安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一数学下学期第二阶段考试试题

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_____姓名：__
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__考号：________19、六安一中2019~2020学年度第一学期高二年级自测试卷数学答题卡（文科）
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□22、□23、
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安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1.等差数列中18153120a aa ++=，则9102aa -的值是（ ）A. 24 B 。

22 C. 20D.8-【答案】A 【解析】 【分析】设公差为d ，则条件可化简为：1724a d +=，又9102aa -＝17a d +，即得结果.【详解】设公差为d ，则()181511133714120a aa a a d a d ++=++++=，所以1724a d +=，9102a a -＝()()111289724a d a d a d +-+=+=。

故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，考查学生的基本运算能力。

2。

sin1212ππ的值是( ) A 。

0 B 。

C.D 。

5sin12π 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式得sin2sin 12124πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由诱导公式化简即可。

【详解】1sin 2sin 2sin 1212212212123ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 44ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式,诱导公式的应用. 3。

下列说法正确的是( )A.22a b ac bc >⇒> B. 22a b a b >⇒> C 。

33a b a b >⇒>D.22a b a b >⇒>【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质,对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【详解】选项A ,当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误；选项B ,当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误；选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ,故错误． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．4。

专题01 平面向量的概念一、单选题1．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若a b ＝，则//a bD ．若a b ≠，则a b ≠ 【试题来源】山西省忻州市第一中学北校2019-2020学年高一下学期3月月考【答案】D【分析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项．【解析】对于A ，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A 错误；对于B ，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当a b ≠时可能a b ＝，所以B 错误； 对于C ，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当a b ＝时a 和b 不一定平行，所以C 错误；对于D ，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若a b ≠，则a b ≠成立，所以D 正确．综上可知，D 为正确选项，故选D 【名师点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题． 2．给出下列四个说法：①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则||||a b =；④若//a b ，//b c ，则//a c ．其中错误的说法有A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一上学期期末（文）【答案】D【解析】①只有零向量的模是0，因此应有0a =，不是0，错；②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；④当0b =时，,a c 不一定共线，错．故选D ．【名师点睛】本题考查向量的概念，掌握向量的定义是解题关键．3．下列关于向量的命题正确的是A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】C【分析】利用向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【解析】A ． 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；B ． 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误；C ． 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D ． 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误．故选C【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4．下列命题正确的是A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（人教A 版2019）【答案】A【分析】根据零向量的定义，可判断A 项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B ，C ，D 项均错．【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||=时，只说明向,a b的长度相等，无法确定方向，a b所以B，C均错；a b 时，只说明,a b方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错．故选A．【名师点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题．5．下列说法中，正确的个数是①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量A．1B．2C．3D．4【试题来源】湖北省武汉市第六中学2018-2019学年高一下学期2月月考【答案】B【分析】根据向量的相关概念，逐项判定，即可得出结果．【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错；③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即④正确．故选B．【名师点睛】本题主要考查向量有关命题的判定，熟记向量的相关概念即可，属于基础题型．6．下列说法中正确的是A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度为零D．共线向量是在一条直线上的向量【试题来源】吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高一下学期线上检测数学试卷【答案】C【分析】直接根据共线向量、相等向量、零向量的概念判断即可．【解析】平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，故A，D错；相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故B错；长度为零的向量叫零向量，故C对；故选C．【名师点睛】本题主要考查平面向量的有关概念，属于基础题．7．下列命题正确的是A．若,a b都是单位向量，则a b=B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同C．向量AB与BA是两个平行向量A B C D四点是平行四边形的四个顶点D．若AB DC=，则,,,【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】C【分析】利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D．【解析】对于A，单位长度为1的向量为单位向量，,a b都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；对于C，向量AB与BA为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；A B C D四点在同一条直线上，对于D，AB DC=，若,,,A B C D 不能构成平行四边形，故D不正确；故选C,,,【名师点睛】本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题．8．下列说法错误的是A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】D【分析】向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况．向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项．【解析】A．向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；B ．规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C ．能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D ．长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确．【名师点睛】本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型．9．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等．其中假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】2021年高考数学复习一轮复习笔记【答案】C【分析】分别根据每个命题的条件推论即可判断．【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题； 对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD =-，故②是假命题；对于③，显然若m n =，n k =，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．下列说法中正确的是．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >【试题来源】吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试【答案】C【分析】由零向量，平行向量，相等向量的定义逐一判断可得选项．【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，故A 错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故B 错误；对于C ，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C 正确；对于D ，两个向量不能比较大小，故D 错误．故选C ．【名师点睛】本题考查向量的基本定义，在判断关于向量的命题时注意向量的方向，属于基础题．11．以下说法正确的是A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】C【分析】根据向量的基本概念逐一判断即可．【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误， 零向量是没有方向的向量，B 错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选C ．12．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若,a b 都是单位向量，则a b =；③向量AB 与BA 相等．则所有正确命题的序号是A ．①B ．③C ．①③D ．①②【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教B 版2019必修第二册）【答案】A【分析】根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③．【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向AB 与BA 互为相反向量，故③错误．故选A ．【名师点睛】本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可．13．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】根据相等向量的有关概念判断．【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，所以正确答案只有一个．故选B ．14．下列命题中，正确命题的个数是①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是||a a ．A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】天津市和平区耀华中学2019-2020学年高一下学期期中【答案】A【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可．【解析】因为不同的单位向量的方向可能不相同，所以①错误；相反向量的长度相等，但方向相反，则②错误；因为共线的单位向量方向可能相反，所以它们不一定相等，则③错误；与非零向量a 共线的单位向量是||a a 或||a a -，则④错误；故选A 【名师点睛】本题主要考查了对单位向量，相等向量，共线向量的辨析，属于基础题． 15．有下列命题：①若a b →→=，则a b →→=；②若AB DC →→=，则四边形ABCD 是平行四边形；③若m n →→=，n k →→=，则m k →→=；④若//a b →→，//b c →→，则//a c →→．其中，假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【试题来源】宁夏育才中学2019-2020学年高一5月教学质量检测 【答案】C 【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可．【解析】a b →→=，则a b →→，的方向不确定，则a b →→，不一定相等， ①错误；若AB DC →→=，则,AB DC →→的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；若m n →→=，n k →→=，则m k →→=，③正确；若//a b →→，//b c →→，则0b →→=时，//a c →→不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．16．下列说法不正确的是A ．平行向量也叫共线向量B ．