按照性质可以分为以下几类：1、有理数整数：像－2，－1，0，1，2 这样的数称为整数。

整数包括正整数、零和负整数。

分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。

例如 1/2 、3/4 等。

2、无理数无理数是指无限不循环小数。

常见的无理数有：π：圆周率π约等于 31415926，它是一个无限不循环小数。

√2：根号 2 的值约为 14142135，也是一个无限不循环小数。

三、实数的运算1、加法和减法实数的加法和减法运算遵循以下规则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如 3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8 。

异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如 3 ＋（－5) ＝－2 ，－3 ＋ 5 ＝ 2 。

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

2、乘法和除法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例如 3 × 5 ＝15 ，－3 ×（－5) ＝ 15 ， 3 ×（－5) ＝－15 。

除以一个数（0 除外），等于乘以这个数的倒数。

3、乘方和开方乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。

例如 2³＝ 2 × 2 ×2 ＝ 8 。

开方：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根；如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根。

四、实数的性质1、封闭性实数的四则运算在实数范围内是封闭的，也就是说，两个实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算的结果仍然是实数。

实数的相关概念实数是一类抽象的数字，也就是所谓的有理数，包括正数、负数、零和有理小数。

它们反映了实际生活中物体数量的变化，可以用来进行计算和解决实际问题。

实数被广泛用于数学和计算机科学等领域，在日常生活中也被广泛使用，比如货币、温度、食物比重等。

实数可以分为大数、小数和有理数三类。

大数是以10为基数的数，它们是无限长的，包括正数和负数。

小数是以10的负幂表示的数，它们是有限的，但更加精确。

有理数是由整数和分数组成的，在精度上比小数要小，但在使用上比大数方便。

实数有许多相关的概念，其中包括整数、分数、有理数、整除、取余和因式分解等。

整数是实数中的一种，它们是不可分割的单位，不能有小数部分。

分数是由一个分子和一个分母组成的，其中的分子代表分子的数量，而分母代表分母的数量。

有理数是由整数和分数组成的，它们可以通过分式化简转换成最简形式。

整除是指将一个实数整除另一个实数，得到的结果是整数，比如$3/2=1$。

取余是指将一个实数除以另一个实数，得到的结果是一个实数，比如$3%2=1$。

因式分解是把一个复杂的有理数分解成若干因子的乘积，比如$12=2times2times3$。

实数还有一些经典的定理，包括阿贝尔定理、贝祖定理、佩雷拉定理、黎曼抱负定理等。

阿贝尔定理是欧几里得给出的，它指出当两个整数的乘积是一个完全平方数，则有一对正负整数可以使这个乘积为一个完全平方数。

贝祖定理是一个很有趣的定理，指出有理数都可以写成一个连分数的形式，而连分数的分母与分子是不断连乘的形式。

佩雷拉定理证明了欧几里得给出的完全平方拆分定理，指出任何正整数都可以用一系列正负整数的平方和来表示，而且只有一种表示方式。

黎曼抱负定理是一个有趣的定理，它的内容是，如果一个整数不是完全平方数，那么它的连分数分母会有无穷个不同的因式分解形式，每个分母的因式分解只有两个因子。

实数的相关概念是数学的基础，它们是运用数学知识解决实际问题的基础。

随着各类技术的发展，实数概念在现代生活中越来越重要，它们能帮助人们更好地理解世界、解决实际问题，为社会发展作出贡献。

《实数》讲义一、实数的概念在数学的广袤天地中，实数是我们经常打交道的重要概念。

那什么是实数呢？简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数的集合。

有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数），都属于有理数。

比如 5、0、－3 这些整数，以及 1/2、－3/4 这样的分数，都是有理数。

而无理数呢，是指无限不循环小数。

最典型的例子就是圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 约等于 1414它们的小数部分没有周期性的重复规律，是无限不循环的。

实数可以用数轴上的点来表示。

数轴就像是一个长长的直尺，上面标有刻度，每个实数都对应着数轴上的一个点，反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个实数。

二、实数的分类实数的分类方式有多种。

按照定义来分，我们已经知道可以分为有理数和无理数。

如果按照正负来分，实数可以分为正实数、零和负实数。

正实数包括正有理数和正无理数，比如3、π；负实数包括负有理数和负无理数，比如－2、根号 3 。

零既不是正实数也不是负实数。

有理数还可以进一步细分。

整数包括自然数（正整数和零）和负整数。

分数包括有限小数和无限循环小数。

三、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除、乘方和开方。

加法和减法：同号两数相加（减），取相同的符号，并把绝对值相加（减）；异号两数相加（减），取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得 0 。

乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与 0 相乘都得 0 。

除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

0 不能作除数。

乘方：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

开方：如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根；如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0 ；负数没有平方根。

