全国卷1文科高考真题数学卷word版

普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页， 第II 卷3至4页．考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项： 1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ， 并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后， 用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题， 每小题5分， 共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥， 那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立， 那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =g g球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=L ，，，一、选择题 （1）sin585的值为 (A) 22-(B)22(C)32- (D) 32 (2)设集合A=｛4， 5， 6， 7， 9｝， B=｛3， 4， 7， 8， 9｝， 全集U =A U B ，则集合［u （A I B ）中的元素共有(A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个（3）不等式111x x +〈-的解集为 （A ）{}}{011x x x x 〈〈〉U （B ）{}01x x 〈〈（C ） }{10x x -〈〈 （D ）}{0x x 〈 （4）已知tan a =4,cot β=13,则tan(a+β)= (A)711 (B)711- (C) 713 (D) 713-（5）设双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切， 则该双曲线的离心率等于（A 3 （B ）2 （C 5 （D 6（6）已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞， 则(1)(1)f ＋g ＝（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（7）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学， 若从甲、乙两组中各选出2名同学， 则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 （D ）345种 （8）设非零向量a b c 、、满足a b c ＝＝，a ＋b ＝c ， 则a b ，（A ）150°B ）120° （C ）60° （D ）30°（9）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等， 1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为3 (B) 5 (C) 74 (D) 34(10) 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称， 那么φ的最小值为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π（11）已知二面角αιβ--为600 ， 动点P 、Q 分别在面,αβ内， P 到β3， Q 到α的距离为3 则P 、Q 两点之间距离的最小值为 (A)2 (B) 2 (C)3 (D) 3（12）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F,右准线l ， 点A l ∈， 线段AF 交C 于点B 。

2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（试题部分）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-iB ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2−B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16BC ．12D． 8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1 B．1 CD．110．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ） A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+． (1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x −<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值. 20．实数,a b 满足3a b +≥． (1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．2024年高考文科数学全国甲卷+答案详解（答案详解）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,9【答案】A【解析】根据题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=， 则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=. 故选A2．设z =，则z z ⋅=（ ） A ．-i B ．1C ．-1D ．2【答案】D【解析】根据题意得，z =，故22i 2zz =−=. 故选D3．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y −−≥⎧⎪−−≤⎨⎪+−≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =−可得1155y x z =−，即z 的几何意义为1155y x z =−的截距的15−， 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =−过点A ， 联立43302690x y x y −−=⎧⎨+−=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭，则min 375122z =−⨯=−. 故选D.4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．29【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量 由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式， 193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=. 故选B6．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A．4 B ．3 C ．2 D 【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率. 【解析】根据题意，()10,4F −、()20,4F 、()6,4P −，则1228F F c ==，110PF =，26PF ，则1221064a PF PF =−=−=，则28224c e a ===. 故选C.7．曲线()631f x x x =+−在()0,1−处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．16B C ．12D ． 【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =−−=−，故切线的横截距为13，纵截距为1−，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选A.8．函数()()2e e sin x xf x x x −=−+−在区间[ 2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x −−−=−+−−=−+−=，又函数定义域为[]2.8,2.8−，故该函数为偶函数，AC 错误， 又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=−+−>−+−=−−>−> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， D 错误.故选B.9．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1CD ．1【答案】B 【分析】先将cos cos sin αα−α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为cos cos sin ααα=−11tan =−α，tan 1⇒α=，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪−α⎝⎭， 故选B.10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ=.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ=，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC．2D【答案】C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可. 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==. 根据余弦定理可得:22294b a c ac ac =+−=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=， 因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +. 故选C. 二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ． 【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，当ππ32x −=时，即5π6x =时，()max 2f x =.答案为：2 13．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 【答案】64【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解. 【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a −=−=−，整理得()2225log 60log a a −−=， 2log 1a ⇒=−或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==答案为：64.14．曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为 ．【答案】()2,1−【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a −=−−+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+−+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a −=−−+，即3251a x x x =+−+，令()()32510,g x x x x x =+−+>则()()()2325351g x x x x x =+−=+−'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==−，因为曲线33y x x =−与()21y x a =−−+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈−.答案为：()2,1− 三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=−. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)353232n⎛⎫− ⎪⎝⎭ 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用等比数列的求和公式可求n S .【解析】（1）因为1233n n S a +=−,故1233n n S a −=−，所以()12332n n n a a a n +=−≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =−=⨯−=−，故11a =，故153n n a −⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）根据等比数列求和公式得5113353523213n nnS ⎡⎤⎛⎫⨯−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==− ⎪⎝⎭−. 16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ； (2)求点M 到ABF 的距离. 【答案】(1)见详解；【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V −−=即可求解. 【解析】（1）因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ； （2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，等体积法可得M ABF F ABM V V −−=，2112333F ABM ABM V S FO −=⋅=⋅=△，2222222cos2FA AB FBFAB FAB FA AB+−+−∠===∠=⋅11sin 222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠==△，设点M 到FAB 的距离为d ，则1133M FAB F ABM FAB V V S d d −−==⋅⋅==△解得d =M 到ABF17．已知函数()()1ln 1f x a x x =−−+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x −<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x −−++>即可.【解析】（1）()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x'−=−= 当0a ≤时，1()0ax f x x −'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x −−−−=−−+−≥−++，令1()e 21ln (1)x g x x x x −=−++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x −'=−+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x−'=−，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=−=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=−+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增， 故0()(1)e 21ln10g x g >=−++=，问题得证18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y += (2)见解析【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y −，结合韦达定理化简前者可得10Q y y −=，故可证AQ y ⊥轴.【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a −=，故2a =，故b = 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =−，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=−⎩可得()2222343264120k x k x k +−+−=， 故()()422Δ102443464120k k k =−+−>，故1122k −<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k −+==++， 而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭−，故22223325252Q y y y x x −−==−−， 所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯−+−=+=−− ()()()12224253425k x x k x x −⨯−+−=−()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x −⨯−⨯+−++++==−− 2222212824160243234025k k k k k x −−+++==−，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值. 【答案】(1)221y x =+ (2)34a =【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程. （2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值； 法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将cos x ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+. （2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+. 法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R . 将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +−+−=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=−−=−，且()()22Δ818116160a a a =−−−=−>，故1a <，12AB s s ∴=−2=，解得34a =. 法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +−+−=，()22Δ(22)41880a a a =−−−=−+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=−=−，则AB =2=， 解得34a = 20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a −+=−−++=≥， 当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b −+−≥−+−=+−+ 22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+−+≥+−+=++−≥⨯=。