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C ．若a 为非零向量，则a a是一个与a 同向的单位向量 D ．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一上学期期末（理）【答案】D【分析】根据共线向量的定义判断AB ；由a a 的模长为1，10a >得出a a是一个与a 同向的单位向量；举例排除D ．【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A 正确； 两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B 正确； a a 的模长为1，10a >，则a a是一个与a 同向的单位向量，C 正确； 从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D 错误；故选D【名师点睛】本题主要考查了共线向量概念的辨析，属于基础题．17．下列四个命题正确的是A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【试题来源】辽宁省阜新市第二高级中学2019-2020学年高一下学期第一次学考【答案】B【分析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案．【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选B．【名师点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题．18．有下列说法：①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形ABCD是平行四边形，则AB CD=；③若//a c；b c，则//a b，//AB CD．④若AB CD=，则AB CD且//其中正确说法的个数是A．0B．1C．2D．3【试题来源】2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）【答案】A【分析】对于①，根据向量相等的定义以及向量共线的定义可知结论不正确；对于②，根据向量相等的定义可知结论不正确；对于③，找特殊向量，当0b=时，可知结论不正确；对于④，AB与CD不一定平行，AB与CD可能在一条直线上，可知结论不正确．【解析】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；对于②，若四边形ABCD是平行四边形，则AB DC=，故②不正确；对于③，当0b=时，a与c可以不共线，故③不正确；AB CD或AB与CD在一条直线上”，故④不对于④，“若AB CD=，则AB CD且//正确．故选A．【名师点睛】本题考查了向量相等的定义，考查了向量共线的定义，属于基础题．19．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若//a b ，则a b =C ．若a b =，则a b =D ．若λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量 【试题来源】山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期中 【答案】D 【分析】根据相等向量，共线向量的定义判断可得；【解析】对于A ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，当//a b 时，其模长a 与b 可能相等或a b λ=0λ≥，或b a λ=0λ≥，所以B 错误；对于C ，当a b =时，不一定有a b =，因为a b =要a b =且a 与b 同向，所以C 错误； 对于D ，λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量，D 正确．故选D ． 【名师点睛】本题考查了平面向量的基本概念应用问题，属于基础题．20．如图所示，在正ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量中与ED 相等的是A ．EFB ．BEC ．FBD ．FC【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（人教A 版2019）【答案】D【分析】由题意先证明//DE CB 且12DE CB =，再利用中点找出所有与向量ED 相等的向量【解析】DE 是ABC 的中位线，//DE CB ∴且12DE CB =， 则与向量ED 相等的有BF ，FC ．故选D ．【名师点睛】本题考查了相等向量的定义，利用中点和中位线找出符合条件的所求的向量，属于基础题．21．已知a 、b 是平面向量，下列命题正确的是A ．若||||1a b ==，则a b =B ．若||||a b <，则a b <C ．若0a b +=，则//a bD ．零向量与任何非零向量都不共线【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题【答案】C【分析】A ，根据向量的定义判断；B ．向量不能比较大小判断；C ，若0a b +=，则b a =-，由共线向量定理判断；D ，由零向量与任一向量共线判断．【解析】对于A ，向量方向不相同则向量不相等，选项A 错误；对于B ．向量不能比较大小，选项B 错误；对于C ，若0a b +=，则b a =-，//b a ∴，选项C 正确；对于D ，零向量与任一向量共线，选项D 错误．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题．22．下列命题中正确的是A ．若||a b |=|，则a b =B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若||a b |=|，则a 与b 可能共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线【试题来源】考点18 平面向量的概念及其线性运算-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】C【分析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出．【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误．故选C【名师点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题．23．下列关于向量的概念叙述正确的是A．方向相同或相反的向量是共线向量B．若//a ca b，//b c，则//C．若a和b都是单位向量，则a b=D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合【试题来源】山西省2019-2020学年高一下学期期末（理）【答案】A【分析】由向量共线的定义，可知A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不定，不相等；向量相等即大小和方向相同即可．【解析】由向量共线的定义可知，A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不确定，故C不正确；向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故D不正确．故选A【名师点睛】本题考查了向量的定义和基本性质，考查了理解辨析能力，属于基础题目．24．已知向量a与b共线，下列说法正确的是A．a b=或a b=-B．a与b平行C．a与b方向相同或相反D．存在实数λ，使得λa b【试题来源】安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高一下学期期末【答案】B【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．【解析】向量a与b共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；向量a与b共线，则a与b平行，故B正确；a为零向量，则满足a与b共线，方向不一定相同或相反；故C错；当0a ≠，0b =时，满足a 与b 共线，但不存在实数λ，使得λa b ，故D 错．故选B ．【名师点睛】本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型．25．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解析】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，且=AB CD ，但AB CD ≠，故③错； a b ≠，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错．故选B ．26．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反； ③若//a b 且//b c ，则//a c ； ④若a b =，则2a b >．其中正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】四川省凉山州2019-2020学年高一下学期期末考试（文）【答案】B【分析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数．【解析】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的．②，若//a b ，则可能b 为零向量，方向任意，所以②错误．③，若//a b 且//b c ，则可能b 为零向量，此时,a c 不一定平行，所以③错误．④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误．故正确的命题有1个．故选B【名师点睛】本题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题． 27．设,a b 是非零向量，则“2a b =”是“a a b b =” 成立的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】山东省济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三上学期11月月考【答案】B 【分析】结合共线向量、单位向量的知识，以及充分、必要条件的概念，判断出正确选项．【解析】依题意,a b 是非零向量，a a 表示与a 同向的单位向量，b b 表示与b 同向的单位向量，当2a b =时，,a b 的方向相同，所以a a b b =， 当a a b b =时，,a b 的方向相同，但不一定有2a b =，如3a b =也符合， 所以“2a b =”是“a a b b=” 成立的充分不必要条件．故选B【名师点睛】本题主要考查共线向量的知识、单位向量的知识，考查充分、必要条件的判断，属于基础题．28．若四边形ABCD 是矩形，则下列说法不正确的是A ．AB →与CD →共线B ．AC →与BD →共线 C ．AD →与CB →模相等，方向相反 D ．AB →与CD →模相等【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（苏教版）【答案】B【分析】根据向量的共线及模的概念即可求解．【解析】因为四边形ABCD 是矩形，所以AB →与CD →共线，AD →与CB →模相等，方向相反，AB →与CD →模相等正确， AC →与BD →共线错误，故选B29．设,a b →→是两个平面向量，则“a b →→=”是“||||a b →→=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及向量的概念判断即可．【解析】因为a b →→=，则一定有||||a b →→=，而||||a b →→=推不出a b →→=，所以“a b →→=”是“||||a b →→=”的充分不必要条件，故选A30．下列关于向量的结论：（1）若||||a b =，则a b =或a b =-；（2）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >．其中正确的序号为A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（4）D ．（3） 【试题来源】专题07 平面向量的实际背景及基本概念（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】D【分析】根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量,a b 都是零向量时，由向量,a b 平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．【解析】（1）若||||a b =，由于,a b 的方向不清楚，故不能得出a b =或a b =-，故（1）不正确．（2）由零向量与任何向量平行，当向量a 与b 平行时，不能得出a 与b 的方向相同或相反，故（2）不正确．（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确．（4）向量不能比较大小，故（4）不正确．故选D ．二、多选题1．下面的命题正确的有．A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形”【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过【答案】AD【分析】根据向量的概念：方向相反或相同的非零向量共线，模相等且方向相同的向量相等，向量除了相等的情况不能比较大小，即可判断选项正误；【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A 正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B 错误；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；A 、B 、C 、D 是不共线的点，AB DC =，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD 对边平行且相等，反之也成立，故D 正确．故选AD【名师点睛】本题考查了向量的基本概念，需要理解向量共线、相等的条件，属于简单题；2．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是A ．,AD CB 共线B ．,AC BD 相等 C ．,AD CB 模相等，方向相反 D ．,AC BD 模相等【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教B 版2019必修第二册）【答案】ACD【分析】根据向量的加法和减法的几何意义（平行四边形法则)，结合矩形的判定与性质进行分析可解．【解析】因为四边形ABCD 是矩形，,ADBC AC BD ∴=‖， 所以,AD CB 共线，,AC BD 模相等，故A 、D 正确；因为矩形的对角线相等，所以|AC|=|BD|，,AC BD 模相等，但的方向不同，故B 不正确；|AD|=|CB|且AD ∥CB ，所以,AD CB 的模相等，方向相反，故C 正确．【名师点睛】本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属基础题，根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键．3．在下列结论中，正确的有A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等【试题来源】江苏省淮安市涟水县第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考【答案】BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案．【解析】A ． 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B ． 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C ． 相等向量方向相同，模相等，正确；。