什么是实数实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

实数集通常用黑正体字母 R 表示。

R表示n维实数空间。

实数是不可数的。

实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系(real number system)或实数连续统。

任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。

在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。

由于R 是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位，n为正整数)。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。

直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。

18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。

1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。

以边长为1厘米的正方形为例，其对角线有多长?在规定的精度下(比如误差小于0.001厘米)，总可以用有理数来表示足够精确的测量结果(比如1.414厘米)。

但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念，他们原以为：任何两条线段(的长度)的比，可以用自然数的比来表示。

实数的概念及运算法则实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的数的集合。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能被表示为两个整数的比值。

实数包括了所有的整数、分数和无限不循环小数。

实数的运算法则1. 加法法则：实数的加法满足交换律和结合律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 减法法则：实数的减法可以视为加法的逆运算。

即对于任意实数a、b和c，有：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法法则：实数的乘法满足交换律和结合律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)4. 除法法则：实数的除法可以视为乘法的逆运算。

即对于任意实数a、b和c，有：- 除法定义：a / b = a * (1 / b)5. 分配律：实数的乘法对加法具有分配律。

即对于任意实数a、b和c，有：- 左分配律：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)- 右分配律：(a + b) * c = (a * c) + (b * c)6. 幂的法则：实数的幂运算满足以下法则：- a^0 = 1，其中a是非零实数- a^n * a^m = a^(n + m)，其中a是非零实数，n和m是整数这些实数的运算法则可以帮助我们在数学计算中正确地进行加减乘除等运算。

通过熟练掌握这些法则，我们可以更好地理解和应用实数的运算概念。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。

简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（包括正整数、零、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数），都属于有理数。

比如5、0、－3 、1/2 、0333 等等。

而无理数，则是那些无限不循环小数。

比较典型的无理数有圆周率π（约等于 31415926）、根号 2（约等于 14142135）等等。

二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。

对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必有且仅有一种成立。

2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。

这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的，没有任何空隙。

3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算的封闭性。

也就是说，两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8，5 2 ＝ 3，3 × 4 ＝ 12，6 ÷ 2 ＝ 3 。

而且，实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。

交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ，a × b ＝ b × a 。

结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，（a × b) × c ＝ a ×（b ×c) 。

分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。

三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都对应着一个实数。

例如，实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示；实数－3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。