2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣2，3）2．（5分）若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞03．（5分）设z=+i，则|z|=（）A．B．C．D．24．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．15．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数6．（5分）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．7．（5分）在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos（2x+），④y=tan（2x﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（）A．①②③B．①③④C．②④D．①③8．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱9．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1 B．2 C．4 D．811．（5分）设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣312．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．（5分）设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．16．（5分）如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°，已知山高BC=100m，则山高MN=m．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．18．（12分）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．20．（12分）已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．（12分）设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{0,2}A ，{2,1,0,1,2}B ,则A B =A ．{0,2}B ．{1,2}C ．{0}D ．{2,1,0,1,2}--2．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．23．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．2 D ．225．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．已知函数22()2cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表 面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧 面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||a b -= A ．15B ．5 C ．25D ．112．设函数2,0,()1,0,x x f x x -⎧=⎨>⎩≤ 则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

文科数学 — 第 1 页 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（全国 Ⅰ 卷） 本试卷共 5页， 23题（含选考题） ．全卷满分 150 分．考试用时 120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效． 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑．答案写在答题 卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．

1．已知集合 A x|x2 3x 4 0 ， B 4,1,3,5 ，则 A B A ． 4，1 B ． 1，5 C ． 3，5 D ． 1，3 2．若 z 1 2i i3 ，则 z A． 0 B．1 C． 2 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为 一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该 四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高 与底面正方形的边长的比值为

51 A． 4

B． 5 1 2 C． 51 D． 5 1

2 4

4．设 O 为正方形 ABCD的中心，在 O， A， B， C， D 中任选 3 点，则取到三点共线的概率为 1 2 C． 1 4 A． B． D． 5 5 2 5

5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y和温度 x （单位： C ）的关系，在 20 个不

绝密★启用前 文科数学 — 第 2 页 同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数

(完整word 版)2019年高考文科数学全国1卷(附答案)______________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 全国I 卷本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟(适用地区：河北、河南、山西、山东、江西、安徽、湖北、湖南、广东、福建) 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则UBA =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名 的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉 的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足 上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下 端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190cm5. 函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A. B.C. D.6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号(完整word版)2019年高考文科数学全国1卷(附答案) 学生7．tan255°=A．－2－3B．－2+3C．2－3D．2+38．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π69. 如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A=12A+ B. A=12A+C. A=112A+ D. A=112A+10．双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50︒D．1cos50︒11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B=4c sin C，cos A=－14，则bc=A．6 B．5 C．4 D．312．已知椭圆C的焦点为12(1,0),(1,0)F F-，过F2的直线与C交于A，B两点.若22||2||AF F B=，1||||AB BF=，则C的方程为A．2212xy+=B．22132x y+=C．22143x y+=D．22154x y+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（ ）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设121iz i i-=++，则z =（ ）A ．0B ．12C ．1 D3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为()2,0，则C 的离心率（ ）A ．13B ．12C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．12πC ．D ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A．B．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ） A ．8B．C．D．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（ ） A ．15BCD ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB = ________．16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．三、解答题（共70分。