安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．等差数列中18153120a a a ++=，则9102a a -的值是( )A ．24B ．22C ．20D ．8-2．sin 1212ππ的值是( )A ．0B ．CD ．5sin 12π 3．下列说法正确的是( )A ．22a b ac bc >⇒>B ．22a b a b >⇒>C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b >⇒>4．设,a b ∈R ，若3a 与3b 的等比中项，则22a b +的最小值是( )A ．6B ．C ．D ．5．设z x y =-，式中变量x 和y 满足条件3020x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩，则z 的最小值为( ) A ．1 B ．1- C ．3 D ．3- 6．设()f x 为一次函数，若(0)1f =，且(1)f ，(4)f ，(13)f 成等比数列，则(2)(4)(6)(2)f f f f n +++⋯+的值为( )A ．(23)n n +B ．(4)n n +C ．2(23)n n +D ．2(24)n n + 7．若{}n a 是等比数列，前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a +++⋯+=( )A ．()221n -B ．()21213n -C ．41n -D ．()1413n - 8．已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，且4a =，5b c +=，tan tan tan A B A B ++=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．32B ．C ．2D ．529．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B C A B C +=+，则ABC V 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能 10．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则b a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．D ．，2) 11．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A ．1318 B ．322 C ．1322D ．318 12．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n na b 为正偶数时，n 的值是 （ ） A ．1B ．2C ．5D ．3或11 13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．春夏季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗的人数依次构成数列{}n a ，已知121,2a a ==，且满足()*21(1)n n n a a n N +-=+-∈，则该医院30天入院治疗流感的人数共有______人．15．已知α∈R ，sin α＋2cos αtan 2α等于________． 16．ABC ∆中，BC 边上的高AD BC =，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，则b c c b +的取值范围是__________．17．若不等式2520ax x +->的解集是122xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．18．已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 19．△ABC 在内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a=bcosC+csinB ．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b=2，求△ABC 面积的最大值.20．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨．（1）列出甲、乙两种产品满足的关系式，并画出相应的平面区域；（2）在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大，最大利润是多少？（用线性规划求解要画出规范的图形及具体的解答过程）21．已知数列{}n a 满足11a =，且122n n n a a -=+（2n ≥，且*n N ∈）.（1）求证：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式（3）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求证：232n n S n >-. 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且142n n S a +=+，11a =．（1）12n n n b a a +=-，求证数列{}n b 是等比数列；（2）设2n n n a c =，求证数列{}n c 是等差数列； （3）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ．参考答案1．A【解析】【分析】设公差为d ，则条件可化简为：1724a d +=，又9102a a -＝17a d +，即得结果.【详解】设公差为d ，则()181511133714120a a a a a d a d ++=++++=，所以1724a d +=，9102a a -＝()()111289724a d a d a d +-+=+=.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，考查学生的基本运算能力.2．B【解析】【分析】由两角差的正弦公式得sin2sin 12124πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由诱导公式化简即可. 【详解】1sin 2sin 2sin 121221212123ππππππ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 44ππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式，诱导公式的应用.3．C【解析】【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【详解】选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2＞bc 2，故错误；选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误；选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．4．B【解析】【分析】由题得，(233a b ⋅=即3a b +=，由基本不等式可得22a b +的最小值.【详解】Q 3a 与3b 的等比中项，(233a b ∴⋅=，即得3a b +=， 又22222a b a b ++≥=⋅=当且仅当32a b ==时，等号成立，故22a b +的最小值为故选：B【点睛】 本题主要考查了等比中项性质，基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.5．A【解析】【分析】先作出可行域，由目标函数z 的几何意义结合图形即可得z 的最小值.【详解】可行域如图：由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩得点()2,1A ， 由图知，当z x y =-过点A 时，z 有最小值，所以min 211z =-=.故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查了数形结合的思想.6．A【解析】【分析】由已知可设()1f x kx =+，又(1)f ，(4)f ，(13)f 成等比数列，求出k ，再利用等差数列的求和公式求解即可.【详解】由()f x 为一次函数且(0)1f =，可设()()10f x kx k =+≠，又(1)f ，(4)f ，(13)f 成等比数列，得()()()2411131k k k +=++，解得：2k =，所以()21f x x =+， ()()()(2)(4)(6)(2)=221241221f f f f n n ++++⨯++⨯+++⨯+∴……()()22222422232n n n n n n n +=++++=⨯+=+…. 故选：A【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，等差数列的前n 项和，等比中项的性质，考查了学生的运算求解能力.7．D【解析】【分析】由n S 与n a 的关系，求出n a ，利用等比数列求和公式算出结果.【详解】当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又111a S ==，所以()12n n a n N -*=∈，故214n n a -=， 所以()222221231141144441143n n n n a a a a -++++-=++++==--……. 故选：D【点睛】 本题主要考查了n S 与n a 的关系，等比数列的前n 项和公式，考查了学生的运算求解能力. 8．C【解析】试题分析：由tan tan 33tan tan A B A B ++=可设，则，所以．由余弦定理可得，即，解得，所以1sin 23S ab π=＝13333422⨯⨯⨯=，故选C ． 考点：1、两角和的正切公式；2、余弦定理；3、三角形面积公式．9．B【解析】【分析】利用正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，整理可得a b c ，，的关系，进而判断三角形的形状.【详解】sin sin sin cos cos B C A B C+=+Q ， ∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+， 22222222a c b a b c a a b c ac ab+-+-∴⨯+⨯=+， 22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+， ()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+，223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形. 故选：B【点睛】本题主要考查了综合利用正弦定理与余弦定理判断三角形的形状，考查了学生的运算求解能力.10．C【解析】【分析】【详解】解：因为B ＝2A ，故sinB=sin2A,sin sin 22cos ,02,03sin sin 22cos 2cos 2642B b A A A A A a A A A A ππθππ===<<<-<∴<<<<<<Q 故所求的范围是选C11．B【解析】【分析】由题可分析得到()tan +tan 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,由差角公式,将值代入求解即可 【详解】由题, ()()()21tan tan 3454tan +tan 21442211tan tan 544παββππααββπαββ⎛⎫+--- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+--=== ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+⨯++- ⎪⎝⎭, 故选：B【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题 12．D【解析】试题分析：在等差数列中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.因为两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，所以n na b 1212112121()27(21)452()2(21)32n n n n n n n a a a A n n b b b B n ----+-+====+-+ 71912711n n n +==+++，为使n na b 为正偶数，则须1n +为4或12，所以3n =或11，选D. 考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的求和公式.13．5【解析】【详解】 试题分析：1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121334345555555x y x y x y y x y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x y y x=，即21x y ==时取等号． 考点：基本不等式 14．255 【解析】 【分析】由()*21(1)nn n a a n N +-=+-∈可得n 为奇数时，n 2n aa +=，n 为偶数时，22n n a a +-=，即所有的奇数项都相等，所有的偶数项构成一个首项为2，公差为2的等差数列，根据121,2a a ==，可得132924301,,,,a a a a a a ==⋯==L ，利用等差数列的求和公式求和，即可得到答案． 【详解】由于()*21(1)nn n a a n N +-=+-∈，所以得n 为奇数时，n 2n a a +=，n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以132924301,,,,a a a a a a ==⋯==L 构成公差为2的等差数列，因为121,2a a ==，所以123293015141515222552a a a a a ⨯+++++=+⨯+⨯=L ． 故答案为：255． 【点睛】本题的考点是数列的应用，主要考查的数列的求和，由于已知的数列{}n a 即不是等差数列，又不是等比数列，故无法直接采用公式法，我们可以采用分组求和法． 15．34－【解析】由条件得(sin α＋2cos α)2＝52， 即3sin 2α－8sin αcos α－3cos 2α＝0.∴3tan 2α－8tan α－3＝0.∴tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝221tan tan αα－＝－34.16．⎡⎣【解析】分析：利用基本不等式即可得出最小值2．又2111sin 222S bc A a AD a ==⋅=，可得2a bc=sinA ．由余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=．可得b c c b +=22b c bc +=2222+b c a a bc bc+- )A ϕ+≤得出．详解：∵b ＞0，c ＞0，∴b c c b +，当且仅当b=c 时取等号．即b c c b +的最小值为2．又2111sin 222S bc A a AD a ==⋅=，∴2a bc=sinA ． 又余弦定理可得222cos 2b c a A bc+-=．∴b c c b +=22b c bc+=2222+b c a a bc bc +- )A ϕ+≤综上可得：b cc b+的取值范围是．故答案为：．点睛：（1）本题综合考查了基本不等式、余弦定理、三角形的面积计算公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性有界性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．（2）解答本题的关键是求b cc b+的最大值，这里用到了解三角形的知识. 17．132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】由不等式的解集和方程的关系，可知12，2是方程520ax x +-=的两根，利用韦达定理求出a ，再代入不等式22510ax x a -+->，解一元二次不等式即可. 【详解】解：由已知条件可知0a <，且方程520ax x +-=的两根为12，2； 由根与系数的关系得55221a a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2a =-．所以原不等式化为2530x x +-<解得132x -<< 所以不等式解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，还考查一元二次不等式解集与一元二次方程的关系以及利用韦达定理求值. 18．（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（2）a ＝0【解析】 (1)f(x)＝2sin2x ＋122cos x ＋＋a ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋a ＋12，∴T ＝π.由2π＋2kπ≤2x ＋6π≤32π＋2kπ，得6π＋kx≤x≤23π＋kπ.故函数f(x)的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)． (2)∵－6π≤x≤3π，∴－6π≤2x ＋6π≤56π.∴－12≤sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1.当x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，原函数的最大值与最小值的和为1111222a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋＋－＋＋＝32，∴a ＝0 19．（Ⅰ）B=4π（Ⅱ1 【解析】 【分析】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ① 在三角形ABC 中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ② 由①和②得sinBsinC=cosBsinC 而C ∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB 又B(0，)，∴B=(2) S △ABC 12=ac sinB 4=ac ， 由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos4π≥2ac ﹣2ac 2⨯， 整理得：ac ≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC面积的最大值为11222⨯=（2=1．20．（1）003132318x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，图见解析（2）甲、乙两种产品各3吨和4吨时可获得利润最大，最大利润是27万元 【解析】 【分析】（1）先设该企业生产甲产品为x 吨,乙产品为y 吨,列出约束条件,再根据约束条件画出可行域即可；（2）设53z x y =+,则5133y x z =-+,平移直线53=-y x ,找到可行域内截距最大时的点,进而求解即可 【详解】解:（1）设该企业生产甲产品为x 吨,乙产品为y 吨,则该企业可获得利润为53z x y =+,则满足条件的约束条件为003132318x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,满足约束条件的可行域如下图所示：（2）由（1）53z x y =+Q 可化为5133y x z =-+,平移直线53=-y x ,由图可知,当直线经过()3,4P 时z 取最大值,联立3132318x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得34x y =⎧⎨=⎩,z ∴的最大值为533427z =⨯+⨯=（万元）,【点睛】本题考查线性规划在实际问题中的应用. 处理线性规划的应用题时,其步骤为:①分析题目中相关量的关系,列出不等式组,即约束条件； ②由约束条件画出可行域；③分析目标函数z 与直线截距之间的关系； ④使用平移直线法求出最优解； ⑤还原到现实问题中21．（1）详见解析；（2）122nn a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）用定义证明11122n n n n a a ---=得到答案. （2）122n na n =-推出122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）利用错位相减法和分组求和法得到13232n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再证明不等式. 【详解】解：（1）由122nn n a a -=+，得11122n n n n a a --=+，即11122n n n n a a ---=. ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列. （2）∵数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，1为公差的等差数列，∴122n n a n =-，∴122n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（3）1231n n n S a a a a a -=++++L1231135312222222222n n n n -⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L23411353122222222222n n n S n n +⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L2311122222n n n S n +⎛⎫-=+++-- ⎪⎝⎭L13322n n +⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭.∴13232n n S n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴3232322n n n S n n =-+>-. 【点睛】本题考查了等差数列的证明，分组求和法，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.22．(1)见解析;(2)见解析;(3)1(34)22n n S n -=-⋅+【解析】 【分析】（1）由已知数列递推式可2142n n S a ++=+，与原递推式联立可得()211222n n n n a a a a +++-=-，即可证明数列{}n b 是等比数列；（2）由（1）得132n n b -=⋅，可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，两边同时除以12n +即可证得数列{}n c 是等差数列；（3）由（2）求出数列{}n c 的通项公式，可得数列{}n a 的通项公式，结合已知递推式可得数列{}n a 的前n 项和n S ． 【详解】（1）由题意，142n n S a +=+，2142n n S a ++=+，两式相减，得()211214,44n n n n n n n S S a a a a a +++++-=-=-，()211222n n n n a a a a +++∴-=-，112,2n n n n n b a a b b ++=-∴=Q ，又由题设，得21426a +=+=，即25a =，12123b a a ∴=-=，∴{}n b 是首项为3，公比为2的等比数列； （2）由（1）得132n n b -=⋅，11232n n n n b a a -+∴=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-=，即134n n c c +=-． ∴数列{}n c 是首项为12，公差为34的等差数列；（3）解：由（2）得，1331(1)2444n c n n =+-=-， 即31244n na n =-，∴2(31)2n n a n -=-． 则1142(34)22n n n S a n --=+=-⋅+．【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，是中档题．。