四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。

实数实数无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数.注意：(1)所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数.(2 )圆周率二及一些含二的数是无理数. (3 )不循环的无限小数是无理数.(4 )有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数.无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b , a-b 是无理数； 实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 实数的分类：f 正整数 整数J o正无理数I无理数｛ '无限不循环小数负无理数J实数的性质：(1 )任何实数a ，都有一个相反数-a .1(2) 任何非0实数a ,都有倒数—. (3)正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 .(4) 正实数大于0,负实数小于0 ;两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小. 实数与数轴上的点 对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点. 无理数大小的比较方法：(1) 比较两个数的平方的大小：实数有理数 负整数 '有限小数或无限循环小数 ，正分数a>0, b>0，若( a)? > ( b/，贝U a;若(a)2 v ( b)2, 贝U Ja cj b ；若(寸a)? = (lb)? >,^则、；a .(2) 比较被开方数的大小：a >0,b >0，若 a >b ，则、a . b ;若 avb ,则 a ：：： b ;若 a = b ，^V J a =斗 b . (3) 作差法：若 a-b > 0，贝U a > b ；若 a-b = 0，贝U a = b ；若 a-bv 0，贝U av b . (4) 作商法：a a a a >0，b >0，若一> 1，贝U a >b ;若一=1，贝U a = b ;若一v1，贝U av b .bbb注意：(1) 没有最小的实数，0是绝对值最小的实数； (2) 带根号的数不一定是无理数 (3)一个实数的立方根只有一个 ；负数没有平方根.考点一对实数定义的考查【例1 ].判断正误.(1)实数是由正实数和负实数组成. ()(2) 0属于正实数.()(3) ---------------------------------- 数轴上的点和实数是 对应的. () (4) 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是 _1.() (5) 若，x =7?则 x =±曹吃.()【巩固1 ] 下列说法错误的是()B.数轴上的点不全是有理数D . 2是近似值，无法在数轴上表示准确【巩固2 ] 下列说法正确的是()B .无限小数都是无理数 D .带根号的数都是无理数8， -V27， 12，0.101101110……中无理数有() C . 4个 D . 5个A .实数都可以表示在数轴上 C .坐标系中的点的坐标都是实数对A .无理数都是无限不循环小数 C .有理数都是有限小数31【巩固3]下列实数7，-二，3.14159A . 2个B . 3个【例2 ].有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示. 其中正确的说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3考点二对实数性质的考查【例1 ] .寸3的相反数是1_；-.5的倒数是—；3 -5的绝对值是【例2] . 3.141 —珅= _______ ; |2T3_3j2|= _________【例3].若|x匸询，则x= __________ ；若1x1= 43-1，则x= ________【例4].若直径为2个单位长度的圆上的点A从表示.5的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B,贝U B点表示的实数是（）A . .5 -2二B. 4~ - 5 C.5 2- D . . 5 4二【例5].如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a, b,则下列结论不正确的是（）B. ab ： 0C. a - b ： 0 D . | a | b | 0【巩固1 ] 如图，数轴上A, B两点表示的数分别为-1和J3,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为（）A. -2- .3 B . -1 -、、3 C . -2 、、3 D .1.3 ,C AO B【巩固i ] 6-2「5的相反数是._ 2【巩固2] -3 的倒数是.【巩固3] - 5 2的绝对值是.【巩固4] —2的相反数是；倒数是；绝对值是.-1 A 0 1 B 2考点三 实数的分类1 —1、 “、岳、n 214、丄、岛—湮、洛、°7、0、口2¥2 (1)有理数集合｛｝；(2)无理数集合｛｝；(3)整数集合｛｝； (4)正实数集合｛ ｝； (5)负实数集合｛}. 【例2].把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来. 4, -4 , -51, 1 . 414,兀，0.6 , ,33 4【例1 ].把下列各数填入相应的集合: 【巩固 1 】 下列各数： 32，- 22，3-27，1.414，-3，3.12122，- . 9，3.1469 中，无理数 有个，有理数有个，负数有个，整数有个 7 兀 I I 3 J— 【巩固2]下列实数 ， ，0, - i 49 , ■. 21 , < -1 , 1.1010010001…(每两个1之间的0的个 190 3 数逐次加1)中，设有 m 个有理数，n 个无理数，则n m = 考点四比较大小 【例3].估计.77的大小应在() A . 7〜8之间C . 8.5〜9.0之间 【巩固1 ]估计29的值在()A .在4.5和5.0之间 C .在5.5和6.0之间B . 8.0〜8.5之间 D . 9〜10之间B .在5.0和5.5之间 D .在6.0和6.5之间 【巩固2]实数2.6 ,7和2 2的大小关系是() A . 2.6 ：2.2 ：： 7 C. 7 ：：26 ：：2 2 【例4]. 一个正方体水晶砖，体积为 100 cm 2，它的棱长大约在() B . 2.6 ：： .7 -.22D . . 7 ：：2.2 ：： 2.6A . 4〜5cm 之间B . 5〜6cm 之间C . 6〜7cm 之间D . 7〜8cm 之间【例5] . (1)若实数a<b<0,则|a| |b|；大于.17小于•. 35的整数是;(2)比较大小：3 6 ^.3211 3 5【例6].若0：：：x ：：：1，则X*、x 、x 2的大小关系是【例7].如果a 是J 15的整数部分，b 是冒15的小数部分，a_b= ______________ 【例8].已知a ，b 为两个连续整数，且a <E<b ，则a+b= _______________ . 【例9 ] . 4 14、.226、15三个数的大小关系是（）A. 4.14 ：：：15 ：：： .226B. . 226 ::: 15 ：：： 4 14C. 4 .1Z ：：：226 ：；：15 D. ■ 226：：： 4.14 :：: 15考点五对计算的考查【例1 ].计算题(3) 1一闵+匹一稠 +卜'3_74 +1)1 +-^2^2【巩固3】 已知等腰三角形一边长为 a , —边长b ，且（2a —b ）2 + 9—b 2 =0 .求它的周长.考点六综合运用【例3].写出符合条件的数.(1)小于2 5的所有正整数；(2)绝对值小于2 2的所有整数.【例4]. 一个底为正方形的水池的容积是 3150m ，池深14m ，求这个水底的底边长.【例5].已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求(_a)3 ：：；'(b 九3)2的值.(1) .. 49 - J69327( 2)3216 3 1000【例2】.化简：（1）2-岳-苗-1(2)10 —3 斗.一 10 —4【例6].若场.815848 =1.22，贝U 丁―1815848 = ____【例7].已知a -2的平方根是_2 , 2a b 7的立方根是3，求a2 b2的算数平方根.【巩固4]已知A =5 -m 3是n -m 3的算术平方根，B 3 m 7n是m • 7n的立方根，求B+A的平方根.‘=18，求xy 的值.【巩固 5 】已知心=3 ,y2=b(yc0)，且J(4a—=8(b=4a),趴a+b)【巩固6】若a b 1 =2.a-.T^\-1，求a • 2b —3c的值.【巩固7】设a、b是有理数，并且a、b满足等式a 2^ . 2b二-5、、2，求a+b的平方根课后巩固习题1 3 - . 3的相反数是，|3 - 3 |=7 -5的相反数是，1-2的绝对值=习题2设3对应数轴上的点 A , 5对应数轴上的点B，贝U A、B间的距离为习题3卜列说法中，止确的( )是A.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.习题4 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）- a2没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作-・100=10（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数.A . 1 个B . 2 个C. 3 个D . 4 个.习题5 设a是实数，则|a|-a的值（）A.可以是负数B.不可能是负数C.必是正数D•可以是整数也可以是负数习题6 数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周, 这时点A与数轴上一点重合，这点表示的实数是.习题7 设m是.13的整数部分，n是13的小数部分，求m-n的值.习题8 如图，数轴上A, B两点表示的数分别为-1和、、3 ,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为（）A . -2- '.3 B. -1-,3 , -c A"O BC.亠3D. 1.3 （第8题图）习题9 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|1 _a|「a2的结果为（）a—I __ I•_I ___ >-1 0 1A. 1 B . -1 C . 1 -2a D . 2a -1习题10实数a, b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（） b -1 0 a 1A . a b 0B . a - b ：： 00（第10题图）C . ab 0a 门D . 0b习题11若a为..17-2的整数部分，b -1是9的平方根，且|a-b| = b-a，求a b的算术平方根。