2024年高考数学（文科）真题试卷（全国甲卷）1.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

设，则（ ）A.B. C.2. D.2若集合，，则（ ）A. B. C. D.3.若满足约束条件，则的最小值为（ ）A. B. C.D.4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ） A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B.C.1 D.6.已知双曲线的两个焦点分别为，点B.3（ ）A.4C.在该双曲线上，则该双曲线的离心率为2 D.7.设函数，则曲线在点积为（ ）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面A.B.C. D.8.函数在区间的图象大致为（ ）A. B.C. D.9.已知，则（ ）A. B. C.D.10.已知直线与圆交于两点，则B.3D.的最小值为（6）A.2C.411.设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或②若，则或③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 12. B.②④D.其中所有真命题的编号是（ ）A.①③C.①②③①③④在中,内角所对的边分别为，若，，则）（A. B. C. D.13.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．函数在上的最大值是_______________．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,15.，则圆台甲与乙的体积之比为_______________．已知且，则16._______________．曲线与在上有两个不同的交点，则17._______________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 的取值范围为（一）必考题：共60分．已知等比数列的前项和为，且 17.1..求17.2.的通项公式；求数列18.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150的前n 项和.件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计9652215018.1.18.2.已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设.为升级改造后抽取的n件产品的优级品率如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k 3.8416.63510.82819.如图，，，，,为的中点.19.1.证明：平面19.2.；求点到20.的距离.已知函数20.1.．求 20.2.的单调区间；当时，证明：当时，21.恒成立．已知椭圆的右焦点为，点在上，且21.1.轴．求21.2.的方程；过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：22.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题轴．号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为22.1..写出22.2.设直线l 的直角坐标方程；：（为参数），若与l相交于两点，若，求23..已知实数满足23.1.．证明：23.2.；证明：．参考答案1.D 解析：先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.依题意得，，故故选：D2.C .解析：根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是故选：C3.D 解析：.画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.实数满足，作出可行域如图：由可得，即的几何意义为的截距的，则该直线截距取最大值时，有最小值，此时直线过点，联立，解得，即，则故选：D.4.B 解析：解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解..解法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为故选：B5.D 解析：.可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和理，或者特殊值法处理.来处理，亦可用等差数列的性质进行处方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又故选：D方法二：利用等差数列的性质.根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故故选：D方法三：特殊值法.不妨取等差数列公差，则，则故选：D6.C 解析：.由焦点坐标可得焦距，结合双曲线定义计算可得由题意，，即可得离心率.设、、，则，，，则，则故选：.C.7.A 解析：借助导数的几何意义计算可得其在点其面积处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得.，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积故选：A.8.B 解析：利用函数的奇偶性可排除A、C .，代入可得，可排除D.，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又故可排除D.故选：B.9.B 解析：，先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.因为，所以，，所以故选：B.10.C 解析：，根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，定理代入计算，即可求解.的最小，结合勾股因为直线，即，令，则，所以直线过定点，设，将圆化为标准式为，所以圆心，半径，当时，的最小，此时故选：C11.A 解析：根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③..对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，故②错误；对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线，因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知，同理可得，则，因为平面，平面，则平面，因为平面，，则，又因为，则，故③正确；对④，若与和所成的角相等，如果，则综上只有①③正确，故选：A.12.C 解析：，故④错误；利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.因为，则由正弦定理得由余弦定理可得.:即，:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则故选：C.13.2 解析：结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. .，当时，，当时，即时，故答案为：.214.先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得 解析：解.由题可得两个圆台的高分别为，，所以.故答案为：15.64 解析：.将利用换底公式转化成来表示即可求解.由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.16. 解析：将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.令，即，令则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以.故答案为：17.1. 解析：因为,故，所以即故等比数列的公比为，故，故，故.17.2. 解析：由等比数列求和公式得，所以数列的前n项和18.1.答案见详解 解析：略18.2.答案见详解 解析：.由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.19.1.证明见详解； 解析：由题意得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面；19.2. 解析：取的中点，连接，，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，故.又平面，所以平面，易知.在中，，所以.设点到平面的距离为，由，得，得，故点到平面的距离为.20.1.见解析 解析：定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为20.2.见解析.解析：，且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证21.1. 解析：设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为21.2.证明见解析. 解析：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又，而，故直线，故，所以，故，即轴.22.1. 解析：由，将代入，故可得，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为.22.2. 解析：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为法1.：直线的斜率为，故倾斜角为，故直线的参数方程可设为，.将其代入中得设两点对应的参数分别为，则，且，故，，解得法2.：联立，得，，解得，设,，则，解得23.1.证明见解析 解析：因为，当时等号成立，则，因为，所以23.2.证明见解析;解析：。