六安一中2019~2020学年高二年级自测试卷数学试卷（理科）导数及其应用测试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、下列命题中正确的是（）A ．一个函数的极大值总是比极小值大B ．函数的导数为0时对应的点不一定是极值点C ．一个函数的极大值总比最大值小D ．一个函数的最大值可以比最小值小2、已知函数f （x ）＝x +lnx ，则=∆-∆+→∆xf x x )2()2(0lim（）A ．2B ．23C ．45D ．33、设函数f (x )＝x 2＋ln x ，则（）A ．x ＝21是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝21是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点4、已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（）A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-5、如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是（）A ．6B ．9C ．12D ．36、若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为（）A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．21πr 27、若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．)15(-B ．)1,5[-C ．[－2,1)D ．(－2,1)8、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t t++125(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是（）A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln311C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 29、等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝（）A ．26B ．29C ．212D ．21510、已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠时，有()()0f x f x x'+>，则函数1()()F x xf x x=+的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．311、已知()()()321111132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（）A.3a b -<- B.3a b -≤- C.3a b ->- D.3a b -≥-12、定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，若()0f x <，且()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A ．()()22213f fe<B ．()()21f f e<C ．()()2212f f e<D ．()()231f e f <⋅二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x f x x x f ln 2019)2019(221)(2+'+=，则)1(f '＝．14．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是．第14题图第15题图15．如图所示阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为．16．若存在x ∈1e ，e，使得不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≤0成立，则实数m 的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4.（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．18、（本小题满分12分）已知x x x f cos sin )(+=，)(x f '是)(x f 的导函数，（1）若)(2)(x f x f '=，求xx x xcos sin cos sin 122-+的值；（2）若[0,2]x π∈，求()()()4()()f x f xg x f x f x '-='++的单调递增区间19、本小题满分12分)设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+，（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.20、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）求f (x )的单调区间；（3）若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．21、（本小题满分12分）“既要金山银山，又要绿水青山”。