实数运算规则实数是数学中一个重要的概念，它包括有理数和无理数两部分。

实数运算规则是数学中对实数进行加法、减法、乘法和除法等运算的规定。

下面将详细介绍实数运算规则。

一、加法规则实数加法遵循以下规则：1. 交换律：对于任意实数 a 和 b，有 a + b = b + a。

2. 结合律：对于任意实数 a、b 和 c，有 (a + b) + c = a + (b + c)。

3. 零元素：存在一个实数 0，对于任意实数 a，有 a + 0 = a。

4. 反元素：对于任意实数 a，存在一个实数 -a，使得 a + (-a) = 0。

二、减法规则实数减法是加法的逆运算，即 a - b = a + (-b)。

其中，a、b 分别为实数。

根据加法规则，实数减法也满足交换律和结合律。

三、乘法规则实数乘法遵循以下规则：1. 交换律：对于任意实数 a 和 b，有 a × b = b × a。

2. 结合律：对于任意实数 a、b 和 c，有 (a × b) × c = a × (b × c)。

3. 单位元素：存在一个实数 1，对于任意实数 a，有 a × 1 = a。

4. 零元素：存在一个实数 0，对于任意实数 a，有 a × 0 = 0。

四、除法规则实数除法是乘法的逆运算，即 a ÷ b = a × (1/b)，其中，a、b 分别为实数，并且b ≠ 0。

根据乘法规则，实数除法也满足结合律。

五、分配律实数的加法和乘法之间满足分配律，即对于任意实数 a、b 和 c，有a × (b + c) = a × b + a × c。

六、其他规则1. 零乘法规则：对于任意实数 a，有 a × 0 = 0 × a = 0。

2. 幂运算规则：对于任意实数 a、b 和 c，有 a^b × a^c = a^(b+c)。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。

简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数，包括整数和分数。

整数如－3、0、5 等，分数如 1/2、－3/4 等。

这些数都可以表示为两个整数的比值。

而无理数，则是无限不循环小数，比如圆周率π约等于 31415926，以及根号 2 约等于 14142135实数的概念让我们能够描述和处理各种数量关系，无论是在日常生活中的测量、计算，还是在科学研究中的复杂运算，实数都扮演着至关重要的角色。

二、实数的性质1、有序性实数具有有序性，即任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b。

例如，3 ＜ 5，－25 ＞－3 等。

这种有序性让我们能够比较数的大小，从而进行排序和选择。

2、稠密性实数是稠密的，这意味着在任意两个不相等的实数之间，总是存在着无穷多个其他实数。

比如在 1 和 2 之间，有 11、12、125 等等无数个实数。

3、四则运算封闭性实数对四则运算（加、减、乘、除，除数不为 0）是封闭的。

也就是说，两个实数进行四则运算的结果仍然是实数。

例如，3 ＋ 5 ＝ 8，6 25 ＝ 35，4 × 2 ＝ 8，8 ÷ 2 ＝ 4 等。

三、实数的表示方法1、小数表示实数可以用小数来表示。

有限小数，如 025、314 等，能准确地表示为有理数。

无限循环小数，如 0333（1/3），也是有理数。

无限不循环小数，如π、根号 2 等，则是无理数。

2、数轴表示我们可以用数轴来直观地表示实数。

数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。

例如，0 对应的点在数轴的正中间，正数在 0 的右边，负数在 0 的左边。

四、实数的运算1、加法实数的加法遵循交换律和结合律。

交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a例如，2 ＋ 3 ＝ 3 ＋ 2 ＝ 5结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)例如，（1 ＋ 2) ＋ 3 ＝ 1 ＋（2 ＋ 3) ＝ 62、减法减法是加法的逆运算。