2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学注意事项:1.答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时, 必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.3.答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.5.考试结束后, 只将答题卡交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.集合A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}, 则A∩B=( )(A) {1,2,3,4}(B) {1,2,3,4}(C) {1,2,3,4}(D) {1,2,3,4}【参考答案】A【详细解析】因为A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}={0,1,2,3,4,8}, 所以A∩B= {1,2,3,4}, 故选(A).2. 设z=√2i, 则z⋅z‾=( )(A) 2(B) 2(C) 2(D) 2【参考答案】D【详细解析】因为z=√2i, 所以z⋅z‾=2, 故选(D).3.若实数x,y满足约束条件(略), 则z=x−5y的最小值为 ( )(A)5(B) 12(C) -2(D) −72【参考答案】D【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点: (0,−1)、(32,1) 和 (3,12), 经检验都符合约束条件. 代入目标函数可得: z min =−72, 故选(D). 4.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 S 9=1,a 3+a 7=( ) (A) -2 (B) 73(C) 1 (D) 29【参考答案】D【详细解析】令 d =0, 则 S 9=9a n =1,a n =19,a 3+a 7=29, 故选(D). 5.甲、乙、丙、丁四人排成一列, 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的概率是( ） (A) 14 (B) 13 (C) 12 (D) 23【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能. 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的共有 8 种可能, P =824=13, 故选(B).6. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的左、右焦点分别为 F 1(0, 4)、 F 2(0,−4), 且经过点 P(−6,4), 则双曲线 C 的离心率是 ( ) (A) 135(B) 137(C) 2(D) 3【参考答案】C【详细解析】 e = c=|F 1F 2|a=2, 故选(C).7.曲线 f(x)=x 6+3x 在 (0,−1) 处的切线与坐标轴围成的面积为 ( (A) 1 (B) √32 (C) 12(D) √32【参考答案】A【详细解析】因为 y ′=6x 5+3, 所以 k =3,y =3x −1,S =12×13×1=16, 故选(A). 8.函数 f(x)=−x 2+(e x −e −x )sin x 的大致图像为 ( )【参考答案】B 【详细解析】选(B).9.已知 cos αcos α−sin α=13, 则 tan (α+π4)=( )(A) 3(B) 2√3−1 (C) -3 (D) 13【参考答案】B【详细解析】因为cos αcos α−sin α=√3, 所以 tan α=1−√33,tan (α+π4)=tan α+11−tan α=2√3−1, 故选(B).10.直线过圆心, 直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心, 直径.11.已知已知 m 、n 是两条不同的直线， α、β 是两个不同的平面: (1)若 m ⊥α,n ⊥α, 则 m//n ; (2)若 α∩β=m,m//n , 则 n//β; (3)若 m//α,n//α,m 与 n 可能异面, 也可能相交, 也可能平行; (4)若 α∩β=m,n 与 α 和 β 所成的角相等, 则 m ⊥n , 以上命题是真命题的是( )(A)(1)(3) (B)(2)(3) (C)(1)(2)(3) (D)(1)(3)(4)【参考答案】A【详细解析】选(A).12.在 △ABC 中, 内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c , 若 B =π3, b 2=94ac , 则 sin A +sin C =( ) (A)2√3913(B) √3913(C) 72(D) 3√13 13【参考答案】C【详细解析】因为B=π3,b2=94ac, 所以sin A sin C=49sin2 B=13. 由余弦定理可得: b2=a2+c2−ac=94ac, 即: a2+c2=134ac,sin2 A+sin2 C=134sin A sin C=1312, 所以(sin A+sin C)2=sin2 A+sin2 C+2sin A sin C=74,sin A+sin C=√72, 故选(C).二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.略14. 函数f(x)=sin x−√3cos x在[0,π]上的最大值是【参考答案】2【详细解析】f(x)=sin x−√3cos x=2sin (x−π3)⩽2, 当且仅当x=5π6时取等号.15. 已知a>1,1log8 a −1log a4=−52, 则a= .【参考答案】 64【详细解析】因为1log8 a −1log a4=3log2 a−12log2 a=−52, 所以(log2 a+1)(log2 a−6)=0,而a>1,故log2 a=6,a=64.16. 曲线y=x3−3x与y=−(x−1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点, 则a的取值范围为 .【参考答案】(−2,1)【详细解析】令x3−3x=−(x−1)2+a, 则a=x3−3x+(x−1)2, 设φ(x)=x3−3x+ (x−1)2,φ′(x)=(3x+5)(x−1),φ(x)在(1,+∞)上递增, 在(0,1)上递减. 因为曲线y= x3−3x与y=−(x−1)2+a在(0,+∞)上有两个不同的交点, φ(0)=1,φ(1)=−2, 所以a的取值范围为(−2, 1).