六安一中2019~2020学年高二年级自测试卷数学试卷（理科）导数及其应用测试卷满分：150分时间：120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1、下列命题中正确的是（）A ．一个函数的极大值总是比极小值大B ．函数的导数为0时对应的点不一定是极值点C ．一个函数的极大值总比最大值小D ．一个函数的最大值可以比最小值小2、已知函数f （x ）＝x +lnx ，则=∆-∆+→∆xf x x )2()2(0lim（）A ．2B ．23C ．45D ．33、设函数f (x )＝x 2＋ln x ，则（）A ．x ＝21是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝21是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点4、已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（）A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-5、如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是（）A ．6B ．9C ．12D ．36、若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为（）A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D ．21πr 27、若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．)15(-B ．)1,5[-C ．[－2,1)D ．(－2,1)8、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t t++125(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是（）A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln311C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 29、等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝（）A ．26B ．29C ．212D ．21510、已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠时，有()()0f x f x x'+>，则函数1()()F x xf x x=+的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．311、已知()()()321111132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（）A.3a b -<- B.3a b -≤- C.3a b ->- D.3a b -≥-12、定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，若()0f x <，且()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（）A ．()()22213f fe<B ．()()21f f e<C ．()()2212f f e<D ．()()231f e f <⋅二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知x f x x x f ln 2019)2019(221)(2+'+=，则)1(f '＝．14．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是．第14题图第15题图15．如图所示阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为．16．若存在x ∈1e ，e，使得不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≤0成立，则实数m 的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知函数f(x)＝x 3－4x 2＋5x －4.（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．18、（本小题满分12分）已知x x x f cos sin )(+=，)(x f '是)(x f 的导函数，（1）若)(2)(x f x f '=，求xx x xcos sin cos sin 122-+的值；（2）若[0,2]x π∈，求()()()4()()f x f xg x f x f x '-='++的单调递增区间19、本小题满分12分)设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+，（1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.20、（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．（1）当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（2）求f (x )的单调区间；（3）若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．21、（本小题满分12分）“既要金山银山，又要绿水青山”。