三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第17 题第 21 题为必考题, 每个考题考生必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一)必考题: 共 60 分.17.(12 分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n, 且2S n=3a n+1−3.(1)求 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {S n } 的通项公式. 【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为 2S n =3a n+1−3, 所以 2S n+1=3a n+2−3, 两式相减可得: 2a n+1=3a n+2− 3a n+1, 即: 3a n+2=5a n+1, 所以等比数列 {a n } 的公比 q =53, 又因为 2S 1=3a 2−3=5a 1−3, 所以 a 1=1,a n =(53)n−1;(2) 因为 2S n =3a n+1−3, 所以 S n =32(a n+1−1)=32[(53)n−1].18.(12 分)题干略. 【详细解析】(1) χ2=150(70×24−26×30)296×54×50×100<6.635, 没有 99% 的把握;(2) p ‾>p +1.65√p(1−p)150, 故有优化提升. 19.(12 分)如图, 已知 AB//CD,CD//EF,AB =DE =EF =CF =2, CD =4,AD =BC =√10,AE =2√3,M 为 CD 的中点. (1)证明: EM// 平面 BCF ; (2)求点 M 到 ADE 的距离.【参考答案】见解析【详细解析】(1)由题意: EF//CM,EF =CM , 而 CF 平面 ADO,EM ⊈ 平面 ADO , 所以 EM // 平面 BCF ;(2)取 DM 的中点 O , 连结 OA,OE , 则 OA ⊥DM,OE ⊥DM,OA =3,OE =√3, 而 AE =2√3,故OA⊥OE,S△AOE=2√33. 因为DE=2,AD=√10, 所以AD⊥DE,S△AOE=√10.DM设点M到平面ADE的距离为ℎ, 所以V M−ADE=13S△ADE⋅ℎ=13S△AOE⋅DM,ℎ=4√3√10=2√305, 故点M到ADE的距离为2√30 5.20.(12 分) 已知函数f(x)=a(x−1)−ln x+1.(1)求f(x)的单调区间; ◻(2)若a⩽2时, 证明: 当x>1时, f(x)<e x−1恒成立. 【参考答案】见解析若a⩽0,f′(x)<0,f(x)的减区间为(0,+∞), 无增区间;若a>0时, 当0<x<1a 时, f′(x)<0, 当x>1a时, f′(x)>0, 所以f(x)的减区间为(0,1a ), 增区间为(1a,+∞);(2)因为a⩽2, 所以当x>1时, e x−1−f(x)=e x−1−a(x−1)+ln x−1⩾e x−1−2x+ ln x+1. 令g(x)=e x−1−2x+ln x+1, 则g′(x)=e x−1−2+1x. 令ℎ(x)=g′(x), 则ℎ′(x)=e x−1−1x2在(1,+∞)上递增, ℎ′(x)>ℎ′(1)=0, 所以ℎ(x)=g′(x)在(1,+∞)上递增, g′(x)>g′(1)=0, 故g(x)在(1,+∞)上递增, g(x)>g(1)=0, 即: 当x>1时, f(x)< e x−1恒成立.21.(12 分) 已知粗圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F, 点M(1, 32在椭圆C上, 且MF⊥x轴.(1)求椭圆C的方程;(2) P(4,0), 过P的直线与椭圆C交于A,B两点, N为FP的中点, 直线NB与MF交于Q,证明: AQ⊥y轴.【参考答案】见解析【详细解析】(1)设椭圆C的左焦点为F1, 则|F1F|=2,|MF|=32. 因为MF⊥x轴, 所以∣MF1=52,2a=|MF1|+|MF|=4, 解得: a2=4,b2=a2−1=3, 故椭圆C的方程为: x24+y23=1;{3x 12+4y 12=123(λx 2)2+4(λy 2)2=12λ2可得: 3⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ+4⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=12, 结合上式可得: 5λ− 2λx 2+3=0.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q =3y 25−2x 2=3λy 25λ−2λx 2=−λy 2=y 1, 故AQ ⊥y 轴.x 2y 1)(x 1y 2+x 2y 1)=x 12y 22−x 22y 12=(4+4y 123)y 22−(4+4y 223)y 12=4(y 2−y 1)(y 2+y 1)=4(y 2−y 1)(x 1y 2+x 2y 1),即: x 1y 2+x 2y 1=y 2+y 1,2x 2y 1=5y 1−3y 2.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q=3y 25−2x 2=3y 1y 25y 1−2y 1x 2=y 1, 故 AQ ⊥y 轴.(二)选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.[选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ρcos θ+1. (1)写出 C 的直角坐标方程;(2)直线 {x =ty =t +a (t 为参数)与曲线 C 交于 A 、B 两点, 若 |AB|=2, 求 a 的值.【参考答案】见解析【详细解析】(1)因为 ρ=ρcos θ+1, 所以 ρ2=(ρcos θ+1)2, 故 C 的直角坐标方程为: x 2+y 2=(x +1)2, 即: y 2=2x +1; ◻(2) 将 {x =ty =t +a 代入 y 2=2x +1 可得: t 2+2(a −1)t +a 2−1=0,|AB|=√2|t 1−t 2|=√16(1−a)=2,解得: a =34.[选修 4-5: 不等式选讲](10 分)实数 a,b 满足 a +b ⩾3. (1)证明: 2a 2+2b 2>a +b ; (2)证明: |a −2b 2|+|b −2a 2|⩾6.【解析】(1)因为a+b⩾3, 所以2a2+2b2⩾(a+b)2>a+b;(2) |a−2b2|+|b−2a2|⩾|a−2b2+b−2a2|=|2a2+2b2−(a+b)|=2a2+2b2−(a+b)⩾(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)⩾6.。