2019-2020学年六安一中高一(下)第一次段考数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘．10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条．根据以上数据可以估计该池塘内共有()条鱼．A. 250B. 300C. 500D. 7502.某学校用系统抽样的方法，从全校500名学生中抽取50名做问卷调查，现将500名学生编号为1，2，3，…，500，在1～10中随机抽地抽取一个号码，若抽到的是3号，则从11～20中应抽取的号码是()A. 14B. 13C. 12D. 113.点P(4,2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是()．A. (x+2)2+(y−1)2=1B. (x−2)2+(y−1)2=1C. (x−2)2+(y+1)2=1D. (x+2)2+(y+1)2=14.直线y=kx+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M，N两点，若|MN|=2√3，则k的值为()A. k=−43B. k=−34C. k=0或k=−43D. k=0或k=−345.已知x与y之间的一组数据：若y关于x的线性回归方程为y∧=2.1x−1.25，则m的值为()A. lB. 0.85C. 0.7D. 0.56.自点A(−3,4)作圆(x−2)2+(y−3)2=1的切线，则A到切点的距离为()A. √5B. 3C. √10D. 57.《九章算术》是我国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可用来求两个整数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也”.下列程序框图的算法思路就源于此．执行该框图，若输入a，b的值分别为98，63，则输出的a和i的值分别为()A. 7；6B. 7；7C. 0；6D. 0；78.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A′、B′两点，以线段A′B′为直径的圆C过点(−2 , 3)，则圆C的方程为()A. (x+1)2+(y−1)2=5B. (x+1)2+(y+1)2=17C. (x+1)2+(y+2)2=26D. (x+1)2+(y−2)2=29.设一组数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的方差是()A. 2.5B. 3C. 3.5D. 410.直线kx−y+k=0与圆x2+y2−2x=0有公共点，则实数k的取值范围是()A. [−√33,√33] B. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)C. [−√3,√3]D. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知点A在y轴上，点B(0,1，2)，且AB=√5，则点A的坐标为__________．12.阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为______．13.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是______．14.将53(8)转化为三进制数为_______ (3).15.设实数x，y满足不等式组{x+2y−5⩾02x+y−7⩾0x⩾0,y⩾0，则x+2y的最小值是________；设d=x2+y2，则d的最小值等于________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.某班级从甲、乙两位同学中选派一人参加数学竞赛，老师对他们平时的10次模拟测试成绩(单位：分)进行了记录如下：甲79839689867885958287乙81958376918696778293(1)用茎叶图表示这两组数据，并分别求出这两组数据的中位数；(2)分别计算这两组数据的平均数和方差，并根据你的计算结果，判断选派哪位学生参加合适？17.一次学科测试成绩的频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．已知50～60分的有两个数，60～70分的有7个数，70～80分的有10个数，(1)求参加测试的总人数及分数在[80,90)之间的人数，补齐频率分布直方图；(2)请由频率分布直方图估计平均成绩和该组数据的中位数．18.已知圆C的圆心为点D(2,3)，且与y轴相切，直线y=kx−1与圆C交于M，N两点．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)若DM⊥DN，求k的值．19.已知圆C：x2+y2+2x−3=0．(1)求过点P(1,3)且与圆C相切的直线方程；(2)问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由．20.某种设备的使用年限x(年)和维修费用y(万元)，有以下的统计数据：x 3 4 5 6 y2.5 344.5(1)画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b̂x +a ̂； (3)估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？ (附：线性回归方程中{b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx 2â=y −b ̂x ， 其中x =1n ∑x i n i=1，y =1n ∑y i ni=1).【答案与解析】1.答案：D解析：由题意可得：池塘中有标记的鱼的概率为250.因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，所有可以估计该池塘内共有750条鱼．解决此类问题的关键是正确的把实际问题转化为数学问题，利用概率的知识解决问题．解：由题意可得：从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条，所有池塘中有标记的鱼的概率为：250．又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼，所有可以估计该池塘内共有30125=750条鱼．故选D．2.答案：B解析：本题主要考查系统抽样的应用，根据系统抽样转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．根据系统抽样的定义进行计算即可得到结论．解：根据系统抽样的定义可知抽取的号码构成以3为首项，公差d=10的等差数列{a n}，∴则a n=3+10(n−1)=10n−7，由11≤10n−7≤20，解得18≤10n≤27，即1.8≤n≤2.7，即n=2，即从11～20中应抽取的号码为13，故选B．3.答案：B解析：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键．设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．解：设圆上任意一点为A(x1,y1)，AP中点为(x,y)，则由中点公式可得x1=2x−4，y1=2y−2，代入x2+y2=4得(2x−4)2+(2y−2)2=4，化简得(x−2)2+(y−1)2=1．故选B．4.答案：D解析：解：∵直线y=kx+3与圆(x−3)2+(y−2)2=4相交于M，N两点，|MN|=2√3，由弦长公式可得弦心距d=√r2−(MN2)2=√4−3=1．再由点到直线的距离公式可得2=1，解得k=0，或k=−34，故选：D．由弦长公式可得弦心距d=√r2−(MN2)2=1，再由点到直线的距离公式可得d=√k2+1=1，由此解得k的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．5.答案：D解析：解：∵x=2.5，y∧=2.1x−1.25，∴y=4，∴m+3.2+4.8+7.5=16，解得m=0.5，故选：D．根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m值．本题考查线性回归方程的求法和应用，比较基础．6.答案：D解析：解：圆(x−2)2+(y−3)2=1，表示以C(2,3)为圆心，以r=1为半径的圆．由于AC=√26，故切线的长为√26−1=5，故选D．求出圆心和半径，求出AC的值，可得切线的长．本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的切线长度的方法，属于中档题．7.答案：B解析：本题考查条件结构和循环结构、程序框图，根据条件模拟运行即可求解，属于基础题． 解：i =1，a −b =98−63=35; i =2，b −a =63−35=28; i =3，a −b =35−28=7; i =4，b −a =28−7=21; i =5，b −a =21−7=14; i =6，b −a =14−7=7; i =7，a =b ，输出a =7，i =7． 故选B ．8.答案：A解析：设AB 的斜率为k ，得出AB 的方程，与抛物线方程联立方程组，根据根与系数的关系得出圆的圆心坐标和半径，把(−2,3)代入圆方程解出k ， 从而得出圆的方程．解：抛物线的准线方程为x =−1，焦点F(1,0)． 设AB 的方程为y =k(x −1)，联立方程组{ y 2=4x y =k (x −1)，得y 2−4k y −4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=−4．∴|y 1−y 2|=(y 1+y 2)2−4y 1y2=4√1k 2+1 ．∴以A′B′为直径圆的圆C 的圆心为(−1,2k )，半径为2√1k 2+1．圆C 的方程为(x +1)2+(y −2k )2=4(1k +1).把(−2,3)代入圆的方程得 1+(3−2k )2=4(1k 2+1).解得k =2 .∴圆C 的方程为：(x +1)2+(y −1)2=5． 故选A ．解析：解：这组数据31，37，33，a，35的平均数是34，则有34=15(31+37+33+a+35)解得a=34∴方差S2=15(9+9+1+0+1)=4故选：D．先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算．本题考查一组数据的平均数、方差公式，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用，是中档题．由题意利用点到直线的距离小于等于半径，求出k的范围即可．解：由题意可知圆的圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线kx−y+k=0与圆x2+y2−2x=0有公共点，所以√k2+1≤1，解得−√33≤k≤√33．故选：A．11.答案：(0,0，0)或(0,2，0)解析：本题主要考查空间直角坐标系中两点的距离公式，属于基础题．解：设A(0,y，0)由题意可知AB=√(1−y)2+4=√5，∴(1−y)2=1，即1−y=±1，∴y=0或y=2，∴点A的坐标为(0,0，0)或(0,2，0)．故答案为(0,0，0)或(0,2，0)．解析：本题考查循环结构的程序框图，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．解：由框图知，第一次循环得到：S=−8，n=2；第二次循环得到：S=−4，n=1；退出循环，输出−4．故答案为−4．13.答案：(x−1)2+(y−1)2=2=√2．解析：解：圆心到直线的距离就是圆的半径：r=√1+1所以圆的标准方程：(x−1)2+(y−1)2=2故答案为：(x−1)2+(y−1)2=2先求圆的半径，再求圆的标准方程．本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14.答案：1121解析：本题考查了8进制与三进制之间的转化，属于基础题．先把“8进制”数转化为“十进制”数，再利用“除3取余法”把：“十进制”数化为“3进制”数．解：53(8转化十进制数为5×8+3×80=43，)43÷3=14……1，14÷3=4……2，4÷3=1……1，1÷3=0……1，∴43转化为三进制数为1121．故答案为1121．15.答案：5；495解析：本题考查利用线性规划求最优解，考查点到直线的距离公式，属于中档题．先画出实数x，y满足不等式组{x+2y−5≥0,2x+y−7≥0,x≥0,y≥0,的平面区域，然后分析平面区域内的点，可得点A是x+2y取得最小值的点，d的最小值是原点到直线2x+y−7=0的距离．解：依题意作出实数x，y满足不等式组{x+2y−5≥0, 2x+y−7≥0, x≥0,y≥0.可行性区域如图，目标函数z=x+2y在点(3,1)处取到最小值：5；d=x2+y2表示原点与可行域内点的距离的平方，由图形可知，原点到直线2x+y−7=0的距离最小，并且过原点作直线2x+y−7=0的垂线，垂足在可行域内，则d的最小值等于：(√22+12)2=495，故答案为：5；495．16.答案：解：(1)作出的茎叶图如下，=85.5，则甲同学10次模拟测试成绩的中位数为85+862=84.5．乙同学10次模拟测试成绩的中位数为83+862(2)派甲参赛比较合适．理由如下：，，，，所以x甲=x乙，，即甲、乙两位同学的平均水平相同，而甲相对乙成绩更为稳定．所以选派甲参加竞赛．解析：本题考查茎叶图、平均数与方差的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．(1)将甲、乙两位同学的模拟测试成绩的十位数作为茎，个位数作为叶，可得茎叶图，中间两数的平均数，即为中位数；(2)计算甲、乙两位同学的模拟测试成绩的平均数与方差，即可求得结论．17.答案：解：(1)成绩在[50,60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90,100]内同样有2人；=10×0.008，解得n=25；由2n成绩在[80,90)之间的人数为25−(2+7+10+2)=4人；∴参加测试人数n=25，分数在[80,90)的人数为4；补齐频率分布直方图如图所示．=0.28，(2)成绩在[60,70)内的频率为725=0.4；在[70,80)内的频率为1025平均成绩为0.08×55+0.28×65+0.4×75+0.16×85+0.08×95=73.8；设这组数据的中位数为x，则0.08+0.28+(x−70)×0.04=0.5，解得x=73.5，即平均成绩为73.8，中位数为73.5．解析：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，考查了画图能力，是基础题．(1)由频率分布直方图得出成绩在[90,100]内的人数，求出样本容量n以及各分数段内的人数，补齐频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图求出数据的平均数与中位数即可．18.答案：解：(Ⅰ)因为圆C的圆心为点D(2,3)，且与y轴相切，所以圆C的半径r=2．则所求圆C的方程为(x−2)2+(y−3)2=4;(Ⅱ)因为DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形．因为r=2，则圆心D到直线y=kx−1的距离d=√2．=√2，解得k=1或k=7．则√k2+1解析：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题． (Ⅰ)求出圆的半径，即可求圆C 的方程；(Ⅱ)若DM ⊥DN ，|DM|=|DN|=r ，所以△DMN 为等腰直角三角形，因为r =2，则圆心D 到直线y =kx −1的距离d =√2，即可求k 的值．19.答案：解：(1)圆C 的方程可化为(x +1)2+y 2=4，即圆心为(−1,0)，半径为r =2． 若过点P 的直线斜率不存在，即x =1，与圆C 相切，满足条件；若过点P 的切线斜率存在，设为k ，则切线的方程为y −3=k(x −1)，即kx −y −k +3=0，∴√k 2+1=2，解得k =512．∴切线方程为5x −12y +31=0．综上，所求的切线方程为x =1或5x −12y +31=0．(2)假设直线存在，设方程为y =x +b ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，若以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点，则OA ⊥OB ， 即y 1x 1⋅y2x 2=−1，即x 1x 2+y 1y 2=0， 联立{y =x +b x 2+y 2+2x −3=0消去y 得2x 2+(2b +2)x +b 2−3=0， 则判别式△=(2b +2)2−4×2×(b 2−3)=−4b 2+8b +28>0，得1−2√2<b <1+2√2，则x 1+x 2=−b −1，x 1x 2=b 2−32，则y 1y 2=(x 1+b)(x 2+b)=x 1x 2+b(x 1+x 2)+b 2=b 2−32+b(−b −1)+b 2=b 2−2b−32， 由b 2−32+b 2−2b−32=0得b 2−b −3=0， 解得b =1+√132或b =1−√132，检验都满足条件，故直线方程为y =x +1+√132或y =x +1−√132．解析：(1)根据直线和圆相切的等价条件即可求与圆相切的直线方程；(2)联立直线方程和圆的方程，利用消元法转化为一元二次方程进行求解即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的条件，以及联立方程组法是解决本题的关键．20.答案：解：(1)画出表中数据的散点图，如图所示：(2)根据表中数据，计算x =14∑x i 4i=1=4.5，y =14∑y i 4i=1=3.5； b̂=∑x i 4i=1y i −4xy ∑x i 24i=1−4x 2=66.5−4×4.5×3.586−4×4.52 =3.55=0.7， a ∧=y −b ∧x =3.5−0.7×4.5=0.35；∴y 关于x 的回归方程为y ∧=0.7x +0.35；(3)当x =10时，计算y ∧=0.7×10+0.35=7.35；∴估计使用年限为10年，维修费用是7.35万元．解析：本题考查了散点图与线性回归方程的求法和应用问题，是基础题．(1)画出表中数据的散点图即可；(2)根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归方程；(3)利用回归方程计算x =10时y ∧的值即可．。