2024 年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围: 陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前, 务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时, 必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦擦干净后, 再选涂其它答案标号.3.答非选择题时, 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔, 将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.5.考试结束后, 只将答题卡交回.一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.集合A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}, 则A∩B=( )(A) {1,2,3,4}(B) {1,2,3,4}(C) {1,2,3,4}(D) {1,2,3,4}【参考答案】A【详细解析】因为A={1,2,3,4,5,9},B={x∣x+1∈A}={0,1,2,3,4,8}, 所以A∩B= {1,2,3,4}, 故选(A).2. 设z=√2i, 则z⋅z‾=( )(A) 2(B) 2(C) 2(D) 2【参考答案】D【详细解析】因为z=√2i, 所以z⋅z‾=2, 故选(D).3.若实数x,y满足约束条件(略), 则z=x−5y的最小值为 ( )(A)5(B) 12(C) -2(D) −72【参考答案】D【详细解析】将约束条件两两联立可得 3 个交点: (0,−1)、(32,1)和(3,12), 经检验都符合约束条件. 代入目标函数可得: z min=−72, 故选(D).4.等差数列{a n}的前n项和为S n, 若S9=1,a3+a7=( )(A) -2(B) 73(C) 1(D) 29【参考答案】D【详细解析】令d=0, 则S9=9a n=1,a n=19,a3+a7=29, 故选(D).5.甲、乙、丙、丁四人排成一列, 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的概率是( ）(A) 14(B) 13(C) 12(D) 23【详细解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有 24 种可能. 丙不在排头, 且甲或乙在排尾的共有 8 种可能, P=824=13, 故选(B).6. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(0, 4)、F2(0,−4), 且经过点P(−6,4), 则双曲线C的离心率是( ) (A) 135(B) 137(C) 2(D) 3【参考答案】C【详细解析】e=c=|F1F2|a=2, 故选(C).7.曲线f(x)=x6+3x在(0,−1)处的切线与坐标轴围成的面积为 ((A) 1(B)3 2(C) 12(D) √3 2【参考答案】A【详细解析】因为y′=6x5+3, 所以k=3,y=3x−1,S=12×13×1=16, 故选(A).8.函数f(x)=−x2+(e x−e−x)sin x的大致图像为 ( ) 【参考答案】B【详细解析】选(B).9.已知cos αcos α−sin α=13, 则tan (α+π4)=( )(A) 3(B) 2√3−1(C) -3(D) 13【参考答案】B【详细解析】因为cos αcos α−sin α=√3, 所以tan α=1−√33,tan (α+π4)=tan α+11−tan α=2√3−1, 故选(B).10.直线过圆心, 直径【参考答案】直径【详细解析】直线过圆心, 直径.11.已知已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面: (1)若m⊥α,n⊥α, 则m//n; (2)若α∩β=m,m//n, 则n//β; (3)若m//α,n//α,m与n可能异面, 也可能相交, 也可能平行; (4)若α∩β=m,n与α和β所成的角相等, 则m⊥n, 以上命题是真命题的是( )(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(2)(3)(D)(1)(3)(4)【参考答案】A【详细解析】选(A).12.在△ABC中, 内角A,B,C所对边分别为a,b,c, 若B=π3, b2=94ac, 则sin A+sin C=( )(A)23913(B) √3913 (C) 72(D)3√1313【参考答案】C【详细解析】因为 B =π3,b 2=94ac , 所以 sin A sin C =49sin 2 B =13. 由余弦定理可得: b 2=a 2+c 2 −ac =94ac , 即: a 2+c 2=134ac,sin 2 A +sin 2 C =134sin A sin C =1312, 所以 (sin A +sin C)2=sin 2A +sin 2C +2sin A sin C =74,sin A +sin C =√72, 故选(C).二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.略14. 函数 f(x)=sin x −√3cos x 在 [0,π] 上的最大值是【参考答案】2【详细解析】 f(x)=sin x −√3cos x =2sin (x −π3)⩽2, 当且仅当 x =5π6时取等号. 15. 已知 a >1,1log8a−1log a4=−52, 则 a = . 【参考答案】 64【详细解析】因为 1log8a−1loga4=3log 2a−12log 2 a =−52, 所以 (log 2 a +1)(log 2 a −6)=0, 而 a >1,故 log 2 a =6,a =64.16. 曲线 y =x 3−3x 与 y =−(x −1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, 则 a 的取值范围为 .【参考答案】 (−2,1)【详细解析】令 x 3−3x =−(x −1)2+a , 则 a =x 3−3x +(x −1)2, 设 φ(x)=x 3−3x +(x −1)2,φ′(x) =(3x +5)(x −1),φ(x) 在 (1,+∞) 上递增, 在 (0,1) 上递减. 因为曲线 y =x 3−3x 与 y =−(x −1)2+a 在 (0,+∞) 上有两个不同的交点, φ(0)=1,φ(1)=−2, 所以 a 的取值范围为 (−2, 1).三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 第 17 题 第 21 题为必考题, 每个考题考生必须作答. 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答.(一)必考题: 共 60 分.17.(12 分)已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 且 2S n =3a n+1−3. (1)求 {a n } 的通项公式; (2)求数列 {S n } 的通项公式. 【参考答案】见解析.【详细解析】(1)因为 2S n =3a n+1−3, 所以 2S n+1=3a n+2−3, 两式相减可得: 2a n+1=3a n+2− 3a n+1, 即: 3a n+2=5a n+1, 所以等比数列 {a n } 的公比 q =53, 又因为 2S 1=3a 2−3=5a 1−3, 所以 a 1=1,a n =(53)n−1;(2) 因为 2S n =3a n+1−3, 所以 S n =32(a n+1−1)=32[(53)n−1].18.(12 分)题干略. 【详细解析】(1) χ2=150(70×24−26×30)296×54×50×100<6.635, 没有 99% 的把握;(2) p ‾>p +1.65√p(1−p)150, 故有优化提升. 19.(12 分)如图, 已知 AB//CD,CD//EF,AB =DE =EF =CF =2, CD =4,AD =BC =√10,AE =2√3,M 为 CD 的中点. (1)证明: EM// 平面 BCF ; (2)求点 M 到 ADE 的距离.【参考答案】见解析【详细解析】(1)由题意: EF//CM,EF =CM , 而 CF 平面 ADO,EM ⊈ 平面 ADO , 所以 EM //平面BCF;(2)取DM的中点O, 连结OA,OE, 则OA⊥DM,OE⊥DM,OA=3,OE=√3, 而AE=2√3,故OA⊥OE,S△AOE=2√33. 因为DE=2,AD=√10, 所以AD⊥DE,S△AOE=√10.DM设点M到平面ADE的距离为ℎ, 所以V M−ADE=13S△ADE⋅ℎ=13S△AOE⋅DM,ℎ=4√3√10=2√305, 故点M到ADE的距离为2√30 5.20.