2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学（理）试题一、单选题1．下列命题中正确的是（ ） A ．一个函数的极大值总是比极小值大 B ．函数的导数为0时对应的点不一定是极值点C ．一个函数的极大值总比最大值小D ．一个函数的最大值可以比最小值小【答案】B【解析】根据极值的定义，以及极值和最值之间的关系，对选项进行逐一分析即可. 【详解】一个函数的极大值有可能比某个极小值小，A 不正确； B 中，函数3()f x x =的导函数2()3f x x '=，当0x =时，()0f x '=，但0x =不是函数3()f x x =的极值点，B 正确；一个函数的极大值可能是最大值，C 不正确； 一个函数的最大值不可能比最小值小，D 不正确. 故选：B. 【点睛】本题考查函数极值和最值之间的关系，属基础题. 2．已知函数()ln f x x x =+，则0(2)(2)limx x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．2B ．32 C ．54D ．3【答案】B【解析】根据导数的定义，以及导数的计算，即可求得结果. 【详解】根据题意，对函数()f x ，有0(2)(2)lim (2)x x f f x∆→+∆-'=∆，又由()ln f x x x =+， 则1()1f x x '=+，则有13(2)122f '=+=.故选：B. 【点睛】本题考查导数的定义，以及导数的计算，属综合基础题. 3．设函数f （x ）=2x+lnx ，则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点【答案】D 【解析】【详解】22212'()x f x x x x-=-+=， 由'()0f x =得2x =， 又函数定义域为(0,)+∞，当02x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当2x >时，'()0f x >，()f x 递增， 因此2x =是函数()f x 的极小值点．故选D ． 【考点】函数的极值．4．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==- B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．5．如图，两曲线23y x =-与221y x x =--所围成的图形面积是（ ）A ．6B ．9C ．12D ．3【答案】B【解析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得. 【详解】由223,21,y x y x x ⎧=-⎨=--⎩得1,2,x y =-⎧⎨=⎩或2,1.x y =⎧⎨=-⎩ 故两曲线所围成的阴影部分的面积2212[(3)(21)]x x x S dx ----=-⎰221[(224)x x S dx --=++⎰23212(4)3x x x -=-++162481433⎛⎫⎛⎫=-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9=故选：B. 【点睛】本题考查利用定积分求解曲边梯形的面积，属中档题.6．若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A ．22r π B ．2r π C ．24r π D ．212r π 【答案】A【解析】如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，求出S 侧＝2πr cos θ·2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ，再利用导数求函数的最值. 【详解】如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ.∴S 侧＝2πr cos θ·2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ. S ′＝4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)＝4πr 2cos 2θ＝0， ∴θ＝4π.当θ＝4π，即R ＝22r 时，S 侧最大且S 侧max ＝2πr 2. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，解题关键是设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，求出R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ. 7．若函数3()3f x x x =-在2(,6)a a -上有最小值，则实数的取值范围是（ ） A ．(5,1)- B ．[5,1)-C ．[)2,1-D ．(2,1)-【答案】C【解析】由f′(x)＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．函数f(x)在区间(a ，6－a 2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a ，6－a 2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a 满足a<1<6－a 2且f(a)＝a 3－3a≥f(1)＝－2，即221{5120a a a a <<≥，，（－）（＋），解得1{552a a a <<<≥，－，－，故实数a 的取值范围是[－2，1)．8．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+【答案】C【解析】【详解】试题分析：令得，故44203()725ln(1)425ln 52t s v t dt t t ⎡⎤==-++=+⎢⎥⎣⎦⎰，故选C【考点】定积分的几何意义9．等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a L =---，则(0)f '=A ．62B ．92C ．122D ．152【答案】C【解析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果. 【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅ ()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦- ()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅ ()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C 【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10．已知函数()y f x =是R 上的可导函数，当0x ≠时，有()()0f x f x x'+>，则函数1()()F x xf x x=+的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】试题分析：令11()()0,()F x xf x xf x x x =+==-.()()()'()()0xf x xf x f x f x f x x x x⎡⎤+⎣⎦''='+=>，即当0x >时，()'0xf x ⎡⎤>⎣⎦，为增函数，当0x <时，()'0xf x ⎡⎤<⎣⎦，为减函数，函数1y x=-在区间()()0,,,0+∞-∞上为增函数，故在区间(),0-∞上有一个交点.即1()()F x xf x x=+的零点个数是1.【考点】1.函数与导数；2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的1()()F x xf x x =+的零点，可以转化为1()xf x x =-，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数1y x =-在区间()()0,,,0+∞-∞上为增函数，通过已知条件分析()()()'()()0xf x xf x f x f x f x x x x⎡⎤+⎣⎦''='+=>,即当0x >时，()'0xf x ⎡⎤>⎣⎦，为增函数，当0x <时，()'0xf x ⎡⎤<⎣⎦，为减函数，由此判断这两个函数在区间(),0-∞上有一个交点. 11．已知3211()(1)(1)132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则 A ．3a b -<- B ．3a b -≤-C ．3a b ->-D ．3a b -≥-【答案】A【解析】结合椭圆及双曲线的性质可得:2()(1)(1)0f x x a x a b '=+++++=有一个大于1的根,一个小于1大于0,则10230a b a b ++>⎧⎨++<⎩,作出不等式组所表示的平面区域,利用线性规划的知识可求Z a b =-的范围. 【详解】2()(1)(1)f x x a x a b '=+++++结合椭圆及双曲线的性质可得:2()(1)(1)0f x x a x a b '=+++++=有一个大于1的根,一个小于1大于0作出不等式组则10230a b a b ++>⎧⎨++<⎩所表示的平面区域如图所示,令Z a b =-作直线0:0l a b -=,把直线向可行域平移到(2,1)A -时,max 3Z =-3a b ∴-<-所以A 选项是正确的.【点睛】本题主要考查了函数的零点和根的分布,椭圆与双曲线的几何性质以及,线性规划的基础知识.考查基础知识的综合运用.属于难题. 12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，若()0f x <，且()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()()22213f f e< B ．()()21f f e< C ．()()2212f f e< D ．()()231f e f <⋅【答案】C 【解析】由()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭得()2'()0f x f x +<，构造函数：2()()x g x e f x =⋅，求导判单调性得(2)(1)g g >，进而得22(2)(1)e f f ⋅>则可求【详解】 因为()'()0211122f x f x +⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2'()0f x f x +<.构造函数：2()()x g x e f x =⋅，所以2'()()2()'()xxg x e f x e f x f x =⋅+⋅⋅()[()2'()]0xe f x f x f x =⋅⋅+>.所以函数()g x 在R 上单调递增，所以(2)(1)g g >，即222(2)(1)e f e f ⋅>⋅，即()()2212f f e<故选：C 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，考查构造函数的思想，考查逻辑推理能力，是中档题二、填空题 13．已知21()2(2019)2019ln 2f x x xf x =++'，则(1)f '=_______. 【答案】2020-【解析】先对函数求导，然后求出(2019)f '，进而求出答案。

安溪省屯溪一中2018-2019学年度第二学期期中考试
高一数学试卷2019.4
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1.
）
A.
C.
的）A.
C.
3.（）
4.）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰直角三角形
5.的）或
6.等差数列，已知，（）
A. 38
B. 20
C. 10
D. 9
7.）
B.
8.）
A.9.，，依次成等差数列，边上的中线，（）
A.
B.
D. 10.的三个内角的正弦值分别等于
）
A.
B.
C.
是
D.
11.已知数列
）
12.（
，由这两
个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（ ） A.
B.
D.
二、填空题。

13.____；
14.已知数列为等差数列，为数列，____；
15.是首项为_____；
16.；
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.
（1
（2
18.
（1
（2
19.
（1
（2.
20.我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截止20182019年开始使用无人机飞播造林，弹射的种子可以直接打入沙面里头，实现快速播种，每年原来沙漠面积的
2018年年底绿洲面积为
……经过年绿洲面积为
（1
（2
21.的部分项组成等比数列
（1
（2
22.
（1
（3。