(12 分) 已知函数f(x)=a(x−1)−ln x+1.(1)求f(x)的单调区间; ◻(2)若a⩽2时, 证明: 当x>1时, f(x)<e x−1恒成立. 【参考答案】见解析若a⩽0,f′(x)<0,f(x)的减区间为(0,+∞), 无增区间;若a>0时, 当0<x<1a 时, f′(x)<0, 当x>1a时, f′(x)>0, 所以f(x)的减区间为(0,1a ), 增区间为(1a,+∞);(2)因为a⩽2, 所以当x>1时, e x−1−f(x)=e x−1−a(x−1)+ln x−1⩾e x−1−2x+ ln x+1. 令g(x)=e x−1−2x+ln x+1, 则g′(x)=e x−1−2+1x. 令ℎ(x)=g′(x), 则ℎ′(x)=e x−1−1x2在(1,+∞)上递增, ℎ′(x)>ℎ′(1)=0, 所以ℎ(x)=g′(x)在(1,+∞)上递增, g′(x)>g′(1)=0, 故g(x)在(1,+∞)上递增, g(x)>g(1)=0, 即: 当x>1时, f(x)< e x−1恒成立.21.(12 分) 已知粗圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F, 点M(1, 32在椭圆C上, 且MF⊥x轴.(1)求椭圆C的方程;(2) P(4,0), 过P的直线与椭圆C交于A,B两点, N为FP的中点, 直线NB与MF交于Q,证明: AQ⊥y轴.【参考答案】见解析【详细解析】(1)设椭圆C的左焦点为F1, 则|F1F|=2,|MF|=32. 因为MF⊥x轴, 所以∣MF1=52,2a=|MF1|+|MF|=4, 解得: a2=4,b2=a2−1=3, 故椭圆C的方程为: x24+y 23=1;{3x 12+4y 12=123(λx 2)2+4(λy 2)2=12λ2可得: 3⋅x 1+λx 21+λ⋅x 1−λx 21−λ+4⋅y 1+λy 21+λ⋅y 1−λy 21−λ=12, 结合上式可得: 5λ− 2λx 2+3=0.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q =3y 25−2x 2=3λy 25λ−2λx 2=−λy 2=y 1, 故AQ ⊥y 轴.x 2y 1)(x 1y 2+x 2y 1)=x 12y 22−x 22y 12=(4+4y 123)y 22−(4+4y 223)y 12=4(y 2−y 1)(y 2+y 1)=4(y 2−y 1)(x 1y 2+x 2y 1),即: x 1y 2+x 2y 1=y 2+y 1,2x 2y 1=5y 1−3y 2.P(4,0),F(1,0),N (52,0), 则 y Q =3y 25−2x 2=3y 1y 25y1−2y 1x 2=y 1, 故 AQ ⊥y 轴.(二)选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 并用 2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分, 如果多做, 则按所做的第一题计分.22.[选修 4-4: 坐标系与参数方程](10 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ρcos θ+1. (1)写出 C 的直角坐标方程;(2)直线 {x =ty =t +a (t 为参数)与曲线 C 交于 A 、B 两点, 若 |AB|=2, 求 a 的值.【参考答案】见解析【详细解析】(1)因为 ρ=ρcos θ+1, 所以 ρ2=(ρcos θ+1)2, 故 C 的直角坐标方程为: x 2+y 2=(x +1)2, 即: y 2=2x +1; ◻(2) 将 {x =ty =t +a 代入 y 2=2x +1 可得: t 2+2(a −1)t +a 2−1=0,|AB|=√2|t 1−t 2|=√16(1−a)=2,解得: a =34.[选修 4-5: 不等式选讲](10 分)实数 a,b 满足 a +b ⩾3. (1)证明: 2a 2+2b 2>a +b ;(2)证明: |a−2b2|+|b−2a2|⩾6.【解析】(1)因为a+b⩾3, 所以2a2+2b2⩾(a+b)2>a+b;(2) |a−2b2|+|b−2a2|⩾|a−2b2+b−2a2|=|2a2+2b2−(a+b)|=2a2+2b2−(a+b)⩾(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)⩾6.。